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  • Floyd算法求解最短路径问题(C++实现)(源码见链接) Floyd(弗洛伊德)算法也可称其为插点算法,是一种基于动态规划思想的最短路径算法。动态规划算法将求解的分体分成若干个阶段,按顺序求解子阶段并且动态规划算法...

    Floyd算法求解最短路径问题(C++实现)(源码见链接)


    Floyd(弗洛伊德)算法也可称其为插点算法,是一种基于动态规划思想的最短路径算法。动态规划算法将求解的分体分成若干个阶段,按顺序求解子阶段并且动态规划算法所处理的问题无后效性,即在当前情况下,一个阶段的结果常常影响到下一阶段的决策,但下一阶段的结果不会影响前一状态的决策,因此适用于求解最短路径规划问题。Floyd算法编码较为简单,容易理解和应用。

    Floyd 算法的基本思想是建立两个矩阵存放数据,以领接矩阵D的形式存储路径数据,同时使用另外一个矩阵P存储中间点数据,最终求得任意两点间最短路径:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    其中,a表示顶点之间的路径值,v表示各顶点。若路径规划中顶点个数为N,则需要对矩阵D和矩阵P进行N次更新。初始时,从第一个点开始检索,接下来开始,对矩阵D进行N次更新。原理为以下迭代公式:
    在这里插入图片描述

    每次迭代都会计算出顶点i,j以顶点k为节点的最短路径。
    三、问题描述
    本文以6个顶点的拓扑图(如图1 所示)为例子,求解ROS服务机器人从点A1到点A6的最短路径方案。
    在这里插入图片描述

    图1 拓扑图
    四、算法设计与步骤
    (1)问题数学模型构建(采用数组的数据结构类型):
    6个顶点的无向图(图1)
    顶点之间的距离:dis[i][j],即顶点i到顶点j间的权重(也可以理解为距离),若i,j不相邻或i=j的话题,则dis[i][j]=∞。
    顶点之间的中间点:path[i,j]。path[i][j],表示顶点i到顶点j经过了p[i][j]记录的值所表示的顶点,即每个节点有对应的一个值,如果从i到j是某个点为节点,则path[i][j]即为相应的值。
    初始化邻接矩阵D有:
    在这里插入图片描述
    初始化矩阵P有:
    (隔了一阵时间再看,好像忘了,所以在这记录一下:P矩阵就是用来输出最短路线的矩阵,列表从A1-A6指的是起点,行表是终点。初始化的数字含义是指每个点的坐标的列数。比如要计算A1到A6的最短路径,那么初始化就是让A1直达A6,也就是A6下的数字为5(因为坐标是数组,从0开始,所以减一。)以此类推。在计算更新后,例如A1-A6。A6下的数字变成了1,也就是A1要先到A2,然后看A2行所对应的A6下的值,以此类推,直到A6下的值是5,计算结束,最短路径得出。)
    在这里插入图片描述

    (2)计算第一次迭代值(以A1为节点的最短路径)
    Floyd算法最核心的的程序段为:

    int temp = 0;
    int min_value = 0;
    	for (temp = 0; temp < this->vexnum; temp++) 
    	{
    		for (row = 0; row < this->vexnum; row++)
    		{
    			for (col = 0; col < this->vexnum; col++) 
    			{
    				//为了防止溢出,所以需要引入一个min_value值  
                     //在这里温习了this指针的用法 
    				min_value = (dis[row][temp] == INT_MAX || dis[temp][col] == INT_MAX) ? INT_MAX : (dis[row][temp] + dis[temp][col]);
    				//已知dis[row][col]的值,比如v1-v3(直接到)现在要增加一个节点,这个节点就从V2开始。
    				//从a[0][0]开始检查。a[0][1]=a[00,01].a[0][2]=a[00,02];以此类推。
    				if (this->dis[row][col] > min_value)
    				{
    					//更新我们的D矩阵
    					this->dis[row][col] = min_value;
    					//更新我们的P矩阵
    					this->path[row][col] = this->path[row][temp];
    				}
    			}
    		}
    	}
    }
    

