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  • 将矩阵化为上三角矩阵

    千次阅读 2021-05-07 23:45:16
    题目:将矩阵化为上三角矩阵。 public class shangsanjiao{ public static void main(String[] args) { int i, j, k, v, hang, lie; double[][] a = new double[50][50]; double m; double[][] b = new ...

    题目:将矩阵化为上三角矩阵。

    public class shangsanjiao{
        public static void main(String[] args) {
            int i, j, k, v, hang, lie;
            double[][] a = new double[50][50];
            double m;
            double[][] b = new double[50][50];
            double c[][] = {};
            int num1, num2, num3, num4;
            //输入部分
            Scanner in = new Scanner(System.in);
            System.out.println("请输入你想计算的行的个数:");
            hang = in.nextInt();
            System.out.printf("请输入你想计算的列的个数:");
            lie= in.nextInt();
            for (i = 0; i < hang; ++i) {
               System.out.printf("请输入第%d行元素:", i + 1);
                for (j = 0; j < lie; ++j)
                   a[i][j]=in.nextDouble();
            }
            System.out.printf("上三角矩阵为:");
            //对角化部分
            for (k = 0; k < hang - 1; ++k) {
                for (i = k; i < hang - 1; ++i) {
                    for (j = 0; j < lie; ++j) {
                        //数组行交换
                        if (a[k][k] == 0) {
                            for (num1 = k; num1 == k; ++num1) {
                                for (num2 = 0; num2 < lie; ++num2) {
                                    c[num1][num2] = a[num1][num2];
                                    a[num1][num2] = a[num1 + 1][num2];
                                    a[num1 + 1][num2] = c[num1][num2];
                                    for (v = 0; v < lie; ++v)
                                        b[k][v] = a[k][v];
                                    //这一步至关重要,少此步,改变的b数组全为0,没有刷新,输出为0
                                }
                            }
                        }
                        //矩阵换行结束
                        m = a[i + 1][k] / (1.0 * a[k][k]);
                        b[i + 1][j] = a[i + 1][j] - (m) * a[k][j];
                    }
                }
                //将寄存在b中的数据转到a中
                for (num3 = 1; num3 <= hang; ++num3)
                    for (num4 = 0; num4 < lie; ++num4) {
                        a[num3][num4] = b[num3][num4];
                    }
            }
            //矩阵输出
            for (i = 0; i < hang; ++i) {
                {
                    for (j = 0; j < lie; ++j)
                        System.out.print(a[i][j]+" ");
                }
                System.out.println("\n");
            }
        }
    }
    

     

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  • 一、用初等行变换行最简形的技巧1. 一般是从左到右,一列一列处理2. 尽量避免分数的运算具体操作:1. 看本列中非零行的首非零元若有数a是其余数的公因子, 则用这个数把第本列其余的数消成零.2. 否则, 出一个公因子...

    一、用初等行变换化行最简形的技巧1. 一般是从左到右,一列一列处理

    2. 尽量避免分数的运算

    具体操作:

    1. 看本列中非零行的首非零元

    若有数a是其余数的公因子, 则用这个数把第本列其余的数消成零.

    2. 否则, 化出一个公因子

    给你个例子看看吧.

    例:

    2 -1 -1 1 2

    1 1 -2 1 4

    4 -6 2 -2 4

    3 6 -9 7 9

    --a21=1 是第1列中数的公因子, 用它将其余数化为0 (*)

    r1-2r2, r3-4r2, r4-3r2 得

    0 -3 3 -1 -6

    1 1 -2 1 4

    0 -10 10 -6 -12

    0 3 -3 4 -3

    --第1列处理完毕

    --第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3

    -- 没有公因子, 用r3+3r4w化出一个公因子

    -- 但若你不怕分数运算, 哪就可以这样:

    -- r1*(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1

    -- 这样会很辛苦的 ^_^

    r1+r4,r3+3r4 (**)

    0 0 0 3 -9

    1 1 -2 1 4

    0 -1 1 6 -21

    0 3 -3 4 -3

    --用a32把第2列中其余数化成0

    --顺便把a14(下次要处理第4列)化成1

    r2+r3, r4+3r3, r1*(1/3)

    0 0 0 1 -3

    1 0 -1 7 -17

    0 -1 1 6 -21

    0 0 0 22 -66

    --用a14=1将第4列其余数化为0

    r2-7r1, r3-6r1, r4-22r1

    0 0 0 1 -3

    1 0 -1 0 4

    0 -1 1 0 -3

    0 0 0 0 0

    --首非零元化为1

    r3*(-1), 交换一下行即得

    1 0 -1 0 4

    0 1 -1 0 3

    0 0 0 1 -3

    0 0 0 0 0

    注(*): 也可以用a11=2 化a31=4 为0

    关键是要看这样处理有什么好处

    若能在化a31为0的前提下, a32化成了1, 那就很美妙了.

