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  • 包含关系与属于关系
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    2020-09-29 13:55:42





    一、 集合论体系



    集合论体系 :

    • 朴素集合论 : 包含悖论 ; 朴素集合论 中 不能精确定义集合 ;
    • 公理集合论 : 为了消除朴素集合论中的悖论 , 所建立的公理集合论 ; 公理集合论比较严密 , 通过一组公理描述什么是集合 ;




    二、 集合表示



    集合表示 : 使用 大写字母 表示集合 , 小写字母 表示集合中的元素 ;

    列举法 : 列举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 : A = { 0 , 1 , 2 , 3 } A = \{0, 1, 2, 3\} A={0,1,2,3} , B = { 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯   } B = \{0, 1, 2, 3, \cdots\} B={0,1,2,3,}

    描述法 : 使用 谓词 P ( x ) P(x) P(x) 表示 x x x 具有性质 P P P , 使用 { x ∣ P ( x ) } \{x | P(x)\} {xP(x)} 表示具有性质 P P P 的集合 ;


    P ( x ) P(x) P(x) 表示 x x x 是英文字母 , { x ∣ P ( x ) } \{ x | P(x) \} {xP(x)} 表示英文字母集合 ;

    P ( x ) P(x) P(x) 表示 x x x 是偶数 , { x ∣ P ( x ) } \{ x | P(x) \} {xP(x)} 表示偶数集合 ;



    集合表示注意事项 :

    不重复 : 集合中 不能有重复元素 ;

    无顺序 : 集合中的元素是 无序的 ;

    集合表示方法转化 : 集合的表示方法可以互相转化 , 描述法 和 列举法 可以互相转化 ;


    表示方法转化示例 :

    列举法 : A = { 0 , 2 , 4 , 6 , ⋯   } A=\{ 0, 2, 4 , 6 , \cdots \} A={0,2,4,6,}

    描述法 : A = { x ∣ x ≥ 0 并 且 x 是 偶 数 } A = \{ x | x \geq 0 并且 x 是偶数 \} A={xx0x}





    三、 数集合



    自然数集合 : N = { 0 , 1 , 2 , ⋯   } N = \{ 0, 1 , 2 , \cdots \} N={0,1,2,}

    整数集合 : Z = { 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯   } Z = \{ 0, \pm 1 , \pm 2 , \cdots \} Z={0,±1,±2,}

    有理数集合 : Q Q Q

    实数集合 : R R R

    复数集合 : C C C





    三、 集合关系



    集合关系 有 包含关系 , 相等关系 , 另外关系的性质有 自反省 , 反对称性性 , 传递性 ;



    1、 包含关系


    集合的包含关系 :

    描述 : A , B A, B A,B 两个集合 , 如果 B B B 中的元素 都是 A A A 中的元素 , 称 B B B 集合 是 A A A 集合的 子集 , A A A 包含 B B B , B B B 包含于 A A A ;

    记作 : B ⊆ A B \subseteq A BA

    符号化形式 : B ⊆ A ⇔ ∀ x ( x ∈ B → x ∈ A ) B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \to x \in A ) BAx(xBxA) , 对于所有的对象 , 只要属于 B B B 集合 , 就属于 A A A 集合 ;



    集合的不包含关系 :

    描述 : 如果 集合 B B B 不是 集合 A A A 的子集

    记作 : B ⊈ A B \not\subseteq A BA ;

    符号化形式 : B ⊈ A ⇔ ∃ x ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) B \not\subseteq A \Leftrightarrow \exist x ( x \in B \land x \not\in A ) BAx(xBxA) , 对于所有的对象 , 存在对象属于 B B B 集合 , 不属于 A A A 集合 ;



    包含示例 :

    A = 1 , 2 , 3 , 4 A = {1, 2, 3, 4} A=1,2,3,4 , B = 1 , 2 , 3 B = {1, 2, 3} B=1,2,3 , C = 1 , 2 C = {1, 2} C=1,2

    C ⊆ B C \subseteq B CB , C ⊆ A C \subseteq A CA , B ⊆ A B \subseteq A BA



    2、 相等关系


    集合的相等关系 :

    描述 : A , B A, B A,B 两个集合 , 如果 A A A 包含 B B B , 并且 B B B 包含 A A A , 则称 A A A B B B 相等 ;

    记作 : A = B A = B A=B

    符号化表示 : A = B ⇔ ∀ x ( x ∈ B ↔ x ∈ A ) A = B \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \leftrightarrow x \in A ) A=Bx(xBxA)



    3、 集合间包含关系性质


    集合间包含关系性质 : 下面的 A , B , C A, B, C A,B,C 是三个集合 , 以下的命题是真命题 ;

    自反性 : A ⊆ A A \subseteq A AA , 集合真包含它自己 ;

    反对称性 : A ⊆ B A \subseteq B AB B ≠ A B \not= A B=A , 则 B ⊈ A B \not\subseteq A BA
    ( 该性质等价于 若 A ⊆ B A \subseteq B AB B ⊆ A B \subseteq A BA , 则 A = B A = B A=B )

