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  • 深度学习中的动量

    千次阅读 2018-06-08 16:35:23
    动量的优点 虽然随机梯度下降仍然是非常受欢迎的优化方法,但其学习过程有时会很慢。动量方法 (Polyak, 1964) 旨在加速学习,特别是处理高曲率、小但一致的梯度,或是带噪声的梯度。 动量算法积累了之前梯度指数级...

    动量的优点

    虽然随机梯度下降仍然是非常受欢迎的优化方法,但其学习过程有时会很慢。动量方法 (Polyak, 1964) 旨在加速学习,特别是处理高曲率、小但一致的梯度,或是带噪声的梯度。 动量算法积累了之前梯度指数级衰减的移动平均,并且继续沿该方向移动。 动量的效果如下图所示。

    动量的主要目的是解决两个问题: Hessian 矩阵的病态条件和随机梯度的方差。我们通过此图说明动量如何克服这两个问题的第一个。等高线描绘了一个二次损失函数(具有病态条件的 Hessian 矩阵)。横跨轮廓的红色路径表示动量学习规则所遵循的路径,它使该函数最小化。我们在该路径的每个步骤画一个箭头,表示梯度下降将在该点采取的步骤。我们可以看到,一个病态条件的二次目标函数看起来像一个长而窄的山谷或具有陡峭边的峡谷。 动量正确地纵向穿过峡谷,而普通的梯度步骤则会浪费时间在峡谷的窄轴上来回移动。

    从形式上看, 动量算法引入了变量 v 充当速度角色——它代表参数在参数空间移动的方向和速率。速度被设为负梯度的指数衰减平均。名称 动量(momentum)来自物理类比,根据牛顿运动定律,负梯度是移动参数空间中粒子的力。 动量在物理学上定义为质量乘以速度。在动量学习算法中,我们假设是单位质量,因此速度向量 v 也可以看作是粒子的动量。 超参数 α α [0; 1) 决定了之前梯度的贡献衰减得有多快。更新规则如下:


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    牛顿动量

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  • 其中动量系数一般取(0,1),直观上理解就是要是当前梯度方向与前一步的梯度方向一样,那么就增加这一步的权值更新,要是不一样就减少更新。

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    其中动量系数一般取(0,1),直观上理解就是要是当前梯度方向与前一步的梯度方向一样,那么就增加这一步的权值更新,要是不一样就减少更新。

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  • VOL动量比通达信指标公式源码.doc
  • 因子动量动量因子

    千次阅读 2020-03-26 14:41:45
    文献来源:Ehsani S , Linnainmaa J T ....推荐原因:本文研究结果表明动量不是一个独立的因子;相反,一个动量“因子”是其它因子的时序相关的综合。交易动量的投资者会间接将因子相乘。因此,动量策略的利润和损...

    文献来源:Ehsani S , Linnainmaa J T .Factor Momentum and the Momentum Factor[J]. Social Science Electronic Publishing, 2017.

    推荐原因:本文研究结果表明动量不是一个独立的因子;相反,一个动量“因子”是其它因子的时序相关的综合。交易动量的投资者会间接将因子相乘。因此,动量策略的利润和损失最终取决于因子回报中的时序自相关是否为正。同时作者发现个股动量不太可能与公司特定信息相关,由于因子体系足够多样化,使得它们可能会清除所有公司特定的信息。 我们对因子动量与投资者情绪之间关系的结果表明因子的自相关性(推广到个股动量)可能源于错误定价。

    1、简介

    动量效应的存在违反了有效的市场假设。如果资产价格及时并准确的响应新信息,过去的回报不应该预测未来的回报 - 除非过去的回报与系统风险的变化相关。研究人员试图解释具有随时间变化的风险,行为性偏差以及交易摩擦的动量策略的收益。与此同时,动量跨越时间和跨资产类别的普遍性使其成为一个独立因子:没有动量的模型就无法解释个股超额而那些包含动量的模型不能解释任何除动量以外信息(Fama和French,2016).在本文中,我们表明动量不是一个明显的风险因子:它汇总了所有其他因子中的自相关。事实上,动量不是与其他因子无关,而是与所有因子存在相关性。

    我们首先表明,因子的过去回报可以提供有关其未来回报的信息。例如,那些过去跑赢大盘股的小盘股很可能会继续跑赢。在我们研究的20个因子中,这种效应在统计上很显著:平均因子在盈利一年后每月收益为52个基点,但在损失的一年之后只有2个基点的收益。这些平均回报的差异t值为4.67。这一结果并非特定于使用模糊的资产定价因子:我们使用由学者和对冲基金定期更新和发布的主要因子。

