一开始如果按照某一要求化简，感觉有些限制，不如先放开步子把容易化简的化简，最后再调整成单位阵比较好。 
 分成两个阶段：
 
暴力处理
 
首先把容易化成0的化成0。不要管什么上（下）三角形或者梯形矩阵之类的要求，直接把容易化成0化成0。
 
精细处理
 
调整非0的位置。在把化成大部分0后，化简时，要注意非0的位置了，每列只能留下一个非零数，并且在每行的位置也不同，再排列顺序变成一个只有主对角线上有数字的行列式，然后乘以其倒数变成1即可。

今天看线性代数，做了几道关于利用初等行变换求逆矩阵的题，自己还没学到变换的技巧，查了一下，找了好久才找到技巧。（网上大部分基本都是教你概念的。。。）记录一下方便以后自己回头看。
 这里分享一下
 
方法1 利用定义（适合简单的小型矩阵）
 
粗暴！这个没什么好说。
 AB=I,则B是A的逆矩阵。然后假设出B的每一个元素，如
 a b
 c d ,…
 最后利用矩阵乘法，解方程。。。。。
 
方法2 伴随矩阵（适合理论推导）
 
线性代数的书讲的很清楚，伴随矩阵计算量很大，适合理论推导。。
 
初等行（列）变换
 
概念我们就不说，假设现在要对A求逆矩阵，我们做题的难点就在于我们如何把A化为单位矩阵？（对A进行初等行变换化为单位阵的同时，单位阵进行相同的初等变换就变为了A的逆矩阵。）
 技巧来了:
 首先用初等变换，化为行阶梯形，再化为标准型。
 
过程如下：
 
 
使用初等变换，首先将第一行的第一个元素化为1（单位矩阵第一个元素1，利用这个1可以将同列任意一个元素变0）。
 
 
下面每行减去第一行乘以该行第一个元素的某倍数，从而把第一列除第一个元素外的全部元素都化为0
 
 
最后把矩阵化为上三角矩阵；类似地，从最后一行开始，逐行把上三角矩阵化为单位矩阵。
 
 
不需要对调第i行与第j行，只用另外两种初等行变换就能做到！当然有时候利用对调更快。
 
在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。

 
 
 
  
毕业季马上要到了，给大家总结一些我平常用到的奇特但是好用的Matlab画图技巧
  

  

  
光滑变化的三维曲面
  
三维曲面展示是目前MATLAB上人眼最容易直观观察的多维矩阵内容一种形式，因此三维矩阵的画图在很多的论文里都有涉及。常用的画图函数有mesh，surf，contourf，plot3等等
  
因为论文实际打印图片存在固定视角无法旋转的特别，为了详尽的表述一整个二维矩阵的内容，MATLAB中三维绘图除了用Z轴表示数据外，将不同的Z轴对应不同的颜色表示。
  
下面依次介绍几种三维曲面画图的函数，函数用法建议自行阅读帮助文件。
  
MESH(X,Y,Z)
  
Matlab中的曲面绘图都是将XY轴离散化后形状网格，Mesh就是对这个网格再加上Z轴的高度，得到一个彩色一个网状曲面图，如图所示。
  

  
通常情况下大家构建的网络比较密，会常用mesh来三维绘图，这样的曲面还是比较好看的，但是如果数据突变比较严重的话这种图会没那么好看，差点意思
  
SURF(X,Y,Z)
  
surf是在mesh的基础上给每个网眼的区域填上颜色，然后把线的颜色换成黑色，如图所示。
  

  
如果网格很密黑色曲线也会很密，影响观感，但是去掉黑色曲线，图片也会陷入不利用观察的情况。
  
Coutour
  
等高线图，去掉了高度的(类似俯视图)显示改为纯用颜色观察大小，适合进行一些定性的分析。
  

  
上面的图片太空不太适合替代SURF和mesh
  
CONTOURF
  

  
为了使得更容易观测，我们对Contourf增加一些配置
  

  
就可以得到一副更好看的三维图的显示，
  

  
画图代码
  
[X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -4:.4:4);
Z = X .* exp(-X.^2 – Y.^2);
figure(1);
contourf(X,Y,Z,100,’linestyle’,’none’)
 
 

开篇介绍
 
在实际应用中，当要进行姿态解算时，必不可少的便是矩阵操作，这里我们引入Eigen这一矩阵操作库。Eigen是一个C++开源线性代数库，它提供了快速的有关矩阵的线性代数运算，还包括解方程等功能。本博客通过一些实例应用，演示Eigen下矩阵逆运算、伴随矩阵运算、行列式计算和特征值、特征向量的计算等等。
 