    传递性 : A ⊆ B A \subseteq B AB B ⊆ C B \subseteq C BC , 则 A ⊆ C A \subseteq C AC

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    扩展关系(extend)

    扩展关系用一个虚箭头外加版型《extend》表示,由扩展用例指向被扩展用例
    在这里插入图片描述

    扩展关系可以基于以下理由:

    1、表明用例的某一部分是可选的系统行为,这样就可以将用例图中的可选行为和必选行为分开。
    2、表明只在特定条件下才执行的特定分支用例
    3、表明多个基本用例中都有可能触发的某个可选用例

    extend关系和include关系最明显的区别就是:扩展用例是可选的,包含用例是必选的,如上图所示:手机用户在用自动缴费机充值之后,可以打印小票,也可以不打印,这完全取决于用户的意愿,并不是必须要执行的。

    包含关系(include):

    上面在讲用例粒度时讲到的查询余额(QueryRemainCash)和登录(Login)之间的关系就是包含关系
    在这里插入图片描述
    那么什么是包含关系呢?是不是就像大家想的那样,一个大用例划分为几个小用例,大的包含小的呢?答案是:不是。下面我为大家具体讲一下包含关系。

    包含关系用一个虚箭头另加版型(stereotype)《include》表示,从包含用例指向被包含用例,如上图所示

    包含关系可以基于以下理由:

    1、从基本用例中分解出这样的行为:它对于了解基本用例的主要目的并不是必须的,但是它必须在执行基本用例前先执行,只有它的结果才是比较重要的。如上图所示:对于用户来说,他在了解系统的功能时,“查询余额”是主要的,对于登录,只有它的结果才是重要的,但是用户在查询余额前必须先登录。

    2、分解出两个或更多用例所共有的行为,这样可以实现用例的复用,简化用例图。如上图所示:"查询余额"和“查询消费金额”都能抽出一个“登录”用例。

    举一个大家最常见的例子:你去银行办业务,无论你办什么业务,都需要你输入账号的密码。假如有人问你:你去银行干什么呀?你的回答可能是取钱,但是绝对没有人回答我去银行输密码和取钱。因为输入密码对于用户了解基本用例的目的不是必须的,只有输入密码的结果才是重要的(但它是取钱时必须执行的步骤),所以取钱和输入密码之间就是包含关系

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    一. 偏序关系




    1. 偏序关系定义



    ( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )


    偏序关系 定义 :

    • 1.前置条件 1 : A ̸ = ∅ A \not= \varnothing A̸= , 并且 R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A ;

    • 2.前置条件 2 : 如果 R R R自反 , 反对称 , 传递的 ;

      • ① 自反 : 每个元素 自己 和 自己 都有关系 , x R x xRx xRx ;
      • ② 反对称 : 如果 x R y xRy xRy 并且 y R x yRx yRx x = y x=y x=y , x ̸ = y x \not=y x̸=y , x R y xRy xRy y R x yRx yRx 不能同时存在 ; 可以没有 , 但是一定不能同时出现 ;
      • ③ 传递 : 如果 有 x R y xRy xRy , y R z yRz yRz , 那么必须有 x R z xRz xRz , 如果前提不成立 , 那么也勉强称为传递 ;
    • 3.结论 : R R R A A A 上的偏序关系 ;

    • 4.表示 : 使用 ⪯ \preceq 表示偏序关系 ;

    • 5.读法 : ⪯ \preceq 读作 "小于等于" ;

    • 6.使用公式表示 :
      &lt; x , y &gt; ∈ R ⟺ x R y ⟺ x ⪯ y &lt;x, y&gt; \in R \Longleftrightarrow xRy \Longleftrightarrow x \preceq y <x,y>RxRyxy

    • 7.公式解读 : 如果 x x x , y y y 两个元素 构成 有序对 &lt; x , y &gt; &lt;x,y&gt; <x,y> , 并且在偏序关系 R R R , x x x y y y 具有 R R R 关系 , 也可以写成 x x x 小于等于 ( 偏序符号 ) y y y ;

    • 8.常见的偏序关系 : 树 上 的 小于等于关系 , 集合上的包含关系 , 0 0 0 自然数之间的整除关系 , 都是常见的偏序关系 ;




    ( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 )


    偏序关系 与 等价关系 :

    • 1.表示层次结构 : 偏序关系是非常常用的二元关系 , 通常用来 表示 层次结构 ;
    • 2.等价关系 : 等价关系 是 用来分类的 , 将一个 集合 分为 几个等价类 ;
    • 3.偏序关系 : 偏序关系 通常是 用来组织的 , 在每个类的内部 , 赋予其一个结构 , 特别是层次结构 , 有上下层级 ,




    2. 偏序集定义



    ( 1 ) 偏序集定义


    偏序集 定义 :

