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  • 1.原理   运用物理学上的动量思想,在梯度下降的问题中引入动量项 mmm 和折扣因子 γ\gammaγ,公式为:mt=γmt+1m_t=\...  在分析动量算法之前,我们先来了解指数加权平均的含义。假定给一个序列,例如北京一年每

    1.原理

      运用物理学上的动量思想,在梯度下降的问题中引入动量项 m m m 和折扣因子 γ \gamma γ,公式为: m t = γ m t + 1 m_t=\gamma m_{t+1} mt=γmt+1其中 m m m 是动量项 m m m的指数加权平均后的值, γ \gamma γ表示历史梯度的影响力,也就是权重值, γ \gamma γ越大,权重越大。从直观上看,如果当前时刻的梯度与历史梯度方向趋近,这种趋势会在当前时刻加强,否则减弱。

    2.指数加权平均

      在分析动量算法之前,我们先来了解指数加权平均的含义。假定给一个序列,例如北京一年每天的气温值,图中蓝色的点代表真实数据:

    这时温度值波动比较大,我们使用加权平均值来进行平滑,如下图红线就是平滑后的结果:
    在这里插入图片描述
    计算方法如下所示:
    S t = { Y 1 ,                                  t = 1 β S t − 1 + ( 1 − β ) Y t , t > 1 S_t= \begin{cases} Y_1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t=1\\ \beta S_t-1+(1-\beta)Y_t, t>1 \end{cases} St={Y1,                                t=1βSt1+(1β)Ytt>1
      其中 Y t Y_t Yt t t t时刻的真实值, S t S_t St t t t时刻加权后的平均值, β \beta β为权重值。红线即是指数加权平均后的结果。
    上图中 β \beta β设为0.9,那么指数加权平均的计算结果为:

    S 1 = Y 1 S_1=Y_1 S1=Y1

    S 2 = 0.9 S 1 + 0.1 Y 2 S_2=0.9S_1+0.1Y_2 S2=0.9S1+0.1Y2

    S 3 = 0.9 S 2 + 0.1 Y 3 S_3=0.9S_2+0.1Y_3 S3=0.9S2+0.1Y3

    ⋯ \cdots

    S 99 = 0.9 S 98 + 0.1 Y 99 S_{99}=0.9S_{98}+0.1Y_{99} S99=0.9S98+0.1Y99

    S 100 = 0.9 S 99 + 0.1 Y 100 = 0.9 ( 0.9 S 98 + 0.1 Y 99 ) + 0.1 Y 100 = 0.9 × 0.9 S 98 + 0.09 Y 99 + 0.1 Y 100 = 0.9 × 0.9 ( 0.9 S 97 + 0.1 Y 98 ) + 0.1 × 0.9 Y 99 + 0.1 Y 100 = 0.1 Y 100 + 0.1 × ( 0.9 ) 1 Y 99 + 0.1 × ( 0.9 ) 2 Y 98 + ⋯ + 0.1 × ( 0.9 ) 99 Y 1 \begin{aligned} S_{100}&=0.9S_{99}+0.1Y_{100}\\ &=0.9(0.9S_{98}+0.1Y_{99})+0.1Y_{100}\\ &=0.9\times0.9S_{98}+0.09Y_{99}+0.1Y_{100}\\ &=0.9\times0.9(0.9S_{97}+0.1Y_{98})+0.1\times 0.9Y_{99}+0.1Y_{100}\\ &=0.1Y_{100}+0.1\times(0.9)^1Y_{99}+0.1\times(0.9)^2Y_{98}+\cdots+0.1\times(0.9)^{99}Y_1 \end{aligned} S100=0.9S99+0.1Y100=0.9(0.9S98+0.1Y99)+0.1Y100=0.9×0.9S98+0.09Y99+0.1Y100=0.9×0.9(0.9S97+0.1Y98)+0.1×0.9Y99+0.1Y100=0.1Y100+0.1×(0.9)1Y99+0.1×(0.9)2Y98++0.1×(0.9)99Y1
      从上边式子可知:实质上是以指数式递减加权的移动平均。各数值的加权随时间而呈指数式递减,越近期的数据加权越重,越旧的数据加权越小,但是仍有相应的加权。我们可以看到指数加权平均的求解过程实际上是一个递推的过程,那么这样就会有一个非常大的好处,每当我要求从0到某一时刻(n)的平均值的时候,并不需要像普通求解平均值那样,保留所有时刻值,求和,然后除以n。而是只需要保留0~(n-1)时刻的平均值和n时刻的温度值即可。也就是每次只需要保留常数值,然后进行运算即可,这对于深度学习中的海量数据来说,是一个很好的减少内存和空间的做法。另外, β \beta β值设置的越大,曲线越平滑,相反,曲线越震荡。

