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问答
  • 采用场论的数值算法,对平面流体势能等值线做数值离散化处理,计算各点势能梯度,确定流体运动的方向及强度,并用拉普拉斯算子计算确定油气汇聚区的范围。应用改进的方法分析了乌尔逊凹陷北部油气运移过程,结果表明...
  • 梯度

    2012-10-06 18:55:33
    导数,就是函数在该点的切线的斜率。所以 导数为零的地方可能是极值也可能是拐点。 物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率 ...阻、功率、势能、引力势能、电势能等物理量。无论选取什么坐标系,标量

    导数,就是函数在该点的切线的斜率。所以 导数为零的地方可能是极值也可能是拐点。

    物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率


    什么是标量

    亦称“无向量”。有些物理量,只具有数值大小,而没有方向,部分有正负之分。这些量之间的运算遵循

    一般的代数法则,称做“标量”。如质量、密度、温度、功、能量、路程、速率、体积、时间、热量、电

    阻、功率、势能、引力势能、电势能等物理量。无论选取什么坐标系,标量的数值恒保持不变。矢量和标

    量的乘积仍为矢量。矢量和矢量的乘积,可构成新的标量,也可构成新的矢量,构成标量的乘积叫标积;

    构成矢量的乘积叫矢积。如功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。W=F·S,P=F·v。力矩、洛仑兹力

    等的计算是采用两个矢量的矢积。M=r×F,F=qvB。


    矢量场
    假设有一个n维空间,并给该空间的每一个点都赋予一个“量”,那么整个n维空间就充满了“量“,该充

    满“量”的n维空间在数学上就叫做“场”。   如果我们给空间的每一个点所赋予的“量”既有大小,

    又有方向,即矢量(vector),那么整个空间就变成充满了矢量,这个场就叫做矢量场。   例如在一个

    湍急的水流中,水中每个点的运动速度都不同,那么整个水流的速度的分布就是一个矢量场(此时是速度

    场)。

    标量场
    标量场就是矢量场的一部分,既然有矢量场,他们的数值不就是标量场么,所以标量场就是矢量场的特殊

    形式。比如你试验扔硬币的正反面的问题,正面是1,反面是0,然后多次试验得出概率,那么0和1这个标

    量场不就得到了应用么?

    我知道矢量场的梯度就是个标量场?

     

     


    标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最

    大的变化率
    在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。

    欧氏空间:
    就是欧几里德几何所能形容的空间,此外还有非欧几何


     梯度的汉语词义,用法。
      《现代汉语词典》附:新词新义
      梯度 1.坡度。
       2.单位时间或单位距离内某种现象(如温度、气压、密度、速度等)变化的程度。


     

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  • 本文基于势能最小化迭代建立平衡态的最小势能方法,推导了体系势能、下降向量及步长列式,建立势能最小化共轭梯度法迭代格式,并用 VC+ +编程实现了算法。通 过正交四边形网格索网数值分析算例验证了程序正确性,并分析...
  • TiM (M=Ni, Pd, Pt)合金势能面的理论研究,姜振益,李盛涛,在广义梯度近似下采用密度泛函理论平面波超软赝势对钛基形状记忆合金TiM (M=Ni, Pd, Pt) 的B2与B19 (B19′)相超晶胞势能面进行了系统的理论
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  • 本文针对双弹簧系统中最小势能问题,通过数值实验的方法,研究了随机搜索、Powell法、共轭梯度法和牛顿法对非约束优化问题的求解效果,得出了牛顿法具有较少的计算复杂度,Powell法具有最小的迭代次数的结论。...

