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  • 其中,凸规划、二次规划、几何规划都是一种特殊的非线性规划。 数学模型 : 凸规划 :目标函数是凸函数,局部最小值 也是全局最小值。 参考 举个例子, 我们考虑下面的极小化问题: 设f(x)是凸函数, gi(x)...

    各种规划一直神秘的不敢去触碰,也一直是个疙瘩在脑子里,为此今天特意了解了一下。

    规划论

    规划论又称数学规划,运筹学的一个分支。 规划论是指在既定条件(约束条件)下,按照某一衡量指标(目标函数)在多种 方案中寻求最优方案(取最大或最小值)。规划论包括线性规划非线性规划动态规划


    线性规划问题

    概念理解:当目标函数与约束条件都是线形的,则称为线性规划。

    线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时,把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步,但往往也是困难的一步,模型建立得是否恰当,直接影响到求解。而选适当的决策变量,是我们建立有效模型的关键之一。 建立数学模型的步骤(1)分析实际问题;(2)确定决策变量;(3)找出约束条件;(4)确定目标函数;(5)整理写出数学模型。

    应用举例:某一企业内部,如何配合产品的销售时间、在各部门的原料、产品的存储、分配的数量等(决策变量) 来组织生产,使经济效益最高(目标)。 数学模型image.png

    求解方法图解法、单纯形法、对偶单纯形法等

    非线性规划问题

    概念理解:除去线性规划,则为非线性规划

    其中,凸规划、二次规划、几何规划都是一种特殊的非线性规划。

    数学模型image.png

    凸规划:目标函数是凸函数,局部最小值 也是全局最小值。参考 举个例子, 我们考虑下面的极小化问题: image.png

    设f(x)是凸函数, gi(x)是凸函数, hj(x)是线性函数.

    二次规划:一类特殊的非线性规划。它的目标函数是二次函数,约束条件是线性的。

    几何规划:略

    求解方法:拉格朗日乘子法、可行方向法、制约函数法等。

    无约束优化问题

    去除带约束的规划问题,则为无约束优化问题。 求解方法: 1、 最速下降法(也叫梯度下降) 2、 共轭梯度下降 3、 牛顿法 4、 拟牛顿法

    动态规划问题

    概念理解:若规划问题与时间有关,则称为动态规划;

    把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,逐个求解,解决这类问题的方法称为动态规划,它是一种方法、考察问题的一种途径,但不是一种特殊的算法。 没有统一的标准模型,也没有构造模型的通用方法,甚至还没有判断一个问题能否构造动态规划模型的准则。这样就只能对每类问题进行具体分析,构造具体的模型。对于较复杂的问题在选择状态、决策、确定状态转移规律等方面需要丰富的想象力和灵活的技巧性,这就带来了应用上的局限性。参考

    动态规划一般可分为线性动规,区域动规,树形动规,背包动规四类。 线性动规:拦截导弹,合唱队形,挖地雷,建学校,剑客决斗等; 区域动规:石子合并, 加分二叉树,统计单词个数,炮兵布阵等; 树形动规:贪吃的九头龙,二分查找树,聚会的欢乐,数字三角形等; 背包问题:背包问题,完全背包问题,分组背包问题,二维背包,装箱问题,挤牛奶

    举例最短路径问题举例ppt

    组合规划问题:

    若规划问题与有限个事物的排列组合有关,则称为组合规划

    随机规划问题:

    若规划问题与随机变量有关,则称为随机规划。

    转载于:https://my.oschina.net/u/3851199/blog/1941726

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  • 术语解释 整数规划:规划中的变量(全部或部分)限制为整数,...非线性规划:目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数的最优化问题。 多目标规划:研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。 动态规划:是...

