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  • 线性代数标准型矩阵化技巧

    万次阅读 2017-05-04 19:56:14
    一开始如果按照某一要求化简,感觉有些限制,不如先放开步子把容易化简的化简,最后再调整成单位阵比较好。 分成两个阶段: 暴力处理 首先把容易化成0的化成0。不要管什么上(下)三角形或者梯形矩阵之类的要求,...

    一开始如果按照某一要求化简,感觉有些限制,不如先放开步子把容易化简的化简,最后再调整成单位阵比较好。
    分成两个阶段:

    1. 暴力处理

    首先把容易化成0的化成0。不要管什么上(下)三角形或者梯形矩阵之类的要求,直接把容易化成0化成0。

    1. 精细处理

    调整非0的位置。在把化成大部分0后,化简时,要注意非0的位置了,每列只能留下一个非零数,并且在每行的位置也不同,再排列顺序变成一个只有主对角线上有数字的行列式,然后乘以其倒数变成1即可。

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  • 今天看线性代数,做了几道关于利用初等行变换求逆矩阵的题,自己还没学到变换的技巧,查了一下,找了好久才找到技巧。(网上大部分基本都是教你概念的。。。)记录一下方便以后自己回头看。 这里分享一下 方法1 利用...

    今天看线性代数,做了几道关于利用初等行变换求逆矩阵的题,自己还没学到变换的技巧,查了一下,找了好久才找到技巧。(网上大部分基本都是教你概念的。。。)记录一下方便以后自己回头看。
    这里分享一下

    方法1 利用定义(适合简单的小型矩阵)

    粗暴!这个没什么好说。
    AB=I,则B是A的逆矩阵。然后假设出B的每一个元素,如
    a b
    c d ,…
    最后利用矩阵乘法,解方程。。。。。

    方法2 伴随矩阵(适合理论推导)

    线性代数的书讲的很清楚,伴随矩阵计算量很大,适合理论推导。。

    初等行(列)变换

    概念我们就不说,假设现在要对A求逆矩阵,我们做题的难点就在于我们如何把A化为单位矩阵?(对A进行初等行变换化为单位阵的同时,单位阵进行相同的初等变换就变为了A的逆矩阵。)
    技巧来了:
    首先用初等变换,化为行阶梯形,再化为标准型

    过程如下:

    1. 使用初等变换,首先将第一行的第一个元素化为1(单位矩阵第一个元素1,利用这个1可以将同列任意一个元素变0)。

    2. 下面每行减去第一行乘以该行第一个元素的某倍数,从而把第一列除第一个元素外的全部元素都化为0

    3. 最后把矩阵化为上三角矩阵;类似地,从最后一行开始,逐行把上三角矩阵化为单位矩阵。

    不需要对调第i行与第j行,只用另外两种初等行变换就能做到!当然有时候利用对调更快。

    在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用,如同数的乘法中的1,这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵,从左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1。除此以外全都为0。

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  • 毕业季马上要到了,给大家总结一些我平常用到的奇特但是好用的Matlab画图技巧光滑变化的三维曲面三维曲面展示是目前MATLAB上人眼最容易直观观察的多维矩阵内容一种形式,因此三维矩阵的画图在很多的论文里都有涉及。...

    毕业季马上要到了,给大家总结一些我平常用到的奇特但是好用的Matlab画图技巧

    85cc35cf68428232d9c3604195ecf27e.png


    光滑变化的三维曲面

    三维曲面展示是目前MATLAB上人眼最容易直观观察的多维矩阵内容一种形式,因此三维矩阵的画图在很多的论文里都有涉及。常用的画图函数有mesh,surf,contourf,plot3等等

    因为论文实际打印图片存在固定视角无法旋转的特别,为了详尽的表述一整个二维矩阵的内容,MATLAB中三维绘图除了用Z轴表示数据外,将不同的Z轴对应不同的颜色表示。

    下面依次介绍几种三维曲面画图的函数,函数用法建议自行阅读帮助文件。

    MESH(X,Y,Z)