    注(**): r1+r4 就是利用了1,4行数据的特点,先处理了a12.

    总之, 要注意观察元素的特殊性灵活处理.

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  • 今天在《科学计算方法》课堂,老师让我们用MATLAB把一个矩阵转换为“上三角矩阵”,我想用Java试一下:/*** 求一个矩阵的上三角矩阵* Created by Administrator on 2017/3/6.*/public class Shuzu {public static ...

    今天在《科学计算方法》课堂上,老师让我们用MATLAB把一个矩阵转换为“上三角矩阵”,我想用Java试一下:

    /**

    * 求一个矩阵的上三角矩阵

    * Created by Administrator on 2017/3/6.

    */

    public class Shuzu {

    public static void main(String[] args) {

    double[][] a= new double[4][4]; //可以在定义时直接初始化矩阵啊,比如int[]={2,3,4};

    int w=1;

    for(int i=0;i<4;i++ ){

    for(int j=0;j<4;j++){

    a[i][j]=w; //如果上面定义时是 int[][] a= new int[4][];就会出现空指针异常,

    // 因为电脑不知道将值分配到哪里

    w++;

    }

    }

    double[] m=new double[4];

    for(int k=0;k<3;k++){

    for(int i=k+1;i<4;i++){

    if(a[k][k]==0)break; //如果除数等于零,会报错,永远要相信电脑是不会乱给你报错的

    m[i]=a[i][k]/a[k][k]; //AruthmrticException/by zero.因为除数为零了,所以异常,说明

    //这个矩阵不是满秩矩阵

    for(int j=k;j<3;j++)

    a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*m[i];

    }}

    for(int i=0;i<4;i++ ){

    for(int j=0;j<4;j++){

    System.out.print (" "+a[i][j]);

    }

    System.out.println();}

    }

    }

    逻辑能力非常重要,当需要使用多个循环时,一定要分清楚每一个循环的结构(即这个循环所要完成的事情),可以从里向外,也可以从外向里(个人推荐从外向里,再从里向外)。画图尤其重要,在纸上画一画总是好的。

    /int[][] aa={{2,3},{3,3},{4,4},{3,4}};数组的赋值要么在定义的时候直接完成,否则只能遍历赋值

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  • 例如: 可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即: 对角矩阵对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,例如: 三角矩阵三角矩阵(Triangular Matrix)分为上三角矩阵和下三角矩阵。...

    对称矩阵

    对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如:

    可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即:

    对角矩阵

    对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,例如:

    三角矩阵

    三角矩阵(Triangular Matrix)分为上三角矩阵和下三角矩阵。

    上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)是指主对角线以下元素全为0的矩阵,如:

    下三角矩阵(Lower Triangular Matrix)是指主对角线以上元素全为0的矩阵,如:

    可以看到,对角矩阵一定是三角矩阵。

    对称矩阵对角化

    是实对称矩阵(元素都是实数),则一定存在正交矩阵
    ,对角矩阵
    ,使得下式成立:

    例子:

    证明暂且参考:为什么实对称矩阵一定能对角化?

    两边同时左乘

    ,右乘
    ,得:

    又因为

    是正交矩阵,所以:

    这就叫做对称矩阵的对角化

    对称矩阵对角化的过程相当于将矩阵分解为特征值与特征向量的乘积,所以对称矩阵的对角化也叫做特征分解(Eigendecomposition)、谱分解(Spectral Decomposition),在上面的例子中,矩阵

    的特征值为4、1、-2,对应的特征向量为

    总结

    可以看到对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵都是关于主对角线进行定义的矩阵,所以都是方阵

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化上三角矩阵的技巧

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