    术语解释

    • 整数规划:规划中的变量(全部或部分)限制为整数,称为整数规划。(很多的单位是不能拆分成小数的)
    • 0-1规划:决策变量仅取值0或1的异类特殊的整数规划。(决策变量要么取0,要么取1)(可以解决快递员问题、协作效率最优化问题、解决流程化问题效果很多好)
    • 非线性规划:目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数的最优化问题。
    • 多目标规划:研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。
    • 动态规划:是运筹学的一个分支,是求解决策过程最优化的数学方法。

    整数规划及0-1规划模型

    概述

    • 首先0-1其实也是整数规划。
    • 整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划。
    • 在实际问题的应用中,整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题,整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法。
    • 在整数规划问题中,0-1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况,它要求决策变量的取值仅为0或1,在实际问题的讨论中,0-1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论,我们将列举一些模型范例,以说明这个事实。

    例题1:原油采购与加工

    在这里插入图片描述
    目标:你现在要使收益最大,如何安排原油的采购和加工。

    • 市场上可买到不超过1500t的原油A:
    • 购买量不超过500t时的单价为10000元/t;
    • 购买量超过500t但不超过1000t时,超过500t的部分8000元/t;
    • 购买量超过1000t时,超过1000t的部分6000元/t.

    问题分析:

    • 利润:销售汽油的收入-购买原油A的支出。
    • 难点:原油A的购价与购买量关系复杂。
    • 决策变量:支出 = 原油A的购买量
      在这里插入图片描述
    • M a x    = 4.8 ( x 11 + x 21 ) + 5.6 ( x 12 + x 22 ) − c ( x ) Max \space \space = 4.8(x_{11}+x_{21})+5.6(x_{12}+x_{22})-c(x) Max  =4.8(x11+x21)+5.6(x12+x22)c(x)
    • c(x)~购买原油A的支出
    • c ( x ) = { 10 x ( 0 ≤ x ≤ 500 ) 8 x + 1000 ( 500 ≤ x ≤ 1000 ) 6 x + 3000 ( 1000 ≤ x ≤ 1500 ) c(x) = \begin{cases} 10x&(0\leq x\leq 500)\\8x+1000&(500\leq x\leq 1000)\\ 6x+3000&(1000\leq x \leq 1500)\end{cases} c(x)=10x8x+10006x+3000(0x500)(500x1000)(1000x1500)
    • 原油供应
    • x 11 + x 12 ≤ 500 + x x_{11}+x_{12}\leq 500+x x11+x12500+x 库存500t
    • x 21 + x 22 ≤ 1000 x_{21}+x_{22}\leq 1000 x21+x221000 库存1000t
    • x ≤ 1500 x\leq 1500 x1500不能卖超过1500
    • x 11 x 11 + x 21 ≥ 0.5 \frac{x_{11}}{x_{11}+x_{21}}\geq 0.5 x11+x21x110.5,A要大于50%。
    • x 12 x 12 + x 22 ≥ 0.6 \frac{x_{12}}{x_{12}+x_{22}}\geq 0.6 x12+x22x120.6,B要大于60%。
    • 目标函数c(x)不是线性函数,是非线性规划。
    • 对于用分段函数定义的c(x),一般的非线性规划软件也难以输入和求解。

    模型求解

    • x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3以价格10,8,6(千元/t)采购A的吨数。这对于任何一种情况都成立。
    • 于是有 x = x 1 + x 2 + x 3 ,   c ( x ) = 10 x 1 + 8 x 2 + 6 x 3 x = x_1+x_2+x_3,\space c(x) = 10x_1+8x_2+6x_3 x=x1+x2+x3, c(x)=10x1+8x2+6x3
    • M a x    = 4.8 ( x 11 + x 21 ) + 5.6 ( x 12 + x 22 ) − 10 x 1 + 8 x 2 + 6 x 3 Max \space \space = 4.8(x_{11}+x_{21})+5.6(x_{12}+x_{22})-10x_1+8x_2+6x_3 Max  =4.8(x11+x21)+5.6(x12+x22)10x1+8x2+6x3
    • 然而只有当 x 1 = 500 x_1 = 500 x1=500的时候, x 2 x_2 x2才能有值,同理当 x 1 + x 2 ≥ 1000 x 2 = 500 x_1+x_2\geq 1000 x_2=500 x1+x21000x2=500时, x 3 x_3 x3才能有值
    • 所以约束等价于 ( x 1 − 500 ) ∗ x 2 = 0 (x_1-500)*x_2 = 0 (x1500)x2=0【这个太牛逼了】
    • 同理 ( x 2 − 500 ) x 3 = 0 (x_2-500)x_3 = 0 (x2500)x3=0
    • 0 ≤ x 1 , x 2 , x 3 ≤ 500 0\leq x_1,x_2, x_3\leq 500 0x1,x2,x3500