    Matlab中的曲面绘图都是将XY轴离散化后形状网格,Mesh就是对这个网格再加上Z轴的高度,得到一个彩色一个网状曲面图,如图所示。

    8fc0a54227bf2f1135fb29acca3cf8de.png

    通常情况下大家构建的网络比较密,会常用mesh来三维绘图,这样的曲面还是比较好看的,但是如果数据突变比较严重的话这种图会没那么好看,差点意思

    SURF(X,Y,Z)

    surf是在mesh的基础上给每个网眼的区域填上颜色,然后把线的颜色换成黑色,如图所示。

    e505a6f4dea41e1d8b6dc5283ec6fd4b.png

    如果网格很密黑色曲线也会很密,影响观感,但是去掉黑色曲线,图片也会陷入不利用观察的情况。

    Coutour

    等高线图,去掉了高度的(类似俯视图)显示改为纯用颜色观察大小,适合进行一些定性的分析。

    4449f4cd3d29465f1df6efc6b55048bf.png

    上面的图片太空不太适合替代SURF和mesh

    CONTOURF

    2546d9a8f3209b60095dfe24d0d1abc5.png

    为了使得更容易观测,我们对Contourf增加一些配置

    f46c61bd121fe9650bcbed5ab88c6bed.png

    就可以得到一副更好看的三维图的显示,


    画图代码

    1. [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -4:.4:4);

    2. Z = X .* exp(-X.^2 – Y.^2);

    3. figure(1);

    4. contourf(X,Y,Z,100,’linestyle’,’none’)

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  • Eigen之矩阵基本操作

    2021-03-18 18:15:17
    开篇介绍 在实际应用中,当要进行姿态解算时,必不可少的便是矩阵操作,这里我们引入Eigen这一矩阵操作库。Eigen是一个C++开源线性代数库,它提供了快速的有关...我们设某个单位正交基(e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)(e1​,e2

    开篇介绍

    在实际应用中,当要进行姿态解算时,必不可少的便是矩阵操作,这里我们引入Eigen这一矩阵操作库。Eigen是一个C++开源线性代数库,它提供了快速的有关矩阵的线性代数运算,还包括解方程等功能。本博客通过一些实例应用,演示Eigen下矩阵逆运算、伴随矩阵运算、行列式计算和特征值、特征向量的计算等等。

    一、旋转矩阵

    我们知道向量的内积可以描述向量之间的投影关系,而向量的外积,能表示向量的旋转。在欧氏变换中,首先来考虑旋转。我们设某个单位正交基 ( e 1 , e 2 , e 3 ) (e_1,e_2,e_3) (e1,e2,e3)经过一次旋转,变成了 ( e 1 ′ , e 2 ′ , e 3 ′ ) (e_{1}^{'},e_{2}^{'},e_{3}^{'}) (e1,e2,e3)。那么,对于同一个向量a,它在两个坐标系下的坐标为 [ a 1 , a 2 , a 3 ] T [a_1,a_2,a_3]^T [a1,a2,a3]T [ a 1 ′ , a 2 ′ , a 3 ′ ] T [a_1^{'},a_2^{'},a_3^{'}]^T [a1,a2,a3]T。根据坐标的定义,有: [ e 1 , e 2 , e 3 ] [ a 1 , a 2 , a 3 ] T = [ e 1 ′ , e 2 ′ , e 3 ′ ] [ a 1 ′ , a 2 ′ , a 3 ′ ] T \left [ e_{1},e_2,e_3 \right ][a_1,a_2,a_3]^T=[e_1^{'},e_2^{'},e_3^{'}][a_1^{'},a_2^{'},a_3^{'}]^T [e1,e2,e3][a1,a2,a3]T=[e1,e2,e3][a1,a2,a3]T
    为了描述两个坐标之间的关系,对上面等式左右同时左乘 [ e 1 T , e 2 T , e 3 T ] T [e_1^T,e_2^T,e_3^T]^T [e1T,e2T,e3T]T,那么左边的系数变成了单位矩阵,所以: [ a 1 , a 2 , a 3 ] T = [ e 1 T e 1 ′ e 1 T e 2 ′ e 1 T e 3 ′ e 2 T e 1 ′ e 2 T e 2 ′ e 2 T e 3 ′ e 3 T e 1 ′ e 3 T e 2 ′ e 3 T e 3 ′ ] [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] ≜ R a ′ [a_1,a_2,a_3]^T=\begin{bmatrix} e_1^T e_1^{'}&e_1^T e_2^{'}& e_1^T e_3^{'}\\ e_2^T e_1^{'}&e_2^T e_2^{'}&e_2^T e_3^{'}\\ e_3^T e_1^{'}&e_3^T e_2^{'}&e_3^T e_3^{'}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1^{'}\\ a_2^{'}\\ a_3^{'} \end{bmatrix}\triangleq Ra^{'} [a1,a2,a3]T=e1Te1e2Te1e3Te1e1Te2e2Te2e3Te2e1Te3e2Te3e3Te3a1a2a3Ra
    我们把中间阵拿出来,定义成一个矩阵R。这个矩阵由两组基之间的内积组成,刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。只要旋转是一样的,那么这个矩阵也是一样的。可以说,矩阵R描述了旋转本身。因此它又称为旋转矩阵。
    旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵。反之,行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。所以,我们可以把旋转矩阵的集合定义如下:
    S O ( n ) = { R ∈ R n × n ∣ R R T = I , d e t ( R ) = 1 } SO(n)=\left \{ R\in \mathrm{R}^{n×n}|RR^T=I,det(R)=1 \right \} SO(n)={RRn×nRRT=I,det(R)=1}
    SO(n)是特殊正交群。这个集合由n维空间的旋转矩阵组成,特别的,SO(3)就是三维空间的旋转。通过旋转矩阵,我们可以直接谈论两个坐标系之间的旋转变换,而不用再从基开始谈起了。换句话说,旋转矩阵可以描述相机的旋转
    由于旋转矩阵为正交阵,它的逆描述了一个相反的旋转。按照上面的定义方式,有:
    a ′ = R − 1 a = R T a a^{'}=R^{-1}a=R^{T}a a=R1a=RTa
    然而,在欧氏变换中,除了旋转之外还有一个平移。考虑世界坐标系中的向量a,经过一次旋转(用R描述)和一次平移t后,得到了 a ′ a^{'} a,那么把旋转和平移合到一起,有 a ′ = R a + t a^{'}=Ra+t a=Ra+t
    其中t为平移向量。

