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  • 问题描述 假设有一个背包,它的最大承重为Nkg(N是整数),现有k个物品T1, T2, …,Tk,它们的重量分别为G1, G2, …Gk.它们的价格分别为P1, P2, ...动态规划的思想是设计一个二元函数dp,它返回的是当前条件下的最优解.然后我

    问题描述

    假设有一个背包,它的最大承重为Nkg(N是整数),现有k个物品T1, T2, …,Tk,它们的重量分别为G1, G2, …Gk.它们的价格分别为P1, P2, …,Pk.
    问如何把这些物品装进背包(不能超过背包的承重),使得背包里的物品价格最高?最高价格是多少?

    分析

    假设
    为了简单理解,我们取N=4,共有三件物品,运动鞋,电饭锅和电风扇.它们的重量分别是1kg, 4kg, 3kg,价值分别是150, 300, 200元.

    动态规划的思想是设计一个二元函数dp,它返回的是当前条件下的最优解.然后我们可以设计一个二维数组,根据dp的递推公式逐一地向这个二维数组里填值,当我们填完这个二维数组以后,最后填进去的值就是我们要求的最终的结果.
    上面是动态规划算法的一个简单概括,其实它的思想就是把一个大问题分解成若干个小问题,每个小问题我们都得到它的一个最优解,也就是局部最优解,再通过寻找小问题到大问题的递推关系,实现局部最优到整体最优的递进.因此如何找到这个关系,或者说,如何规定这样的二元函数,成了我们解决此问题的关键.
    从问题的描述我们可以得知,这个解跟物品的重量,背包的承重,以及物品的价值有关,所以在设计dp数组的时候是否就可以利用到其中两个因素作为这个二元函数的两个自变量呢?因为物品的价值是在前两个变量的确定的前提下才可以确定的,所以取前两个作为dp的自变量,对这个自变量我们需要做点适当的改变,使得它易于计算机理解.

    数学化这个问题

    我们将各种商品编号,正如问题描述的那样,当我们称呼这个商品时,采用编号代替它原本的名字,比如第i个商品,我们把商品编号作为dp函数的第一个自变量,第二个自变量是背包的承重,我们可以把这个背包的承重从小到大排,即从1kg开始,每次递增1kg,直到达到真正的背包承重(这也就是把问题分解成若干个子问题的思想),可以认为每个承重表示一个背包,但最后一个背包才是我们题目中的背包.
    根据这样设计的二维数组如下所示:
    在这里插入图片描述这样的话dp[i][j]它表示的就是利用第j个背包来装从第1个商品到第i个商品中的任意商品组合时,它们的最大价值.比如第1行第1列就是说如果包的容量为1kg,商品只有一个运动鞋,那么它显然是可以装到背包里去的(这里我们又发现,其实没有必要将重量从1开始,只要从最轻的那个物品重量开始递增就可以了),所以填的是这个运动鞋的价值150,
    因为后面的背包容量比它大,所以显然也能装下,因此后面的列里所填的数字都是150.
    在这里插入图片描述

