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  • 2019-06-02 18:05:11

    动量梯度下降(Gradient Descent With Momentum),简称为动量方法(Momentum),运行速度几乎总是快于标准的梯度下降算法,并且能够解决随机梯度下降所遇到的山谷震荡以及鞍部停滞问题,这部分内容请阅读上一篇博客梯度下降算法

    根据梯度下降算法的参数更新公式:
    w = w − η ∂ L ( w ) ∂ w w = w - \eta\frac{\partial L(w)}{\partial w} w=wηwL(w)
    参数的更新仅仅取决于当前位置的梯度以及步长,试想一下这样一个情境:我们将某一个物品往山谷里丢,在梯度下降算法的规则下,该物品仅仅收到当前触碰在它身上的力,而忽略其他的力,例如重力、空气阻力等等。我们可以把它想象成一张纸团。

    • 山谷:在山谷中不可避免地撞在山壁,由于质量小受山壁弹力的干扰大,从一侧山壁反弹回来撞向另一侧山壁,结果来回震荡地滚下。
    • 鞍部:纸团来到鞍部时,由于质量小,速度很快减为零,无法冲出鞍部区域。

    如果此时,该物品拥有了大质量,例如是一个铁球,

    • 山谷:那么它沿着山谷滚下时,就不容易受到途中旁力的干扰,轨迹会更稳更直。
    • 鞍部:在惯性的作用下继续滚动,从而有机会冲出鞍部。

    在中学物理中,刻画惯性的物理量是动量,这也是该算法名字的由来。沿山谷滚下的铁球会收到沿坡道向下的力和与左右山壁碰撞的弹力。向下的力(重力)稳定不变,产生的动量不断累积,速度越来越快;左右的弹力总是在不停切换,动量累积的结果是相互抵消,减弱了球的来回震荡。因此,与随机梯度下降相比,动量方法的收敛速度更快,收敛曲线也更稳定,见下图。

    随机梯度下降与动量方法比较.png

    相比标准的梯度下降算法,动量梯度下降是算法将动量纳入了参数更新公式中。

    【计算公式】:
    v t = γ v t − 1 + η ∂ L ( w ) ∂ w w = w − v t v_t = \gamma v_{t-1} + \eta \frac{\partial L(w)}{\partial w} \quad w = w - v_t vt=γvt1+ηwL(w)w=wvt
    其中, γ \gamma γ 是衰减系数,扮演阻力的作用。前进步伐 v t v_t vt 由两部分组成:

    • 标准的梯度下降算法部分,也就是步长乘上当前位置的梯度: η ∂ L ( w ) ∂ w \eta \frac{\partial L(w)}{\partial w} ηwL(w)
    • 带衰减的前一次步伐 v t − 1 v_{t-1} vt1

    在该公式中,惯性就体现在对前一次步伐信息的利用。类比中学物理知识,当前梯度就好比当前时刻受力产生的加速度,而步长则是时间,前一次步伐好比前一时刻的速度。标准梯度下降算法在每次行动时,都忽略前一时刻的速度,而重新根据当前时刻的加速度和时间来行走,因此当加速度趋于零时就很难继续移动。而动量方法则考虑前一时刻速度和当前加速度的共同作用。

    不同的文献对于动量方法的计算公式也略有不同,吴恩达老师推荐使用下述的计算公式。
    v t = β v t − 1 + ( 1 − β ) ∂ L ( w ) ∂ w w = w − η v t v_t = \beta v_{t-1} + (1 - \beta)\frac{\partial L(w)}{\partial w} \\ w = w - \eta v_t vt=βvt1+(1β)wL(w)w=wηvt
    至于孰优孰劣暂无定论,大家可各按喜好进行选择。

    动量方法可以嵌入到标准的梯度下降算法中,例如使用动量的随机梯度下降、使用动量的批量梯度下降等等。无论对哪个梯度下降算法,加入动量后都可以加快收敛速度。对于随机梯度下降而言,还可以在一定程度上解决鞍部停滞问题。

    【代码实现】:

    def BatchGradientDescentM(x, y, step=0.001, iter_count=500, beta=0.9):
        length, features = x.shape
        
        # 初始化参数和动量以及整合 x'
        data = np.column_stack((x, np.ones((length, 1))))
        w = np.zeros((features + 1, 1))
        v = np.zeros((features + 1, 1))
        