    3 动量梯度下降算法

      动量梯度下降(Gradient Descent with Momentum)计算梯度的指数加权平均数,并利用该值来更新参数值。

    S d W = β S d W + ( 1 − β ) d W S_{dW}=\beta S_{dW}+(1-\beta)dW SdW=βSdW+(1β)dW

    S d b = β S d b + ( 1 − β ) d b S_{db}=\beta S_{db}+(1-\beta)db Sdb=βSdb+(1β)db

    因此:

    W = W − α S d W W=W-\alpha S_{dW} W=WαSdW

    b = b − α S d b b=b-\alpha S_{db} b=bαSdb

    与原始的梯度下降相比,动量梯度下降趋势更加平滑。
    在这里插入图片描述
      在tf.keras中使用Momentum算法仍使用功能SGD方法,但要设置momentum参数,实现过程如下:

    # 导入相应的工具包
    import tensorflow as tf
    # 实例化优化方法:SGD 指定参数beta=0.9
    opt = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=0.1, momentum=0.9)
    # 定义要调整的参数,初始值
    var = tf.Variable(1.0)
    val0 = var.value()
    # 定义损失函数
    loss = lambda: (var ** 2)/2.0         
    #第一次更新:计算梯度,并对参数进行更新,步长为 `- learning_rate * grad`
    opt.minimize(loss, [var]).numpy()
    val1 = var.value()
    # 第二次更新:计算梯度,并对参数进行更新,因为加入了momentum,步长会增加
    opt.minimize(loss, [var]).numpy()
    val2 = var.value()
    # 打印两次更新的步长
    print("第一次更新步长={}".format((val0 - val1).numpy()))
    print("第二次更新步长={}".format((val1 - val2).numpy()))
    

    结果是:

    第一次更新步长=0.10000002384185791
    第二次更新步长=0.18000000715255737
    
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  • 动量:动量算法实验代码
  • momentum动量算法详解

    千次阅读 2019-10-29 11:46:24
    momentum动量算法详解 1.原理 先看作用: 保留历史梯度对现有梯度的影响,具有减小梯度震荡,加速模型训练的作用。 再看解释: 如图所示,红色为SGD+Momentum。黑色为SGD。可以看到黑色为典型Hessian矩阵病态的情况...

    momentum动量算法详解

    1.原理

    先看作用:

    保留历史梯度对现有梯度的影响,具有减小梯度震荡,加速模型训练的作用。

    再看解释:
    在这里插入图片描述
    如图所示,红色为SGD+Momentum。黑色为SGD。可以看到黑色为典型Hessian矩阵病态的情况,相当于大幅度的徘徊着向最低点前进。

    而由于动量积攒了历史的梯度,如点P前一刻的梯度与当前的梯度方向几乎相反。因此原本在P点原本要大幅徘徊的梯度,主要受到前一时刻的影响,而导致在当前时刻的梯度幅度减小。

    直观上讲就是,要是当前时刻的梯度与历史时刻梯度方向相似,这种趋势在当前时刻则会加强;要是不同,则当前时刻的梯度方向减弱。

    2.算法实现

    算法原理:

    在这里插入图片描述

    pytorch-SGD+Momentum源码:

    class SGD(Optimizer):
        .... #函数注释
    
        def __init__(self, params, lr=required, momentum=0, dampening=0,
                     weight_decay=0, nesterov=False):
            ... #初始化
    
        def __setstate__(self, state):
            super(SGD, self).__setstate__(state)
            for group in self.param_groups:
                group.setdefault('nesterov', False)
    
        def step(self, closure=None):
            """Performs a single optimization step.
    