    1 引言

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    2 双弹簧系统的最小势能模型

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    3 无约束优化算法研究

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    3.1 随机搜索

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    3.2 Powell法

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    3.3 共轭梯度法

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    3.4 牛顿法

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    4 数值分析

    4.1 实验准备

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    4.2 实验分析

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    5 结论

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  • 为了计算物体的运动轨迹,我们使用牛顿第二定律和势能梯度: 我们案例的潜在能量: OX轴上第一个物体的加速度: 以相同的方式(函数update_acceleration_for2 )计算Y轴加速度和第二个人体加速度。 然后我们得到...
  • 我们考虑了小旋涡,例如龙卷风,尘埃,水龙卷,低纬度的小飓风和漩涡,可以忽略科里奥利力,因此在其中是回旋的。 这样的旋涡关于(穿过穿过平静的... 然后讨论了以流体涡流,地转流和摩擦平衡流以及重力系统中的势能
  • 保守力与势能 一个带有电量\(q\)质量为\(m\)的带电物体,置于任意的电场\(\vec{E}(\vec{r})\)中,会如何运动?按照牛顿第二定律运动: \begin{equation*} m\frac{\mathrm d^2\vec{r}}{\mathrm dt^2}=q\vec{E}(\vec{...

    保守力与势能

    一个带有电量\(q\)质量为\(m\)的带电物体,置于任意的电场\(\vec{E}(\vec{r})\)中,会如何运动?按照牛顿第二定律运动:

    \begin{equation*} m\frac{\mathrm d^2\vec{r}}{\mathrm dt^2}=q\vec{E}(\vec{r}) \end{equation*}

    这个问题有更方便的方法——能量守恒。

    考虑如下问题,一个物体沿无摩擦曲面下落,对于这一过程,动能 \(T\) 和重力势能 \(W\)总量保持不变,即:

    \begin{equation} T+W=C \label{TUc} \end{equation}

    费曼物理学讲义

    方程\eqref{TUc}可以从牛顿定律导出。

    \begin{equation*} \frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=F_tv=-mg\sin\theta \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=-mg\frac{\mathrm dh}{\mathrm ds}\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} \end{equation*}

    于是有

    \begin{equation*} \mathrm dT+mg\mathrm dh=0 \end{equation*}

    积分之后,即得方程\eqref{TUc}。

    下面我们看三维情况。

    \begin{equation*} \frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=\frac{1}{2}m\vec{v}\cdot \frac{\mathrm d\vec{v}}{\mathrm dt}+\frac{1}{2}m\frac{\mathrm d\vec{v}}{\mathrm dt}\cdot\vec{v}=m\frac{\mathrm d\vec{v}}{\mathrm dt}\cdot\vec{v}=\vec{F}\cdot\vec{v}=\vec{F}\cdot\frac{\mathrm d\vec{l}}{\mathrm dt} \end{equation*}

    于是有

    \begin{equation*} \mathrm dT=\vec{F}\cdot\mathrm d\vec{l} \end{equation*}

    两边积分,有

    \begin{equation*} \Delta T=\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot\mathrm d\vec{l} \end{equation*}

    左边是动能的变化量,右边是外力做的功,右边的积分沿着物体运动路径进行积分。

    对于物体从光滑曲线上下滑这个例子,物体所受约束力不做功,只有重力做功,做功为

    \begin{equation*} \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot\mathrm d\vec{l}=\int_{z_1}^{z_2}-mg\mathrm dz=mg(z_1-z_2) \end{equation*}

    这说明重力做功与具体路径无关,只与初末位置有关,这样的力我们称为保守力。除了重力,还有很多力是保守力,比如胡克弹簧施加的力,万有引力等等。也有很多力不是保守力,比如摩擦力、洛伦兹力(二者都是依赖于速度的力)。

    下面我们举一个不是保守力的例子

    \begin{equation*} \vec{F}=y\hat{i} \end{equation*}

    路径1为从原点沿\(x\)轴到\((1,0)\)点,然后沿平行\(y\)轴方向到\((1,1)\)点。
    路径2为从原点沿\(y\)轴到\((0,1)\)点,然后沿平行\(x\)轴方向到\((1,1)\)点。

    对于保守力,做功与路径无关,只与初末位置有关,物体在某保守力\(\vec{F}\)作用下从\(\vec{r}_1\)运动到\(\vec{r}_2\),保守力做功

    \begin{equation*} A_{12}=\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot\mathrm d\vec{l}=W(\vec{r}_1)-W(\vec{r}_2)=-\Delta W=\Delta T=T_2-T_1 \end{equation*}

    函数\(W(\vec{r})\)称为保守力的势能。物体运动过程中,动能\(T\)与势能\(W\)之和保持不变。

    保守力与它对应的势能之间有什么关系?