    假设这些东西的重量和价格都被用以数组表示,weight = {1, 4, 3},value = {150, 300, 200},背包的承重(容量)contain_weight = {1, 2, 3, 4}.显然我们是出于这样的考虑:我们选择的物品的集合S应当满足重量不超过此时的contain_weight[j],也就是 ∑ t ∈ S w e i g h t [ t ] ⩽ c o n t a i n _ w e i g h t [ j ] \sum_{t\in S} weight[t]\leqslant contain\_weight[j] tSweight[t]contain_weight[j],并且 d p [ i ] [ j ] = m a x { ∑ t ∈ S v a l u e [ t ] } dp[i][j] = max\{\sum_{t\in S} value[t]\} dp[i][j]=max{tSvalue[t]}.当我们要对dp[i][j]赋值时,我们就要考虑一个包含商品i的集合,这个集合要满足上面两个表达式.如果第一个不满足,也就是这个商品超过了背包的承重,那么无论是什么样的包含这个商品的集合都不可能被装入背包中,此时我们也不能不填,但这个时候所谓的最大的物品价值就是不包含这个商品i的了,此时我们的最大价值就应该是dp[i-1][j],也就是上一行的数据粘贴下来就可以了,这种情况一般不会出现.但也要考虑到.
    一般不等式1是满足的,那么就存在这样的物品集合 S i S_{i} Si(它表示这个物品集合一定包含i这个物品),接下来就考虑如何实现价值最大化,在此之前,我们最大化的价值是dp[i-1][j],它对应的物品集合我们不清楚,但一定不包含商品i,我们需要找到这样的物品集合 S i S_{i} Si跟前面dp[i-1][j]对应的物品集合没有什么必然联系,这个商品集合 S i S_{i} Si一定要满足它里面的商品重量不超过contain_weight[j],也就是 ∑ t ∈ S i w e i g h t [ t ] ⩽ c o n t a i n _ w e i g h t [ j ] \sum_{t\in S_{i}}weight[t]\leqslant contain\_weight[j] tSiweight[t]contain_weight[j],并且
    ∑ t ∈ S i v a l u e [ t ] = m a x \sum_{t\in S_{i}}value[t] = max tSivalue[t]=max,也就是如果还有其他的商品组合 S i ′ S_{i}' Si,它们的价值不会超过 S i S_{i} Si的价值.这是一个比较难想的点.但我们一定要利用到前面的数据,我们试想,如果没有这个商品i的话,最大价值我们是知道的但它不是dp[i-1][j],因为我们要考虑的是加上这个商品以后这个商品集合的总价值上升了,但重量也同时增加了,dp[i-1][j]对应的物品集合跟我们的 S i S_{i} Si没有任何必然联系,所以我们就没办法保证加上这个商品以后不会超过此时背包的承重.所以我们所选择的一定是去掉这个商品i重量的contain_weight,比如是contain_weight[k],因为这样它一定满足 c o n t a i n _ w e i g h t [ k ] + w e i g h t [ i ] ⩽ c o n t a i n _ w e i g t [ j ] contain\_weight[k] + weight[i] \leqslant contain\_weigt[j] contain_weight[k]+weight[i]contain_weigt[j],也就是dp[i-1][k]对应的集合 S i − 1 S_{i-1} Si1满足它是在没有商品i的时候背包里所能装的最大价值的商品集合,在加上商品i以后价值进一步增加了,并且也不超过此时的背包容量.我们将它抽象化为 m a x ∑ t ∈ S i v a l u e [ t ] = d p [ i − 1 ] [ j − w e i g h t [ i ] ] + v a l u e [ i ] max\sum_{t\in S_{i}} value[t] = dp[i-1][j-weight[i]] + value[i] maxtSivalue[t]=dp[i1][jweight[i]]+value[i]
    所以按照这个思路,接下来的表格补充如下:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    最后我们还要比较有这个商品i的集合Si的最大价值和没有这个商品i的集合S’的价值哪个更大,因为我们始终要填入的是最大的价值:
    d p [ i ] [ j ] = m a x { d p [ i − 1 ] [ j ] , ∑ S i v a l u e [ t ] } dp[i][j] = max\{dp[i-1][j], \sum_{S_{i}}value[t]\} dp[i][j]=max{dp[i1][j],Sivalue[t]},或者更进一步,
    d p [ i ] [ j ] = m a x { d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w e i g h t [ i ] ] + v a l u e [ i ] } dp[i][j] = max\{dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]]+value[i]\} dp[i][j]=max{dp[i1][j],dp[i][jweight[i]]+value[i]}.
    这个抉择在我们最后填入dp[3][4]的时候得到了体现.
    在这里插入图片描述

    算法的实现

    我们将这个算法的步骤总结如下:
    1.设计一个长度为k+1 * N+1 的二维数组(这是为了赋初值和递推),第一行和第一列全置0.分别对value,weight,contain_weight数组初始化.
    2.从第一行第一列开始,设计一个两层循环,先遍历列,再遍历行.
    3.如果weight[i] > contain_weight[j], dp[i][j] = dp[i-1][j],否则执行4
    4.dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]}.
    5.循环结束则整个算法结束,最右下角的数字即是最终解.

    我们即以前面的假设为例采用python编写此算法.