    时序动量因子策略是一种在因子回报中持续下去的策略。策略主要思路是看多具有正回报的因子并且看空具有负回报的因子。该时间序列动量策略的年回报率为4.2%(t值= 7.04)。我们证明了这种策略优于横截面策略,因为它纯粹的基于因子回报中正向自相关。相比之下,有的横截面策略也认为:一个因子的高回报能够预测其他因子的低回报(Lo和MacKinlay,1990);然而,在数据中,任何因子的高回报预测所有因子的高回报。

     因子收益的动量传递到安全收益的横截面中,传输的数量取决于因子载荷的分散。这些因子载荷越多的分配在不同资产间,因子动量就越多地显示为各个证券回报的横截面动量。如果股票动量与因子回报的自相关有关,则动量因子应该包含个股动量。实际上,我们表明在因子回报空间中构建的动量因子按先验分类的投资组合的平均回报一年的回报优于Carhart(1997)的UMD,这是一个直接针对股票回报动量的因子。

    因子动量也解释了其他形式的股票动量:行业动力,行业调整动力,中间动量和夏普比率动量。图1的左侧显示因子动量使得所有单个股票动量策略在统计上都不显着。我们为每种动量计算两个t值。第一个是与Fama and French五因子模型的alpha相关联;第二个是与增加因子动量的模型的相关联。图一的右侧显示,五因子模型增加了所有五种形式的个股动量,使得因子动量具有显着的t值(3.96)的α。

    我们的结果表明,股权动量不是一个明显的风险因子; 它是因子回报中自相关的积累。 一种在直接时间因子中交易个股的动量策略。 只要这些因子保持正相关,这种策略就有效。然而,因子的自相关性会随着时间的推移而变化,投资者交易股票动量在转为负值时会失效。我们表明,对因子延续的简单衡量可以得到确定动量崩溃和获得超大的利润。动量理论首先需要解释为什么因子回报通常是正自相关的,其次,为什么大多数自相关有时并且突然地同时变为负相关。

    我们的结果与McLean和Ponti-fff(2016年),Avramov et al(2017年)有关,Zaremba和Shemer(2017年),表明超额收益预测了一个月和一年后的超额收益横截面。Baker和Wurgler(2006)表明因子动量的强弱因投资者情绪而显著变化。在低情绪条件下,上一年获得正回报的因子优于那些每月损失71个基点的因子(t值= 4.79)。 在高情绪环境中,这种表现差距仅为18个基点(t值= 1.32)。 这种联系表明,因子动量可能源于资产价值偏离基准价值,后来转向基本价值,这可能是因为资本流动缓慢(Du ffi e,2010)。 根据这种解释,因子可能至少部分与错误定价有关(Kozak等,2018; Stambaugh等,2012)

    我们证明了横截面动量策略的优势几乎完全来自因子回报的自相关; 时间序列因子动量完全包含个股收益的动量(以各种形式); 随着股票动量回报的特征的变化,我们可以预测到自相关因子回报的变化; 而且这种动量并不是一个明显的风险因子。相反,动量因子汇总了其他因子中的自相关。 因为几乎所有因子回报都是自相关的,即动量是不可避免的。 如果动量存在于因子中,并且如果所有资产类别的因子与权益因子相似,那么动量将无处不在。

    2、数据

    我们从三个公共来源获取因子和投资组合数据:Kenneth French,AQR和Robert Stambaugh的数据库.表1列出了因子,开始日期,平均年化回报,回报的标准偏差以及与平均值相关的t值回报。如果未提供关于因子的收益数据,我们使用投资组合数据来计算因子收益。因子收益计算方法为为三个顶部十分位数的平均收益减去三个底部十分位数,其中顶部和底部十分位数被定义以与原始研究相同的方式。

    使用15个美国数据,分别是应计利润,对β因子的投注,现金流量,投资,收益与价格,账面市场,流动性,长期逆转,净股票发行,不良资产以外资产,可盈利性,剩余差异,股权市场价值,短期逆转和动量。除了P'astor和Stambaugh(2003)的流动性因子外,这些因子的回报数据始于1963年7月;流动性因子始于1968年1月。

    七个全球因子为对β因子的投注,投资,账面市场,不良资产以外资产,盈利能力,股权市场价值和动量。除动量因子外,这些因子的收益数据始于1990年7月;动量因子的那些开始于1990年11月。我们在整个研究中使用月度因子回报。

