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  • 本文实例讲述了Python基于Floyd算法求解最短路径距离问题。分享给大家供大家参考,具体如下: Floyd算法和Dijkstra算法,相信大家都不陌生,在最短路径距离的求解中应该算得上是最为基础和经典的两个算法了,今天就...
  • 免疫算法求解最短路径问题2,已经程序仿真验证通过。
  • 关于动态规划最短路径求解的matlab学习例子
  • 给定先把图 G(V,E),用动态规划算法求一条从起点到终点的路径,使这条路径上经过的所 有边的权重之和最小。 2. 算法描述 2.1 动态规划描述 动态规划是一种用来解决一类最优化问题的算法思想,将一个复杂的问题...

    1. 问题描述

    给定先把图 G(V,E),用动态规划的算法求一条从起点到终点的路径,使这条路径上经过的所 有边的权重之和最小。
    在这里插入图片描述

    2. 算法描述

    2.1 动态规划描述

    动态规划是一种用来解决一类最优化问题的算法思想,将一个复杂的问题分解成若干个子问 题,通过综合子问题的最优解来得到原问题的最优解。动态规划会将每个求解过的子问题的 解记录下来,这样下一次碰到同样的子问题时,就可以直接使用之前记录的结果。
    在动态规划中,我们通常使用两种办法来求解:递推的自底向上办法(Bottom-up)递归的 自顶向下办法(Top-down),在本题我们采用递推的自底向上办法。
    在最短路径问题中,我们首先要找到路径图中的拓扑排序顺序,作为递推的顺序。因为只有 知道当前节点所有入度节点的路径最大值,我们才能知道该节点的状态最优解。

    2.2 拓扑排序

    下面是拓扑排序的算法:

    1. 定义一个队列 Q,并把所有入度为 0 的节点加入序列。
    2. 取队列首节点,输出。然后删去所有从它出发的边。并另这些边到达顶点的入度减 1,如
      果某个顶点的入度减为 0,则将其加入队列。
    3. 反复进行步骤 2,直到队列为空。

    当前节点 0 的入度为 0,将该节点加入序列中。用 S 记录下拓扑排序的顺序。S = [0]
    在这里插入图片描述
    删除从节点 0 出发的所有边
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    当前入度为 0 的节点为节点 1 和节点 6,将这两个节点加入序列并依次执行步骤 2 操作。 S=[0,6,1]
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在当前的路径图中,节点 3 的入度为 0,加入队列,并执行步骤 2。S=[0,1,6,3]
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    将顶点 2 加入序列,并执行步骤 2。S=[0,1,6,3,2]
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    当前顶点 5 是入度为 0 的顶点,将其加入队列并执行步骤 2。S=[0,1,6,3,2,5]
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    顶点 4 是入度为 0 的节点,将其加入队列,并执行步骤 2。S=[0,1,6,3,2,5]
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    到达节点 7,将终点加入 S,S=[0,1,6,3,2,5,7],我们得到了拓扑排序的顺序

    2.3 递推(Bottom-up Approach)

    在得到拓扑排序 S=[0,1,6,3,2,5,7]后,我们使用动态规划的递推方法来得到该路径图从起点 到终点的最短路径。
    在当前节点中考虑该节点所有入度的情况,比较上一跳最短路径加上上一跳到该节点的路径 长度的和与其他节点指向该节点的最短路径的长的大小。我们可以得到下面的表格。
    在这里插入图片描述

    3. 实验代码

    // An highlighted block
    import copy 
    #拓扑排序
    def topological_order(paths,indegree): 
    	tempindegree = copy.deepcopy(indegree) 
    	order = [] 
    	for i in range(len(tempindegree)): 
    		if tempindegree[i] == 0: 
    			order.append(i) 
    	num = 1 
    	finalorder = [] 
    	while len(order) != 0: 
    		u = order.pop() 
    		finalorder.append(u) 
    		if num == len(tempindegree): 
    			print("拓扑排序:",finalorder) 
    			return finalorder 
    	
    		for j in range(len(paths)): 
    			if paths[j][0] == u: 
    				v = paths[j][1] 
    				tempindegree[v] = tempindegree[v] - 1 
    				if tempindegree[v] == 0: 
    					order.append(v) 
    					num = num + 1 
    					#print(order)
    
    if __name__ == "__main__": 
    	paths = [ 
    		#用邻接表存储下这张表 
    		[0,1,5], 
    		[0,6,3], 
    		[1,2,2], 
    		[1,3,1], 
    		[2,4,7], 
    		[2,5,3], 
    		[3,2,1], 
    		[3,4,2], 
    		[3,5,1], 
    		[4,7,1], 
    		[5,4,2], 
    		[5,7,5], 
    		[6,2,2] ]
    	