    程序说明:Floyd算法中的最核心的思想就是以上的三个for循环,其中temp指的是以temp的值为中间节点,进行路径比较。row指的是行,col指的是列,row*col即构成邻接矩阵的范围。利用动态规划的思想,row和col从[0,0]开始,以变量temp为中间节点进行遍历,temp从1开始,即先以A1为中间节点,求其他两个顶点间,如果以A1为中间节点的话,是否能得到更短的路径规划。若[row,temp]+[temp,col]<[row,col],表示此时通过以变量temp为中间节点,row到col的路径时最短的,为了防止溢出,采用变量min_value记录该值。然后将矩阵D,P进行相应的更新。以temp=1为中间节点,通过一次运算,我们可以得出:dis[2,1]+dis[1,3]<dis[2,3],也就是说从A2到A3节点的直接距离和A2-A1-A3的距离相比,以A1为中间节点的路径距离最短,完成了一步的最短路径的更新优化。
    更新邻接矩阵D有:
    在这里插入图片描述
    更新矩阵P有:
    在这里插入图片描述

    (3)计算剩余迭代值
    通过Floyd的算法推导,接下来将分别以A2,A3直到A6为中间节点进行程序的遍历运算,求得其他两顶点的间的最短路径规划,并在每次运行之后,更新D矩阵和P矩阵,运算结果在实验结果与分析中(如图4所示)。
    (4)有向图和无向图的解释
    代码如下:

    void Graph_DG::createGraph(int kind) {
    	cout << "请输入每条边的起点和终点(顶点编号从1开始)以及其权重" << endl;
    	int start;
    	int end;
    	int weight;
    	int count = 0;
    	while (count != this->edge) {
    		cin >> start >> end >> weight;
    		//首先判断边的信息是否合法
    		while (!this->check_edge_value(start, end, weight)) //调用检查函数check
    		{
    			cout << "输入的边的信息不合法,请重新输入" << endl;
    			cin >> start >> end >> weight;
    		}
    		//对邻接矩阵对应上的点赋值
    		arc[start - 1][end - 1] = weight;
    		//无向图添加上这行代码
    		//如果为有向图的话,edge应当成2,也就是说3个点之间可以有最多6条路径。
    		if (kind == 2)
    		arc[end - 1][start - 1] = weight;
    		else
    		arc[end - 1][start - 1] = INT_MAX;
    		++count;
    	}
    }
    

    程序说明:对于无向图而言,输入(1,2,3)表示点1到点2 的权重为三,没有方向性,如果存在6点顶点,则最多有6条边即可表示出各种权证。所以如程序段中红色的标注的部分,当kind=2时,表示输入的为无向图,邻接矩阵[1,2]=[2,1]=3。但对于有向图而言(kind=1),(1,2,3)表示从1到点2的权重为3,但不能表示从点2到点1的权重。所以对于有向图而言,如果存在6点顶点,则最多有12条边,需要分别设置其值。
    五、实验设计与实验结果
    1.实验环境
    实验采用C++语言,在visual studio 2019平台上进行编写(程序在附件)
    2.数据集
    小规模数据,有6个节点,9条权重,采用邻接矩阵存图,(Start,end,path):
    (1,2,3)(2,3,8)(1,3,4)(2,4,6)(3,4,8)(3,6,15)(4,6,5)(4,5,2)(5,6,4)
    3.评价指标
    (1)程序搜索最优解的权值。
    (2)程序运行时间。
    4. 实验结果及分析
    小数据测试:
    测试次数 最优路径权值 程序运行时间
    1 13 91ms
    2 13 91ms
    3 13 91ms
    4 13 91ms
    数据分析:
    当数据规模较小的时候,运行算法总能稳定的又很快的找到最优权值,从而得出机器人应该走的最短路径,并且运行时间只有91ms,时间上程序运算的很迅速。
    测试结果截图如下:
    在这里插入图片描述
    图2.顶点及顶点间的权重输入
    在这里插入图片描述
    图3.最终更新结果的领接矩阵
    在这里插入图片描述

    图4.各个顶点间最短路径的展示

    通过图4即可得出,机器人要想从A1点走到A6点。其最短路径应当规划为A1-A2-A4-A6(绿色线段):
    在这里插入图片描述
    再次感谢CSDN的支持。源码参考(不要积分):https://download.csdn.net/download/muyutianzhilan/12055717

    展开全文
  • 首先,我们讲一下迪杰斯特拉算法的原理: 1)首先设一个集合为T=空集,S={图中的所有节点}; 2)从S中选择距离T集合中的点距离最近的未被选中的点w,并将其加入T集合中; 3)用刚刚选中的w节点更新源点v0到其他...

