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  • 由于最近玩机器人,所以总涉及到一些导航地图数据的处理,少不了...首先我们好弄清楚是什么正弦余弦定理,什么是勾股定理,角度和弧度的换算,其实我也差不多忘光光了~~ 忘掉不丢人,百度走起~~,哈哈哈。。。。 ...

    由于最近玩机器人,所以总涉及到一些导航地图数据的处理,需要发任务,添加导航点,发送自由导航信息,少不了与canvas打交道了。

    首先我们好弄清楚是什么正弦余弦定理,什么是勾股定理,角度和弧度的换算,其实我也差不多忘光光了~~

    忘掉不丢人,百度走起~~,哈哈哈。。。。

    下图就是点击拖动出来的东西,圆表示机器人,线表示机器的方向,目前我们已知的就是两个点的坐标,一个是圆心的坐标和鼠标移动过程的坐标,通过这连个左边我们要计算出圆的半径(这里的圆半径不是指机器人那个圆的半径,是鼠标时和拖动后产生的圆的半径)

    我们先看第一个公式,求圆上任意一点的点坐标

    {x_{1}}= {x_{0}} + r * cos(\frac{\alpha *\pi }{180})

    {y_{1}} = {y_{0}} + r * sin(\frac{\alpha *\pi }{180})

    计算两点间的距离我们就的用勾股定理了,这个距离也就是我们的圆的半径

    c^{2}=a^{2} + b^{2}  (a,b 为直角边,c为斜边)

    好了,根据上面两条公式可以实现我们想需要的了

    我们来就求个弧度,这里会用到反余弦函数哦~~

    const countRadius(start:any, end: any) => {
      const [sx, sy, ex, ey] = [
        start.offsetX ? start.offsetX : start.x,
        start.offsetY ? start.offsetY : start.y,
        end.offsetX ? end.offsetX : end.x,
        end.offsetY ? end.offsetY : end.y,
      ];
      return Math.sqrt(Math.pow(ex - sx, 2) + Math.pow(ey - sy, 2));
    }
    
    const radius = countRadius(startPoint, lastPoint);
    
    let radian = Math.acos((lastPoint.offsetX - startPoint.offsetX) / radius);

    发现感觉挺完美的,我们逆时针绕一圈,弧度数出来了,但是发现上半圆和下半圆的结果好像是对称的关系,上半圆是0~π,下半圆是从π-0,我们判断下如果是下半圆我就用2π-radian就好了。

    if (lastPoint.offsetY - startPoint.offsetY > 0) radian = 2*Math.PI - radian;

     

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  • 正弦余弦定理

    2012-12-14 12:28:57
    正弦定理(Sine theorem) 内容  在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)   正弦定理的应用领域  在解三角形中,有以下的应用领域: ...

    正弦定理(Sine theorem) 内容

      在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)

    正弦定理的应用领域

      在 解三角形中,有以下的应用领域:
      (1)已知三角形的两角与一边,解三角形
      (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形
      (3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系
      直角三角形的一个 锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

    证明

       步骤1
      在 锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
       CH=a·sinB
      CH=b·sinA
      ∴a·sinB=b·sinA
      得到
      a/sinA=b/sinB
      同理,在△ABC中,
      b/sinB=c/sinC
       步骤2.
      证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
      如图,任意三角形ABC,作ABC的 外接圆O.
      作 直径BD交⊙O于D.
      连接DA.
      因为在同圆或等圆中直径所对的 圆周角是直角,所以∠DAB=90度
      因为在同圆或等圆中同弧所对的 圆周角相等,所以∠D等于∠ACB.
      所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
      类似可证其余两个等式。

    意义

      正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的 正弦值之间的一个关系式。也就是任意三角形的边角关系。

    扩展

    余弦定理

       余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
       余弦定理性质
      对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积,若三边为a,b,c 三角为A,B,C ,则满足性质——
      a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·c osA
      b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·c osB
      c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b· cosC
      c osC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
      c osB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)
      c osA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)
      (物理力学方面的 平行四边形定则中也会用到)
       第一余弦定理(任意三角形 射影定理
      设△ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有
      a=b·cos C+c·cos B, b=c·cos A+a·cos C, c=a·cos B+b·cos A。