        # 开始迭代
        for i in range(iter_count):
            # 计算动量
            v = (beta * v + (1 - beta) * np.sum((np.dot(data, w) - y) * data, axis=0).reshape((features + 1, 1))) / length    
            # 更新参数
            w -= step * v        
        return w
    

    同样,增量方法也可以嵌入到小批量梯度下降以及随机梯度下降算法中,具体代码请参考 传送门

    我们也可以将这些算法都整合到一块,通过 batch_size 的大小来判断是批量梯度下降算法,还是随机梯度下降算法。

    【代码实现】:

    def Momentum(x, y, step=0.01, iter_count=1000, batch_size=4, beta=0.9):
        length, features = x.shape
        
        # 初始化参数和动量以及整合 x'
        data = np.column_stack((x, np.ones((length, 1))))
        w = np.zeros((features + 1, 1))
        v = np.zeros((features + 1, 1))
        start, end = 0, batch_size
        
        # 开始迭代
        for i in range(iter_count):
            v = (beta * v + (1 - beta) * np.sum((np.dot(data[start:end], w) - y[start:end]) * data[start:end], axis=0).reshape((features + 1, 1))) / length         
            w -= step * v
            start = (start + batch_size) % length
            if start > length:
                start -= length
            end = (end + batch_size) % length
            if end > length:
                end -= length
        return w
        
    
    # 批量梯度下降
    print(Momentum(x, y, batch_size=(x.shape[0] - 1)))
    # 输出:
    array([[5.00311478],
           [0.8307453 ]])
           
    # 小批量梯度下降
    Momentum(x, y, batch_size=5)
    # 输出:
    array([[4.98144568],
           [1.43164128]])
           
    # 随机梯度下降
    Momentum(x, y, batch_size=1)
    # 输出:
    array([[4.99294353],
           [0.83128473]])
    

    牛顿动量

    受 Nesterov 加速梯度算法启发,Sutskever 提出动量方法的一个变种。与 Momentum 不同的是,Nesterov 先用当前的速度更新参数,再用更新后的临时参数计算梯度。

    【代码实现】:

    def Nesterov(x, y, step=0.01, iter_count=1000, batch_size=4, beta=0.9):
        length, features = x.shape
        data = np.column_stack((x, np.ones((length, 1))))
        w = np.zeros((features + 1, 1))
        v = np.zeros((features + 1, 1))
        start, end = 0, batch_size
        for i in range(iter_count):
            # 先更新参数
            w_temp = w - step * v
            # 再计算梯度与速度
            v = (beta * v + (1 - beta) * np.sum((np.dot(data[start:end], w_temp) - y[start:end]) * data[start:end], axis=0).reshape((features + 1, 1))) / length         
            w -= step * v
            start = (start + batch_size) % length
            if start > length:
                start -= length
            end = (end + batch_size) % length
            if end > length:
                end -= length
        return w
    

    牛顿增量相当于添加了矫正因子的 Momentum 方法,在批量梯度下降算法中能进一步缩小误差,但对于随机梯度下降而言,牛顿增量没有任何改进。

    参考

    • 吴恩达老师的深度学习课程
    • 《百面机器学习》- 深度学习中的动量
    • 深度学习中的动量:https://blog.csdn.net/qq_29462849/article/details/80625063
      • Deep Learning 最优化方法之Nesterov(牛顿动量):https://blog.csdn.net/bvl10101111/article/details/72615961
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  • 深度学习——动量的最优化方法

    千次阅读 2019-07-19 19:40:41
    本文是Deep Learning 之 最优化方法系列文章的Momentum(动量方法。主要参考Deep Learning 一书。 整个优化系列文章列表: Deep Learning 之 最优化方法 Deep Learning 最优化方法之SGD Deep Learning 最优化...