    表1突出显示了年平均回报率的显著变化。例如,全球规模因子的收益率为0.4%,而美国和全球对β因子的投注均为10.0%。因此,波动率的波动性也有显着变化。全球盈利因子的年回报标准差为4.9%;美国动量因子为14.7%。

     

    3、动量因子

    3.1. 基于过去收益的因子收益

    表2显示,因子回报可以通过他们自己的过去回报显著地预测。我们建立时间序列回归模型,其中因变量是因子在月t中的回报,而解释变量是因子从第t-12个月到t-1的前一年的表现的指标变量。如果因子的回报为正,则此指标变量的值为1,否则为零。我们还估计汇总回归来衡量因子收益的可预测性的平均数量。

    表2中的截距测量了一年表现不佳后获得的平均因子回报。斜率系数表示上下年份之间收益的差异。在这些回归中,除美国动量因子外,所有斜率系数均为正值,其中9个估计值在5%水平上显着。虽然所有因子的无条件均为正(表1),但截距显示,在一年表现不佳后,8个因子会获得负平均回报。第一行显示因子的可预测性在经济上和统计上都很大。我们使用所有20个非动量因子的数据来估计这种回归。在一年表现不佳之后,平均异常收益仅为基点(t值= 0.06)。当异常值在前一年的回报率为正时,该回报率将增加51个基点(t值= 4.67)至52个基点。

    3.2. 时序和横截面动量策略的平均收益

    我们现在衡量策略的可行性,这些策略根据过去的回报在因子中采取多头和空头头寸。时间序列动量策略根据过去一年的收益来判断买多或者卖空,如果过去一年收益为正,则买多,若会负,则卖空。横截面动量策略是看多相对于前一年期间的其他因子(获胜者)以及低于中位数回报(失败者)的因子。我们每月重新平衡两种策略。从一系列因子中排除了两种股票动量因子,即美国和全球UMD,以避免引发因子动量与个体股票动量之间的相关性。 因此,两因子动量策略最多交易20个因子; 因子的数量从1964年7月的13开始,到1991年7月增加到20,因为因子的开始日期不同(表1)。

    表3显示了时间序列和横截面因子动量策略的平均回报以及所有20个因子的等权重投资组合。年平均回报率为4.2%,t值为7.60。在横截面策略中,根据定义,赢家和输家组合都有相同数量的因子。在时间序列策略中,这些投资组合中的因子数量各不相同。例如,如果在一年期间有五个具有零以上回报的因子和五个具有低于零回报的因子,那么获胜者策略是做多五个因子,而输家策略是做多剩余的15个因子。时间序列动量策略在所有20个因子根据因子过去的回报的符号来确定对因子的持仓。我们报告了因子动量策略以及这些策略下的输家和赢家组合的收益。这些输家和赢家策略是等权重组合。

    与表2中因子收益持续性的结果一致,两种赢家策略均优于等加权基准,而输家策略表现不佳。 时间序列获胜者组合的平均回报率为6.3%,t值为9.54,横截面获胜者的平均回报率为7.0%,t值为8.98。 两个输家组合的平均回报率分别为0.3%和1.4%,与这些平均值相关的t值分别为0.31和1.95。

    动量策略是关于赢家和输家组合之间的差价。时间序列因子动量策略的年回报率为4.2%(t值= 7.04); 横截面策略的回报率为2.8%(t值= 5.74)。 由于时间序列输家获得接近于零的费用,因此从平均回报的角度来看,在负回报期之后选择做多或做空的因子是无关紧要的。然而,通过所有因子的多样化,时间序列动量策略的标准偏差低于单独的赢家组合(4.3%对4.7%)。

    时间序列和横截面因子动量策略之间的差异在统计上是显着的。在时间序列策略对横截面策略的回归中,估计的斜率为1.0,而有1.4%的α值,t值为4.44。 在时间序列策略的横截面策略的逆向回归中,估计的斜率为0.7,-0.2%的α的t值为-1.02。 因此,时间序列因子动量包含横截面策略,但反之亦然。

    因子动量的一个重要特征是,与因子投资不同,它是“无模型的”。如果因子是自相关的,投资者可以捕获由此产生的动量溢价而无需预先确定该因子的哪一方获得更高的平均回报。例如,考虑SMB因子。 该因子每月的平均回报率为27个基点(见表2),但在正年度之后,其溢价为55个基点,在负年度之后为-15个基点。 对于动量投资者来说,这个因子的“名称”是无关紧要的。通过根据因子的过去收益选择头寸的符号,该投资者获得55个基础的平均回报在小型股票跑赢大型股票之后,通过交易“SMB”因子每月点数; 在小股票表现落后于大股票之后,通过交易“BMS”因子每月回报15个基点。