    求解代码

    Model:
    Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;
    x11+x12 < x + 500;
    x21+x22 < 1000;
    x11 - x21 > 0;  
    2*x12 - 3*x22 > 0;
    x=x1+x2+x3;     
    (x1 - 500) * x2=0; 
    (x2 - 500) * x3=0; 
    x1 < 500;
    x2 < 500;
    x3 < 500;
    end 
    

    最终结果

     Local optimal solution found.
      Objective value:                            4800.000
      Total solver iterations:                          14
         Variable           Value        Reduced Cost
                X11        500.0000            0.000000
                X21        500.0000            0.000000
                X12        0.000000           0.2666667
                X22        0.000000            0.000000
                  X1        0.000000           0.4000000
                  X2        0.000000            0.000000
                  X3        0.000000            0.000000
                    X        0.000000            0.000000
    

    这里分段函数的处理非常经典,需要反复仔细看。

    分派问题(0-1规划)

    • 若干项任务分给一些候选人来完成,每人的专长不同,完成每项任务取得的效益或需要的资源不同,如何分派任务使获得的总效益最大,或付出的总资源最少?
    • 若干种策略供选择,不同的策略得到的收益或付出的成本不同,各个策略之间有相互制约关系,如何在满足一定条件下作出抉择,使得收益最大或成本最小?
    • 指派(Assignment)问题:有若干项任务, 每项任务必有且只能有一人承担,每人只能承担一项,不同人员承担不同任务的效益(或成本)不同,怎样分派各项任务使总效益最大(或总成本最小)?一般情况分为三种
      • 人员数量与任务数量相等
      • 人员数量大于任务数量(本例)
      • 人员数量小于任务数量 ?

    0-1规划数学模型

    M a x ( M i n ) z = c 1 x 1 + x 2 x 2 + . . . . . + c n x n Max(Min)z = c_1x_1+x_2x_2+.....+c_nx_n Max(Min)z=c1x1+x2x2+.....+cnxn
    { a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . a 1 n x n ≤ ( ≥ , = ) b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . a 2 n x n ≤ ( ≥ , = ) b 2 . . . . . . . . . . . . . . a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + . . . a m n x n ≤ ( ≥ , = ) b 2 x 1 , x 2 , . . . . . . , x n = 0 ∣ 1 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n\leq (\geq ,=)b_1 \\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n\leq (\geq ,=)b_2 \\.............. \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...a_{mn}x_n\leq (\geq ,=)b_2 \\x_1,x_2,......,x_n = 0|1\end{cases} a11x1+a12x2+...a1nxn(,=)b1a21x1+a22x2+...a2nxn(,=)b2..............am1x1+am2x2+...amnxn(,=)b2x1,x2,......,xn=01

    案例:混合泳接力队的选拔

    在这里插入图片描述

    • 问题:如何选拔队员组成4*100混合泳接力队?
    • 讨论:丁的蛙泳成绩退步到1‘15’‘2;戊的自由泳成绩进步到57’‘5 , 组成接力队的方案是否应该调整?
      在这里插入图片描述
    • 若选择队员i参加泳姿j的比赛,记 x i j = 1 x_{ij} = 1 xij=1,否则记 x i j = 0 x_{ij} = 0 xij=0
    • 这里面的约束相当复杂,队员只能游一种泳姿,并且每种泳姿也只能由一名队员游。
    • 目标函数: m i n   Z = ∑ j = 1 4 ∑ i = 1 5 c i j x i j min\space Z = \sum^4_{j=1}\sum^5_{i=1}c_{ij}x_{ij} min Z=j=14i=15cijxij
    • 约束条件: ∑ j = 1 4 x i j ≤ 1 , i = 1 , . . . , 5               ( 1 ) \sum^4_{j=1}x_{ij}\leq 1,i = 1,...,5 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (1) j=14xij1,i=1,...,5             1
      ∑ i = 1 5 x i j = 1 , j = 1 , . . . , 4               ( 2 ) \sum^5_{i=1}x_{ij} = 1,j = 1,...,4\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (2) i=15xij=1,j=1,...,4             2
    • 一式:每人最多入选泳姿。
    • 二式:每种泳姿有且只有一个人。