    #取N=4,共有三件物品,它们的重量分别是1kg, 4kg, 3kg,价值分别是150, 300, 200元.
    def packagePro():
    	weight = [-1, 1, 4, 3]#通过增加一个-1使得后面遍历的时候下标跟二维数组的下标一致,下面都是这样处理的
    	value = [-1, 150, 300, 200]
    	contain_weight = [-1, 1, 2, 3, 4]
    	bag_num = 4
    	good_num = 3
    	dp = [[0 for j in range(bag_num + 1)] for i in range(good_num + 1)]
    	for i in range(1, good_num+1):
    		for j in range(1, bag_num+1):
    			if weight[i] > contain_weight[j]:
    				dp[i][j] = dp[i-1][j]
    			else:
    				dp[i][j] = max(dp[i-1][j-weight[i]] + value[i], dp[i-1][j])
    	return dp[good_num][bag_num]
    

    推广到浮点数

    其实这个问题不局限于整数,浮点数也是可以的,但是在分解的时候关于背包的承重最好还是用整数,推广到浮点数的时候有一点需要注意,也就是
    d p [ i ] [ j ] = m a x { d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w e i g h t [ i ] ] + v a l u e [ i ] } dp[i][j] = max\{dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]]+value[i]\} dp[i][j]=max{dp[i1][j],dp[i][jweight[i]]+value[i]}
    这个公式需要做更改,因为这个时候的重量weight[i]不一定是整数,也就是这个时候j-weight[i]不一定是整数,但作为下标一定得是整数,所以这个时候要对j-weight[i]向下取整,即满足条件的集合重量k应是不大于j-weight[i]的最大整数.这个我还没有编,但应该不难,读者感兴趣的话自己编一下.
    这里特别感谢这篇文章,所有的插图都来自这里.我只是做了一点自己的补充而已.
    https://mp.weixin.qq.com/s/sCLhGsXgGk6ev7wzup0uZQ
    在这里插入图片描述

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  • 文章目录1.序2.动态规划的基本概念[^1]3.动态规划算法的基本思想[^2]4....这篇文章主要介绍动态规划算法的基本思想、使用动态规划算法求解问题的基本步骤、动态规划算法的两个基本要素以及一些经典的动态规划问题。...

    1.序

    近期笔者会写一些博客,与大家共同讨论一些经典的算法思想。这篇文章主要介绍动态规划算法的基本思想、使用动态规划算法求解问题的基本步骤、动态规划算法的两个基本要素以及一些经典的动态规划问题。

    2.动态规划的基本概念[^1]

    在学习动态规划之前,先思考这样一个问题:什么是动态规划?为什么叫动态规划?
    当读者在试图探索这个问题的时候,不可避免的要了解动态规划的产生背景。动态规划是由 Dynamic Programming 翻译过来的。动态规划的概念是由美国数学家R.E.Bellman等人提出的,应用于工程领域。
    动态规划是是求解多阶段决策过程(decision process)的最优化问题一种方法。

    所谓多阶段决策过程是指这样一类决策过程:它可以把一一个复杂问题按时间(或空间)分成若干个阶段,每个阶段都需要作出决策,
    以便得到过程的最优结局。由于在每阶段采取的决策是与时间有关的而且前一阶段采取的决策如何,不但与该阶段的经济效果有关,
    还影响以后各阶段的经济效果,可见这类多阶段决策问题是一个动态的问题,因此,处理的方法称为动态规划方法。然而,动态
    规划也可以处理一些本来与时间没有关系的静态模型,这只要在静态模型中人为地引入“时间”因素,分成时段,就可以把它看作
    是多阶段的动态模型,用动态规划方法去处理。
    

    简言之,多阶段决策过程是指这样的一类特殊的活动过程:问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段,在每一个阶段都要做出决策,全部过程的决策是一个决策序列。
    下面举例说明什么是多阶段决策问题。
    例1(最短路线问题)在线路网络图1中,从A至E有一批货物需要调运。图上所标数字为各节点之间的运输距离,为使总运费最少,必须找出一条由A至E总里程最短的路线。
    在这里插入图片描述