    图2绘制了与表3中的等权重投资组合和赢家与输家组合相关的累积回报。我们利用该图中的每个策略,使每个策略的波动率等于等权重投资组合的波动率。与其接近零的每月费用一致,即使在52年的样本期结束时,时间序列输家策略的总回报仍接近于零。相比之下,时间序列赢家策略在样本期结束时的收入是被动策略的三倍。虽然表3中A组的横截面赢家策略获得了最高的平均收益,但它更具波动性,因此在波动率调整的基础上,其表现优于时间序列赢家策略。横截面输家策略的收益高于时间序列输家策略:表现不如其他因子但仍能获得正收益的因子往往会在下个月获得正收益。因此,在时间序列策略中,赢家与输家之间的差距要比在横截面策略中大得多。

    3.3. 分解因子动量收益:为什么横截面策略的表现不如时间序列策略?

    1.因子回报的自相关:过去的高因子回报表明未来的高回报,

    2.负交叉协方差:过去的高因子回报表明其他因子的回报率很低

    3.平均回报的横截面变化:某些因子可获得持续的高回报或低回报。

    最后一项与自协方差矩阵无关; 也就是说,即使在没有任何时间序列可预测性的情况下,因子“动量”也会出现(Conrad和Kaul,1998)。横截面策略是做多过去回报率最高的因子,做空过去回报最低的因子; 因此,如果过去的回报是对因子无条件均值的无偏估计,即使没有自动和跨序列协方差模式,横截面动量策略也能获得正回报。

    表4显示等式(4)中的横截面策略获得2.5%的平均年回报率,t值为3.49。 自协方差项平均贡献率为2.9%,超过了所有横截面策略的优势。交叉协方差项是正的,因此,它对该横截面策略的优势产生负面影响(每年-1.0%)。一个因子的正回报也预测了其他因子的正回报,并且横截面策略通过对这种交叉预测而失败。 这个负项超过设定平均值的横截面变化的正面贡献(每年0.5%)。

    其中的定义与等式(3)中的定义相同。 等式(5)表明,时间序列动量优势源于因子回报中的自相关或来自非常正或负的平均回报。

    表4显示时间序列策略的每月溢价为4.9%,t值为4.65。 将这些利润分解为自相关和均方分量表明,这种溢价很大程度上源于因子收益的自相关; 与这两个组成部分相关的年度费用为3.0%(t值为2.61)和1.9%(t值= 4.49)。时间序列策略优于横截面策略,因为它不依赖于呈现负交叉协方差的因子;它纯粹依赖于因子收益中的自相关。

    4、因子动量和个股动量

    4.1. 因子动量向股票收益层面的传导:基本架构

    如果股票收益服从因子结构,则因子动量向会以Jegadeesh和Titman的横截面股票动量形式传导到股票横截面收益。在资产回报的多因子模型中,比如跨期的Merton(1973)的CAPM和Ross(1976)的套利定价模型APT,多种风险来源决定了期望回报。考虑一个因子模型,其资产超额收益服从F因子结构:

    1. 因子回报的正自相关通过第一项引发动量效应带来的利润。Beta的横截面变化扩大了这种效应。

    2. 因子之间的领先滞后关系同样可以带来股票动量效应的利润。该效应的强弱同时取决于因子回报的协方差和因子载荷的协方差。该条件是有限制的:回报的序列交叉相关性和beta的协方差应该有着相同的符号。举例来说,它需要:(1)SMB在1阶段的回报成功预测HML在2阶段的汇报(2)SMB和HML载荷同样正相关。为了结论的有效,该条件需要满足平均的一对因子。

    3. 股票残差回报的自相关同样能增加横截面动量策略的收益率。

    4. 个股平均回报的横截面方差同样带来动量收益。如果股票过去收益为它们无条件均值的无偏估计,横截面动量就是做多高平均回报的股票, 做空低平均收益的股票。

    4.2. 解释由权益动量排序的组合收益

    因子动量是否有助于横截面动量策略的回报?我们先来看等式(9)的第一部分;这是因子回报自相关可以使横截面动量策略增加收益。我们测量了策略的收益性和时序因子动量的联系。时序因子动量策略跟以上是相同的:做多的上年有正回报的因子同时做空上年有负回报的因子。