    模型求解代码Lingo

    MODEL:
    sets:
      person/1..5/;
      position/1..4/;
      link(person,position): c, x;
    endsets
    data:
      c=  66.8, 75.6, 87, 58.6,
        57.2,  66, 66.4, 53,
         78, 67.8, 84.6, 59.4,
         70, 74.2, 69.6, 57.2,
         67.4, 71, 83.8, 62.4;
    enddata
    min=@sum(link: c*x);
    @for(person(i):  
       @sum(position(j):x(i,j))<=1;);
    @for(position(i):
       @sum(person(j):x(j,i))=1;);
    @for(link: @bin(x));
    END 
    

    案例2 选课策略(0-1多目标复杂规划)

    在这里插入图片描述

    • 要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课
    • 为了选修课程门数最少,应学习哪些课程?
    • 选修课程最少,且学分尽量多,应学习哪些课程?

    决策变量

    • x i = 1 x_i = 1 xi=1~选课好i的课程,0为不选,1为选择。

    目标函数

    • 选修课程总数最少: m i n   Z = ∑ i = 1 9 x i min\space Z = \sum^9_{i=1}x_i min Z=i=19xi

    约束条件1:至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课

    • 最少2门数学课: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≥ 2 x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\geq 2 x1+x2+x3+x4+x52

    • 3门运筹学课: x 3 + x 5 + x 6 + x 8 + x 9 ≥ 3 x_3+x_5+x_6+x_8+x_9\geq 3 x3+x5+x6+x8+x93

    • 2门计算机课: x 4 + x 6 + x 7 + x 9 ≥ 2 x_4+x_6+x_7+x_9\geq 2 x4+x6+x7+x92

    • 要有最优化方法、那么必须要学微积分和线性代数, x 3 ≤ x 1 , x 3 ≤ x 2 &ThickSpace; ⟺ &ThickSpace; 2 x 3 − x 1 − x 2 ≤ 0 x_3\leq x_1, x_3\leq x_2 \iff2x_3-x_1-x_2\leq 0 x3x1,x3x22x3x1x20

    • 要选数据结构,必须选计算机编程, x 4 ≤ x 7 &ThickSpace; ⟺ &ThickSpace; x 4 − x 7 ≤ 0 x_4\leq x_7\iff x_4-x_7\leq 0 x4x7x4x70

    • 要选应用统计,必须学微积分和线性代数, x 5 ≤ x 1 , x 5 ≤ x 2 &ThickSpace; ⟺ &ThickSpace; 2 x 5 − x 1 − x 2 ≤ 0 x_5\leq x_1, x_5\leq x_2 \iff2x_5-x_1-x_2\leq 0 x5x1,x5x22x5x1x20

    • 要选预测理论,必选引用统计, x 7 − x 8 ≤ 0 x_7-x_8\leq 0 x7x80

    • 要选数学实验,必选微积分、线性代数 x 9 ≤ x 1 , x 9 ≤ x 2 &ThickSpace; ⟺ &ThickSpace; 2 x 9 − x 1 − x 2 ≤ 0 x_9\leq x_1, x_9\leq x_2 \iff2x_9-x_1-x_2\leq 0 x9x1,x9x22x9x1x20