            Arguments:
                closure (callable, optional): A closure that reevaluates the model
                    and returns the loss.
            """
            loss = None
            if closure is not None:
                loss = closure()
    
            for group in self.param_groups:
                weight_decay = group['weight_decay']
                momentum = group['momentum'] 	#动量参数α
                dampening = group['dampening']
                nesterov = group['nesterov']
    
                for p in group['params']:
                    if p.grad is None:
                        continue
                    d_p = p.grad.data
                    if weight_decay != 0:
                        d_p.add_(weight_decay, p.data)# d_p = d_p + (weight_decay * p)
                    if momentum != 0:
                        param_state = self.state[p]	#存放辅助性的参数
                        if 'momentum_buffer' not in param_state:
                            buf = param_state['momentum_buffer'] = torch.zeros_like(p.data)	#开辟内存空间,存放动量参数
                            buf.mul_(momentum).add_(d_p)# buf = buf * momentum + d_p
                        else:
                            buf = param_state['momentum_buffer']
                            buf.mul_(momentum).add_(1 - dampening, d_p)# buf = momentum * buf + (1 - dampening) * d_p
                        if nesterov:
                            d_p = d_p.add(momentum, buf)# d_p = d_p + momentum * buf
                        else:
                            d_p = buf
    
                    p.data.add_(-group['lr'], d_p)# p = p - lr * d_p
    
            return loss
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  • BP动量算法仿真

    2013-05-13 05:30:44
    动量算法改进的BP算法matlab仿真实例,经验证。证 明一个3层的BP网络能够实现任意的连续映射,可以任意 精度逼近任何给定的连续函数 。
  • Bkprop Köhnəproqramlarınyenihəyatı。 BkpropС#-da。
  • 动量法 使用梯度下降法,每次都会朝着目标函数下降最快的方向,这也称为最速下降法。这种更新方法看似非常快,实际上存在一些问题。 1. 梯度下降法的问题 考虑一个二维输入,[x1,x2][x_1, x_2][x1​,x2​],输出的...

    动量法

    使用梯度下降法,每次都会朝着目标函数下降最快的方向,这也称为最速下降法。这种更新方法看似非常快,实际上存在一些问题。

    1. 梯度下降法的问题

    考虑一个二维输入, [ x 1 , x 2 ] [x_1, x_2] [x1,x2],输出的损失函数 L : R 2 → R L: R^2 \rightarrow R L:R2R,下面是这个函数的等高线:

    在这里插入图片描述

    可以想象成一个很扁的漏斗,这样在竖直方向上,梯度就非常大,在水平方向上,梯度就相对较小,所以我们在设置学习率的时候就不能设置太大,为了防止竖直方向上参数更新太过了,这样一个较小的学习率又导致了水平方向上参数在更新的时候太过于缓慢,所以就导致最终收敛起来非常慢。

    2. 动量法

    动量法的提出就是为了应对这个问题,我们梯度下降法做一个修改如下:

    v i = γ v i − 1 + η ∇ L ( θ ) v_i = \gamma v_{i-1} + \eta \nabla L(\theta) vi=γvi1+ηL(θ)

    θ i = θ i − 1 − v i \theta _i = \theta_{i-1} - v_i θi=θi1vi

    其中 v i v_i vi 是当前速度, γ \gamma γ 是动量参数,是一个小于 1的正数, η \eta η 是学习率

    相当于每次在进行参数更新的时候,都会将之前的速度考虑进来,每个参数在各方向上的移动幅度不仅取决于当前的梯度,还取决于过去各个梯度在各个方向上是否一致,如果一个梯度一直沿着当前方向进行更新,那么每次更新的幅度就越来越大,如果一个梯度在一个方向上不断变化,那么其更新幅度就会被衰减,这样我们就可以使用一个较大的学习率,使得收敛更快,同时梯度比较大的方向就会因为动量的关系每次更新的幅度减少,如下图