    假设我们已经知道势能的函数形式\(W(x,y,z)\),现在让物体沿\(x\)轴做个很小的移动\(\Delta x\),保守力做功

    \begin{equation*} F_x\Delta x=-\Delta W \end{equation*} 于是力为 \begin{equation*} F_x=-\frac{\Delta W}{\Delta x} \end{equation*}

    显然这个式子是不严格的,只有在\(\Delta x \rightarrow 0\)时才成立,这正是\(W\)\(x\)的微商\(-\mathrm dW/\mathrm dx\),但是要注意,我们只考虑了\(x\)的变化,\(y\)\(z\)是不变的,所以这里的微商应为偏导。于是,我们得到保守力的\(x\)分量是势能\(U\)\(x\)的负的偏导,即

    \begin{equation*} F_x=-\frac{\partial W}{\partial x} \end{equation*}

    同样,力的其他分量与势能的关系为

    \begin{equation*} F_y=-\frac{\partial W}{\partial y} \end{equation*}

    \begin{equation*} F_z=-\frac{\partial W}{\partial z} \end{equation*}

    所以保守力与势能的关系为

    \begin{equation*} \vec{F}=-\hat{i}\frac{\partial W}{\partial x}-\hat{j}\frac{\partial W}{\partial y}-\hat{k}\frac{\partial W}{\partial z}=-\left(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}-\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}-\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}\right)W=-\nabla W \end{equation*}

    其中\(\nabla\) 为一个运算符号,作用到一个标量函数上,得到函数的梯度

    这样的力做的功真的与路径无关吗?不妨计算一下。

    \begin{equation*} \begin{split} A_{12}=&\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot\mathrm d\vec{l}=\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\left (F_x\mathrm dx+F_y\mathrm dy +F_z\mathrm dz\right )\\ =&-\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\left (\frac{\partial W}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial W}{\partial y}\mathrm dy +\frac{\partial W}{\partial z}\mathrm dz\right )\\ =& -\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\mathrm dW =W(\vec{r}_1)-W(\vec{r}_2) \end{split} \end{equation*}

    确实与路径无关,只与初末位置有关。

    练习1 求势能函数\(W(x,y,z)=x^3y^2+\sin z\)对应的保守力。

    保守力有什么特点呢?根据偏导的性质,有

    \begin{equation*} \begin{split} &\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x}\\ &\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial x}\\ &\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial y} \end{split} \end{equation*}

    如何判断一个力是不是保守力?一个方法是看看这个力是不是某个标量函数的负的梯度,另外一个方法是对这个力的各分量求偏导。当然也可以由保守力定义来判断,将力沿连接初末位置的任意路径积分,看积分结果是不是只依赖于初末位置,或者沿任意闭合路径积分,看积分结果是不是0。

    比如重力\(\vec{F}=-mg\hat{k}\),弹簧 \(\vec{F}=-kx\hat{i}\),三种判断方法都很方便,练习1中的力用偏导法或积分法很方便。

    静电力是保守力

    先讨论一个点电荷\(q\)产生的电场,另一点电荷\(q_0\)在此电场中受力为

    \begin{equation*} \vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 }\frac{qq_0}{r^2}\hat{r} \end{equation*}

    在极坐标系中,容易看出,此力是如下函数的负的梯度

    \begin{equation*} W(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 }\frac{qq_0}{r}+C \end{equation*}