    余弦定理的证明

      1  平面向量证法
      ∵如图,有 a+ b= c ( 平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴ c· c=( a+ b)·( a+ b) c^2= a· a+2 a· b+ b· bc^2= a^2+ b^2+2| a|| b| Cos(π-θ)
      (以上粗体字符表示向量)
      又∵ Cos(π-θ)=-CosC
      ∴c^2=a^2+b^2-2|a||b| cosθ(注意:这里用到了三角函数的公式)
      再拆开,得c^2=a^2+b^2-2*a*b* cosC
      即 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b
      同理可证其他,而下面的 CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将 CosC移到左边表示一下。
      2  平面几何证法
      在任意△ABC中
      做AD⊥BC.
      ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
      则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
      根据 勾股定理可得:
      AC^2=AD^2+DC^2
      b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
      b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2
      b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2
      b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
      cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

    三角形面积公式

       1.海伦-秦九韶公式:
      设P=(a+b+c)/2
      S△ABC=√[P(P-a)(P-b)(P-c)]
      解释:假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
      S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
      而公式里的p为半周长:
      p=(a+b+c)/2
       2.S△ABC=(ab/2)·sinC=(bc/2)·sinA=(ac/2)·sinB=abc/(4R)[R为 外接圆半径]
       3.S△ABC=ah/2

    正弦定理的变形公式

      (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
      (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;
      (条件同上)
      在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的 直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和 三角形内角和定理去考虑解决问题
      (3)相关结论:
      a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)
      c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为 外接圆半径)
      (4)设R为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形
      sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
      asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
      (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a
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  • 三角函数:正弦余弦定理及应用

    万次阅读 2018-02-28 15:55:13
    1.余弦定理公式余弦定义主要作用是依靠已知三角形的两条边及其夹角,求第三边的情况,如下图:这里我们不处理向量(矢量)运算,单纯的从标量数值长度的推算入手,建立垂线后,得到的直角三角形ADC,可以通过勾股...

    紧接上一篇:http://blog.csdn.net/yinhun2012/article/details/79384273

    这一篇我们来推导一些常用的三角函数公式,主要方便以后图形程序中的计算。

    1.余弦定理公式

    余弦定义主要作用是依靠已知三角形的两条边及其夹角,求第三边的情况,如下图:


    这里我们不处理向量(矢量)运算,单纯的从标量数值长度的推算入手,建立垂线后,得到的直角三角形ADC,可以通过勾股定理(前面推过)和sin²α+cos²α=1得到上面两个公式,后面的公式对我们求角度有很大帮助,而且这两个公式对后面图形方面计算会起到很大的帮助。


    1.正弦定理的推导,前面有余弦定理,那么肯定就有一个对应的正弦定理了。

    ps:这里要了解一个外接圆的概念,就是三角形△ABC的三个顶点都在一个圆上,那么这个圆就是△ABC的外接圆,其实这个也好反向理解,比如我们先画一个圆,然后任意在圆上取三点,连接三点就是一个三角形,但是假如我们不知道三角形的外接圆,要怎么去绘画和证明呢,如下图:


    上面我们通过两条垂直平分线,就能得到△AOB和△BOC,且两三角形为等腰三角形(这个很好看出来,△AOB被平分成共边的两个一样的直角三角形),那么OA = OB = OC,所以O为圆心做半径OA的圆就是外接圆了。

    接下来继续推导正弦公式,如下图:


    上面我们推导了外接圆,那么接下来我们只需要建立等腰三角形△AoB △AoC △ BoC,将∠A转化成∠θ,就能得到上面的正弦定理了。

    接下来到实际程序应用环节了,其实在实际项目开发中,余弦定理我用的还是挺多的,比如:



    using System.Collections;
    using System.Collections.Generic;
    using UnityEngine;
    
    public class AngleFunc : MonoBehaviour {
    
        public GameObject PointA;
        public GameObject PointB;
        public GameObject PointC;
    
        void Start()
        {
            {  //构建一个三角形
                GameObject[] gos = new GameObject[3];
                gos[0] = PointA;
                gos[1] = PointB;
                gos[2] = PointC;
                for (int i = 0; i < gos.Length; i++)
                {
                    LineRenderer line = gos[i].AddComponent<LineRenderer>();
                    line.positionCount = 2;
                    line.startWidth = 0.1f;
                    line.endWidth = 0.1f;
                    int index = i + 1;
                    if (index >= gos.Length)
                        index = 0;
                    line.SetPosition(0, gos[i].transform.position);
                    line.SetPosition(1, gos[index].transform.position);
                }
            }
            //用余弦定理计算角度
            Vector3 AB = PointB.transform.position - PointA.transform.position;
            Vector3 BC = PointC.transform.position - PointB.transform.position;
            Vector3 AC = PointC.transform.position - PointA.transform.position;
            //计算∠A的夹角
            float angle1 = Mathf.Acos((getVectorLengthPow2(AB) + getVectorLengthPow2(AC) - getVectorLengthPow2(BC)) / (2 * Mathf.Sqrt(getVectorLengthPow2(AB) * getVectorLengthPow2(AC)))) * Mathf.Rad2Deg;
            //用自带的api计算角度
            float angle2 = Vector3.Angle(AB, AC);
    #if UNITY_EDITOR
            Debug.LogFormat("angle1 = {0} angle2 = {1}", angle1, angle2);
    #endif
        }
    	
        private float getVectorLengthPow2(Vector3 vec)
        {
            return Mathf.Pow(vec.x, 2) + Mathf.Pow(vec.y, 2) + Mathf.Pow(vec.z, 2);
        }
    	
    }

    代码比较少,直接贴上来了,主要就是用三角函数计算夹角值,其实unity中有自带的api,但是我们要知道公式的推导来源

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  • 笔记:勾股定理,三角函数

    千次阅读 2019-10-25 09:54:56
    勾股定理:c²=a²+b²锐角:大于0而小于90的角正弦:在直角三角形中,任意一锐角∠A的对边(a)与斜边(c)的比叫做∠A的正弦,记作sinA,如上图,即sinA=a/c余弦:∠A的余弦是它的邻边(b)比三角形的斜边(c),即cosA=b/...


    勾股定理:c²=a²+b²
    锐角:大于0而小于90的角
    正弦:在直角三角形中,任意一锐角∠A的对边(a)斜边(c)的比叫做∠A的正弦,记作sinA,如上图,即sinA=a/c
    余弦:∠A的余弦是它的邻边(b)比三角形的斜边(c),即cosA=b/c,也可写为cosA=AC/AB
    正切:∠A的正切是它的对边(a)邻边(b),即tanA=a/b,也可写为tanA=BC/AC。

    一个角的正弦平方加这个角的余弦平方等于1,即 (sinA)²+(cosA)²=1
    tanA=sinA/cosA。分母(cosA)不能等于0

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    千次阅读 2017-06-19 15:15:22
    利用部分直角三角形的特点,如勾股定理正弦余弦函数。其它人估计看不懂。 自己留个记念。借用Flex 中的线段工具 起点端点移动,产生类似管道流动的效果。加油,努力 。奋斗 。 ///初始化 if (Fle
  • 数学定理

    千次阅读 2018-09-18 21:39:54
    ▪ 15定理 ▪ 2π定理 ▪ Sun-Ni定理 ▪ Vizing定理 ▪ 阿贝尔定理 ▪ 阿贝尔二项式定理 ▪ 阿贝尔-鲁菲尼定理 ▪ 阿贝尔曲线定理 ▪ 阿达马三圆定理 ▪ 阿蒂亚-辛格指标定理 ...
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勾股定理正弦余弦