    	#存储每个节点的入度 
    	indegree = [0,1,2,1,3,2,1,2]
    	finalorder = topological_order(paths,indegree) 
    	#每个节点当前的最短路径长度和上一跳的节点 
    	length = [0,0,0,0,0,0,0,0] 
    	lastnode = [-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1]
    	for i in finalorder: 
    		for j in range(len(paths)): 
    			if i == paths[j][1]: 
    				if length[i] != 0 and length[i] < (length[paths[j][0]] + paths[j][2]): 
    					continue 
    				else:
    					#print("节点:",i,"path:",length[paths[j][0]],",", paths[j][2]) 
    					length[i] = length[paths[j][0]] + paths[j][2] 
    					lastnode[i] = paths[j][0] 
    	print("节点当前走过的最短路径",length) 
    	print("上一跳节点",lastnode) 
    	shortestpath = [] 
    	index = len(lastnode) - 1 
    	while index != 0: 
    		shortestpath.append(index) 
    		index = lastnode[index] 
    	shortestpath.append(0) 
    	shortestpath.reverse() 
    	print("最短路径的长度:",length[-1]) 
    	print("最短路径:",shortestpath)
    

    4. 实验结果

    成功运行代码后,我们得到了下面的实验结果。
    在这里插入图片描述
    这与我们的推论相符,实验成功。 在该问题中的最优子结构为每个节点相应的最短路径,使用拓扑排序我们肯定可以得到当前 节点所有入度情况并进行分析比较。通过记录下当前问题的最优子结构,我们可以避免重叠 问题的重复求解,这种动态规划的思想很好地提高了算法的效率。

    参考和致谢

    [1]胡凡,曾磊.算法笔记[M].机械工业出版社:北京,2016.7:390-392.
    [2]【MIT 课程】动态规划 I-最短路径算法 https://www.bilibili.com/video/BV1Y441157H7
    [3]漫画:什么是动态规划?(整合版) https://www.sohu.com/a/149075950_684445

    展开全文
  • 文章应用遗传算法求解图论 中的最短路径问题,并提出了该算法在解决这一问题 中的一些处理方法·使用该算法可以很快地求出一批最短路径集。文中最后给出了算法运行结果及总结。
  • 重点掌握:动态规划求解每对结点之间的最短路径、0/1背包问题。 如果求任意两点之间的最短路径,两点之间可以直接到达但却不是最短的路径,要让任意两点(例如从顶点a点到顶点b)之间的路程变短,只能引入第三个点...
  • 算法 动态规划最短路径

    千次阅读 2020-05-24 09:53:37
    0-1背包 动态规划

    动态规划:即将要求解的问题分解成多个相互重叠的子问题,根据子问题找到递推关系,即动态规划函数,然后将各子问题的解填入表中,下次就可以直接查表得到子问题的解啦。

    动态规划求最短路径问题:

    求解从顶点0到顶点9的最短路径,如图:

    图一

    从顶点0到顶点9的最短路径可以分解为从从起点到顶点9的前一个顶点的最短距离+该顶点到9的距离。这样,从起点到每个顶点的距离都可以分解为起点到该顶点的前一个点的最短距离+前一个点到该点的距离。

    用 d(i) 表示到顶点i的最短路径,c(i,j) 表示从顶点 i 到 j 的路径。

    则 d(i) = d(i-1) + c(i-1,i)

    注:这里 i-1 表示顶点 i 的前一个顶点,不一定有 (i-1)+1=i,例如该图中顶点9的前一个顶点有两个:7和8,取7还是8,取决于起点到7和8的距离谁更短。这样每一个顶点都可以分解为这样的子问题。