    • 1.前置条件 1 : ⪯ \preceq A A A 上的 偏序关系 ;
    • 2.结论 : &lt; A , ⪯ &gt; &lt;A , \preceq&gt; <A,> 是偏序集 ;
    • 3.解读 : 集合 A A A 与 偏序关系 ⪯ \preceq 构成的有序对 , 称为 偏序集 ;





    二. 偏序关系 示例




    1. 小于等于关系



    ( 1 ) 小于等于关系 说明


    偏序集示例 1 ( 小于等于关系 ≤ \leq 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ R , &lt; A , ≤ &gt; \varnothing \not= A \subseteq R , &lt;A , \leq &gt; ̸=AR,<A,>
    • 2.语言描述 : 如果 A A A 是 实数集 R R R 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing , 集合 A A A 中的 小于等于关系 , 是偏序关系 ;
    • 3.使用集合形式表示关系 : ≤ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≤ y } \leq = \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x \leq y \} ={<x,y>x,yAxy}



    ( 2 ) 小于等于关系 分析


    实数集 A A A 上的 小于等于关系 ( ≤ \leq ) 分析 :

    • 1.自反性质分析 : x x x 小于等于 x x x , x ≤ x x \leq x xx , 是成立的 , 小于等于关系 是 自反的 ;
    • 2.反对称性质分析 : x x x 小于等于 y y y , y y y 小于等于 x x x , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 小于等于 关系 是 反对称的 ,
    • 3.传递性质分析 : x x x 小于等于 y y y , y y y 小于等于 z z z , x x x 小于等于 z z z , 是成立的 , 因此 小于等于关系 是 传递的 ;
    • 4.总结 : 综上所述 , 小于等于 关系 是 偏序关系 ;




    2. 大于等于关系



    ( 1 ) 大于等于关系 说明


    偏序集示例 2 ( 大于等于关系 ≥ \geq 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ R , &lt; A , ≥ &gt; \varnothing \not= A \subseteq R , &lt;A , \geq &gt; ̸=AR,<A,>
    • 2.语言描述 : 如果 A A A 是 实数集 R R R 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing , 集合 A A A 中的 大于等于关系 ( ≥ \geq ) , 是偏序关系 ;
    • 3.使用集合形式表示关系 : ≥ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≥ y } \geq = \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x \geq y \} ={<x,y>x,yAxy}



    ( 2 ) 大于等于关系 分析


    实数集 A A A 上的 大于等于关系 ( ≥ \geq ) 分析 :

    • 1.自反性质分析 : x x x 大于等于 x x x , x ≥ x x \geq x xx , 是成立的 , 大于等于关系 是 自反的 ;
    • 2.反对称性质分析 : x x x 大于等于 y y y , y y y 大于等于 x x x , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 大于等于 关系 是 反对称的 ,
    • 3.传递性质分析 : x x x 大于等于 y y y , y y y 大于等于 z z z , x x x 大于等于 z z z , 是成立的 , 因此 大于等于关系 是 传递的 ;
    • 4.总结 : 综上所述 , 大于等于 关系 是 偏序关系 ;




    3. 整除关系



    ( 1 ) 整除关系 说明


    偏序集示例 3 ( 整除关系 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ Z + = { x ∣ x ∈ Z ∧ x &gt; 0 } &lt; A , ∣ &gt; \varnothing \not= A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x &gt; 0 \}&lt;A , | &gt; ̸=AZ+={xxZx>0}<A,>
    • 2.语言描述 : 如果 A A A 是 正整数集 Z + Z_+ Z+ 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing , 集合 A A A 中的 整除关系 ( ∣ | ) , 是偏序关系 ;
    • 3.使用集合形式表示关系 : ∣ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ∣ y } |= \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x | y \} ={<x,y>x,yAxy}
    • 4.整除关系 : x ∣ y x|y xy , x x x y y y 的因子 , 或 y y y x x x 的倍数 ;



    ( 2 ) 整除关系 分析


    正整数集 A A A 上的 整除关系 ( ∣ | ) 分析 :

    • 1.自反性质分析 : x x x 整除 x x x , x ∣ x x | x xx , 是成立的 , 整除关系 ( | ) 是 自反的 ;
    • 2.反对称性质分析 : x x x 整除 y y y , y y y 整除 x x x , 两个正整数互相都能整除 , 它们只能相等 , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 整除 关系 是 反对称的 ,
    • 3.传递性质分析 : x x x 整除 y y y , y y y 整除 z z z , x x x 整除 z z z , 是成立的 , 因此 整除关系 是 传递的 ;
    • 4.总结 : 综上所述 , 整除 关系 是 偏序关系 ;




    4. 包含关系



    ( 1 ) 包含关系 说明


    偏序集示例 4 ( 包含关系 ⊆ \subseteq 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : A ⊆ P ( A ) , ⊆ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ⊆ y } \mathscr{A} \subseteq P(A) , \subseteq = \{&lt;x , y&gt; | x , y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \} AP(A),={<x,y>x,yAxy}
    • 2.语言描述 : 集合 A A A 上的幂集合 P ( A ) P(A) P(A) , P ( A ) P(A) P(A) 的子集合 构成 集族 A \mathscr{A} A , 该集族 A \mathscr{A} A 上的包含关系 , 是偏序关系 ;