    在这里插入图片描述

    比如我们的梯度每次都等于 g,而且方向都相同,那么动量法在该方向上使参数加速移动,有下面的公式:

    v 0 = 0 v_0 = 0 v0=0

    v 1 = γ v 0 + η g = η g v_1 = \gamma v_0 + \eta g = \eta g v1=γv0+ηg=ηg

    v 2 = γ v 1 + η g = ( 1 + γ ) η g v_2 = \gamma v_1 + \eta g = (1 + \gamma) \eta g v2=γv1+ηg=(1+γ)ηg

    v 3 = γ v 2 + η g = ( 1 + γ + γ 2 ) η g v_3 = \gamma v_2 + \eta g = (1 + \gamma + \gamma^2) \eta g v3=γv2+ηg=(1+γ+γ2)ηg

    ⋯ \cdots

    v + ∞ = ( 1 + γ + γ 2 + γ 3 + ⋯   ) η g = 1 1 − γ η g v_{+ \infty} = (1 + \gamma + \gamma^2 + \gamma^3 + \cdots) \eta g = \frac{1}{1 - \gamma} \eta g v+=(1+γ+γ2+γ3+)ηg=1γ1ηg

    如果我们把 γ \gamma γ 定为 0.9,那么更新幅度的峰值就是原本梯度乘学习率的 10 倍。

    本质上说,动量法就仿佛我们从高坡上推一个球,小球在向下滚动的过程中积累了动量,在途中也会变得越来越快,最后会达到一个峰值,对应于我们的算法中就是,动量项会沿着梯度指向方向相同的方向不断增大,对于梯度方向改变的方向逐渐减小,得到了更快的收敛速度以及更小的震荡。

    下面我们手动实现一个动量法,公式已经在上面了:

    def sgd_momentum(parameters, vs, lr, gamma):
        for param, v in zip(parameters, vs):
            v[:] = gamma * v + lr * param.grad.data
            param.data = param.data - v
    
    import numpy as np
    import torch
    from torch.utils.data import DataLoader
    from torchvision.datasets import MNIST
    import torch.nn as nn
    import torch.nn.functional as F
    
    import time
    import matplotlib.pyplot as plt
    %matplotlib inline
    
    def data_tf(x):
        x = np.array(x, dtype='float32') / 255
        x = (x - 0.5) / 0.5 # 标准化,这个技巧之后会讲到
        x = x.reshape((-1,)) # 拉平
        x = torch.from_numpy(x)
        return x
    
    # 使用MNIST数据集,没有的话需要下载
    train_set = MNIST('./data', train=True, transform=data_tf) # 载入数据集,申明定义的数据变换
    test_set = MNIST('./data', train=False, transform=data_tf)
    
    # 定义 loss 函数
    criterion = nn.CrossEntropyLoss()
    
    # DataLoader 对数据进行加载打包
    train_data = DataLoader(train_set, batch_size=64, shuffle=True)
    # 使用 Sequential 定义 3 层神经网络
    net = nn.Sequential(
        nn.Linear(784, 200),
        nn.ReLU(),
        nn.Linear(200, 10),
    )
    
    # 将速度初始化为和参数形状相同的零张量
    vs = []
    for param in net.parameters():
        vs.append(torch.zeros_like(param.data))
    
    # 开始训练
    losses = []
    
    start = time.time() # 记时开始
    for e in range(5):
        train_loss = 0
        for im, label in train_data:
    
            # 前向传播
            out = net(im)
            loss = criterion(out, label)
            # 反向传播
            net.zero_grad()
            loss.backward()
            sgd_momentum(net.parameters(), vs, 1e-2, 0.9) # 使用的动量参数为 0.9,学习率 0.01
            # 记录误差
            train_loss += loss.item()
    
            losses.append(loss.item())
        print('epoch: {}, Train Loss: {:.6f}'
              .format(e, train_loss / len(train_data)))
    end = time.time() # 计时结束
    print('使用时间: {:.5f} s'.format(end - start))
    
    epoch: 0, Train Loss: 0.363505
    epoch: 1, Train Loss: 0.173747
    epoch: 2, Train Loss: 0.124349
    epoch: 3, Train Loss: 0.101248
    epoch: 4, Train Loss: 0.084900
    使用时间: 21.00233 s
    

