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  • 问题描述: 现有若干重量和价值各不相同物品以及1个固定容量背包,可以任意选择多个物品放入背包,如何让背包里装入物品总价值最大?...2)解除注释,观察动态规划算法中填表详情。 温馨提示 关...

    问题描述:

    现有若干重量和价值各不相同的物品以及1个固定容量的背包,可以任意选择多个物品放入背包,如何让背包里装入的物品总价值最大?假设物品从0开始编号,输出在不超过背包容量的前提下放入背包能够使得物品总价值最大的物品的编号。

    参考代码:

    运行结果:

    1)把输出填表结果的代码注释,验证三种方法的正确性。

    2)解除注释,观察动态规划算法中填表详情。

     

     

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  • 动态规划算法例题及解析

    千次阅读 2013-12-15 21:05:46
    最优子结构性质:这是可用动态规划算法求解的前提条件 (2)  重叠子问题:子问题是否具有重叠性会影响到动态规划算法的效率   1.字符串转换 设A和AB是两个字符串,要用最少的字符操作,将字符串A转换为字符...

    在此再次简要描述一下动态规划算法的基本要素:

    (1)       最优子结构性质:这是可用动态规划算法求解的前提条件

    (2)       重叠子问题:子问题是否具有重叠性会影响到动态规划算法的效率

     

    1.字符串转换

    AB是两个字符串,要用最少的字符操作,将字符串A转换为字符串B,这里的操作限定为:

    1)删除一个字符;

    2)插入一个字符;

    3)将一个字符变成另一个字符。

    将字符串A转换成字符串B所用的最少操作数称为字符串AB的编辑距离,记为f(A, B),请设计算法求f(A, B)

    分析:设所给的两字符串分别为A=A[1..m]B=B[1..n]

    状态表示:考虑一般情形,即从字符子串A[1..i](按序)变换到字符子串B[1..j]的最少字符操作问题,设d(i, j)=f(A[1..i], B[1..j]),显然,2个单字符ab之间的编辑距离:当a!=b时,为f(a, b)=1;当a=b时,为f(a, b)=0,则原问题的解为f(m, n)

    最优子结构性质:设E=e[1] … e[k-1]e[k]k=d(i, j)为从字符串A[1..i]按序变换得到字符串B[1..j]的一个最少字符串操作序列(即d(i, j)的一个最优解),则最后一个操作e[k]必属于以下3种操作之一:

    1)将字符A[i]改为字符B[j](如果A[i]=B[j],则e[k]为空操作,不参加计数),此时E1=e[1]…e[k-1]d(i-1, j-1)的一个最优解;

    2)删除字符A[i],此时E1=e[1]…e[k-1]d(i-1, j)的一个最优解;

    3)插入字符B[j],此时E1=e[1]…e[k-1]d(i, j-1)的一个最优解。

    综上可见,该问题具有最优子结构性质,可建递归关系如下:

    d(i, j)=min{d(i-1, j-1)+f(A[i], B[j]), d(i-1, j)+1, d(i, j-1)+1}

    初始条件:d(i, 0)=i, i=0md(0, j)=j, j=0n

    问题的解为:d(m, n)

     

    2. 谁在我前面

    学校里有N(1<N<=50000)个学生,现在让他们站成一纵队,队伍中每个学生只能看见站在他前面的,且比他高的学生。求所有学生中,能看到的人数最多的个数M

    分析:对每个人X,记录他前面第一个比他高的人left[X],则对于每个人A,我们比较A(A-1),如果(A-1)A高,则(A-1)是第一个比他高的人。否则,我们找第一个比(A-1)高的人,即left[A-1],依次类推……

    计算left的代码如下,其中h为每个人的高度:

    for(int i=0; i<N; i++)
    
    {
    
         int j;
    
         for(j=i-1; (j>=0 && h[j]<=h[i]); j=left[j]);
    
         left[i] = j;
    
    }

     

    下面是实现的具体程序:

    #include<iostream>
    
     
    
    const int N = 53200;
    
    int h[N], left[N], see[N];
    
     
    
    int main()
    
    {
    
         int T, n, i;
    
         scanf("%d", &T);      //输入测试组数
    
         for(int t=0; t<T; t++)
    
         {
    
                  scanf("%d", &n);      //输入学生人数
    
                  for(i=0; i<n; i++)
    
                  {
    
                           scanf("%d", &h[i]);                     
    
                  }
    
                  int best = 0;
    
                  for(i=0; i<n; i++)
    
                  {
    
                           int j;
    
                           for(j=i-1; (j>=0 && h[j]<=h[i]); j=left[j]);
    
                           left[i] = j;
    
                           if(-1 == j)
    
                           {
    
                                     see[i] = 0;
    