    二、变换矩阵

    旋转矩阵完整的表达了欧氏空间的平移和旋转,但是还存在一个小问题:这里的变换关系不是一个线性关系。假设进行了两次变换: R 1 , t 1 R_1,t_1 R1,t1 R 2 , t 2 R_2,t_2 R2,t2,满足: b = R 1 a + t 1 , c = R 2 b + t 2 b=R_1a+t_1,c=R_2b+t_2 b=R1a+t1,c=R2b+t2
    但是从a到c的变换为: c = R 2 ( R 1 a + t 1 ) + t 2 c=R_2(R_1a+t_1)+t_2 c=R2(R1a+t1)+t2
    这样的形式在变换多次后会显得过于复杂。因此我们要引入齐次坐标和变换矩阵重写旋转矩阵的变换等式: [ a ′ 1 ] = [ R t 0 T 1 ] [ a 1 ] ≜ T [ a 1 ] \begin{bmatrix} \mathbf{a}^{'}\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{R}&\mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{a}\\ 1 \end{bmatrix}\triangleq T\begin{bmatrix} \mathbf{a}\\ 1 \end{bmatrix} [a1]=[R0Tt1][a1]T[a1]
    这是一个数学技巧:我们把一个三维向量末尾添加1,变成了四维向量,称为齐次坐标。对于这个四维向量,我们可以把旋转和平移写在一个矩阵里面,使得整个关系变成了线性关系。该式中,矩阵T称为变换矩阵。同样地,根据分块矩阵求逆的方法,我们可以轻易的求出变换矩阵的逆: T − 1 = [ R T − R T t 0 T 1 ] \mathbf{T}^{-1}=\begin{bmatrix} \mathbf{R}^T&\mathbf{-R}^Tt \\ \mathbf{0}^T& 1 \end{bmatrix} T1=[RT0TRTt1]

    三、Eigen实践

    在清楚了旋转矩阵和变换矩阵后,我们可以在Kdevelop上尝试着操作矩阵。在这里插入图片描述
    点击构建后直接执行,在调试窗口显示打印结果如下:在这里插入图片描述

    四、总结

    在初步实践了Eigen的矩阵操作后,我们很容易便求得了想要矩阵的一些特征,以及一些矩阵运算,这一切都为后续的姿态解算和后端处理提供坚实基础。

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