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  • 动态规划最优子结构性质 动态规划的子问题重叠性质 前向优化 后向优化 例 5.1.2 连续变量的资源分配问题 例 5.3.2 多阶段有限资源分配问题 递推方程 例 5.3.1 解TSP问题 计算一个单元格 计算过程

    🚀【MOOC数学建模与实验---学习笔记---整理汇总表】🚀

    🌈【学习网址:MOOC---郑州轻工业大学---数学建模与实验】🌈

    目   录

    动态规划研究的问题

    内容

    动态规划思想

    问题举例一:最短路问题

    如何求解?(后向优化)

    逆向求解递推方程(标号法)

    动态规划表格

    递归如何?循环如何?

    问题举例二:资源分配问题

    再描述一遍

    如何求解?(后向优化)

    例 5.1.2 离散变量的资源分配问题

    如何求解?

    计算一个单元格

    说明

    计算结果

    递归的方法

    多阶段决策问题

    动态规划的最优子结构性质

    动态规划的子问题重叠性质

    前向优化

    后向优化

    例 5.1.2 连续变量的资源分配问题

    例 5.3.2 多阶段有限资源分配问题

    递推方程

    例 5.3.1 解TSP问题

    计算一个单元格

    计算过程


    数学规划:线性规划、非线性规划      动态规划 内容、处理方法、最优化理论 

    动态规划研究的问题

    动态规划:整体最优解,由各段的决策变量构成。各段的决策变量的确定,与整体最优解密切相关。

    当整体最优解确定后,每一段的决策变量才会确定下来。--> 动态过程 --> 动态规划

    旅行售后问题、背包问题

    内容

    • 多阶段决策问题和最优化原理
    • 定期多阶段决策问题
    • 不定期多阶段决策问题

    动态规划思想

    动态规划(Dynamic Programming,DP)是运筹学的一个分支,是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初,美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等人在研究多阶段决策过程的优化问题时,提出了著名的最优化原理,从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛,包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域,并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果 [1]  。

    动态规划思想:把解决一个问题分为n个阶段,从 当前阶段 到 最终实现目标 所采取的策略,是 最优策略。

    1~n步,当前在第k步,到第n步结束,1~k步 不要求了,k~n步 必须满足最优策略。

    问题举例一:最短路问题

    基本思想(倒着推):

    从f1到g的路程是最短的(不管a到f1);从f2到g的路程是最短的(不管a到f2);

    从e1到g的路程是最短的(3+4=7);从e2到g的路程是最短的(2+3=5);从e3到g的路程是最短的(6+3=9);

    从d1到g的路程是最短的【d1 -> e1(7+2=9),d1 -> e2(5+2=7)】;从d2到g的路程是最短的【1+5,2+9】;

    依次倒着推...   算到a的时候,就得到了问题答案。

    如何求解?(后向优化)

    多阶段决策问题

    递推关系式

    l(u, v):u到v的距离。

    逆向求解递推方程(标号法)

    a -> b1 -> c2 -> d1 -> e2 -> f2 -> g.

    动态规划表格

    递归如何?循环如何?

    问题举例二:资源分配问题

    再描述一遍

    注意回收资源 

    第1阶段  x1 = x

    第2阶段 x2 = ay1 + b(x1 - y1)

    ...

    如何求解?(后向优化)

    例 5.1.2 离散变量的资源分配问题

    如何求解?

    计算一个单元格

    说明

    计算结果

    递归的方法

    多阶段决策问题

    动态规划的最优子结构性质

    动态规划的子问题重叠性质

    前向优化

    后向优化

    例 5.1.2 连续变量的资源分配问题

    加入只有一个部门生产 f_{1}(x)= max{g(x), h(x)} = max{x^{2}, 2x^{2}} = 2x^{2}.