    首先,我们讲一下迪杰斯特拉算法的原理:
    1)首先设一个集合为T=空集,S={图中的所有节点};
    2)从S中选择距离T集合中的点距离最近的未被选中的点w,并将其加入T集合中;
    3)用刚刚选中的w节点更新源点v0到其他节点的距离;
    4)重复2)、3)步骤,直至所有的节点都已经加入到T集合中。
    注意上述的描述方案中,我们将一个点v距离自己的距离设置为0,如果设置为无穷大,则相应的描述需要进行相应的调整,即代码上也需要进行相应的调整,大家可以对比两份代码观察其中的区别:

    为了理解迪杰斯特拉算法丘最短路径的抽象概念,我们这里举了一个例子,进行说明:
    这里写图片描述
    针对上述例子,我们编写如下代码进行求解:

    代码一:

    #include <iostream>
    #include <string>
    using namespace std;
    #define MAX 100000
    #define N 6
    #define v0 0
    int arcs[N][N] = {
        0,3,MAX,1,MAX,MAX,
        MAX,0,1,MAX,MAX,MAX,
        MAX,MAX,0,MAX,1,MAX,
        MAX,MAX,MAX,0,1,3,
        MAX,MAX,MAX,MAX,0,1,
        MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,0
    };
    bool final[N];
    
    int dijstera(){
        /*for (int i = 0; i < N; i++){
            if (i == 0){
                final[i] = true;
            }
            else{
                final[i] = false;
            }
            final[i] = false;
        }*/
    
    
        for (int i = 0; i < N; i++){
            int min = MAX;
            int flag = 0;
            for (int v = 0; v < N; v++){
                if (!final[v]){
                    if (arcs[v0][v] < min){
                        min = arcs[v0][v];
                        flag = v;
                    }
                }
            }
            cout << flag << " ";
            final[flag] = true;
            for (int v = 0; v < N; v++){
                if (!final[v] && (arcs[v0][v] > arcs[v0][flag] + arcs[flag][v])){
                    arcs[v0][v] = arcs[v0][flag] + arcs[flag][v];
                }
            }
        }
        cout << endl;
        return arcs[v0][N - 1];
    }
    int main(){
        int shortest_len=dijstera();
        cout << shortest_len << endl;
        return 0;
    }

    运行结果:
    这里写图片描述

    代码二:

    #include <iostream>
    #include <string>
    using namespace std;
    #define MAX 100000
    #define N 6
    #define v0 0
    int arcs[N][N] = {
        MAX,3,MAX,1,MAX,MAX,
        MAX,MAX,1,MAX,MAX,MAX,
        MAX,MAX,MAX,MAX,1,MAX,
        MAX,MAX,MAX,MAX,1,3,
        MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,1,
        MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX
    };
    bool final[N];
    
    int dijstera(){
        /*for (int i = 0; i < N; i++){
            if (i == 0){
                final[i] = true;
            }
            else{
                final[i] = false;
            }
            final[i] = false;
        }*/
        for (int i = 0; i < N; i++){
            int min = MAX;
            int flag = 0;
            for (int v = 0; v < N; v++){
                if (!final[v]){
                    if (arcs[v0][v] < min){
                        min = arcs[v0][v];
                        flag = v;
                    }
                }
            }
            cout << flag << " ";
            final[flag] = true;
            for (int v = 0; v < N; v++){
                if (!final[v] && (arcs[v0][v] > arcs[v0][flag] + arcs[flag][v])){
                    arcs[v0][v] = arcs[v0][flag] + arcs[flag][v];
                }
            }
        }
        cout << endl;
        return arcs[v0][N - 1];
    }
    int main(){
        int shortest_len=dijstera();
        cout << shortest_len << endl;
        return 0;
    }

    运行结果:
    这里写图片描述
    注意,代码二中的运行结果并没有达到我们预期的设计思路,因此我们可以进行代码的相关修改哈!