    在极坐标系中,力的另外两个分量\(F_{\theta}=0\)\(F_{\phi}=0\),所以,用偏导法也容易看出两个点电荷之间的相互作用力为保守力。

    积分法。如图,积分路径\(L\)为连接\(P\)\(Q\)点的任意路径,点电荷\(q\)对点电荷\(q_0\)做功为

    赵凯华电磁学

    \begin{equation*} \begin{split} A_{PQ}=&\int_{L(P)}^{L(Q)}\vec{F}\cdot \mathrm d\vec{l} =\int_{L(P)}^{L(Q)}F\cos\theta \mathrm dl= \int_{r_P}^{r_Q}F(r)dr\\ =&\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0 }\left(\frac{1}{r_P}-\frac{1}{r_Q}\right) \end{split} \end{equation*}

    所以,点电荷电场做功与路径无关。

    对于任意带电体系,可以将其分割为许多点电荷,总电场是各个点电荷产生的电场的线性叠加。既然各点电荷的电场做功与路径无关,那么总电场做功也与路径无关,即静电力沿闭合路径做功为0:

    \begin{equation*} \oint_L q_0\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{l}=0 \end{equation*}

    也即

    \begin{equation*} \oint_L \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{l}=0 \end{equation*}

    所以,静电场的环量恒等于0,这个结论叫做静电场的环路定理

    电势

    做功与路径无关的力场称为保守力场,或势场。根据前述讨论,静电场是一种保守力场,静电力一定是势能函数的负的梯度:

    \begin{equation*} q_0\vec{E}=-\nabla W \end{equation*}

    \begin{equation*} \vec{E}=-\frac{1}{q_0}\nabla W =-\nabla U \end{equation*}

    标量函数\(U\)称为电势

    点电荷的电势为

    \begin{equation*} U(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 }\frac{q}{r}+C \end{equation*}

    在静电场中,点电荷\(q_0\)从空间\(P\)点运动到\(Q\)点,静电力做功等于电势能的减少

    \begin{equation*} W_{PQ} = A_{PQ} = q_0\int_P^Q\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}

    这个积分无需指明路径,因为结果与具体路径无关。

    定义电势差

    \begin{equation*} U_{PQ}=\frac{W_{PQ}}{q_0} = \int_P^Q\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}

    电势差为移动单位正电荷时电场力所做的功。

    电势为0的点需要人为选定,选定之后,\(P\)点的电势就是电势差\(U_{P,ref}\)

    \begin{equation*} U(P)=U_{P,ref}=\int_P^{ref}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}

    空间两点之间的电势差为:

    \begin{equation*} \begin{split} U_{PQ}=&\int_P^{ref}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}+\int_{ref}^Q\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}=\int_P^{ref}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}-\int_Q^{ref}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}\\ =&U(P)-U(Q) \end{split} \end{equation*}

    对于电荷分布在有限区域的体系,一般选无限远处为电势为0的点,\(P\)点的电势为

    \begin{equation*} U(P)=U_{P\infty}=\int_P^{\infty}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}

    在国际单位制中,电势或电势差的单位为\(\mathrm{J/C}\),这个单位有个专门的名称,叫做伏特,简称伏,符号\(\mathrm V\)

    \begin{equation*} 1\mathrm V=1\mathrm{J/C} \end{equation*}

    根据电势也可以给出一个新的电场强度的单位\(\mathrm{V/m}\)\(1\mathrm{V/m}=1\mathrm{N/C}\)

    电势的计算

    对于点电荷,以无限远处为0电势参考点,则距离点电荷\(r\)处的电势为:

    \begin{equation*} U(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r} \end{equation*}

    对于点电荷系,

    \begin{equation*} U(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i\frac{q_i}{r_i} \end{equation*}

    对于连续带电体,

    \begin{equation*} U(r)=\int \mathrm dU=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm dq}{r} \end{equation*}

    如果已知电荷体系的电场分布,也可根据电势与电场的积分关系求电势:

    \begin{equation*} U(P)=\int_P^{'0'}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}