    代码如下:

    #include<iostream>
    using namespace std;
    #include<iomanip>
    #define N 10 
    int d[N];//最短距离
    int s[N];//最短路径经过的顶点
    int Rote[N][N] = {  //原路径图
     {0,4,1,0,0,0,0,0,0,0},
     {0,0,0,0,9,8,0,0,0,0},
     {0,0,0,1,6,0,8,0,0,0},
     {0,0,0,0,0,4,7,0,0,0},
     {0,0,0,0,0,0,0,5,6,0},
     {0,0,0,0,0,0,0,8,6,0},
     {0,0,0,0,0,0,0,0,5,0},
     {0,0,0,0,0,0,0,0,0,7},
     {0,0,0,0,0,0,0,0,0,3},
     {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
    };
    int getPeak(int peak,int p[]) {
     //获取可达该顶点的个数及顶点
     int pNum = 0;//记录可达该顶点的个数
     for(int i=0;i<N;i++)
      if(Rote[i][peak]>0)
       p[pNum++] = i;//记录可达该顶点的顶点
     return pNum;
    }
    
    int getLen(int x,int y) {//获取d单路径长
     return Rote[x][y];
    }
    
    void getPrePeak(int peak) {
     //获取前一个顶点
     if(peak == 0)
      return;
     int pNum = 0;
     int p[N];//存放顶点的数组
     pNum = getPeak(peak,p);
     int x =0;
     for(int i=0;i<pNum;i++) {
      x = p[i];
      if((d[x] + getLen(x,peak)) == d[peak]) {
       s[x] = 1;
       break;
      }
     }
     getPrePeak(x);
    }
    
    void table() {
     d[0] = 0;
     for(int i=1;i<N;i++) {
      int min = 999;
      int p[N];
      int pNum = 0;
      pNum = getPeak(i,p);
      for(int j=0;j<pNum;j++) {
       int t = d[p[j]] + getLen(p[j],i);
       min = t < min ? t : min;
      }
      d[i] = min;
     }
     getPrePeak(9);
    }
    
    int main() {
     table();
     cout<<endl;
     cout<<"顶点:"<<endl;
     for(int i=0;i<N;i++) {
      cout<<setw(4)<<i<<" ";
     }
     cout<<endl;
     cout<<"到该顶点的最短距离:"<<endl;
     for(int i=0;i<N;i++) {
      cout<<setw(4)<<d[i]<<" ";
     }
     cout<<endl;
     cout<<"到该顶点之前经过的顶点:"<<endl;
     for(int i=0;i<N;i++) {
      if(s[i] == 1)
       cout<<setw(4)<<i<<" ";
     }
     getchar();
     return 0;
    }

    运行结果如下:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 动态规划解决最短路径问题

    千次阅读 2020-08-15 16:00:30
    3.6 最短路径 3.6.1 问题描述 最短路径问题(Shortest path ...A到C2的最短路径,我们可以看出,B1和B2都可以到达C2,其中经过B1的最短路径为4+3=7,经过B2的最短路径为5+8=13,所以A到C2的最短路径为7,前序节点为

    3.6 最短路径

    3.6.1 问题描述

    最短路径问题(Shortest path problem):再不回退的前提下,找到A到F的最短路径
    在这里插入图片描述

    3.6.2 算法思路

    A到B1的最短路径为4,前序节点为A;
    A到B2的最短路径为5,前序节点为A;
    A到C1的最短路径,我们可以看出,只有B1可以到达C1,所以最短路径为4+2=6,前序节点为B1;
    A到C2的最短路径,我们可以看出,B1和B2都可以到达C2,其中经过B1的最短路径为4+3=7,经过B2的最短路径为5+8=13,所以A到C2的最短路径为7,前序节点为B1。
    依次类推,得出下面的信息。
    在这里插入图片描述

    动态规划的思想:

    • 问题分阶段:我们把求A到F最短路径这个大问题,分为了一个个小问题
    • 阶段有依赖:每一个节点到A的距离,都依赖于它的前序节点到A的距离
    • 依赖有重叠:因为记录了每个节点的前序节点和最短路径,这样就可以不用再重复计算前序节点之前的路径。