    PS:
    各位可以注意一下代码一和代码二输出的结果,观察其中的结果然后分析其为什么给出的答案不一致,然后可以思考一下如何解决这种问题,提示,解决问题的方法在上面代码中已经给出来了,希望大家仔细查看代码啦!!!

    展开全文
  • 一、动态规划求解问题的思路 在《算法导论》上,动态规划求解过程主要分为如下的四步:描述最优解的结构递归定义最优解的值按自底向上的方式计算最优解的值由计算出的结果构造一个最优解 在利用动态规划求解的...

    一、动态规划求解问题的思路

        在《算法导论》上,动态规划的求解过程主要分为如下的四步:
    • 描述最优解的结构
    • 递归定义最优解的值
    • 按自底向上的方式计算最优解的值
    • 由计算出的结果构造一个最优解
        在利用动态规划求解的过程中值得注意的就是是否包含最优子结构,简单来讲就是一个问题的最优解是不是包含着子问题的最优解。利用求解子问题的最优解最后得到整个问题的最优解,这是利用动态规划求解问题的基本前提。

    二、最短路径问题

        现有一张地图,各结点代表城市,两结点间连线代表道路,线上数字表示城市间的距离。如图1所示,试找出从结点A到结点E的最短距离。

    图 1

    三、利用动态规划求解最短路径问题

        在解决这个问题的过程中,我其实是在尝试着使用不同的工具,首先我想对这种图处理,我使用了Gephi,Gephi是我在学习复杂网络的时候学会的一个工具,这个工具可以很方便的处理网络数据,能够动态的生成图的结构,下面是我用Gephi画出的图:
    图 2
        Gephi的另一个比较重要的工具就是可以在生成图的过程中,将图的数据导出,导出的数据可以方便的使用。
        还是重点说说我是怎么利用动态规划的思想去求解这样的最短路径问题的:

    1、描述最优解的结构

       要使得从0到10的距离最短,令为到第个节点的最短距离,则,用同样的方法可以求得等。

    2、递归定义最优解的值


    其中表示与边有连接的节点,而且

    3、按自底向上的方式计算每个节点的最优值

       此时我们就得利用递归公式分别求解,这样最终便能得到最终的解。

       结果为:


    JAVA实现:
    package org.algorithm.dynamicprogramming;
    
    import java.io.BufferedReader;
    import java.io.File;
    import java.io.FileNotFoundException;
    import java.io.FileReader;
    import java.io.IOException;
    import java.io.Reader;
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Iterator;
    import java.util.List;
    import java.util.Stack;
    
    /**
     * 利用动态规划求解最短路径问题
     * 
     * @author dell
     * 
     */
    
    public class CalMinDistance {
    	// 计算最短的距离
    	public static int[] calMinDistance(int distance[][]) {
    		int dist[] = new int[distance.length];
    		dist[0] = 0;
    		for (int i = 1; i < distance.length; i++) {
    			int k = Integer.MAX_VALUE;
    			for (int j = 0; j < i; j++) {
    				if (distance[j][i] != 0) {
    					if ((dist[j] + distance[j][i]) < k) {
    						k = dist[j] + distance[j][i];
    					}
    				}
    			}
    			dist[i] = k;
    		}
    		return dist;
    	}
    
    	// 计算路径
    	public static String calTheRoute(int distance[][], int dist[]) {
    		Stack<Integer> st = new Stack<Integer>();
    		StringBuffer buf = new StringBuffer();
    		int j = distance.length - 1;
    		st.add(j);// 将尾插入
    		while (j > 0) {
    			// int num = 0;
    			for (int i = 0; i < j; i++) {
    				if (distance[i][j] != 0) {
    					// num++;
    					if (dist[j] - distance[i][j] == dist[i]) {
    						st.add(i);
    					}
    				}
    			}
    			j = st.peek();
    		}
    		while (!st.empty()) {
    			buf.append(st.pop()).append("-->");
    		}
    		return buf.toString();
    	}
    