    ( 2 ) 包含关系 分析


    分析 集合的 子集族 之间的包含关系 :


    ① 假设一个比较简单的集合

    A = { a , b } A=\{a, b\} A={a,b}


    ② 分析 下面 A A A 的 3 个子集族 ;

    A 1 = { ∅ , { a } , { b } } \mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} \} A1={,{a},{b}}

    集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1 包含 空集 ∅ \varnothing , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} ;

    A 2 = { { a } , { a , b } } \mathscr{A}_2 = \{ \{a\} , \{a, b\} \} A2={{a},{a,b}}

    集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2 包含 单元集 { a } \{a\} {a} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ;

    A 3 = P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} , \{a, b\} \} A3=P(A)={,{a},{b},{a,b}}

    集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3 包含 空集 ∅ \varnothing , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ; 这是 集合 A A A 的 幂集 ;


    ③ 列举出集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1 上的包含关系 :

    ⊆ 1 = I A 1 ∪ { &lt; ∅ , { a } &gt; , &lt; ∅ , { b } &gt; } \subseteq_1 = I_{\mathscr{A}1} \cup \{ &lt;\varnothing , \{a\}&gt; , &lt;\varnothing , \{b\}&gt; \} 1=IA1{<,{a}>,<,{b}>}

    ⊆ 1 \subseteq_1 1 是集合 A 1 \mathscr{A}1 A1 上的偏序关系 ;

    即 分析 空集 ∅ \varnothing , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} 三个 集合之间的包含关系 :

    • 1.恒等关系 I A 1 I_{\mathscr{A}1} IA1 : &lt; { a } , { a } &gt; 和 &lt; { b } , { b } &gt; &lt;\{a\} , \{a\}&gt; 和 &lt;\{b\} , \{b\}&gt; <{a},{a}><{b},{b}> , 集合上的恒等关系 , 每个集合 肯定 自己包含自己 ;
    • 2. &lt; ∅ , { a } &gt; &lt;\varnothing , \{a\}&gt; <,{a}> : 空集 肯定 包含于 集合 { a } \{a\} {a} ;
    • 3. &lt; ∅ , { b } &gt; &lt;\varnothing , \{b\}&gt; <,{b}> : 空集 肯定 包含于 集合 { b } \{b\} {b} ;
    • 4.总结 : 这些包含关系 的性质分析 :
      • ① 自反 : 每个元素自己 包含 自己 , A ⊆ A A \subseteq A AA , 包含关系具有 自反性质 ;
      • ② 反对称 : 如果 集合 A ⊆ B A \subseteq B AB , B ⊆ A B \subseteq A BA , 那么 A = B A = B A=B , 显然 包含关系 具有反对称性质 ;
      • ③ 传递 : 如果 A ⊆ B A \subseteq B AB , 并且 A ⊆ C A \subseteq C AC , 那么有 A ⊆ C A \subseteq C AC , 包含关系 具有传递性质 ;

    ④ 列举出集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2 上的包含关系 :

    ⊆ 2 = I A 2 ∪ { &lt; { a } , { a , b } &gt; \subseteq_2 = I_{\mathscr{A}2} \cup \{ &lt;\{a\} , \{a, b\}&gt; 2=IA2{<{a},{a,b}>

    ⊆ 2 \subseteq_2 2 是集合 A 2 \mathscr{A}2 A2 上的偏序关系 ;


    ⑤ 列举出集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3 上的包含关系 :

    ⊆ 3 = I A 3 ∪ { &lt; ∅ , { a } &gt; , &lt; ∅ , { b } &gt; , &lt; ∅ , { a , b } &gt; , &lt; { a } , { a , b } &gt; , &lt; { b } , { a , b } &gt; } \subseteq_3 = I_{\mathscr{A}3} \cup \{ &lt;\varnothing , \{a\}&gt; , &lt;\varnothing , \{b\}&gt;, &lt;\varnothing , \{a, b\}&gt; , &lt;\{a\} , \{a, b\}&gt; , &lt;\{b\} , \{a, b\}&gt; \} 3=IA3{<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a,b}>,<{b},{a,b}>}

    ⊆ 3 \subseteq_3 3 是集合 A 3 \mathscr{A}_3 A3 上的偏序关系 ;




    5. 加细关系



    ( 1 ) 加细关系 说明


    偏序集示例 5 ( 加细关系 ⪯ 加 细 \preceq_{加细} 是 偏序关系 ) :

    • 1.加细关系描述 : A ̸ = ∅ A \not= \varnothing A̸= , π \pi π 是 由 A A A 的 一些划分 组成的集合 ;

    ⪯ 加 细 = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 细 } \preceq_{加细} = \{&lt;x , y&gt; | x , y \in \pi \land x 是 y 的 加细\} ={<x,y>x,yπxy}