    本文是Deep Learning 之 最优化方法系列文章的Momentum(动量)方法。主要参考Deep Learning 一书。

    整个优化系列文章列表:

    Deep Learning 之 最优化方法

    Deep Learning 最优化方法之SGD

    Deep Learning 最优化方法之Momentum(动量)

    Deep Learning 最优化方法之Nesterov(牛顿动量)

    Deep Learning 最优化方法之AdaGrad

    Deep Learning 最优化方法之RMSProp

    Deep Learning 最优化方法之Adam

    先上结论:

    1.动量方法主要是为了解决Hessian矩阵病态条件问题(直观上讲就是梯度高度敏感于参数空间的某些方向)的。

    2.加速学习

    3.一般将参数设为0.5,0.9,或者0.99,分别表示最大速度2倍,10倍,100倍于SGD的算法。

    4.通过速度v,来积累了之间梯度指数级衰减的平均,并且继续延该方向移动:

    这里写图片描述

    再看看算法:
    这里写图片描述

    动量算法直观效果解释:

      如图所示,红色为SGD+Momentum。黑色为SGD。可以看到黑色为典型Hessian矩阵病态的情况,相当于大幅度的徘徊着向最低点前进。
      而由于动量积攒了历史的梯度,如点P前一刻的梯度与当前的梯度方向几乎相反。因此原本在P点原本要大幅徘徊的梯度,主要受到前一时刻的影响,而导致在当前时刻的梯度幅度减小。
      直观上讲就是,要是当前时刻的梯度与历史时刻梯度方向相似,这种趋势在当前时刻则会加强;要是不同,则当前时刻的梯度方向减弱。

    这里写图片描述

    从另一个角度讲:

      要是当前时刻的梯度与历史时刻梯度方向相似,这种趋势在当前时刻则会加强;要是不同,则当前时刻的梯度方向减弱。
      假设每个时刻的梯度g总是类似,那么由这里写图片描述我们可以直观的看到每次的步长为:

    这里写图片描述

    即当设为0.5,0.9,或者0.99,分别表示最大速度2倍,10倍,100倍于SGD的算法。

    展开全文
  • 优化法——动量

    2021-03-13 18:25:04
    动量梯度下降(Gradient Descent With Momentum),简称为动量方法(Momentum),运行速度几乎总是快于标准的梯度下降算法,并且能够解决随机梯度下降所遇到的山谷震荡以及鞍部停滞问题,这部分内容请阅读上一篇博客...

    动量梯度下降(Gradient Descent With Momentum),简称为动量方法(Momentum),运行速度几乎总是快于标准的梯度下降算法,并且能够解决随机梯度下降所遇到的山谷震荡以及鞍部停滞问题,这部分内容请阅读上一篇博客梯度下降算法。

    根据梯度下降算法的参数更新公式:


    w = w - \eta\frac{\partial L(w)}{\partial w}

    参数的更新仅仅取决于当前位置的梯度以及步长,试想一下这样一个情境:我们将某一个物品往山谷里丢,在梯度下降算法的规则下,该物品仅仅收到当前触碰在它身上的力,而忽略其他的力,例如重力、空气阻力等等。我们可以把它想象成一张纸团。

    • 山谷:在山谷中不可避免地撞在山壁,由于质量小受山壁弹力的干扰大,从一侧山壁反弹回来撞向另一侧山壁,结果来回震荡地滚下。
    • 鞍部:纸团来到鞍部时,由于质量小,速度很快减为零,无法冲出鞍部区域。

    如果此时,该物品拥有了大质量,例如是一个铁球,

    • 山谷:那么它沿着山谷滚下时,就不容易受到途中旁力的干扰,轨迹会更稳更直。
    • 鞍部:在惯性的作用下继续滚动,从而有机会冲出鞍部。

    在中学物理中,刻画惯性的物理量是动量,这也是该算法名字的由来。沿山谷滚下的铁球会收到沿坡道向下的力和与左右山壁碰撞的弹力。向下的力(重力)稳定不变,产生的动量不断累积,速度越来越快;左右的弹力总是在不停切换,动量累积的结果是相互抵消,减弱了球的来回震荡。因此,与随机梯度下降相比,动量方法的收敛速度更快,收敛曲线也更稳定,见下图。

    éæºæ¢¯åº¦ä¸éä¸å¨éæ¹æ³æ¯è¾.png

    相比标准的梯度下降算法,动量梯度下降是算法将动量纳入了参数更新公式中。

    【计算公式】:
    v_t = \gamma v_{t-1} + \eta \frac{\partial L(w)}{\partial w} \quad w = w - v_t
     

    其中,\gamma 是衰减系数,扮演阻力的作用。前进步伐v_t由两部分组成:

    • 标准的梯度下降算法部分,也就是步长乘上当前位置的梯度: \eta \frac{\partial L(w)}{\partial w}
    • 带衰减的前一次步伐 v_{t-1}