    在图5中,我们比较了三种根据上一年去除一个月收益排序的资产的组合定价模型表现;排序变量跟构建Carhart(1997)的UMD因子是相同的。第一个模型是Fama-French的五因子模型;第二个是根据UMD因子推广的模型;第三个则是由时序动量策略得到的五因子模型。我们保留十分位来报告模型2和3的UMD和时间序列动量因子的因子载荷的alpha。

    股票动量在Fama-Frence五因子模型中具有很显著的alpha。输家组合的alpha是 -0.78%每月(t值 = -4.06),赢家组合则是0.61%(t值 = 4.89)。alpha的绝对平均值是27个bp。我们通过加入Carhart动量因子显著提高了模型组合定价的能力。月均绝对alpha下降了13个bp,多空收益从1.4%下降到0.3%。然而,与多空组合相关的alpha则是统计量为t=2.53的显著。UMD的斜率随着我们从低部移到顶部十分位,由-0.92到0.58单调递增。

    使用时序动量策略得到的增强模型在对动量组合定价时,表现不亚于,甚至优于Carhart(1997)的六因子模型。月平均绝对alpha下降到12bp;Gibbons等人(1989)的统计量从3.26下降到2.55;同时,高减低alpha从0.29%下降到0.24%(t值等于1.09)。跟Carhart(1997)年模型同理,对因子动量策略估计斜率从-2.44十分位的底部单调递增到1.43十分位的顶部。

    用因子动量增强的五因子模型与用UMD增强的模型表现令人惊讶。由于因子与测试资产根据相同变量排序,Carhart的六因子模型设定了一个很高的标准,也就是说,UMD针对动量而言就像HML针对根据市净率分类的组合。

    4.3. 其它动量因子测试

    从表6中我们得出,除了Jegadeesh和Titman(1993)的“标准“个股动量,因子动量完全包含了横截面动量策略的信息量。除了UMD因子,根据股票上一年剔除一个月的回报分类,我们构造了其它三个利用相同方法的动量因子:根据行业调整回报分类的Cohen和Polk(1998)行业调整动量;Novy-Marx(2012)按照t-12到t-7月份回报排序的中间动量;以及Rachev等人根据收益波动率得到的的夏普比率动量。我们同时构建了Moskowitz 和Grinblatt(1999)的行业动量策略。该策略将20个行业根据前六个月的收益排序,做多前三,做空后三。

    表6中A组介绍了其它动量因子以及时序因子动量策略。每一个因子都有统计上显著的平均回报和Fama-French五因子模型alphas。尽管与时间序列动量策略相关的平均回报是最低的,0.35%每月,它同时也是波动性最小的。

    B组中前两2列表明跨界回归的因变量是其中一个动量因子的估计。该模型是Fama-French的因子动量增强五因子模型。这些回归能够从投资和资产定价的角度得到。从投资的角度来说,一个统计性显著的alpha表明投资者可以通过在交易右侧因子(Huberman和Kandel,1987)的基础上,同时交易左侧因子来获得一个更高的夏普比率。从资产定价的角度而言,一个统计性显著的alpha表明了只含右侧变量的资产定价模型会被一个只含左侧因子的模型决定(Barillas和Shanken,2017)。

    虽然所有动量定义都能获得统计性显著平均收益和五因子模型alpha,因子动量都存在。与图5相同,时间序列因子动量以0.01%每月(t值=0.07)偏离标准动量(UMD)。图6表明动量因子同时存在于其它四种动量中。五者当中t值最大的为中间动量,为1.64。

    表6的最后两列表明没有其它的动量解释出现在时间序列因子动量中。在该组中出现的6个分类,由因子动量获得的alpha的最低的t值为3.73。.最后因子增加了Fama-French五因子模型的五个动量因子。该具体因子动量的alpha是t值为3.96的显著。表6表示因子动量同时包含不以其它动量形式表现信息,同时,当控制因子动量时的股票回报。也没有其它动量形式有横截面股票回报的信息。

    因子动量据有跨越个股动量的能力,但不是反之亦然,表示了个股动量是因子动量的一个表现形式。一个间接把因子相乘的个股动量投资者不如一个直接将因子相乘的表现的更好。间接方法失效在于其根据噪音建仓。其它动量收益的来源也不会对这些收益做出贡献,故将它们纳入其中使策略变得不必要的不稳定。

    4.4. 动量失效分析

    个股动量有时会失效。如果动量策略的收益从因子自相关源于因子的自相关,那么动量失效则源于应当这些自相关变化。这代表了一个可以额外验证因子动量驱动个股动量的预测命题。我们通过构造一个源于等式(9)平均因子的代表式来验证此联系。我们可以将该项写为因子自相关的函数:

    在图4中,我们根据其自相关指数的符号将样本分为两个区间,同时将UMD收益的分布条件画在区间上。在正自相关(其平均因子和去年向通向运动)区间内,UMD的回报为非常典型的正。在这些月份的UMD的平均回报是2.4%,其波动率则为3.3%。在负自相关区间内,也就是平均因子与其过去方向相反,UMD的平均回报为-1.6%,标准差则是4.4%。

    在附录4.5中,我们证明了因子自相关指数与动量的失效和“非常有效”有着显著的联系。每一单位指数增加会减少15%动量失效的概率(z值为-6.78)。因子动量因此无条件的解释了所有的UMD回报,同时因子自相关的变化解释了动量可能会失效。当因子动量停止时,结果因子回报的“反向”影响了股票收益以及使股票动量失效。

    4.5. 个股动量与因子与其它类因子集的因子动量对比

    因子动量策略根据20个因子建仓。表5和6表现了完整的因子动量解释个股动量的过程。在图3中我们测量到因子动量中对数字和因子特征都敏感的结果。

    在该图中,我们构建了随机因子组合,从一个因子到全部20个因子。接着我们构建了在随机因子集上交易的因子动量模型策略然后估计出两个回归。第一个回归是Fama-French五因子模型,其因变量是因子动量策略。第二个回归的因变量是UMD,模型是用因子动量增强的Fama-French五因子模型。我们对不同的集合大小得到了20,000种随机组合,记录下与该模型相关alpha的t值,然后将t的平均值作为因子数的一个函数画图。比如说在图3中,我们还知道UMD五因子模型alpha的t值。

    图3表现了因子动量五因子模型alpha的t值会随着因子的数目单调增加。当策略在多和空之间由于一个因子而交替时,平均的t值是2.91;当交易10个因子时,是6.30;当达到20个因子的时候,是7.05。同时,因子动量在UMD中跨越能力有所提升。典型的单因子动量策略使UMD的alpha统计显著,t值为2.96。然而,当因子数量增加到10,平均的t值会减少到1.24;用全部的20个因子时,t值为0.07。这些估计表明因子动量在UMD中跨越的能力并不是针对特定因子而言的;随着因子数目的增加,大部分因子集中存在的自相关总体能解释个股的动量。图3支持了我们在因子回报中发现的有关个股动量是自相关性的总和的言论,我们发现的因子越多,越能更好的捕捉UMD收益。

    4.6. 动量不是一个独立的风险因子

    4.6.1因子与动量“因子”的条件相关性

     如果因子回报的自相关有助于提升这些策略的利润,那么当“实现”因子回报的正自相关的时候这些策略就应该获得更多的利润。

    我们首先通过Carhart(1997)UMD因子测量因子的相关性,检验了因子动量和个股动量之间的联系。在表7中,我们得出了3个互相估计的相关性:非条件相关,基于上一年回报为正的因子条件性相关,以及回报为负的条件相关。

    表7表明因子和UMD的非条件相关性很低,在20个个体因子的相关性中有11个因子的相关性为正,同时UMD与20个因子组合的相关性为0.05。该相关性建立在过去回报的条件上,然而,却非常的不一样。除了短期逆向因子,当过去回报为正时所有因子与UMD的联系更紧密。在19个因子中,有17个都具有5%水平的统计显著性区别。在第一行,我们根据过去的回报,每月将所有因子分成两组。估计表明正过去回报的因子组与UMD有着0.44的相关性;负回报的组则有着-0.5的相关性。

    由于动量和其它因子的非条件相关性接近0,大部分因子模型,比如五因子模型,没有解释任何动量收益的原因。然而这个结果并不表示动量与其它因子“相关”。表7表明非条件相关性接近0只因为相关性会显著的随着时间变化。实际上,动量表现出与所有因子相关!