    图1

    为了找到由A至E的最短线路,可以将该问题分成A—B—C—D—E 4个阶段,在每个阶段都需要作出决策,即在A点需决策下一步到B1还是到B2或B3;同样,若到达第二阶段某个状态,比如B1 ,需决定走向C1还是C2 ;依次类推,可以看出:各个阶段的决策不同,由A至E的路线就不同,当 从某个阶段的某个状态出发作出一个决策,则这个决策不仅影响到下一个阶段的距离,而且直接影响后面各阶段的行进线路。所以这类问题要求在各个阶段选择一个恰当的决策,使这些决策序列所决定的一条路线对应的总路程最短。

    3.动态规划算法的基本思想[^2]

    动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题。
    在这里插入图片描述

    图2

    但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许多次。
    如果能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,就可以避免大量重复计算,从而得到多项式时间算法。
    在这里插入图片描述

    图3

    4.动态规划的求解步骤[^2]

    a. 找出最优解的性质,并刻划其结构特征。
    b. 递归地定义最优值。
    c. 以自底向上的方式计算出最优值。
    d. 根据计算最优值时得到的信息,构造最优解

    5.动态规划算法的基本要素[^2]

    5.1 最优子结构

    • 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质
    • 在分析问题的最优子结构性质时,所用的方法具有普遍性:首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的,然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解,从而导致矛盾。
    • 利用问题的最优子结构性质,以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。

    注意:同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构,有些表示方法的求解速度更快(空间占用小,问题的维度低)

    5.2 重叠子问题

    • 递归算法求解问题时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。
    • 动态规划算法,对每一个子问题只解一次,而后将其解保存在一个表格中,当再次需要解此子问题时,只是简单地用常数时间查看一下结果。
    • 通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间,从而获得较高的解题效率。
      在这里插入图片描述
      图4

    6.一些经典的动态规划问题

    题目描述:
    给定一个字符串 s,找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为1000。

    示例 1:

    输入: "babad"
    输出: "bab"
    注意: "aba" 也是一个有效答案。
    

    示例 2:

    输入: "cbbd"
    输出: "bb"
    

    分析:
    一个问题要使用动态规划求解,一定要满足【最优子结构】,只有满足最优子结构,才能通过子问题的解 构造出 整个问题的解。

    在编码时,一般采用【备忘录】或 dp table来实现。
    最关键的要找出:该问题的递推关系式(状态转移方程)

    假设dp[i][j]=true,表示字符串s从s[i]到s[j]的子串为最长回文子串
    反之false.

    考虑 abcba 这个示例。如果我们已经知道 bca 是回文,那么要判断 abcba 是不是回文串,只需判断它的左首字母和右尾字母是否相等。这里左=右=a,因此abcba 是回文串

    从这里我们可以归纳出状态转移方程
    dp[i][j] = true
    前提是
    dp[i+1][j-1]为true,且 s[i] == s[j]

    #include <iostream>
    using namespace std;
    class MySolution {
    public:
        string longestPalindrome(string s) {
    
            int len = s.size();
            if (len < 2)
                return s;
            //bool dp[len][len];
            bool** dp;
            dp = new bool* [len];
            for (int i = 0; i < len; i++)
                dp[i] = new bool[len];//分配了len行len列的二维数组空间
        
            int max_len=1;//最大回文串长度
            int max_left;//最长回文串的起始位置
            for (int j = 0; j < len; j++)
            {
                for (int i = 0; i < j; i++)
                {
                    if (s[j] != s[i])
                        dp[i][j] = false;
                    else if (j - i < 3) // (j-1)-(i+1)+1< 2 即表明dp[i][j]是回文串
                        dp[i][j] = true;
                    else
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];//s[i]==s[j]
                    if (j - i + 1 > max_len && dp[i][j])
                    {
                        max_len = j - i + 1;
                        max_left = i;
                    }
    
                }
            }
            return s.substr(max_left, max_len);
            // 用完要释放:
            for (int i = 0; i < len; i++)
            {
                delete[] dp[i]; 
                delete[]dp;
            }   
        }
    };
    int main()
    {
        MySolution sl;
        string s = sl.longestPalindrome("abcdedcabcdefggfedcba");
        cout << s << endl;
    }
    

    参考文献
    [1] 引用自百度文库https://wenku.baidu.com/view/c0f9fb156c175f0e7cd1377d.html
    [2]引用自老师的课件

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  • 问题描述: 现有若干重量和价值各不相同的物品以及1个固定容量的背包,可以任意选择多个物品放入背包,如何让背包里装入的物品总价值最大?...2)解除注释,观察动态规划算法中填表详情。 温馨提示 关...

