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  • 2021-06-24 11:27:17

    勾股计算器是一款使用便捷的计算勾 、 股 、 弦 , 进行直角三角形判定, 计算平方和平方根的计算器 。 本软件支持两种计算器模式 ——“ 基本模式 ” 和“ 批量计算模式 ” 。 在 “ 基本模式 ” 下 , 软件在提供计算结果或判定结果的同时 , 还提供了计算步骤或判定理由 ; 在 “ 批量计算模式 ” 下 , 您只需在表格内输入基本信息 , 表格的最后一列将会自动生成计算结果或判定结果 。除此之外 , 本软件还提供了计算勾股数组的功能 , 该功能可通过 “ 工具 ” 菜单栏下的 “ 勾股数组 ” 打开 。 通过该应用 , 您只需输入勾和股的值的范围 ,点击 “ 开始计算 ” 。 软件将求出您指定的范围内的所有勾股数组 , 并给出总组数 。

    【基本模式下特殊符号的含义】

    1、什么是 “sqrt” ? 是平方根运算 。 例如 : 在 “sqrt (4)=2 ” 中 , 4是被开方数 , 2 是平方根 。

    2、什么是 “ ^ ” ? “ ^” 是幂运算符号 , 即 “a ^b” 表示 a的 b 次方 。 例如 : 在 “ 2^3= 8” 中 , 2是底数 , 3是指数 , 8是幂 。

    【勾股数完成用常见问题?】

    点击 “ 开始计算 ” 时 , 软件为什么提示 “ 您输入的勾和股范围过大 , 可能会使程序失去响应 , 确认继续 ” ?

    3999 或股的范围超过 9999 , 计算所需时间可能会超过 5秒 , 导致程序长时间未响应 , 而且会占用大量的 CPU资源 。 所以 , 如果勾和股的范围过大 , 系统将会提示是否继续 。 在计算的过程中 , 如果您发现程序连续几分钟未响应 , 或者电脑出现了异常状况 , 请立刻通过任务管理器强行结束程序 。

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    勾股定理

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    勾股定理,是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。

    勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。

    在中国,周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。[1]

    中文名

    勾股定理

    外文名

    Pythagoras theorem

    别    名

    商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理

    表达式

    a²+b²=c²

    提出者适用领域

    数学,几何学

    应用学科

    几何学

    中国记载著作

    外国记载著作

    限制条件

    直角三角形

    勾股定理定义

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    在平面上的一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是88d89ebf17fd0a8a054bb6820fb9bdbf.svg8055ad5520fe01d1b22f464f3a3c88d2.svg,斜边长度是fb73a98c040a278d59f25fcbbbd489b6.svg,那么可以用数学语言表达:

    492905fa9f6659c9fe866dd5d1fbf7ed.svg

    勾股定理是余弦定理中的一个特例。[1]

    勾股定理推导

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    勾股定理赵爽弦图

    97faa0fb8d0de03a3f75095fee45f037.png《九章算术》中,赵爽描述此图:“勾股各自乘,并之为玄实。开方除之,即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实,半其余。以差为从法,开方除之,复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实,即成玄实。或矩于内,或方于外。形诡而量均,体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广,股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实,开其余即股。倍股在两边为从法,开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘,如法为股。股实之矩以勾玄差为广,勾玄并为袤。而勾实方其里,减矩股之实于玄实,开其余即勾。倍勾在两边为从法,开矩股之角,即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾,两差相乘倍而开之,所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄实列勾股差实,见并实者,以图考之,倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多,即勾股差实。以差实减之,开其余,得外大方。大方之面,即勾股并也。令并自乘,倍玄实乃减之,开其余,得中黄方。黄方之面,即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之,开其余,所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”

    ada6e72a583311b7efb984fec29a8ffc.png

    第24届国际数学家大会会标

    用现代的数学语言描述就是黄实的面积等于大正方形的面积减去四个朱实的面积。

    2002年第24届国际数学家大会(ICM)的会标即为该图。[2]

    勾股定理加菲尔德证法

    加菲尔德在证出此结论5年后,成为美国第20任总统,所以人们又称其为“总统证法”。

    在直角梯形ABDE中,∠AEC=∠CDB=90°,△AEC≌△CDB,a4b0c1638d4823f33d49f21dfe2da592.svg4c3a85ea0ebcbba84d39ea825bbe8362.svgcb2e385f68eae7bb271d36d543baabac.svg

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    “总统证法”示意图8cfdb100c75859d7c5e4bfc7fb8ba3fe.svg

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    勾股定理加菲尔德证法变式

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    图示

    该证明为加菲尔德证法的变式。

    如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开,则回到了加菲尔德证法。相反,若将上图中两个梯形拼在一起,就变为了此证明方法。

    大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积,即:

    6ff79cc20e92c4d594ac76fd9dff3eb7.svg

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    勾股定理青朱出入图

    29f77fced26543ce0335ef8d73425655.bmp青朱出入图,是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法,特色鲜明、通俗易懂。