    • 2.划分 : 划分 是 一个 集族 ( 集合的集合 ) , 其元素是集合 又叫 划分快 , 其中 每个元素(集族中的元素)集合 中的 元素 是 非空集合 A A A 的元素 ;
      • ① 该集族不包含空集 ;
      • ② 该集族中任意两个集合都不想交 ;
      • ③ 该集族中 所有 元素 取并集 , 得到 集合 A A A ;



    ( 2 ) 加细关系 分析


    分析 集合的 划分之间 的 加细 关系 :

    ① 集合 A = { a , b , c } A = \{a, b, c\} A={a,b,c} , 下面的 划分 和 加细 都基于 该 集合 进行分析 ;


    ② 下面 列出集合 A A A 的 5 个划分 :

    划分 1 : 对应 1 个等价关系 , 分成 1 类 ;
    A 1 = { { a , b , c } } \mathscr{A}_1 =\{ \{ a, b, c \} \} A1={{a,b,c}}

    划分 2 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
    A 2 = { { a } , { b , c } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b, c \} \} A2={{a},{b,c}}

    划分 3 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
    A 3 = { { b } , { a , c } } \mathscr{A}_3 = \{ \{ b \} , \{ a, c \} \} A3={{b},{a,c}}

    划分 4 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
    A 4 = { { c } , { a , b } } \mathscr{A}_4 = \{ \{ c \} , \{ a, b \}\} A4={{c},{a,b}}

    划分 5 : 对应 3 个等价关系 , 分成 3 类 ; 每个元素自己自成一类
    A 5 = { { a } , { b } , { c } } \mathscr{A}_5 = \{ \{ a \} , \{ b \}, \{ c \} \} A5={{a},{b},{c}}

    ③ 下面 列出要分析的几个由划分组成的集合 :

    集合 1 :
    π 1 = { A 1 , A 2 } \pi_1 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2 \} π1={A1,A2}

    集合 2 :
    π 2 = { A 2 , A 3 } \pi_2 = \{ \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3 \} π2={A2,A3}

    集合 3 :
    π 3 = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } \pi_3 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3, \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \} π3={A1,A2,A3,A4,A5}

    ④ 集合 π 1 \pi_1 π1 上的加细关系分析 :

    • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 1 I_{\pi 1} Iπ1 , &lt; A 1 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1&gt; <A1,A1> , &lt; A 2 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2&gt; <A2,A2> ;
    • 2.其它加细关系 : A 2 \mathscr{A}_2 A2 划分中的 每个划分块 , 都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 划分 中块 的某个划分块的子集合 , 因此有 A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 , 记做 &lt; A 2 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1&gt; <A2,A1> ;
    • 3.加细的定义 : A 1 \mathscr{A}_1 A1 A 2 \mathscr{A}_2 A2 都是集合 A A A 的划分, A 2 \mathscr{A}_2 A2 中的 每个划分块 , 都含于 A 1 \mathscr{A}_1 A1 中的某个划分块中 , 则称 A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 ;

    - 4.加细关系列举 :
    ⪯ 1 = I π 1 ∪ { &lt; A 2 , A 1 &gt; } \preceq_1 = I_{\pi 1} \cup \{ &lt;\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1&gt; \} 1=Iπ1{<A2,A1>}


    ⑤ 集合 π 2 \pi_2 π2 上的加细关系分析 :

    • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 2 I_{\pi 2} Iπ2 , &lt; A 3 , A 3 &gt; &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3&gt; <A3,A3> , &lt; A 2 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2&gt; <A2,A2> ;
    • 2.其它加细关系 : A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 3 \mathscr{A}_3 A3 这两个划分互相不是加细 , 因此 该集合中没有其它加细关系 ;

    - 4.加细关系列举 :
    ⪯ 2 = I π 2 \preceq_2 = I_{\pi 2} 2=Iπ2


    ⑥ 集合 π 3 \pi_3 π3 上的加细关系分析 :

    • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 3 I_{\pi 3} Iπ3 , &lt; A 1 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1&gt; <A1,A1> , &lt; A 2 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2&gt; <A2,A2>, &lt; A 3 , A 3 &gt; &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3&gt; <A3,A3>, &lt; A 4 , A 4 &gt; &lt;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_4&gt; <A4,A4>, &lt; A 5 , A 5 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_5&gt; <A5,A5> ;
    • 2.其它加细关系 :
      • ① 与 A 5 \mathscr{A}_5 A5 划分相关的加细 : A 5 \mathscr{A}_5 A5 是划分最细的 等价关系 , A 5 \mathscr{A}_5 A5 是其它所有 划分 的加细 , 因此有 &lt; A 5 , A 4 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4&gt; <A5,A4> , &lt; A 5 , A 3 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3&gt; <A5,A3> , &lt; A 5 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2&gt; <A5,A2> , &lt; A 5 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1&gt; <A5,A1> ;
      • ② 与 A 1 \mathscr{A}_1 A1 划分相关的加细 : A 1 \mathscr{A}_1 A1 是划分最粗的 等价关系 , 所有的划分 都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 , 因此有 &lt; A 5 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1&gt; <A5,A1> , &lt; A 4 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1&gt; <A4,A1> , &lt; A 3 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1&gt; <A3,A1> , &lt; A 2 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1&gt; <A2,A1> ;
    • 4.加细关系列举 :