    4.6.2 多元化效益

    因子动量和个股动量关系表明了动量多元化带来的收益比非条件相关所展现的更加难以捉摸。比方说,价值和动量之间的相互作用。表7表明UMD与U.S. HML的非条件相关系数是-0.17,与全球HML为-0.16。这些负相关性欲Asness等人(2013)的发现相一致。然而在同表中,这些相关性很大程度上随着HML去年的表现变化。比如在美国,当HML有正回报时相关性为0.22,负回报时相关性为-0.57。符号的变化很重要,因为HML的回报同样取决于其之前的回报,这是因子动量的精髓所在!在负回报年,U.S. HML的月平均回报为15bp,在正回报年则为43bp。

    由于个股动量,价值以及HML回报自相关的相互作用,动量和价值多元化的作用是有限的。图5通过考虑Asness等人(2013)的50-50动量/价值策略以及有时用现金代替价值的其它动态策略说明了该问题。如果HML在月份t时有着正的年回报,该策略就是50-50动量/价值策略。然而,如果HML的回报为负,该策略变为了动量/现金策略。动量和价值在这里都是零投资组合,我们将现金收益设为0,该持仓通过购买T-bill来构建。图5表明原始和动量策略没有明显区别;投资者从负相关性中没有获利。

    该结果并不是仅限于动量价值相关性。表7表明几乎所有的因子如果表现不好,对动量“多元化”的效果更好。该现象适用于几乎所有因子:当一个因子如果和动量负相关时,该因子很典型的会处于无有价值回报的阶段。这种阶段依赖的相关性是直接来自于动量本身,动量不是与其它因子独立存在的。

    5、投资者情绪和因子动量

    Stambaugh等人(2012)表明许多异常回报紧紧跟随着情绪水平,这种效应源于异常回报的缺陷。它们表明了这些发现与用来解释非正常回报的错误定价是一致的:异常回报可能是由于在卖空限制的情况下存在的持续错误定价而导致的。

    因子动量可能是该机制的不同表现形式。如果是某一市场层面,比如成长股,价格过高,由于做空限制的存在,此过高的定价可能需要一定的时间来进行自我修正,推广来说,缓慢的资本流动也是如此(Duffie, 2010)。也就是说,资产价格不会立即回到基本面水平,但是会随着时间的推移向其收敛。

    跟随着Stambaugh等人 (2012),我们将Baker and Wurgler每月情绪指数和一系列宏观变量回归得到残差项作为投资者情绪的衡量指标。直观表现为乐观与悲观的残差项不由宏观经济的状态来决定。

    在表8中,我们衡量投资者情绪与因子动量之间的相互作用。我们将月份t根据其是否高于或者低于月份t的平均值分为高和低情绪区间,同理可以得到表格3中的赢输组合,我们根据每个因子上一年平均回报的正负号来将每个因子分为赢和输。平均表现差因子在低情绪环境中获得-22个bp的负回报(t值为-2.1),在相同的环境中,在上一年有着正回报的因子获得了50个bp的收入(t值为6.11)。这71个bp的差距十分显著(t值为4.79的)。然而在高情绪环境中,这个差别只有18个bp,其t值为1.32.

    这两个区间的差别是由于失败因子导致的。在高情绪环境中,之前的失败者平均回报显著高于低情绪环境。这是Stambaugh等人(2012)的发现:平均因子在高情绪环境中有着更高的回报。表8的结果与对因子动量的解释保持一致,推广来说,对所有个股动量的解释也是如此。错误的定价需要一定时间形成,同时由于套利的存在,即使是套利者的进入也不会使一个资产的价值立即回到其最基本的价格。因子动量可能发生于资产价格向其基本面价格变化的时候。

    6、总结

    正自相关是因子回报的普遍特征。回报率为正的因子上一年度获得了显着的收益;那些负回报的则获得了接近于0的收益。因子动量是一种基于因子回报自相关性的策略。

    在股票收益符合因子结构的假设下,我们通过分解股票动量将因子动量与个体股票动量联系起来。该结果显示因子回报中的自相关传递到股票因子载荷的变化带来的股票收益层面。与此分解一致,我们得到因子动量解释了Jegadeesh和Titman(1993)以及其它形式的标准动量:行业调整动量,行业动量,中间动量,和夏普动量。相比之下,这些其它动量因子并不能解释因子动量。我们的结果仅仅意味着动量不是一个独特的因子;相反,一个动量“因子”是其它因子的自相关的总和。交易动量的投资者会间接将因子相乘。因此,这种策略的利润和损失最终取决于因子回报中的自相关是否为正。

    另一个可以验证的有关个股动量的结论来源于与动量失效有关的因子动量。如果个别关于因子的股票动量最终失效,那么也应追溯到这些因子。的确,我们表明当因子的自相关突然停止时,这种动量就会失效。这些结果可以指导未来的研究。动量理论需要解释为什么因子通常正自相关,以及为什么有时候几乎所有这些自相关同时变为负面。