    • 基本的方法论就是把约束条件转化为不等式

    约束条件2:课程最少、学分尽量多

    m i n    Z = ∑ i = 1 9 x i min\space \space Z = \sum^9_{i = 1}x_i min  Z=i=19xi m a x    W = 5 x 1 + 4 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + 3 x 6 + 2 x 7 + 2 x 8 + 3 x 9 max\space \space W = 5x_1+4x_2+4x_3+3x_4+4x_5+3x_6+2x_7+2x_8+3x_9 max  W=5x1+4x2+4x3+3x4+4x5+3x6+2x7+2x8+3x9

    • 目标加权组合
      • ※※双目标规划方法可转化为 m i n { Z , − W } min\{Z,-W\} min{Z,W},这样可以转化成单目标优化
    • 把一个目标作为约束,解另一个目标的规划
      • 先以课程最少为目标,不管学分多少,最优解已经可以通过上面的不等式算出,6门课程,总学分21。
      • 以学分最多,不管课程最多 → \rightarrow 肯定是选完所有的课程。
      • 先求出一个作为约束条件,课程最小一定是6,我们把它作为约束条件,再来看怎么选学分最高。

    总结

    • 用0-1变量表示策略选择是常用的方法
      • “要选甲 (x1)必选乙 (x2)” 可用 x 1 ≤ x 2 x1\leq x2 x1x2描述.
      • “要选甲 (x1)必不选乙 (x2)” 怎样描述?
      • “甲乙二人至多选一人” 怎样描述?
      • “甲乙二人至少选一人” 怎样描述?
    • 双(多)目标规划的处理方法
      • 加权组合成一个新目标, 化为单目标规划.
      • 一个目标作为约束, 解另一个目标的规划.
    展开全文
  • 解非线性方程组

    2018-11-24 12:57:09
    求解非线性方程组,计算机方式,动态排斥技术。 Solving Nonlinear Equations System With Dynamic Repulsion-Based Evolutionary Algorithms
  • 实例 matlab- 非线性规划 - 作业 现代设计方法 -工程优化理论方法与设计 姓名 学号 班级 研 问题 某厂向用户提供发动机合同规定第一二三季度末分别交货 40 台 60 台 80 台 每 季 度 的 生 产 费 用 为 f x ax bx 2 ...
  • 摘要本文主要研究非线性0-1整数规划的解法首先通过对传统求解方法的研究提出从0-1整数规划的变量只取值0和1这个特点来求解为利用好这个特点构造了一种数据结构组合树还根据目标函数和约束条件所含的变量是否被包含在...
  • 1. 线性规划 1. 常用函数 2. 绝对值型 2.整数规划 1.分支定界法 2.蒙特卡洛法 function [f,g]=mengte(x); f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-... x(4)-2*x(5); g=[sum(x)-400 x(1)...
  • 利用matlab求解非线性规划问题

    万次阅读 2019-08-03 15:43:21
    因为解决非线性规划问题,都是使用的搜索算法,所以非常依赖初始值,大家需要注意。   二、约束最优化问题   调用方程 [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 对于方程:     ...

    一、无约束最优化问题

    用于无约束最优化模型求解                                  \large \min_{x}f(x)

    函数:可以调用 matlab的的函数, fminsearch、fminunc。

    调用格式如下:                  [x,fval]= fminsearch(fun,x0)       or    [x,fval]= fminunc(fun,x0)

    fun:为函数方程、   x0为初始值

     

    举例:                             \large f(x_1,x_2)=\frac{3}{2}x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2-x_1x_2-2x_1

    求解函数方程的最小值:

     f=@(x)(3/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1);
     [x fval]=fminsearch(f,[-2,4])
     %或者
     [x fval]=fminunc(f,[-2,4])

    结果一样,都如下所示:

    x =

        1.0000    1.0000


    fval =

       -1.0000

    因为解决非线性规划问题,都是使用的搜索算法,所以非常依赖初始值,大家需要注意。

     

    二、约束最优化问题

                                                                    \large \min f(x)\\ s.t. \left\{\begin{aligned} Ax \leq b \\ Aeq x=beq \\ lb \leq x \leq ub \end{aligned}\right.