                           }
    
                           else
    
                           {
    
                                     see[i] = see[j] + 1;
    
                           }
    
                           best = best>see[i]?best:see[i];
    
                  }
    
                  printf("%d\n", best);
    
         }
    
    return 0;
    
    }

     

    3. 求表达式的最大值

    设表达式中只有 + * 两种运算符号,试设计出算法来求解对于任意给定的表达式的最优加括号方式,使表达式的值最大。如表达式 2 + 5 * 6,在不加括号的条件下,运算结果为 32,可以这样对它加括号(2 + 5 * 6,则运算结果为 42

    分析:显然对于此题,加括号的作用是改变运算的顺序,所以就不用考虑 + * 号本身的运算优先级了,只需把精力放在表达式的分割上。可以看出,这个问题和著名的矩阵连乘问题是非常相似的。矩阵连乘问题的求解过程:设a[i .. j]表示 ij区间内所有矩阵相乘所需的最小数乘次数,则必有 a[i .. j] = a[i .. k] * a[k+1 .. j] (i <= k < j),因为矩阵的数乘次数只与它们的行列数有关。而题的求解思路和矩阵连乘的求解思路是一样的,也是从部分解推导出整个运算的结果。

    注意两个负数相乘的结果是正数,故它们可能大于只用正数求解的结果,但是只有做运算的两负数都尽可能的小,才能使结果尽可能的大。为了解决表达式中有负数的问题,需要多加一个 dp矩阵,用于保存最大值和最小值。

    为了便于描述,作如下定义:

    max(a, b, …) ,求a, b, …中的最大值

    mix(a, b, …) ,求a, b, …中的最小值

    oper(a, b, k),对a, b进行位于数组中下标为 k 的位置存放的运算符的运算。

    max[i][j]mix[i][j]分别为区间内的最大值、最小值。

    r1 = max(oper(max[i][k], max[k+1][j], k));

    r2 = max(oper(min[i][k], min[k+1][j], k));

    r3 = max(oper(max[i][k], min[k+1][j], k));

    r4 = max(oper(min[i][k], max[k+1][j], k));

    则,max[i][j] = max(r1, r2, r3, r4);

     

    r1 = min(oper(max[i][k], max[k+1][j], k));

    r2 = min(oper(min[i][k], min[k+1][j], k));

    r3 = min(oper(max[i][k], min[k+1][j], k));

    r4 = min(oper(min[i][k], max[k+1][j], k));

    则,max[i][j] = min(r1, r2, r3, r4);

     

    实现程序如下:

    #include<cstdio>
    
    #include<cstring>
    
    #include<stdio.h>
    
    #define MAXN 1000000000
    
    int matrix[150][150][2] = {0};   //第三维中,0 代表 max, 1 代表 min
    
    int num[150];   //存放运算数
    
    char oper[150];        //存放运算符号
    
    int n;         //表达式中运算数的个数
    
     
    
    void init() //初始化矩阵
    
    {
    
             for(int i=1; i<=n; i++)
    
             {
    
                       for(int j=1; j<=n; j++)
    
                       {
    
                                matrix[i][j][0] = -MAXN;
    
                                matrix[i][j][1] = MAXN;
    
                       }
    
             }
    
             for(i=1; i<=n; i++)
    
             {
    
                       //因为matrix[i][i]表示的区间只有一个数,所以最大值等于其本身
    
                       matrix[i][i][0]   = matrix[i][i][1] = num[i];
    
             }
    
    }
    
     
    
    int getMin(int a, int b)
    
    {
    
             return a>b?b:a;
    
    }
    
    int getMax(int a, int b)
    
    {
    
             return a>b?a:b;
    
    }
    
    int getValue(int a, int b, int k)
    
    {
    
             if('+' == oper[k])
    
             {
    
                       return a+b;
    
             }
    
             else
    
             {
    
                       return a*b;
    
             }
    
    }
    
     
    
    void dp()
    
    {
    
             for(int i=1; i<n; i++)  //for1
    
             {
    
                       for(int j=1; j<n; j++)  //for1_1
    
                       {
    
                                int s=j, e=j+i;
    
                                int max=-MAXN, min=MAXN;
    
     
    
                                for(int k=s; k<e; k++)        //for1_1_1
    
                                {//穷举状态来源,只可能有 4 种情况
    
                                         int a = getValue(matrix[s][k][0], matrix[k+1][e][0], k);
    
                                         int b = getValue(matrix[s][k][1], matrix[k+1][e][1], k);
    
                                         int c = getValue(matrix[s][k][1], matrix[k+1][e][0], k);
    
                                         int d = getValue(matrix[s][k][0], matrix[k+1][e][1], k);
    