    	// 读取文件
    	@SuppressWarnings("resource")
    	public static int[][] readTheFile(File f) {
    		Reader input = null;
    		try {
    			input = new FileReader(f);
    		} catch (FileNotFoundException e) {
    			// TODO Auto-generated catch block
    			e.printStackTrace();
    		}
    		BufferedReader buf = null;
    		buf = new BufferedReader(input);
    		List<String> list = new ArrayList<String>();
    		try {
    			String str = buf.readLine();
    			while (str != null) {
    				list.add(str);
    				str = buf.readLine();
    			}
    		} catch (IOException e) {
    			// TODO Auto-generated catch block
    			e.printStackTrace();
    		}
    
    		Iterator<String> it = list.iterator();
    		int distance[][] = new int[11][11];
    		while (it.hasNext()) {
    			String str1[] = it.next().split(",");
    			int i = Integer.parseInt(str1[0]);
    			int j = Integer.parseInt(str1[1]);
    			distance[i - 1][j - 1] = Integer.parseInt(str1[2]);
    		}
    		return distance;
    
    	}
    
    	public static void main(String args[]) {
    		// 读文件
    		File f = new File("D:" + File.separator + "distance_1.csv");
    		int distance[][] = readTheFile(f);
    		int dist[] = calMinDistance(distance);
    		System.out.println("最短路径长度为:" + dist[distance.length - 1]);
    		System.out.println("最短路径为:" + calTheRoute(distance, dist));
    	}
    }
    


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  • 想了解Floyd算法的读者可以参考动态规划求解全源最短路径中的应用(JAVA)--Floyd算法单源最短路径问题是对于加权连通图来说,我们给定一个起点,求出它到其他顶点之间的一系列最短路径。这个问题不同于从一个起点...

    最短路径问题最经典的算法就是Dijkstra算法,虽然不如Floyd算法能够求全源的最短路径,但是在效率上明显强于Floyd算法。

    想了解Floyd算法的读者可以参考动态规划在求解全源最短路径中的应用(JAVA)--Floyd算法

    单源最短路径问题是对于加权连通图来说,我们给定一个起点,求出它到其他顶点之间的一系列最短路径。这个问题不同于从一个起点出发访问其他所有顶点的问题(TSP问题),这种问题所求的一组路径都是从起点出发通向图中的一个不同顶点。这些路径中可能存在公共边。

    Dijkstra算法和Prim算法的用法比较相似,二者都是从顶点集中选择一个顶点来构造树,但是解决的问题是不同的。Dijkstra算法每次比较的是路径的总长度,每次要把权重相加。而Prim算法则直接比较权重。

    以下图的例子来描述Dijkstra算法的过程:


    Input:

    5 7
    1 2 3
    1 4 7
    2 4 2
    2 3 4
    3 4 5
    3 5 6
    4 5 4

    Output:

    0 3 7 5 9 

    完整代码如下:

    import java.util.Scanner;
    
    public class Main {
        static int[][] e = new int[10][10];
        static int[] book = new int[10];
        static int[] dis = new int[10];
        static int n, m;
        static int min = 99999999;
        static int mark = 0;
        static Scanner input = new Scanner(System.in);
    
        public static void main(String[] args) {
            n = input.nextInt();
            m = input.nextInt();
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    if (i == j) {
                        e[i][j] = 0;
                    } else {
                        e[i][j] = 99999999;
                    }
                }
            }
            for (int i = 1; i <= m; i++) {
                int a = input.nextInt();
                int b = input.nextInt();
                int c = input.nextInt();
                e[a][b] = c;
                e[b][a] = c;
            }
            /**
             * 1到其他各点的距离
             * */
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                dis[i] = e[1][i];
            }
            book[1] = 1;
    
            dijkstra();
    
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                System.out.print(dis[i] + " ");
            }
        }
        public static void dijkstra() {
            /**
             * 遍历n-1次,每次找出一个 1到某个点的最短距离
             * */
            for (int i = 1; i <= n-1; i++) {
                min = 99999999;
                /**
                 * 选出离1号点最近的顶点
                 * */
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    if (book[j] == 0 && dis[j] < min) {
                        min = dis[j];
                        mark = j;
                    }
                }
                book[mark] = 1;
                /**
                 * 松弛
                 * */
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    if (e[mark][j] < 99999999) {
                        if (dis[j] > dis[mark] + e[mark][j]) {
                            dis[j] = dis[mark] + e[mark][j];
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