一、旋转矩阵
 
我们知道向量的内积可以描述向量之间的投影关系，而向量的外积，能表示向量的旋转。在欧氏变换中，首先来考虑旋转。我们设某个单位正交基$(e_1,e_2,e_3)$经过一次旋转，变成了$(e_1^{{}^{\prime }},e_2^{{}^{\prime }},e_3^{{}^{\prime }})$。那么，对于同一个向量a，它在两个坐标系下的坐标为$[a_1,a_2,a_3{]}^T$和$[a_1^{{}^{\prime }},a_2^{{}^{\prime }},a_3^{{}^{\prime }}{]}^T$。根据坐标的定义，有：$$\left[e_1,e_2,e_3\right][a_1,a_2,a_3{]}^T=[e_1^{{}^{\prime }},e_2^{{}^{\prime }},e_3^{{}^{\prime }}][a_1^{{}^{\prime }},a_2^{{}^{\prime }},a_3^{{}^{\prime }}{]}^T$$
 为了描述两个坐标之间的关系，对上面等式左右同时左乘$[e_1^T,e_2^T,e_3^T{]}^T$，那么左边的系数变成了单位矩阵，所以：$$[a_1,a_2,a_3{]}^T=\left[\begin{array}{ccc}{e}_1^T{e}_1^{{}^{\prime }}& e_1^T{e}_2^{{}^{\prime }}& e_1^T{e}_3^{{}^{\prime }}\\ e_2^T{e}_1^{{}^{\prime }}& e_2^T{e}_2^{{}^{\prime }}& e_2^T{e}_3^{{}^{\prime }}\\ e_3^T{e}_1^{{}^{\prime }}& e_3^T{e}_2^{{}^{\prime }}& e_3^T{e}_3^{{}^{\prime }}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1^{{}^{\prime }}\\ a_2^{{}^{\prime }}\\ a_3^{{}^{\prime }}\end{array}\right]\triangleq R{a}^{{}^{\prime }}$$
 我们把中间阵拿出来，定义成一个矩阵R。这个矩阵由两组基之间的内积组成，刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。只要旋转是一样的，那么这个矩阵也是一样的。可以说，矩阵R描述了旋转本身。因此它又称为旋转矩阵。
 旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵。反之，行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。所以，我们可以把旋转矩阵的集合定义如下：
 $$SO(n)=\left\{R\in {\mathrm{R}}^{n\times n}|R{R}^T=I,det(R)=1\right\}$$
 SO(n)是特殊正交群。这个集合由n维空间的旋转矩阵组成，特别的，SO(3)就是三维空间的旋转。通过旋转矩阵，我们可以直接谈论两个坐标系之间的旋转变换，而不用再从基开始谈起了。换句话说，旋转矩阵可以描述相机的旋转。
 由于旋转矩阵为正交阵，它的逆描述了一个相反的旋转。按照上面的定义方式，有：
 $$a^{{}^{\prime }}=R^{-1}a=R^{T}a$$
 然而，在欧氏变换中，除了旋转之外还有一个平移。考虑世界坐标系中的向量a，经过一次旋转(用R描述)和一次平移t后，得到了$a^{{}^{\prime }}$，那么把旋转和平移合到一起，有$$a^{{}^{\prime }}=Ra+t$$
 其中t为平移向量。
 
二、变换矩阵
 
旋转矩阵完整的表达了欧氏空间的平移和旋转，但是还存在一个小问题：这里的变换关系不是一个线性关系。假设进行了两次变换：$R_1,t_1$和$R_2,t_2$，满足：$$b=R_{1}a+t_1,c=R_{2}b+t_2$$
 但是从a到c的变换为：$$c=R_2(R_{1}a+t_1)+t_2$$
 这样的形式在变换多次后会显得过于复杂。因此我们要引入齐次坐标和变换矩阵重写旋转矩阵的变换等式：$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \mathbf{t}\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ 1\end{array}\right]\triangleq T\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ 1\end{array}\right]$$
 这是一个数学技巧：我们把一个三维向量末尾添加1，变成了四维向量，称为齐次坐标。对于这个四维向量，我们可以把旋转和平移写在一个矩阵里面，使得整个关系变成了线性关系。该式中，矩阵T称为变换矩阵。同样地，根据分块矩阵求逆的方法，我们可以轻易的求出变换矩阵的逆：$${\mathbf{T}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}^T& {-\mathbf{R}}^{T}t\\ 0^T& 1\end{array}\right]$$
 
三、Eigen实践
 
在清楚了旋转矩阵和变换矩阵后，我们可以在Kdevelop上尝试着操作矩阵。
 点击构建后直接执行，在调试窗口显示打印结果如下：
 
四、总结
 
在初步实践了Eigen的矩阵操作后，我们很容易便求得了想要矩阵的一些特征，以及一些矩阵运算，这一切都为后续的姿态解算和后端处理提供坚实基础。