    可以看到,加完动量之后 loss 能下降非常快,但是一定要小心学习率和动量参数,这两个值会直接影响到参数每次更新的幅度,所以可以多试几个值

    当然,pytorch 内置了动量法的实现,非常简单,直接在torch.optim.SGD(momentum=0.9) 即可,下面实现一下

    train_data = DataLoader(train_set,batch_size = 64,shuffle=True)
    
    # 使用nn.Module定义3层网络
    
    class my_net(nn.Module):
        def __init__(self):
            super(my_net,self).__init__()
            self.L1 = nn.Linear(784,200)
            self.L2 = nn.Linear(200,10)
            
        def forward(self,x):
            x = F.relu(self.L1(x))
            x = F.relu(self.L2(x))
            return x
    
    net=my_net()
    print(net)
    
    my_net(
      (L1): Linear(in_features=784, out_features=200, bias=True)
      (L2): Linear(in_features=200, out_features=10, bias=True)
    )
    
    import torch.optim as optim
    optimizer=optim.SGD(net.parameters(),lr=1e-2,momentum=0.9)
    
    criterion = nn.CrossEntropyLoss()
    
    ## 开始训练
    losses = []
    idx=0
    start = time.time()# 计时开始
    for e in range(5):
        train_loss=0
        for im,label in train_data:
            # 前向传播
            out = net(im)
            loss = criterion(out,label)
            
            # 反向传播
            optimizer.zero_grad()
            loss.backward()
            optimizer.step()
            
            # 记录误差
            train_loss += loss.item()
            if idx%30==0: # 30步记录一次
                losses.append(loss.item())
            idx += 1
            
        print(f'epoch:{e},Train Loss:{train_loss/len(train_data):.6f}')
    end = time.time()
    print(f'使用时间:{end-start:.6f}s')
    
    epoch:0,Train Loss:0.253888
    epoch:1,Train Loss:0.236733
    epoch:2,Train Loss:0.221444
    epoch:3,Train Loss:0.206973
    epoch:4,Train Loss:0.193939
    使用时间:19.242222s
    
    x_axis = np.linspace(0, 5, len(losses), endpoint=True)
    plt.semilogy(x_axis, losses, label='momentum: 0.9')
    plt.legend(loc='best')
    
    <matplotlib.legend.Legend at 0x19ab8e64808>
    

    在这里插入图片描述

    我们可以对比一下不加动量的随机梯度下降法

    # 使用 Sequential 定义 3 层神经网络
    net = nn.Sequential(
        nn.Linear(784, 200),
        nn.ReLU(),
        nn.Linear(200, 10),
    )
    
    optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=1e-2) # 不加动量
    # 开始训练
    losses1 = []
    idx = 0
    start = time.time() # 记时开始
    for e in range(5):
        train_loss = 0
        for im, label in train_data:
    
            # 前向传播
            out = net(im)
            loss = criterion(out, label)
            # 反向传播
            optimizer.zero_grad()
            loss.backward()
            optimizer.step()
            # 记录误差
            train_loss += loss.item()
            if idx % 30 == 0: # 30 步记录一次
                losses1.append(loss.item())
            idx += 1
        print('epoch: {}, Train Loss: {:.6f}'
              .format(e, train_loss / len(train_data)))
    end = time.time() # 计时结束
    print('使用时间: {:.5f} s'.format(end - start))
    
    epoch: 0, Train Loss: 0.748911
    epoch: 1, Train Loss: 0.366224
    epoch: 2, Train Loss: 0.320932
    epoch: 3, Train Loss: 0.294529
    epoch: 4, Train Loss: 0.272778
    使用时间: 18.94132 s
    