     
    
                                         max = getMax(max, getMax(getMax(a, b), getMax(c, d)));
    
                                         min = getMin(min, getMin(getMin(a, b), getMin(c, d)));
    
     
    
                                }//end_for1_1_1
    
     
    
                                //更新最大最小值
    
                                matrix[s][e][0] = max;
    
                                matrix[s][e][1] = min;
    
     
    
                       }//end_for1_1
    
     
    
             }//end_for1
    
     
    
    }//end_dp
    
     
    
    int main()
    
    {
    
             while(scanf("%d", &n) != EOF)
    
             {
    
                       for(int i=1; i<n; i++)
    
                       {
    
                                scanf("%d %c", num+i, &oper[i]);
    
                       }
    
                       scanf("%d", num+n);
    
     
    
                       init();
    
                       dp();
    
                       printf("%d\n", matrix[1][n][0]);
    
             }
    
             return 0;
    
    }

     

    为方便理解,给出以dp()函数为中心对算法的核心流程进行宏观描述的执行图如下:

    展开全文
  • 在《算法导论》上,动态规划的求解过程主要分为如下的四步:描述最优解的结构递归定义最优解的值按自底向上的方式计算最优解的值由计算出的结果构造一个最优解 在利用动态规划求解的过程中值得注意的就是是否包含最...

    一、动态规划求解问题的思路

        在《算法导论》上,动态规划的求解过程主要分为如下的四步:
    • 描述最优解的结构
    • 递归定义最优解的值
    • 按自底向上的方式计算最优解的值
    • 由计算出的结果构造一个最优解
        在利用动态规划求解的过程中值得注意的就是是否包含最优子结构,简单来讲就是一个问题的最优解是不是包含着子问题的最优解。利用求解子问题的最优解最后得到整个问题的最优解,这是利用动态规划求解问题的基本前提。

    二、最短路径问题

        现有一张地图,各结点代表城市,两结点间连线代表道路,线上数字表示城市间的距离。如图1所示,试找出从结点A到结点E的最短距离。

    图 1

    三、利用动态规划求解最短路径问题

        在解决这个问题的过程中,我其实是在尝试着使用不同的工具,首先我想对这种图处理,我使用了Gephi,Gephi是我在学习复杂网络的时候学会的一个工具,这个工具可以很方便的处理网络数据,能够动态的生成图的结构,下面是我用Gephi画出的图:
    图 2
        Gephi的另一个比较重要的工具就是可以在生成图的过程中,将图的数据导出,导出的数据可以方便的使用。
        还是重点说说我是怎么利用动态规划的思想去求解这样的最短路径问题的:

    1、描述最优解的结构

       要使得从0到10的距离最短,令为到第个节点的最短距离,则,用同样的方法可以求得等。

    2、递归定义最优解的值


    其中表示与边有连接的节点,而且

    3、按自底向上的方式计算每个节点的最优值

       此时我们就得利用递归公式分别求解,这样最终便能得到最终的解。

       结果为:


    JAVA实现:
    package org.algorithm.dynamicprogramming;
    
    import java.io.BufferedReader;
    import java.io.File;
    import java.io.FileNotFoundException;
    import java.io.FileReader;
    import java.io.IOException;
    import java.io.Reader;
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Iterator;
    import java.util.List;
    import java.util.Stack;
    
    /**
     * 利用动态规划求解最短路径问题
     * 
     * @author dell
     * 
     */
    
    public class CalMinDistance {
    	// 计算最短的距离
    	public static int[] calMinDistance(int distance[][]) {
    		int dist[] = new int[distance.length];
    		dist[0] = 0;
    		for (int i = 1; i < distance.length; i++) {
    			int k = Integer.MAX_VALUE;
    			for (int j = 0; j < i; j++) {
    				if (distance[j][i] != 0) {
    					if ((dist[j] + distance[j][i]) < k) {
    						k = dist[j] + distance[j][i];
    					}
    				}
    			}
    			dist[i] = k;
    		}
    		return dist;
    	}
    
    	// 计算路径
    	public static String calTheRoute(int distance[][], int dist[]) {
    		Stack<Integer> st = new Stack<Integer>();
    		StringBuffer buf = new StringBuffer();
    		int j = distance.length - 1;
    		st.add(j);// 将尾插入
    		while (j > 0) {
    			// int num = 0;
    			for (int i = 0; i < j; i++) {
    				if (distance[i][j] != 0) {
    					// num++;
    					if (dist[j] - distance[i][j] == dist[i]) {
    						st.add(i);
    					}
    				}
    			}
    			j = st.peek();
    		}
    		while (!st.empty()) {
    			buf.append(st.pop()).append("-->");
    		}
    		return buf.toString();
    	}
    