    刘徽描述此图,“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。”其大意为,一个任意直角三角形,以勾宽作红色正方形即朱方,以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列,再以盈补虚,分割线内不动,线外则“各从其类”,以合成弦的正方形即弦方,弦方开方即为弦长。[3]

    勾股定理欧几里得证法

    在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点画一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

    在这个定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:

    如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS)

    三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

    任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

    任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。

    e2085eb2fddecae9a8436a24379ad89a.png

    欧几里得证法(2张)证明的思路为:从A点画一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,把上方的两个正方形,通过等高同底的三角形,以其面积关系,转换成下方两个同等面积的长方形。

    设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。

    其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

    画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。

    分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。

    ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。

    ∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。

    因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。

    因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。

    5dbd3b76c6f025a024472c6ba64a5269.png因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。

    因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

    同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC²。

    把这两个结果相加,AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

    由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

    由于CBDE是个正方形,因此AB²+AC²=BC²,即a²+b²=c²。

    此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

    由于这个定理的证明依赖于平行公理,而且从这个定理可以推出平行公理,很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件,一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

    勾股定理推广

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    勾股数组

    勾股数组是满足勾股定理492905fa9f6659c9fe866dd5d1fbf7ed.svg的正整数组d27d131aa2221f5d3be417f73afa4698.svg,其中的c6e1c90c9a25819001adc6334f9e4f2b.svg称为勾股数。例如5bf7d8772811c7eda131c2d2f5cc13c7.svg就是一组勾股数组。

    任意一组勾股数d27d131aa2221f5d3be417f73afa4698.svg可以表示为如下形式:33595ac67c249a1fd2a02cd18622aa20.svg5581a6f51eacd5b5c8fb66198ecba40c.svg0fa279fae4d4d6d1ede6eb97160cb533.svg,其中e985ae6ca96cc7699f65c7d80f0ed3d4.svg 均为正整数,且3ee219d4dd268ec0f8b970eb74a93cbc.svg

    定理用途

    已知直角三角形两边求解第三边,或者已知三角形的三边长度,证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。[4]

    勾股定理简史

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    勾股定理中国

    公元前十一世纪,数学家商高(西周初年人)就提出“勾三、股四、弦五”。编写于公元前一世纪以前的《周髀算经》中记录着商高与周公的一段对话。商高说:“……故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”意为:当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时,径隅(弦)则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”,根据该典故称勾股定理为商高定理。

    公元三世纪,三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,记录于《九章算术》中“勾股各自乘,并而开方除之,即弦”,赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。[2]

    在中国清朝末年,数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。[5]

    勾股定理外国

    远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理,他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板,上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时,也应用过勾股定理。[6-7]

    公元前六世纪,希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理,因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。[8]

    公元前4世纪,希腊数学家欧几里得在《几何原本》(第Ⅰ卷,命题47)中给出一个证明。[9]

    1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。

    1940年《毕达哥拉斯命题》出版,收集了367种不同的证法。[10]

    勾股定理意义

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    1.勾股定理的证明是论证几何的发端。[1]

    2.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。[1]

    3.勾股定理导致了无理数的发现,引起第一次数学危机,大大加深了人们对数的理解。[1]

    4.勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程,它引出了费马大定理。[1]

    5.勾股定理是欧氏几何的基础定理,并有巨大的实用价值。这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠,被誉为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。1971年5月15日,尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票,这十个数学公式由著名数学家选出的,勾股定理是其中之首。[1]

    词条图册

    更多图册

    参考资料

    1.

    黄家礼编著.几何明珠3版:国家行政学院出版社,2014.01:第1页

    2.

    第三届数学史与数学教育国际研讨会论文集. 勾股定理及其相关历史发展:为了数学教育目的的考察[C]. 北京师范大学数学科学学院: 王西辞,王耀杨,2009.

    3.

    叶建忠. 青朱出入图[J]. 教育教学论坛,2010(5):112-113.

    4.

    王爱玲.勾股定理的运用大观[J]. 中学数学,2014(18):87-88.

    5.

    孔凡茹,孔凡伟,熊昌雄.勾股定理的早期记载和证明[J].宜宾学院学报,2007(12):28-29.

    6.

    从勾股定理到费尔马大定理

    .北京科普之窗[引用日期2015-01-28]

    7.

    勾股定理的应用

    .全品中考网[引用日期2016-07-31]

    8.

    李超.勾股定理最早证明新考[J].韶关学院学报(社会科学),2006(10):1-4.

    9.

    《几何原本》第1.47节

    .欧几里德著.2006-12-19[引用日期2015-02-05]

    10.

    谢金承.浅谈勾股定理及其应用[J].吉林教育(教科研版),2007(7):75.

    展开全文
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空空如也

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勾股弦定理和勾股定理