    ⪯ 3 = I π 3 ∪ { &lt; A 5 , A 4 &gt; , &lt; A 5 , A 3 &gt; , &lt; A 5 , A 2 &gt; , &lt; A 5 , A 1 &gt; , &lt; A 4 , A 1 &gt; , &lt; A 3 , A 1 &gt; , &lt; A 2 , A 1 &gt; } \preceq_3 = I_{\pi 3} \cup \{ &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1&gt; , &lt;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1&gt;, &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1&gt;, &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1&gt; \} 3=Iπ3{<A5,A4>,<A5,A3>,<A5,A2>,<A5,A1>,<A4,A1>,<A3,A1>,<A2,A1>}


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  • 关系数据库——关系代数

    千次阅读 多人点赞 2021-04-05 10:56:41
    关系模型其它模型相比,最有特色的是它的数据库语言 这种语言灵活方便、表达能力和功能都很强 目前关系数据库所使用的语言一般都具有定义、查找、更新和控制一体化的特点,而查询是最主要的部分 所以说,关系...

    本人就职于国际知名终端厂商,负责modem芯片研发。
    在5G早期负责终端数据业务层、核心网相关的开发工作,目前牵头6G算力网络技术标准研究。

    关系数据库

    关系代数

    • 关系模型与其它模型相比,最有特色的是它的数据库语言
    • 这种语言灵活方便、表达能力和功能都很强
    • 目前关系数据库所使用的语言一般都具有定义、查找、更新和控制一体化的特点,而查询是最主要的部分
    • 所以说,关系数据库的核心部分是查询,故又称为查询语言,而查询的条件要使用关系运算表达式来表示
    • 因此,关系运算是设计关系数据语言的基础
    • 按表达查询的方式不同,关系运算可分为关系代数和关系演算两大类

    关系代数的分类及其运算符

    • 关系代数式对关系进行集合代数运算,是基于关系代数的操作语言,称为关系代数语言,简称关系代数
      □ 它是由IBM在一个实验性的系统上实现的,称为ISBL(Information System Base Language)语言
      □ ISBL的每个语句都类似于一个关系代数表达式
    • 关系代数的运算对象是关系,运算结果也是关系,关系代数用到的运算符主要包括四类:
      • 集合运算符:∪(并),-(差),∩(交),X(广义笛卡尔积);
      • 专门的关系运算符:σ(选择),∏(投影),∞(连接),*(自然连接),÷(除);
      • 算术比较运算符:>(大于),≥(大于等于),<(小于),≤(小于等于),=(等于),≠(不等于);
      • 逻辑运算符:∧(与),∨(或),┒(非)

    关系代数的运算按运算符的不同主要分为两类:

    • 传统的集合运算:把关系看成元组的集合,以元组作为集合中元素来进行运算,其运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行的。包括并、差、交和笛卡尔积等运算
    • 专门的关系运算:不仅涉及行运算,也涉及列运算。这种运算是为数据库的应用而引进的特殊运算。包括选择、投影、连接和除法等运算

    传统的集合运算

    • 传统的集合运算是二目运算,是在两个关系中进行的,但是并不是任意的两个关系都能进行这种集合运算,而是要在两个满足一定条件的关系中进行运算。那么,对关系有什么要求呢?看下面的定义👇
      • 设给定两个关系R、S,若满足:
        (1)具有相同的度n;
        (2)R中第i个属性和S中第i个属性必须来自同一个域
        则说关系R、S是相容的
      • 除笛卡尔积外,要求参加运算的关系必须满足上述的相容性定义

    🔶并(Union)

    • 关系R和关系S的并,是由属于R或属于S的元组组成,即R和S的所有元组合并,删去重复元组,组成一个新关系,其结果仍为n目关系。记作:R∪S={t|t∈R∨t∈S}
    • 对于关系数据库,记录的插入和添加可通过并运算实现
    • 一个元素在并集中只出现一次
    • R和S必须同类型(属性集相同、次序相同,但属性名可以不同)
      在这里插入图片描述

    🔶差(Difference)

    • 关系R与关系S的差由属于R而不属于S的所有元组组成,即R中删去与S中相同的元组,组成一个新关系,其结果仍为n目关系。记作:R-S={t|t∈R ∧ ┒t∈S}
    • 通过差运算,可以实现关系数据库记录的删除
      在这里插入图片描述

    🔶交(Intersection)

    • 关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元组组成,即R与S中相同的元组,组成一个新关系,其结果仍为n目关系。记作:R∩S={t|t∈R t∈S}
    • 如果两个关系没有相同的元组,那么它们的交为空
    • 两个关系的并和差运算为基本运算(即不能用其它运算表达的运算),而交运算为非基本运算,交运算可以用差运算来表示 R∩S=R-(R-S)
      在这里插入图片描述