    补充:格式化输出

    a= 1.23333233313

    • print(‘a:{:.6f}’.format(a))
    • print(f’a:{a:.6f}’)
      两种输出形式是一样的
    x_axis = np.linspace(0, 5, len(losses), endpoint=True)
    plt.semilogy(x_axis, losses, label='momentum: 0.9')
    plt.semilogy(x_axis, losses1, label='no momentum')
    plt.legend(loc='best')
    
    <matplotlib.legend.Legend at 0x19aba401048>
    

    在这里插入图片描述

    可以看到加完动量之后的 loss 下降的程度更低了,可以将动量理解为一种惯性作用,所以每次更新的幅度都会比不加动量的情况更多。

    参考:PyTorch中文手册

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  • 优化算法-momentum(动量法)

    千次阅读 2020-03-13 21:53:38
    关于梯度下降的三个算法:梯度下降,随机梯度下降,以及小批量皮杜下降已经在该篇博文中介绍:https://blog.csdn.net/weixin_42109859/article/details/104822335 但对梯度下降使用同一固定不变的超参数会引发一些...

    关于梯度下降的三个算法:梯度下降,随机梯度下降,以及小批量皮杜下降已经在该篇博文中介绍:https://blog.csdn.net/weixin_42109859/article/details/104822335
    但对梯度下降使用同一固定不变的超参数会引发一些问题。
    例如当我们的目标函数为 f ( x ) = 0.1 x 1 2 + 2 x 2 2 f(\boldsymbol{x})=0.1x_1^2+2x_2^2 f(x)=0.1x12+2x22,学习率采用0.4时,其损失的迭代轨迹如下:
    在这里插入图片描述
    可以看到,同一位置上,目标函数在竖直方向( x 2 x_2 x2轴方向)比在水平方向( x 1 x_1 x1轴方向)的斜率的绝对值更大。因此,给定学习率,梯度下降迭代自变量时会使自变量在竖直方向比在水平方向移动幅度更大(由于x2的系数为2造成竖直方向更新更快)。那么,我们需要一个较小的学习率从而避免自变量在竖直方向上越过目标函数最优解。然而,这会造成自变量在水平方向上朝最优解移动变慢。
    若将学习率调的稍大,则此时自变量在竖直方向不断越过最优解并逐渐发散。
    在这里插入图片描述

    动量法

    基于指数加权移动平均的思想,提出了动量法予以解决上述问题。设时间步 t t t的自变量为 x t \boldsymbol{x}_t xt,学习率为 η t \eta_t ηt
    在时间步 0 0 0,动量法创建速度变量 v 0 \boldsymbol{v}_0 v0,并将其元素初始化成0。在时间步 t > 0 t>0 t>0,动量法对每次迭代的步骤做如下修改:

    v t ← γ v t − 1 + η t g t , x t ← x t − 1 − v t , \begin{aligned} \boldsymbol{v}_t &\leftarrow \gamma \boldsymbol{v}_{t-1} + \eta_t \boldsymbol{g}_t, \\ \boldsymbol{x}_t &\leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{v}_t, \end{aligned} vtxtγvt1+ηtgt,xt1vt,

    其中,动量超参数 γ \gamma γ满足 0 ≤ γ < 1 0 \leq \gamma < 1 0γ<1。当 γ = 0 \gamma=0 γ=0时,动量法等价于小批量随机梯度下降。
    其效果如下:
    在这里插入图片描述
    可以观察出动量法使得相邻时间步的自变量更新在方向上更加一致。

    当学习率较大时,其仍然收敛的较好且不发散。
    我们先将动量超参数momentum设0.5,这时可以看成是特殊的小批量随机梯度下降:其小批量随机梯度为最近2个时间步的2倍小批量梯度的加权平均。
    在这里插入图片描述
    将动量超参数momentum增大到0.9,这时依然可以看成是特殊的小批量随机梯度下降:其小批量随机梯度为最近10个时间步的10倍小批量梯度的加权平均。我们先保持学习率0.02不变。
    在这里插入图片描述

    总结:
    动量法使用了指数加权移动平均的思想。它将过去时间步的梯度做了加权平均,且权重按时间步指数衰减。
    动量法使得相邻时间步的自变量更新在方向上更加一致。

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