    时间复杂度:O(nlogn),当然如果能够采用邻接表存储数据会更快。

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  • 参考图论算法(二)-最短路径的Dijkstra [ 单源 ] 和Floyd[ 多源 ] 解法(JAVA )这种算法也叫Floyd-Warshell算法,虽然和Warshell算法名字相近,算法思想也相近,但确实是两种算法。对于一个带权图(无向或有向),...
  • Floyd算法又称为插点法,是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径算法,与Dijkstra算法类似。 如果要让任意两点之间的路程变短,只能引入第三个点(顶点k),并通过这个顶点k中转即a->k-...
  • 最短路径问题是一个多步决策问题,所以可以先考虑用动态规划求解。如果我们用OPT(i,j)表示点i到点j的最短路径,如果图中存在负值的边、负值环路,就转移方程会出现类似陷入循环等问题,而且转移方程无法与明确的d...
  • Floyd算法最短路径——Java

    千次阅读 2018-04-22 10:21:52
    前面讲述了利用贪心算法求解最短路径的两种算法,分别是BFS以及Dijkstra算法。接下来要介绍的这种是一种动态规划的算法——弗洛伊德算法。 用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从...
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  • 三角形最短路径问题 问题描述:给出如图所示的...该问题可以考虑采用动态规划算法解决。 动态规划是针对一类求最优解的问题的算法, 其核心是将一个问题分解成为若干个子问题(这里对应下文的子问题使用条件)...
  • Floyd算法求解多源最短路径)(动态规划思想) 实现代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int INF = 0xFFFF; struct Node{ int num; int dist; bool operator < (const Node&...
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  • Java动态规划实现最短路径问题

    万次阅读 多人点赞 2019-07-20 21:07:45
    问题描述 给定一个加权连通图(无向的或有向的),要求找出从每个定点到其他所有定点...动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解...
  • 这时候,就需要使用其他的算法求解最短路径,Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼(RichardBellman,动态规划的提出者)和小莱斯特•福特(LesterFord)发...
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  •  Floyd算法的基本思想如下:从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能,1是直接从A到B,2是从A经过若干个节点X到B。所以,我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离,对于每一个节点X,我们检查Dis(AX)...
  • 请采用动态规划算法编程以求解如下图的最短路径问题: 步骤描述 1、标明编号 2、创建数组a存储分条路径的长度,f为每条路径分别的长度,c存储最短的路径位置,最后比较f的大小,输出min和各c的值。 运行结果截图 ...
  • 本文以最短路径问题为例,在给出佛洛伊德算法的基础上,设计了求解算法的计算程序,这样可大大提 高最短路径计算的效率。 [关键词]最短路径;动态规划;程序设计
  • 分类: 算法2013-01-12 15:20 3632人阅读 评论(1) 收藏 举报 ...动态规划斐波那契数列最短... 1、动态规划算法:  动态规划:通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常
  • Floyd算法是求解最短路径动态规划算法
  • Djkstra算法求解单源(起始点固定)最短路径问题的一种经典方法,它采用了贪心策略(其实我觉得也是动态规划),可以求得图中的一个点到其他所有点的距离,计算复杂度是 O(E|V|),如果采用最小堆优化可以达到O(ElogV )...
  • Dijkstra最短路径算法

    2018-12-18 20:04:47
    Dijkstra最短路径算法是一个动态规划算法,用于...下面是python实现节点1到其他各个节点的最短路径动态规划算法体现在当前已经确定节点的最短路径可用于后面未确定节点的最短路径的基础,将大问题拆分成求解最优...
  • 最短路径算法

    2017-09-26 20:42:33
    求解这一类问题的方法有很 多,包括 Floyd 算法、Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法、动态规划算法和智能优化算法。其中较为常用的 是 Floyd 算法、Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法。本文将简单介绍这三种最短...
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  • 动态规划算法+理论) ★最短路径

    千次阅读 2016-05-26 16:30:18
    求解最优化问题可以用动态规划 动态规划下笔写代码前先去顶递推式 直接看实例: 一、币值最大化问题 给定一排n个硬币,其面值均为正整数c1,c2,c3……cn,这些整数并不一定两两不同,请问如何选择硬币,使得...

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动态规划算法求解最短路径