    :生产的第2阶段

       利润(生产效益):g(x);     ax:回收得到的剩余资源;     f_{1}(ax):利用 剩余资源 得到的利润

    如果生产只有两个阶段的话,资源全部给B部门。

    第3阶段:生产结束后,剩余ax资源;f2(ax):资源总数为ax的时候,经过2个阶段生产的最大收益是f2(ax)。

    f3(ax):资源总数为ax,经过3个阶段生产的最大收益是f3(ax)。

     g(x)+f4(ax):开始阶段的收益 + 后面4个阶段的最大收益。

    例 5.3.2 多阶段有限资源分配问题

    递推方程

    U\{vj}:从U中把vj去掉。

    例 5.3.1 解TSP问题

    旅行商问题,即TSP问题(Traveling Salesman Problem)又译为旅行推销员问题、货郎担问题,是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市,他必须选择所要走的路径,路径的限制是每个城市只能拜访一次,而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。 

    计算一个单元格

    计算过程

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  • 最优子结构性质

    2021-07-09 22:40:16
    当一个问题的优解包含其子问题的优解时,称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心法求解的关键所在。在实际应用中,至于什么问题具有什么样的贪心选择性质是不确定的,需要具体问题...

    当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时,称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心法求解的关键所在。在实际应用中,至于什么问题具有什么样的贪心选择性质是不确定的,需要具体问题具体分析。

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  • 动态规划最优子结构 问题:算法训练 乘积最大 问题描述 今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”,又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛,组织了一场别开生面的数学智力...

    动态规划—最优子结构

    问题:算法训练 乘积最大 问题描述

    今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”,又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛,组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动,你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中,主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目:

    设有一个长度为N的数字串,要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分,找出一种分法,使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

    同时,为了帮助选手能够正确理解题意,主持人还举了如下的一个例子:

    有一个数字串:312, 当N=3,K=1时会有以下两种分法:

    312=36
      31
    2=62

    这时,符合题目要求的结果是:31*2=62

    现在,请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序,求得正确的答案。

    输入格式

    程序的输入共有两行:
      第一行共有2个自然数N,K(6≤N≤40,1≤K≤6)
      第二行是一个长度为N的数字串。

    输出格式

    输出所求得的最大乘积(一个自然数)。

    样例输入

    4 2
      1231
    样例输出
    62

    算法分析

    利用动态规划最优子结构性质,从中间任意一处断开,划分成两个不同子结构,类似递推求最优

    /*
    思路: 
    dp[i][j]表示前i个数字中,加入了j个乘号后的最优值
    将n个数字从t处断开,分为1->t-1和t->i两个阶段 
    断开的地方加上乘号*,假设这是第j个乘号
    则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]*(t->i组成的自然数)
    怎么求t->i组成的自然数
    假设数组1234
    dp[4][0] = 1234,假设在2后加一个乘号 12*34
    34 = 1234%10^2; 
    */ 
    #include <iostream>
    #include <string>
    #include <vector>
    #include <algorithm> 
    #include <cmath>
    using namespace std;
    
    vector<int> a;
    long long dp[40][40]  = {0};
    int main()
    {
    	int n,k;
    	cin>>n>>k;
    	string s;
    	cin>>s;
    	a.push_back(0);
    	for(int i = 1;i<=s.size();i++)
    	a.push_back(s[i-1]-'0') ;
    	
    	long long temp = 0;//初始化,防溢出 
    	for(int i = 0;i<=s.size();i++)//将dp[i][0]初始化为输入的前i个自然数 
    	{
    		temp = temp*10+a[i];
    		dp[i][0] = temp; 
    	}
    	//cout<<dp[n][k];
    	for(int i= 2;i<=n;i++)//i取值1-n 
    	{
    		for(int j = 1;j<=i-1&&j<=k;j++)
    		{
    			for(int t = 2;t<=i;t++)
    			{
    				dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[t-1][j-1]*(dp[i][0]%((long long)(pow(10,(i-t+1)))))); 
    			}
    		}
    	}
    	cout<<dp[n][k];
    	return 0;
    }
    

    类似题目还有:宰羊

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  • 哈夫曼树又称优树(二叉树),是一类带权路径最短的树。构造这种树的算法早是由哈夫曼(Huffman)1952年提出,这种树在信息检索中很有用。 结点之间的路径长度:从一个结点到另一个结点之间的分支数目。 树的路径...