    🔶广义笛卡尔积(Extended Cartesian Product)

    • 两个分别为n目m目关系R和S的广义笛卡尔积是一个 (n+m)列的元组的集合,元组的前n列是关系R的一个元组,后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组,S有k2个元组,则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1*k2个元组。记作:R×S={tr⌒ts| tr∈R ts∈S}
    • 关系的广义笛卡尔积可用于两关系的连接操作
    • 例如,下图关系R(a)和S(b)为相容关系,©为R与S的并,(d)为R与S的交,(e)为R与S的差,(f)为R与S的广义笛卡尔积
      在这里插入图片描述
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    专门的关系运算

    • 由于传统的集合运算,只是从行的角度进行,而要灵活地实现关系数据库多样的查询操作,必须引入专门的关系运算

    • 为叙述上的方便先引入几个概念
      (1)设关系模式为R(A1,A2,…,An),它的一个关系为R,t∈R表示t是R的一个元组,t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量👇
      在这里插入图片描述
      (2)若A={Ai1,Ai2,…,Aik},其中Ai1,Ai2,…,Aik是A1,A2,…,An中的一部分,则A称为属性列或域列,Ã则表示{A1,A2,…,An}中去掉{Ai1,Ai2,…,Aik}后剩余的属性组。t[A]=(t[Ai1],t[Ai2],…,t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合👇
      在这里插入图片描述
      (3)元组的连接tr⌒ts:R为n目关系,S为m目关系,tr∈R,ts∈S,tr⌒ts称为元组的连接(concatenation),它是一个n+m列的元组,前n个分量为R的一个n元组,后m个分量为S中的一个m元组
      例如👇
      在这里插入图片描述
      (4)给定一个关系R(X,Z),X和Z为属性组,定义当t[X]=x时,x在R中的象集(Image Set)为Zx={t[Z] | t∈R,t[X]=x},它表示R中的属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合👇
      在这里插入图片描述
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    • 选择(Selection)

      • 选择又称限制(Restriction)
      • 选择运算是单目运算,是根据一定的条件在给定的关系R中选取若干个元组,组成一个新关系,记作:σF(R )={t|t∈R∧F(t)为真}
        🔹 σ为选取运算符;
        🔹 F表示选取的条件,是一个由运算对象(属性名、常数、简单函数)、算术比较运算符(> ,≥,<,≤,=,≠)和逻辑运算符(∨ ,∧, ┐)连接起来的逻辑表达式,结果为逻辑值“真”或“假”;
      • 选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式为真的元组,是从行的角度进行的运算
        在这里插入图片描述
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        以下例题均是以上图👆所示的五个关系为例进行运算
        例. 查询计算机系的全体学生
        👉σDEPT=’计算机’ (S) 或 σ5=’计算机’ (S)(其中5为DEPT的属性序号)
        查询结果如下图👇
        在这里插入图片描述
        例. 查询工资高于1000元的男教师
        👉σ(SAL>1000) ∧(SEX=’男’) (T)
        查询结果如下图👇
        在这里插入图片描述
    • 投影(Projection)

      • 投影运算也是单目运算,关系R上的投影是从R中选择出若干属性列,组成新的关系,即对关系在垂直方向进行的运算,从左到右按照指定的若干属性及顺序取出相应列,应删去重复元组。记作:ΠA(R )={t[A] | t∈R}
        🔹 A为R中的属性列,Π为投影运算符
      • 从其定义可看出,投影运算是从列的角度进行的运算,这正是选取运算与投影运算的区别所在。选取运算是从关系的水平方向上进行运算的,而投影运算则是从关系的垂直方向上进行的
      • 投影之后,新关系与原关系可能不相容

      例.查询教师的姓名,教师号及其职称。
      👉ΠTN,TNO,PROF(T) 或 Π2,1,5(T) (其中2,1,5分别为TN、TNO和PROF的属性序号)
      结果如下图👇
      在这里插入图片描述
      结果表明投影运算可以改变关系的属性次序

      例. 查询教师关系中有哪些系
      👉ΠDEPT(T)
      结果如下图👇
      在这里插入图片描述
      由上例可以看出,投影后取消了某些属性列后,就可能出现重复行,应该取消这些完全相同的行。所以投影之后,不但减少了属性,元组也可能减少,新关系与原关系不相容

      例. 查询讲授C5课程的教师号。
      👉ΠTNOCNO=’C5’(TC))
      结果如下图👇
      在这里插入图片描述

    • 连接(Join)