    我们的结果表明个股动量不太可能与公司特定的新闻相关,大多数因子都是如此多样化,以至于它们可能会清除所有公司特定的信息。我们对因子动量与投资者情绪之间关系的结果表明因子的自相关,推广到个股动量,可能源于错误定价。因子回报可能正自相关,因为错误定价会逐渐均值回归:随着套利者从错误定价中获利,远离其基本面的资产价格后来一定会向其基本面价格变化。

    来源:量化先行者     作者:天风金工吴先兴团队

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    1. 质点的动量定理
    (mv)' = F
    质点动量对时间的变化率等于质点所受的力
    (mv)2 - (mv)1 = I
    质点动量的增量等于质点所受的力的冲量

    2.1 质点系的动量定理
    每个质点的动量的变化率 等于 所受的内力与外力之和   (mivi)' = Fi+Fi*    式1     注:Fi*表示第i个质点受到的内力
    质点系 就是对式1求和,质点系的内力为0   则Σ(mivi)' = ΣFi  式2

    质点系的动量定理:质点系所受外力的矢量和 等于 质点系动量的变量率

    将式2积分,得 [Σ(mivi)]2 - [Σ(mivi)]1 = ΣIi   表示t2时刻的质点系动量 减去 t1时刻的质点系动量
    质点系的动量定理/冲量定理:质点系所受外力的冲量的矢量和 等于 质点系动量的增量

    这是微分与积分下的两种表达方式。

    2.2 质点系的动量守恒定理
    (mv)' = ΣFi 
    ΣFi = 0 则 mv = C

    质点系的动量守恒定理:质点系所受外力的矢量和为0 则质点系的动量守恒。 也可以说质点系所受外力的冲量的矢量和为0 则质点系动量守恒。

    注:dI = Fdt

    2.3 质心运动定理
    Σ(mivi)' = ΣFi = a*Σmi
    质点系的动量 等于 质点系质量与其质心加速度的乘积

    注:只有外力才能使质心的运动发生改变。但外力 与 内力 都会使其他质点的运动发生改变。

    ======================================================

    1.1 质点A对固定点O的动量矩
    Lo = rXmv   方向:位矢 叉乘 速度

    1.2 质点A对过O点的Z轴的动量矩
    (Lo)z = Lz   质点A对O点的动量矩在Z轴的投影 等于 质点A对Z轴的动量矩

    1.3 质点的动量矩定理
    (Lx)' = Mx    (Ly)' = My   (Lz)' = Mz
    质点动量对任一固定轴的矩 随时间的变化率 等于 该质点所受的力对该固定轴的矩
    (Lo)' = Mo
    质点动量对任一固定点的矩 随时间的变化率 等于 该质点所受的力对该固定点的矩

    1.4 质点的动量矩守恒定理
    质点A所受的力对固定轴x的力矩为0 则质点A对固定轴x的 动量矩守恒
    质点A所受的力对固定点o的力矩为0  则质点A对固定点o的 动量矩守恒

    2.1 质点系的动量矩定理
    质点系动量对任一固定轴的矩 随时间的变化率 等于 质点系所受的外力对该固定轴的矩的矢量和
    质点系动量对任一固定点的矩 随时间的变化率 等于 质点系所受的外力对该固定点的矩的矢量和
    注:只有针对质点系才有内力与外力一说,内力指质点与质点之间的相互作用力。

    2.2 质点系的动量矩守恒定理
    质点系的外力对固定轴x的力矩为0 则质点系对固定轴x的 动量矩守恒
    质点系的外力对固定点o的力矩为0 则质点系对固定点o的 动量矩守恒

    3.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩
    Lx = Jx*w

    3.2 平行轴定理
    注:类比于面积惯性矩
    Jz' = Jz + mh**2
    刚体对z‘轴的转动惯量 等于 刚体对于z’平行且过其质心的z轴的转动惯量 + 两平行轴之间的距离h的平方乘以刚体质量

    ================================================

    1.1 力的元功
    d'W = F*dr  力矢 点乘 元位移
    元功是一个标量

    1.2 质点系内力功
    刚体内力的功一般不为0

    2.1 质点动能定理
    dT = d'W
    质点动能的微分等于所受力的元功

    T2 - T1 = W
    质点动能的增量等于所受力在此过程做的功

    2.2 质点系动能定理
    质点系动能的增量等于所受内力与外力在此过程做的功的代数和
     

    =============================================

    对比:
    冲量 Fdt    功 Fdr  前者是F在时间的累积,后者是F在空间的累积
    动能、功是标量,动量、冲量是矢量,动能、动量是状态量,功、冲量是过程量
     

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