    问题描述:

    现有若干重量和价值各不相同的物品以及1个固定容量的背包,可以任意选择多个物品放入背包,如何让背包里装入的物品总价值最大?假设物品从0开始编号,输出在不超过背包容量的前提下放入背包能够使得物品总价值最大的物品的编号。

    参考代码:

    运行结果:

    1)把输出填表结果的代码注释,验证三种方法的正确性。

    2)解除注释,观察动态规划算法中填表详情。

     

     

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  • 动态规划算法求解最短路线问题

    千次阅读 2009-10-03 08:41:44
     问题如下:设有一个旅行者从A点出发,途中要经过B,C,D等处,最后到达E,从A... 求解算法: public class Dp{ private int[][] matrix; private int[] distance;//记录到终点的距离 public int[][]...



         问题如下:设有一个旅行者从A点出发,途中要经过B,C,D等处,最后到达E,从A到E有很多条路线可走,各个点的距离如下,问旅行者应该选择哪一条,是使A到E路线最短。

      求解算法:

    public class Dp{
    	private int[][] matrix;
    	private int[] distance;//记录到终点的距离
    	
    	public  int[][] getMatrix(){
    		return matrix;
    		
    	}
    	public void  setMatrix(int[][] matrix){
    		this.matrix = matrix;
    
    	}
    	/**任意两点之间的距离,前提是pointA<pointB
    	  * @param PointA 起点
        	  * @param PointB 终点
    	  */	
    	public void  getMinDistanceBetweenPionts(int pointA,int pointB)
    	{
    		//初始化
    		distance = new int[pointB+1];
    		for(int i = 0 ;i<distance.length;i++) distance[i]=10000;
    		distance[pointB] = 0;//该初始化保证(pointB,pointB)的距离为0
    
    ;		for(int i =pointB ;i>= pointA ;i--){//从最后pointB行开始,递减直到pointA
    		
    			for(int j = i+1;j <= pointB;j++){//历遍(i,i)->(i,pointB),找到(i,pointB)的最小距离
    				if( matrix[i][j] != 10000){
    						int value  =0;
    						if( j+1<= pointB) value = distance[j]; 
    						int minDistance = matrix[i][j] +value;//最小路径为(i,j)的距离加(j,point)的距离
    						if(minDistance <distance[i]) distance[i] = minDistance;//
    				}
    			}
    		}		
    	
    		for(int i: distance)
    		{
    			System.out.print(" "+i);
    		}
    		System.out.println();
    	}
    	
    	public static void main(String args[]){
    		int m = 10000;
    		int[][] matrix = {
    						  {m,2,5,3,m,m,m,m,m,m},
    						  {0,m,m,m,7,5,6,m,m,m},
    						  {0,0,m,m,3,4,2,m,m,m},
    						  {0,0,0,m,5,1,5,m,m,m},
    						  {0,0,0,0,m,m,m,1,4,m},
    						  {0,0,0,0,0,m,m,6,3,m},
    						  {0,0,0,0,0,0,m,3,3,m},
    						  {0,0,0,0,0,0,0,m,m,3},
    						  {0,0,0,0,0,0,0,0,m,4},
    						  {0,0,0,0,0,0,0,0,0,m}
    						};
    		Dp dp = new Dp();
    		dp.setMatrix(matrix);
    		dp.getMinDistanceBetweenPionts(0,9);
    	}
    
    }
    		

     

     分析:

     

     1、找出状态转移公式;i 到 j 的最短距离等 (i,i+1)的距离 加上 (i+1,j)的最短距离

     2、保存每个点到 j 的最短距离的变量 distance[]

     

     这是我的想法,不知道大家有没有更好的算法,能缩短时间,欢迎大家讨论!

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空空如也

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动态规划算法求解的前提