      • 连接运算是二目运算,是从两个关系的笛卡尔积中选取满足连接条件的元组,组成新的关系

      • 设关系R(A1,A2,…,An)及S(B1,B2,…,Bm),连接属性集X包含于{A1,A2,…,An},及Y包含于{B1,B2,…,Bm},X与Y中属性列数目相同,且相对应属性有共同的域。【若Z={A1,A2,…,An}/X(/X:去掉X之外的属性)及W={B1,B2,…,Bm}/Y,则R及S可表示为R(Z,X),S(W,Y)】关系R和S在连接属性X和Y上的连接,就是在R×S笛卡尔积中,选取X属性列上的分量与Y属性列上的分量满足给定θ比较条件的那些元组,也就是在R×S上选取在连接属性X,Y上满足θ条件的子集,组成新的关系,新关系的度为n+m。记作:(R∞S)XθY={tr⌒ts |tr∈R∧ts∈S∧tr[X] θ ts[Y]为真}
        🔹 ∞是连接运算符
        🔹 θ为算术比较运算符,也称θ连接
        🔹 XθY为连接条件
             θ为“=”时,称为等值连接;
             θ为“<”时,称为小于连接;
             θ为“>”时,称为大于连接

      • 连接运算为非基本运算,可以用选取运算和广义笛卡尔积运算来表示:R∞S=σxθy(R×S)

      • 在连接运算中,一种最常用的连接是自然连接,所谓自然连接是一种特殊的等值连接,它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组,并且在连接结果中把重复的属性列去掉。即如果R与S具有相同的属性组Y,则自然连接可记作:R∞S={tr⌒ts |tr∈R∧ts∈S∧tr[Y]=ts[Y]}

      • 自然连接是在广义笛卡尔积R×S中选出同名属性上符合相等条件的元组,再进行投影,去掉重复的同名属性,组成新的关系

      例. 如图 (a)、(b)所示的两个关系R与S,©为R和S的大于连接(C>D),(d)为R和S的等值连接(C=D),(e)为R和S的等值连接(R.B=S.B),(f)为R和S的自然连接👇
      在这里插入图片描述
      结果如下图👇
      在这里插入图片描述
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      • 通过上面👆的例题,我们可以看出等值连接与自然连接的区别:
        (1)等值连接中不要求连接属性的属性名相同,而自然连接要求连接属性的属性名必须相同,即两关系只有在同名属性才能进行自然连接【如上例R中的C列和S中的D列可进行等值连接,但因为属性名不同,不能进行自然连接】
        (2)等值连接不将重复属性去掉,而自然连接去掉重复属性,也可以说,自然连接是去掉重复列的等值连接【如上例R中的B列和S中的B列进行等值连接时,结果有两个重复的属性列B,而进行自然连接时,结果只有一个属性列B】

      例. 查询讲授数据库课程的教师姓名
      👉ΠTNCN=’数据库’(C ) ∞ ΠTNO,CNO(TC) ∞ΠTNO,TN(T)) 或 ΠTNTNOCN=’数据库’(C ) ∞TC) ∞ ΠTNO,TN(T))
      结果如下图👇
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    • 除法(Division)

      • 除法运算是二目运算
      • 前提:设有关系R(X,Y)与关系S(Y,Z),其中X,Y,Z为属性集合,R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名,但对应属性必须出自相同的域
      • 关系R除以关系S所得的商是一个新关系P(X),P是R中满足下列条件的元组在X上的投影:元组在X上分量值x的象级Yx包含S在Y上投影的集合。记作:R÷S={tr[X]|tr∈R∧Πy(S)⊆Yx}
        🔹 Yx为x在R中的象集,x= tr[X]
      • 除法是既从列的角度又从行的角度对关系R进行运算。首先,新关系P中只保留属性列X;其次,新关系P中只保留这样的X值x:S在Y上投影的集合是x的象集Yx的子集
      • 除法运算为非基本运算,可以表示为:R÷S=Πx(R )-Πxx(R )× ΠY(S)-R)

      例. 已知关系R和S,如下图(a),(b)所示,则R÷S如图©所示👇
      在这里插入图片描述
      与除法的定义相对应,本题中X={A,B,E},Y={C,D},Z={F}。其中,在关系R中,X可以取三个值{(a1,b2,e1),(a2,b4,e3),(a3,b5,e4)},它们的象集分别为:
           ①(a1,b2,e1)的象集为{(c3,d5),(c4,d6)}
           ②(a2,b4,e3)的象集为{(c1,d3)}
           ③(a3,b5,e4)的象集为{(c2,d8)}
      S在Y上的投影为{(c3,d5),(c4,d6)}
      显然只有(a1,b2,e1)的象集包含S在Y上的投影,所以R÷S={(a1,b2,e1)}

      • 除法运算同时从行和列的角度进行运算,适合于包含“全部”之类的短语的查询

    关系数据库——关系数据结构及形式化定义
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  • 、或逻辑关系分析

    千次阅读 2021-03-02 16:31:33
    1、: a且b------>两个条件都必须成立; 2、或: a或b------>两个条件中有一个成立即可。 或包含三种情况: 1)a且b 2) a且!b 3)!a且b 即:a或b的范围要大于a且b,也即:或包含且在内。 3、举例: ...

空空如也

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包含关系与属于关系