    3.6.3 代码实现

    public static LinkedList<String> getByDP(HashMap<String, LinkedList<String>> routes, HashMap<String, LinkedList<Integer>> distances,	String origin, String destination){
    	HashMap<String, Integer> short_distance = new HashMap<String, Integer>();//存该点到起点的最短距离
    	HashMap<String, String> short_routes = new HashMap<String, String>();//到起点的最点距离的前序节点
    	short_distance.put(origin, 0);
    	Queue<String> queue = new LinkedList<String>();
    	queue.add(origin);
    	/*核心*/
    	while(queue.peek() != null) {
    		String node = queue.remove();
    		if (routes.get(node) != null) {
    			queue.addAll(routes.get(node));//取得后一列的所有元素
    			for(int i = 0; i < routes.get(node).size(); i++) {
    				String tnode = routes.get(node).get(i);
    				int dis = distances.get(node).get(i);
    				if (!short_distance.containsKey(tnode)) {
    					short_routes.put(tnode, node);
    					short_distance.put(tnode, short_distance.get(node) + dis);
    				}else {
    					if (short_distance.get(node) + dis < short_distance.get(tnode)) {
    						short_distance.put(tnode, short_distance.get(node) + dis);
    						short_routes.put(tnode, node);
    					}
    				}
    			}
    		}
    	}
    	LinkedList<String> route = new LinkedList<>();
    	route.add(destination);
    	/*核心*/
    	while (short_routes.get(route.peekLast()) != origin) {
    		route.add(short_routes.get(route.peekLast()));//找出最短路径
    	}
    	route.add(origin);		
    	return route;
    }
    

    3.6.4 时间复杂度

    Θ(m2)

    展开全文
  • 动态规划最短路径(Floyd算法

    千次阅读 2021-01-13 21:42:31
    动态规划最短路径(Floyd算法) 问题概述 ​ 在一无负权环的图中,给定起点startVertex和重点endVertex,求两点之间最短路径path的长度length。 大致思路 在此之前,我们已经学会了使用Dijkstra算法(一种贪心算法...

    动态规划求最短路径(Floyd算法)

    问题概述

    ​ 在一无负权环的图中,给定起点startVertex和重点endVertex,求两点之间最短路径path的长度length。

    大致思路

    在此之前,我们已经学会了使用Dijkstra算法(一种贪心算法)来解决最短路径问题,然而在动态规划的框架下我们需要将问题“逐步解决”。

    1. 假设我们我们已经得知,在允许途径v1,v2,v3…vn“中转”的前提下,各起点至各终点最短路径的长度。
    2. 在1的基础上,继续求解在允许途径v1,v2,v3…vn+1“中转”的前提下,各起点至各终点最短路径的长度。

    实现方式

    ​ 我们使用距离矩阵来记录这些长度。由上可知,我们拿到的第一个矩阵应当是该图的邻接矩阵,其中不相邻的两点对应位置应填上正无穷。并不断地增加“中转点”的范围,不断地对这个矩阵进行更新。当“中转点”集合等于点的全集时,我们就得到了记录从各点到各点的最短路径长。

    ​ 更新操作:

    ​ 当我们把在矩阵中对应索引为k的点新加入“中转点”集合时,需对该矩阵的每一个点进行以下操作:

    for i in range(matrixa.shape[0]):
        for j in range(matrixa.shape[1]):
            if matrixa[i][j]>matrixa[i][k]+matrixa[j][k]:
                matrixa[i][j]=matrixa[i][k]+matrixa[j][k]
    

    ​ 通过三层循环,我们就可以实现这个算法。

    路径的复现

    ​ 如上所述,该算法的时间复杂度为O(n^3),随着计算的推进,路径可能会有极大的变化,所以每次发现一条新的最短路径就将其单独保存很明显是不现实的。

    ​ 下面引入一个命题:

    ​ 已知点sVer至eVer的最短路径path0经过mVer。那么在这一路径中由自sVer至mVer的最短路径和自mVer至eVer的最短路径拼接而成。

    ​ 该命题的证明也很简单,如果两段路径不是各自的最短路径,那么两段路径就可以找出更短的,进而可得当前所谓的自sVer至eVer的“最短路径”并不最短。

    ​ 在上述命题已然成立的情况下,我们只需要得到自sVer至eVer最短路径中的某个mVer即可使用分治算法复原出整条路径。

    复现路径实现

    路径的记录

    def findShortestPath(self,start,end):
            if end==start:
                return str(start)
            if self.path[start][end]==start:
                return str(start)+'->'+str(end)
            else:
                middle=self.path[start][end]
                return self.findShortestPath(start,middle)[:-1]+self.findShortestPath(middle,end)
    

    总体而言,就是当邻接矩阵matrixa需要被k更新时,matrixb相同位置上记录为k。

    需要注意的是,在初始化matrixm时,要将在matrixa相同位置上不为正无穷的位置设为对应的起点。即ver1与ver2直接相邻,则matrix[ver1][ver2]=ver1,其余位置一律设为None,表示尚无通路。

    路径的复现

    def showPath(ver1,ver2):
        if ver1==ver2:
            
        ver3=matrixm[ver1][ver2]
        if ver3==ver1:
            return str(ver1)+'->'+str(ver2)
        else:
            return merge(showPath(ver1,ver3),showPath(ver3,ver2))
    def merge(path1,path2):
        path3=path1[:-1]+path2
        return path3
    

    代码实现

    graph.py

    class graph:
        def __init__(self,size):
    
            self.size=size
            self.paths=[]
        #添加新边
        def adddge(self,start,end,weight):
            self.paths.append((start,end,weight))
        
        def addEdges(self,paths):
            self.paths.extend(paths)
        def floyd(self):
            #记录两点之间最短路径的长度
            self.dis = None
            #记录连点之间最短路径的某个点
            self.path = None
            #用'M'表示距离无穷大
            self.dis=[['M' for i in range(self.size)] for j in range(self.size)]
            #用'N'表示两点不连通
            self.path = [['N' for i in range(self.size)] for j in range(self.size)]
            for i in range(self.size):
                self.dis[i][i]=0
                self.path[i][i]=i
            for i in self.paths:
                self.dis[i[0]][i[1]]=i[2]
                self.path[i[0]][i[1]]=i[0]
            for k in range(self.size):
                for i in range(self.size):
                    for j in range(self.size):
                        if( self.dis[i][k]!='M' and self.dis[k][j]!='M'):
                            if(self.dis[i][j]=='M' or self.dis[i][j]>self.dis[i][k]+self.dis[k][j]):
                                self.dis[i][j]=self.dis[i][k]+self.dis[k][j]
                                self.path[i][j]=k
            for i in self.dis:
                print(i)
            print('\n\n\n\n')
            for i in self.path:
                print(i)
        def findShortestPath(self,start,end):
            if end==start:
                return str(start)
            if self.path[start][end]==start:
                return str(start)+'->'+str(end)
            else:
                middle=self.path[start][end]
                return self.findShortestPath(start,middle)[:-1]+self.findShortestPath(middle,end)
    

    测试

    测试用图

    在这里插入图片描述

    要求得到点0到点3的最短路径。

    我们可以根据这张图,直观的看到自0到3的最短路径为“0->2->4->3”

    测试的代码实现

    test.py

    from graph import *
    obj=graph(5)
    obj.addPath(0,1,6)
    obj.addPath(0,2,4)
    obj.addPath(0,3,11)
    obj.addPath(1,3,1)
    obj.addPath(2,3,6)
    obj.addPath(2,4,1)
    obj.addPath(4,3,1)
    obj.floyd()
    print(obj.findShortestPath(0,3))
    

    结果

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    ,1)
    obj.addPath(2,3,6)
    obj.addPath(2,4,1)
    obj.addPath(4,3,1)
    obj.floyd()
    print(obj.findShortestPath(0,3))

    
    结果
    
    ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/2021011321421131.PNG?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzgyNTY3NQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center)
    
    
    由上可得,我们的实现是成功的。
    
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  • 动态规划-最短路径

    2019-12-08 21:53:10
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空空如也

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动态规划算法求解最短路径