    如果求得电势分布,也可以根据电势与电场的微分关系求电场分布:

    \begin{equation*} \vec{E}=-\nabla U \end{equation*}

    例1 求均匀带电圆环轴线上电势分布。

    大学物理曹刚PPT
    求均匀带电圆环轴线上电势分布

    设圆环带电量为\(q\),半径为\(R\),圆环轴线上距离圆环中心\(x\)处电势为

    \begin{equation*} U(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm dq}{\sqrt{R^2+x^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\sqrt{R^2+x^2}} \end{equation*}

    例2 求带电圆盘轴线上电势分布。

    将圆盘分割成一系列圆环,以这些圆环为元电荷,则轴线上距离圆盘\(x\)处电势为:

    \begin{equation*} U(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R\frac{\sigma 2\pi r\mathrm dr}{\sqrt{r^2+x^2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left (\sqrt{R^2+x^2}-x\right ) \end{equation*}

    例3 求均匀带电球壳的电势分布。
    设球壳的电量为\(Q\),半径为\(R\),我们知道距离球壳中心\(r\)处的电场为

    \begin{equation*} E(r) = \begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon\_0}\frac{Q}{r^2},& r\gt R \\ 0, & r \lt R \end{cases} \end{equation*}

    球壳外电势

    \begin{equation*} U(r)=\int_r^{\infty}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^{\infty}\frac{\mathrm dr}{r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r} \end{equation*}

    球壳内电势

    \begin{equation*} U(r)=\int_r^{\infty}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}=\int_r^{R}E\mathrm dr+\int_R^{\infty}E\mathrm dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_R^{\infty}\frac{\mathrm dr}{r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} \end{equation*}

    综上,带电球壳的电势分布为

    \begin{equation*} U(r) = \begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}, &r \gt R \\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R}, & r\lt R \end{cases} \end{equation*}

    即在在球壳外,电势分布与点电荷电势分布相同,在球壳内电势为常量,其值为球壳表面处电势。

    赵凯华电磁学 pp36
    均匀带电球壳的电势分布

    例3 求电偶极子的电场。
    设电偶极子电矩为\(p=ql\),场点\(P\)距离正负电荷和电偶极子中心的距离分别为\(r_+\)\(r_-\)\(r\)。如图所示。

    6b6ebe29jw1ex5eggtpuvj204r05vdfq.jpg
    电偶极子电势

    场点\(P\)与电偶极子中心的连线与电偶极矩\(\vec{p}\)的夹角为\(\theta\),根据几何关系,有

    \begin{equation*} \begin{split} r_+=&\sqrt{r^2-lr\cos\theta+\frac{l^2}{4}}\approx r\sqrt{1-\frac{l}{r}\cos\theta}\approx r-\frac{l}{2}\cos\theta \\ r_-=&\sqrt{r^2+lr\cos\theta+\frac{l^2}{4}}\approx r\sqrt{1+\frac{l}{r}\cos\theta}\approx r+\frac{l}{2}\cos\theta \end{split} \end{equation*}

    场点\(P\)处电势\(U\)为正负电荷的电势\(U_+\)\(U_-\)的代数和,即

    \begin{equation*} U=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r+}-\frac{1}{r_-}\right)\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ql\cos\theta}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\hat{r}}{r^2} \end{equation*}

    对电势求梯度,即可得场强分布。

    \begin{equation*} \begin{cases} E_r=-\frac{\partial U}{\partial r} \\ E_{\theta}=-\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta} \\ E_{\phi}=-\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial \phi} \end{cases} \end{equation*}

    等势面

    把静电场中电势相等的点连起来组成的面称为等势面,比如点电荷的等势面为以点电荷为中心的同心球面。

    等势面具有如下性质:

    (1) 等势面与电场线处处垂直。

    赵凯华电磁学 pp38
    电场与等势面垂直

    如图,一试探电荷\(q_0\)沿等势面做一任意元位移\(\mathrm d\vec{l}\),则电场力做功为 \(\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} = E\mathrm dl\cos\theta =0\),于是\(\cos\theta =0\),即电场与等势面垂直。