    在该公式中,惯性就体现在对前一次步伐信息的利用。类比中学物理知识,当前梯度就好比当前时刻受力产生的加速度,而步长则是时间,前一次步伐好比前一时刻的速度。标准梯度下降算法在每次行动时,都忽略前一时刻的速度,而重新根据当前时刻的加速度和时间来行走,因此当加速度趋于零时就很难继续移动。而动量方法则考虑前一时刻速度和当前加速度的共同作用。

    不同的文献对于动量方法的计算公式也略有不同,吴恩达老师推荐使用下述的计算公式。


    v_t = \beta v_{t-1} + (1 - \beta)\frac{\partial L(w)}{\partial w}
    w = w - \eta v_t
     
    至于孰优孰劣暂无定论,大家可各按喜好进行选择。

    动量方法可以嵌入到标准的梯度下降算法中,例如使用动量的随机梯度下降、使用动量的批量梯度下降等等。无论对哪个梯度下降算法,加入动量后都可以加快收敛速度。对于随机梯度下降而言,还可以在一定程度上解决鞍部停滞问题。

    【代码实现】:

    def BatchGradientDescentM(x, y, step=0.001, iter_count=500, beta=0.9):
        length, features = x.shape
        
        # 初始化参数和动量以及整合 x'
        data = np.column_stack((x, np.ones((length, 1))))
        w = np.zeros((features + 1, 1))
        v = np.zeros((features + 1, 1))
        
        # 开始迭代
        for i in range(iter_count):
            # 计算动量
            v = (beta * v + (1 - beta) * np.sum((np.dot(data, w) - y) * data, axis=0).reshape((features + 1, 1))) / length    
            # 更新参数
            w -= step * v        
        return w
    

    同样,增量方法也可以嵌入到小批量梯度下降以及随机梯度下降算法中,具体代码请参考 传送门

    我们也可以将这些算法都整合到一块,通过 batch_size 的大小来判断是批量梯度下降算法,还是随机梯度下降算法。

    【代码实现】:

    def Momentum(x, y, step=0.01, iter_count=1000, batch_size=4, beta=0.9):
        length, features = x.shape
        
        # 初始化参数和动量以及整合 x'
        data = np.column_stack((x, np.ones((length, 1))))
        w = np.zeros((features + 1, 1))
        v = np.zeros((features + 1, 1))
        start, end = 0, batch_size
        
        # 开始迭代
        for i in range(iter_count):
            v = (beta * v + (1 - beta) * np.sum((np.dot(data[start:end], w) - y[start:end]) * data[start:end], axis=0).reshape((features + 1, 1))) / length         
            w -= step * v
            start = (start + batch_size) % length
            if start > length:
                start -= length
            end = (end + batch_size) % length
            if end > length:
                end -= length
        return w
        
    
    # 批量梯度下降
    print(Momentum(x, y, batch_size=(x.shape[0] - 1)))
    # 输出:
    array([[5.00311478],
           [0.8307453 ]])
           
    # 小批量梯度下降
    Momentum(x, y, batch_size=5)
    # 输出:
    array([[4.98144568],
           [1.43164128]])
           
    # 随机梯度下降
    Momentum(x, y, batch_size=1)
    # 输出:
    array([[4.99294353],
           [0.83128473]])
    

    牛顿动量

    受 Nesterov 加速梯度算法启发,Sutskever 提出动量方法的一个变种。与 Momentum 不同的是,Nesterov 先用当前的速度更新参数,再用更新后的临时参数计算梯度。

    【代码实现】:

    def Nesterov(x, y, step=0.01, iter_count=1000, batch_size=4, beta=0.9):
        length, features = x.shape
        data = np.column_stack((x, np.ones((length, 1))))
        w = np.zeros((features + 1, 1))
        v = np.zeros((features + 1, 1))
        start, end = 0, batch_size
        for i in range(iter_count):
            # 先更新参数
            w_temp = w - step * v
            # 再计算梯度与速度
            v = (beta * v + (1 - beta) * np.sum((np.dot(data[start:end], w_temp) - y[start:end]) * data[start:end], axis=0).reshape((features + 1, 1))) / length         
            w -= step * v
            start = (start + batch_size) % length
            if start > length:
                start -= length
            end = (end + batch_size) % length
            if end > length:
                end -= length
        return w
    

     