    	// 读取文件
    	@SuppressWarnings("resource")
    	public static int[][] readTheFile(File f) {
    		Reader input = null;
    		try {
    			input = new FileReader(f);
    		} catch (FileNotFoundException e) {
    			// TODO Auto-generated catch block
    			e.printStackTrace();
    		}
    		BufferedReader buf = null;
    		buf = new BufferedReader(input);
    		List<String> list = new ArrayList<String>();
    		try {
    			String str = buf.readLine();
    			while (str != null) {
    				list.add(str);
    				str = buf.readLine();
    			}
    		} catch (IOException e) {
    			// TODO Auto-generated catch block
    			e.printStackTrace();
    		}
    
    		Iterator<String> it = list.iterator();
    		int distance[][] = new int[11][11];
    		while (it.hasNext()) {
    			String str1[] = it.next().split(",");
    			int i = Integer.parseInt(str1[0]);
    			int j = Integer.parseInt(str1[1]);
    			distance[i - 1][j - 1] = Integer.parseInt(str1[2]);
    		}
    		return distance;
    
    	}
    
    	public static void main(String args[]) {
    		// 读文件
    		File f = new File("D:" + File.separator + "distance_1.csv");
    		int distance[][] = readTheFile(f);
    		int dist[] = calMinDistance(distance);
    		System.out.println("最短路径长度为:" + dist[distance.length - 1]);
    		System.out.println("最短路径为:" + calTheRoute(distance, dist));
    	}
    }
    


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  • 两大性质 1.最优子结构 2.子问题重叠性质 最优子结构 定义 问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结 构性质。 证明 首先假设由问题的最优解导出... 最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提 ...

    两大性质

    1.最优子结构
    2.子问题重叠性质

    最优子结构

    定义
    问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结 构性质。
    证明
    首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的。
    然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解,从 而导致矛盾。
    利用问题的最优子结构性质,以自底向上的方式从子问题的最优 解逐步构造出整个问题的最优解。 最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提

    重叠子问题

    递归算法求解问题时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。
    特点:动态规划算法正是利用了这种重叠子问题的性质,对每个子问题只解一次,而后将其保存在一个表格中再次需要时直接调用

    时间复杂性:通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长 因此用动态规划算法只需要多项式时间,从而获得较高的解题效率

    备忘录方法

    备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同,区别在于备忘录方 法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看,避免了相同子问题的重复求解

    备忘录方法VS动态规划
    备忘录方法:计算次序自顶向下,且当部分子问题可不必求解时好

    动态规划:计算次序自底向上 ,当一个问题的所有子问题都至少要解一次时好

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  • 动态规划算法总结

    2018-08-04 18:37:45
    动态规划是通过把原问题分解为相对简单子问题方式求解复杂问题方法。动态规划的基本方法是递推,递推理解对动态规划起着至关重要作用。 递推 递推说白了就是在知道前i-1项值得前提下,计算第i项值。 ...
  • 给定n个重量为w1w ,价值为v1v 的物品和容量为CC的背包,求这个物品中一个最有价值的子集,使得在满足背包的容量的前提下,包内的总价值最大 0-1背包问题指的是每个物品只能使用一次 递归方法 首先我们用递归的方式...
  • 动态规划与贪心算法

    2017-06-14 15:05:00
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  • 具有最优子结构的性质,是采用动态规划求解的前提; 2) 重叠子问题。 不具有重叠子问题性质,那么这个最优化问题可以使用自顶向下的递归方法求解; 具有重叠子问题性质, 采用自顶向下的递归求解,会重复计算相同的...
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  • 最优子结构性质:最优子结构性质——用动态规划求解的前提。当一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解时,称该问题具有最优子结构性质。 重叠子问题性质:(递归算法求解问题时)每次产生的子问题并不总是新...
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  • 算法导论-动态规划

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  • 动态规划

    2016-04-16 18:43:15
    动态规划方法往往用于求解“最优化问题”,能用动态规划求解的问题的前提是问题具有“最优子结构性质”。 最优子结构性质:问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成,而这些子问题可以独立求解。 动态规划的核心是...
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  • 动态规划适合用于求解最优问题,比如求最大值、最小值等。它可以显著地降低时间复杂度,提高执行效率。 0-1背包问题 对于一组不同重量、不可分割的物品,需要选择一些装入背包,在满足背包最大重量限制的前提下,...
  • 题目: 给定n个重量为w1,w2,w3...求解方法:动态规划算法 方法一:借助一个二维数组arr,横坐标为背包容量,纵坐标为物品id(从0到n) public static int knapSack(int w[],int v[],int c) { int size=w.length; ...
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空空如也

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动态规划算法求解的前提