    调用方程   [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

    对于方程:

                                                                \large min\ f=-x_1x_2x_3 \\ s.t. 0\leq x_1+2x_2+2x_3 \leq 72

     

    f=@(x)-x(1)*x(2)*x(3);
    A=[-1,-2,-2;1,2,2];
    b=[0;72];
    x0=[10,10,10];
    [x,fval]=fmincon(f,x0,A,b)

    结果:

    x =

       24.0000   12.0000   12.0000


    fval =

      -3.4560e+03

    当然我们一般可以用 Lingo 求解,这样又方便,又快捷

    min=-x1*x2*x3;
    x1+2*x2+2*x3>=0;
    x1+2*x2+2*x3<=72;
    @free(x1);
    @free(x2);
    @free(x3);

    一样的快捷和实用

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  • 二次规划与非线性规划及matlab应用

    千次阅读 2020-03-27 12:19:47
    定义:如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题. 其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况,都可通过取其相反数化为上述一般形式. (1)二次规划 ...

    1.概念
    定义:如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题.
    其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况,都可通过取其相反数化为上述一般形式.

    (1)二次规划
    在这里插入图片描述
    用MATLAB软件求解,其输入格式如下:

    1. x=quadprog(H,C,A,b);
    2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);
    3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);
    4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);
    5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options);
    6. [x,fval]=quadprog(…);
    7. [x,fval,exitflag]=quaprog(…);
      实例:
      在这里插入图片描述
      Matlab命令
    H=[1 -1; -1 2]; 
    c=[-2 ;-6];
    A=[1 1; -1 2];
    b=[2;2];
    Aeq=[];
    beq=[]; 
    VLB=[0;0];
    VUB=[];
    [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
    

    运算结果为:x =0.6667 1.3333 z = -8.2222

    (2)一般非线性规划
    标准型为:
    在这里插入图片描述
    其中X为n维变元向量,G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量,其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.
    非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下:
     x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)
     x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)
     x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)
     x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)
     x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
     [x,fval]= fmincon(…)
     [x,fval,exitflag]= fmincon(…)
     [x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)
    1.fun为目标函数
    2.x0为初始值
    3.A是不等式约束AX<=b的系数矩阵
    4.b是不等式约束AX<=b的常数项
    4.Aeq是等式约束AeqX=beq的系数矩阵,
    5.beq是等式约束AeqX=beq的常数项,
    6.lb是X的下限,
    7.ub是X的上限,
    8.nonlcon为非线性不等式约束
    9.option为设置fmincon的参数
    注意:
    fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时,若在fun函数中提供了梯度(options参数的GradObj设置为’on’),并且只有上下界存在或只有等式约束,fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时,使用中型算法。
    fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题,并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。
    fmincon函数可能会给出局部最优解,这与初值X0的选取有关。

    实例2
    在这里插入图片描述

    先建立M-文件 ex2.m:
        function f=ex2(x);
        f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2
    再建立主程序main2.m:
         x0=[1;1];
         A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5];
         Aeq=[];beq=[];
         VLB=[0;0]; VUB=[];
         [x,fval]=fmincon('ex2',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
    运算结果为:   x = 0.7647       1.0588   fval =   -2.0294
    

    实例3:
    在这里插入图片描述

    先建立M文件 ex3.m,定义目标函数:
          function f=ex3(x);   
          f=exp(x(1)) *(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
    再建立M文件ex31.m定义非线性约束:
          function [g,ceq]=ex31(x)
          g=[x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];
    
    主程序main3.m为:
    x0=[-1;1];
    A=[];b=[];
    Aeq=[1 1];beq=[0];
    vlb=[];vub=[];
    [x,fval]=fmincon('ex3',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'ex31')
    运算结果为:
           x = -1.2250    1.2250       fval = 1.8951
    

    实例4
    在这里插入图片描述

    function f=ex4(x)
    f=x(1)^2+x(2)^2+10;
    
    function [g,h]=ex40(x)
    g=-x(1)^2+x(2);
    h=-x(1)-x(2)^2+5;    %约束等式
    options=optimset;
    [x,y]=fmincon('ex4',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[],'ex40',options)
    输出结果:
    x = 1.3794   1.9028     y =   15.5234
    
    展开全文
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