    牛顿增量相当于添加了矫正因子的 Momentum 方法,在批量梯度下降算法中能进一步缩小误差,但对于随机梯度下降而言,牛顿增量没有任何改进。

    参考
    吴恩达老师的深度学习课程
    《百面机器学习》- 深度学习中的动量
    深度学习中的动量:https://blog.csdn.net/qq_29462849/article/details/80625063
    Deep Learning 最优化方法之Nesterov(牛顿动量):https://blog.csdn.net/bvl10101111/article/details/72615961
     

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  • momentum动量方法

    千次阅读 2016-09-13 11:34:35
    由一阶滤波器得到启发(采用本次采样值与上次滤波输出进行加权,得到有效滤波,使得输出对输入有反馈作用)  如下图,当γ增加,滤波器输出震荡减少。平均滤波器输出与平均滤波器输入相同... 由于使用动量项,可

            由一阶滤波器得到启发(采用本次采样值与上次滤波输出进行加权,得到有效滤波,使得输出对输入有反馈作用)


            如下图,当γ增加,滤波器输出震荡减少。平均滤波器输出与平均滤波器输入相同,岁当当γ增加时,滤波器输入变慢。滤波器有助于减少震荡的书数目,同时仍然保持平均值。


    动量MOBP

          将动量滤波器加到参数的改变后,得到:

          由于使用动量项,可以在维持算法稳定的基础上使用更高的学习速度,动量的另一个特征是当轨迹进入某一个一直的方向后,可以加速收敛。

         



    python程序

    import numpy as np
    from math import e
    import matplotlib.pyplot as plt
    import scipy.io as sio
    
    def logsig(x):
        return 1/(1+e**(-x))
    
    if __name__=="__main__":
        W1=np.array([[2.0],[3.0]])
        b1=np.array([[-1.],[1.]])
        W2=np.array([[1.,1.]])
        b2=np.array([[-1.]])
        P=np.array([np.arange(-2,2,0.1)])
        #P=np.array([[1]])
        a0=P
        T=logsig(np.dot(W2,logsig(np.dot(W1,P)+b1))+b2)
    
        x = -2.0
        y = 0.6
        ep=300
        W1[0,0]=x
        W2[0,0]=y
        n1 = np.dot(W1, P)+b1
        a1 = logsig(n1)
        n2 = np.dot(W2, a1)+b2
        a2 = logsig(n2)
        lr=1.5
        mc=0.
    
        xx=np.zeros([1,ep+1])
        yy=np.zeros([1,ep+1])
        ee = np.zeros([1, ep + 1])
        E=T-a2
        #print E
        xx[0,0]=x
        yy[0,0]=y
        ee[0,0]=np.sum(E*E)
        v1=np.zeros(W1.shape)
        v2=np.zeros(W2.shape)
        for i in range(1,ep+1):
            s2=-2*E*(1-a2)*a2
            s1=np.dot(W2.T,s2)*a1*(1-a1)
            #print s1
            #s2=-2*a2*(1-a2)*E
            #s1=(1-a1)*a1*np.dot(W2.T,s2)
            dW2 = np.dot(s2, a1.T)
            dW1=np.dot(s1,a0.T)
            #print dW1
            v1 = mc * v1 - lr * dW1
            v2 = mc * v2 - lr * dW2
            newx=W1[0,0]+v1[0,0]
            W1[0,0]=newx
            xx[0,i]=newx
            newy = W2[0, 0] + v2[0, 0]
            W2[0, 0] = newy
            yy[0, i] = newy
            a1=logsig(np.dot(W1,a0)+b1)
            a2=logsig(np.dot(W2,a1)+b2)
            E=T-a2
            ee[0,i]=np.sum(E*E)
        print W1, W2
        data=sio.loadmat('nndbp1')
        p1=plt.subplot(121)
        p2=plt.subplot(122)
        x2=data['x2']
        y2=data['y2']
        E2=data['E2']
        x2,y2=np.meshgrid(x2,y2)
        p1.contour(x2,y2,E2)
        #p1.plot(xx[0,1:80],yy[0,1:80])
        p1.plot(xx[0,1:80],yy[0,1:80])
        p2.plot(ee[0,1:50])
        plt.show()
    
    
    
    
    
    
    

    实验结果


    上图,当mc=0,lr=1.5时,迭代约30次后收敛



    mc=0,lr=2.5时出现震荡


    mc=0.1,lr=2,5时,仅需10次就收敛了


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空空如也

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