    (2) 等势面密集的地方场强大,等势面稀疏的地方场强小。
    画等势面的时候规定,任意相邻等势面的差值为一恒量。
    相邻等势面差值为\(\Delta U\),垂直距离\(\Delta n\),电场强度\(E=\left |\frac{\Delta U}{\Delta n}\right |\),可见等势面的疏密可以反映场强的大小。

    作业

    1. 习题 1-26
    2. 求均匀带电球体的电势分布。

    参考资料

    • 《费曼物理学讲义》第13、14章
    • 耶鲁大学Shankar 《基础物理II》视频
    • 赵凯华《电磁学》

    转载于:https://www.cnblogs.com/joyfulphysics/p/4881388.html

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  • 正如前面提到过的,人工势场法的一个缺点就是在势场里面可能会存在一个局部最小势能位置导致机器人陷在那里出不来。局部极小值问题在优化领域很早就出现了,为此人们发展出了一些概率方法来应对这个问题。同样地,在...

    7.4.0 前言

    正如前面提到过的,人工势场法的一个缺点就是在势场里面可能会存在一个局部最小势能位置导致机器人陷在那里出不来。局部极小值问题在优化领域很早就出现了,为此人们发展出了一些概率方法来应对这个问题。同样地,在机器人领域也有随机化方法来处理局部极小值的问题。

    7.4.1 RPP 算法

    第一个要介绍的方法是RPP,全称Randomized Potential Planner。该方法思路很简单,就是正常使用梯度下降法,然后在陷入局部极小点位置的时候用一个随机的位置激励使机器人逃离局部极小值。算法如下:
    在这里插入图片描述
    为此我们要考虑的两个新问题是:

    1. 怎么样才算陷入了局部极小值
    2. 怎么定义这个随机的位置激励

    对于第一个问题比较容易,只要连续的几个 qi\boldsymbol{q}^{i} 统统在一个局部范围内,那么机器人极有可能已经陷入了局部极小值点即 (e.g.如果对于一个小的 ϵ\epsilon 我们有 qiqi+1<ϵ,qiqi+2<ϵ,\left\|q^{i}-q^{i+1}\right\|<\epsilon,\left\|q^{i}-q^{i+2}\right\|<\epsilon, and qiqi+3<ϵ\left\|q^{i}-q^{i+3}\right\|<\epsilon 便能假定 qiq^{i} 在局部极小值附近).

    对于第二个问题需要多操点心,RPP也有不同类型,我们这里讲解Original RPP。通常直接给所有关节变量各随机加一个小的定值viv_{i}来作为随机的位置激励,且viv_{i}的取值满足均匀分布。
    qrandom  step =(q1±v1,qn±vn) \boldsymbol{q}_{\text {random }-\text { step }}=\left(q_{1} \pm v_{1}, \cdots q_{n} \pm v_{n}\right)
    不失一般性,我们可以假设q=0q=0。然后用概率论的知识来分析包含t个步骤的随机位置激励。对于 q=(q1,,qn)q^{\prime}=\left(q_{1}, \cdots, q_{n}\right), 其概率密度方程为pi(qi,t)=1vi2πtexp(qi22vi2t) p_{i}\left(q_{i}, t\right)=\frac{1}{v_{i} \sqrt{2 \pi t}} \exp \left(-\frac{q_{i}^{2}}{2 v_{i}^{2} t}\right)
    这是一个均值为0,方差为vi2tv_{i}^{2} t的高斯密度方程。这是由于一系列均匀分布的数的和是一个高斯分布变量的结果导致。vi2tv_{i}^{2} t 决定了随机位置激励的范围,如果我们知道某些局部极小值的特性的话(比如 吸引域的大小),那么我们就可以对应地选择参数 viv_{i}tt。否则的话,只能凭经验或者根据势场的一些薄弱的假设来确定这两个参数值。

    参考引用

    翻译自《robot dynamics and control》
    作者:Mark W Spong,Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar

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