    哈 夫 曼 树

    1. 二叉树的应用

    1.1 哈夫曼树及应用

    哈夫曼树又称最优树(二叉树),是一类带权路径最短的树。构造这种树的算法最早是由哈夫曼(Huffman)1952年提出,这种树在信息检索中很有用。
    结点之间的路径长度:从一个结点到另一个结点之间的分支数目。
    树的路径长度:从树的根到树中每一个结点的路径长度之和。
    结点的带权路径长度:从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。
    树的带权路径长度:树中所有叶子结点的带权路径长度之和,记作:
    WPL为最小的二叉树就称作最优二叉树或哈夫曼树。
    完全二叉树不一定是最优二叉树。

    1.2 哈夫曼树的构造:

    (1)根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构造n棵二叉树的集合F={T1,T2,…,Tn},其中Ti中只有一个权值为wi的根结点,左右子树7a64e59b9ee7ad9431333236393763为空;
    (2)在F中选取两棵根结点的权值为最小的数作为左、右子树以构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左、右子树上根结点的权值之和。
    (3)将新的二叉树加入到F中,删除原两棵根结点权值最小的树;
    (4)重复(2)和(3)直到F中只含一棵树为止,这棵树就是哈夫曼树。

    1.3 结点的存储结构:

    构造哈夫曼树的算法说明:
    #define n /* 叶子总数 /
    #define m 2
    n-1 /* 结点总数 /
    证:叶子结点数 n0=n2+1,故哈夫曼树结点总数为 n0+n2=n0+(n0-1)=2
    n0-1
    例3 在解某些判定问题时,利用哈夫曼树获得最佳判定算法。
    (a)
    WPL=0.051+0.152+0.43+0.34+0.14=3.15
    (b)
    WPL=0.4
    1+0.32+0.153+0.054+0.14=2.05
    (c)
    WPL=0.053+0.153+0.42+0.32+0.1*2=2.2

    2. 哈夫曼编码

    从哈夫曼树根结点开始,对左子树分配代码“0”,右子树分配代码“1”,一直到达叶子结点为止,然后将从树根沿每条路径到达叶子结点的代码排列起来,便得到了哈夫曼编码。
    例,对电文 EMCAD 编码。若等长编码,则
    EMCAD => 000001010011100 共15位
    设各字母的使用频度为 {E,M,C,A,D}={1,2,3,3,4}。用频度为权值生成哈夫曼树,并在叶子上标注对应的字母,树枝分配代码“0”或“1”:
    各字母的编码即为哈夫曼编码: EMCAD => 000001011011 共12位

    3.二叉排序树

    二叉排序树是一种特殊结构的二叉树,它作为一种表的组织手段,通常被称为树表。可以作为一种排序和检索的手段。
    定义 二叉排序树或是空树,或是具有下述性质的二叉树:其左子树上所有结点的数据值均小于根结点的数据值;右子树上所有结点的数据值均大于或等于根结点的数据值。左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。
    对二叉排序树,若按中序遍历就可以得到由小到大的有序序列。如上图,中序遍历得:
    {2,3,4,8,9,9,10,13,15,18}

    3.1 二叉排序树的生成

    对任意一组数据元素序列{R1,R2,…,Rn},要生成一棵二叉排序树的过程为:
    (1)令R1为二叉树的根;
    (2)若R2<R1,令R2为R1左子树的根结点,否则R2为R1右子树的根结点;
    (3)对R3,…,Rn结点的插入方法同上。
    例,数据元素序列{10,18,3,8,12,2,7,3},其生成二叉排序树的过程如下:

    3.2 二叉排序树中结点的删除

    要求删除一个结点后的二叉树仍是一棵二叉排序树。算法思想,分以下几种情况考虑:
    (1)被删除的结点是叶子结点,则只需修改其双亲结点的指针既可;
    (2)被删除结点p只有左子树pL或右子树pR,此时只要使左子树pL或右子树pR成为p双亲结点q的左子树或右子树即可。
    (3)若被删除结点p的左、右子树均非空,有两种做法:
    *
    令pL直接链接到q的左(或右)孩子链域上,pR链接到p结点中序前趋结点s上(s是pL最右下的结点);
    *
    以p结点的直接中序前趋或后继替代p所指结点,然后再从原二叉排序树中删去该直接前趋或后继。

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  • 首先,用多边形逆时针顶点的集合来表示凸多边形。 其次,图形描述-结构描述。 分析,最优子结构性质。 分析,最优三角分解递归结构。 最后,优值计算。
  • 动态规划--交叠子问题(记忆化搜索算法、打表法求解第n个斐波那契数) 动态规划--最优子结构(经典例题:数字三角形求解)
  • 文章目录1 概念2 递归写法3 递推写法4 总结4.1 区别4.2 应用条件4.2.1 最优子结构4.2.2 重叠子问题4.2.3 条件4.2.4 区别4.2.4.1 分治和动态规划4.2.4.2 贪心和动态规划 1 概念 动态规划(Dynamic Programming,DP)...
  • 希望通过每次所作的贪心选择导致最终结果是问题的一个优解。这种启发式的策略并不总能奏效,然而在许多情况下确能达到预期的目的。解活动安排问题的贪心算法就是一个例子。下面我们着重讨论可以用贪心算法求解的...
  • 1. 试证明哈夫曼问题具有贪心选择性质: 二叉树T表示字符集C的一个最优前缀码,证明可以对T作适当修改后得到一棵新的二叉树T”,在T”中x和y是最深叶子且为兄弟,同时T”表示的前缀码也是C的最优前缀码。设b和c是...
  • 一、贪心算法 体现贪心:不从整体考虑,用局部的,仅有数据做出选择,且以后不会改变...最优子结构性质 2.子问题重叠性质 3.自底而上的求解方法 动态规划问题其实就是一道从局部到整体的递推问题,子结构最优使...
  • 但反过来,最优子结构性质作为动态规划问题的必要条件,一定是让我们求最值的。 遇到最值题,先思考一下暴力穷举的复杂度,如果复杂度“爆炸”的话,思路往动态规划想就对了。 2. dp数组的遍历方向 ...
  • 文章目录找零钱问题说明最优子结构(1)何为最优子结构(2)状态转移方程 暴力解法(3)备忘录解决重叠子问题(4)迭代解法 找零钱问题说明最优子结构 lLeetCode 509:零钱兑换 (1)何为最优子结构 这里面的子...
  • 最优子结构特征

    千次阅读 2020-03-22 16:50:02
    最优子结构性质动态规划算法解决问题提供了重要线索。 无后效性:即子问题的解一旦确定,就不再改变,不受在这之后、包含它的更大的问题的求解决策影响。 重复子问题:。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对...
  • 可是证明最优子结构需要用到复制粘贴法,在用复制粘贴法的时候又不免会因为子问题不是无关的从而不能复制粘贴,所以不能证明最优子结构,这样的话,那段用最优子结构证明子问题无关看得我逻辑有点乱。。。 当然也...
  • 由凑零钱问题认识 最优子结构 问题描述: 有k种⾯值的硬币,⾯值分别为 c1, c2...ck,每种硬 币的数量⽆限,再给⼀个总⾦额 amount,问你最少需要⼏枚硬币凑出这个⾦额,如果不可能凑出,算法返回 -1。 如:k = 3...
  • 文章目录1. 最优子结构1.1 直接最优子结构1.2 间接最优子结构2. dp数组的遍历方向3. 文章来源 ...首先必须要明确一个问题:「最优子结构」是某些问题的一种特定性质,并不是动态规划问题专有的。 ...
  •   如果一个问题的优解包含其子问题的优解,此问题具有最优子结构性质。 发掘最优子结构性质的通用模式 证明问题优解的第一个组成部分是做出一个选择,做出这次选择会产生一个或多个问题; 对于一个给定的...
  • 优化问题,即要做出一组选择以达到一个优解。在做选择的同时,经常出现同样形式的子问题。当某一特定子问题可能出自...1)描述优解的结构 2)递归定义优解的值 3)按自底向上的方式计算优解的值。 4)由计
  • 刚刚考完《数据结构与算法分析》这门课的期末考试,其中有一道证明题——0-1背包问题最优子结构的证明。因为当时上课的时候便比较“懵懂”,复习时候也没有认真看(个人对于ppt的证明过程抱有疑惑,现在回过头来看...
  • 1、问题描述: n个作业{1,2,…,n}要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工,然后在M2上加工...二者相等为什么说明具有最优子结构性质? 这些部分不是很懂。望指点。
  • 动态规划(dynamic programming)简称DP。 先看3个简单的问题: 1,斐波那契数列 1,1,2,3,5,8...... 求第n项 int fac(int n) { if(n<3)return 1; return fac(n-1)+fac(n-2); } 时间复杂度O (1.6 ^ n) ...
  • 最优子结构

    千次阅读 2018-06-01 14:45:51
    作者:王赟 Maigo ...来源:知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。 举个简单的例子。下面是一个地图,我们要找一条从...而问「最大」「最小」的问题,一般都是满足最优子结构的。
  • 最优子结构性质(反证法) 计算某问题的优解包含的计算该问题的子问题也是优解。事实上,如果找到子问题的更优解,则可以替换当前子问题的解,得到一个比优解更优的解,这是一个矛盾。 贪心选择性质(数学...
  • 动态规划理论:一篇文章带你彻底搞懂最优子结构、无后效性和重复子问题 什么样的问题可以用动态规划解决?解决动态规划问题的一般思考过程是什么样的? 一个模型三个特征理论讲解 动态规划能解决的问题有什么规律可...
  • 贪心算法:贪心选择性和最优子结构

    千次阅读 多人点赞 2020-04-26 11:46:46
    最优子结构 每一步贪心选完后会留下子问题,子问题的优解和贪心选出来的解可以凑成原问题的优解 如果问题的优解包含两个或更多子问题的优解,且子问题多有重叠,我们考虑使用动态规划算法。 而如果问题经过...
  • 做了很多树的题目,发现非常多递归求最优子结构的(最大经过节点数、最长路径等) 104. 二叉树的最大深度 大意: 给定一个二叉树,找出其最大深度。 二叉树的深度为根节点到远叶子节点的最长路径上的节点数。 说明...
  • 因此,可以初步得出动态规划的基本思想:将一个具有最优子结构性质的问题分成若干个子问题,在求解过程中,记录下子问题的结果,存储在一个表格中,使得公共的子问题只需要计算一次。书中给出的基本原理:动态规划将...
  • 按照自己的理解写的
  • 算法:最优子结构

    2014-11-08 20:15:09
    用DP的前提是:这个问题有最优子结构性质,但一些问题是没有优子结构的 比如: 不带权最长路径问题 而与之相反 不带权最短路径问题 却是有这种优子结构的! 我想了想假如是带权的最短路径会是...
  • 因此,可以初步得出动态规划的基本思想:将一个具有最优子结构性质的问题分成若干个子问题,在求解过程中,记录下子问题的结果,存储在一个表格中,使得公共的子问题只需要计算一次。书中给出的基本原理:动态规划将...

空空如也

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动态规划的最优子结构性质