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  • <!-- @page {margin:2cm} p {margin-bottom:0.21cm} ... 大家知道,函数f在闭区间[a,b]上的一致连续性是指:对任意ε>0,必存在一个δ.>0,... 康托尔定理是断言:函数f在闭区间[a,b]上处处连续,则必一致连续
    
    

          大家知道,函数f在闭区间[ab]上的一致连续性是指:对任意ε>0,必存在一个δ.>0,只要x'– x''│<δ,则必有│f(x')-f(x'')│< ε

              康托尔定理是断言:函数f在闭区间[ab]上处处连续,则必一致连续。在微积分学中,这个定理非常重要。严格地讲,微积分基本定理的证明需要用到它。但是,”十一五”国家级规划教材《高等数学》对此定理“这里不予证明”(第74页),不知为何,就这么”一提而过“。

                同样地,“十一五”国家级规划教材《数学分析》对此定理花费了两页多文字加以证明,既繁琐,又晦涩,让人不得要领。而歌德布拉特在《超实讲义》中,对该定理说:fis uniformly continuous on [a,b] if and only if x≈y, impllies f(x) ≈ F(y)。这种说法,是何等简洁,而且符合我们的直觉!

               歌德布拉特怎么给出上述定理的证明呢?讲义只有一个单词:Exercise(练习)。这个回答多么牛气啊!实际上,用反证法只需要一句话!由此可见,我们的微积分教学不改革是不行了。



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  • 今天刷题碰到了这样一个 f(x) 在 [0, 1] 上连续,g(x) = f(x) -1 + 2*x 在 [0, 1] 上是否连续的问题,通过搜集资料和自己求证,我发现: 因为 f(x) 在该区间上...但是两个连续函数的相除就不一定了,例如: f(x)...

    今天刷题碰到了一个 f(x) 在 [0, 1] 上连续,g(x) = f(x) -1 + 2*x 在 [0, 1] 上是否连续的问题,通过搜集资料和自己求证,我发现:

    因为 f(x) 在该区间上连续,且 -1 + 2*x 在该区间上也连续,那么他们的复合函数在该区间上没有间断点,所以 g(x) 在该区间上必然连续。

    同理可以求证 减、乘。但是两个连续函数的相除就不一定了,例如:

    f(x) = x , g(x) = x^2,那么,f(x)/g(x) = 1/x,显然在 R 上不连续。

    所以我得出的结论是:

      如果两个函数在同一区间上都连续,那么他们的复合函数(除法以外的三种运算)在该区间上一定连续。

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  • 证明多元函数可导,但不连续

    证明多元函数可导,但不连续
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  • 连续函数理论简介

    千次阅读 2018-07-22 02:41:35
    现在,情况不同了,读者只需双击“无穷小微积分”图标,找到第三章第3.8节,即可进入和谐、美妙的连续函数世界。敞开你的思想,让其自由飞翔。  在超实线遥远的地方,有一种新的超整数H、K,…随意指定一个超整数...

            2013年8月6日,袁萌发表博文谈及此事。现在,情况不同了,读者只需双击“无穷小微积分”图标,找到第三章第3.8节,即可进入和谐、美妙的连续函数世界。敞开你的思想,让其自由飞翔。

            在超实线遥远的地方,有一种新的超整数H、K,…随意指定一个超整数,比如:H。从此以后,这个无穷大的超整数H就成了微积分学理论推导的新主角。

            给定一个定义在闭区间[a、b]上的连续函数f,将该闭区间无限等分为H个长度无穷小的子区间,顺次标出各个“分点”,借此(思想模型)容易导出连续函数的各种理论性质。

    三百多年前,莱布尼兹借助这种理想“设计”,证明了微积分学基本定理,我们只是现代跟随者而已。

            设想莱布尼兹回转人世,登上大学讲台(普通本科院校),讲授他的无穷小微积分,听课的00后大学生必定“课堂爆满”,座无虚席,掌声不断。对此情景,菲氏微积分保守派不知有何感想?

            今年秋天,全国1237所普通本科院校,近500万理工科00后大学生上微积分必修课,采用什么微积分教材是个实际问题。购买纸质版教材大约需要5亿元人民币,而采用PDF电子版,下载流量费用几乎为零。

            00后大学生是我们的小后代、小宝贝,国家未来建设之栋梁。

    袁萌  7月22日

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  • 连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 实对称阵的谱半径是连续函数

    千次阅读 2018-10-11 22:35:24
    矩阵的诱导范数,矩阵的谱半径,实对称阵的谱半径是矩阵元素的连续函数
  • 怎么证明一个一维函数连续

    千次阅读 2018-09-03 19:32:32
    若想证明一个一维函数 f(x)f(x)f(x) 在 x=ax=ax=a 处连续,必须满足下列三个条件: (1) f(x)f(x)f(x) 在 x=ax=ax=a 处有值. (2) limx→alimx→a\lim\limits_{x\rightarrow a} 存在. (3) limx→a=f(a)limx→...
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    万次阅读 多人点赞 2015-01-16 10:44:04
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  • 关于连续函数的介值定理

    千次阅读 2013-08-07 06:30:17
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  • 漫步微积分七——连续函数

    千次阅读 2016-07-19 10:01:11
    随着我们进一步深入主题,知道什么是连续函数就变得非常重要。在日常用语中,一个连续的过程表示处理中没有空隙或中断或突然的变化。大体说来,如果一个函数显示相似的行为那它就是连续的,也就是说,如果xx发生小的...
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  • 证明一元函数有界性的方法

    千次阅读 2019-09-08 17:00:05
    大学生数学竞赛(非数学)证明一元函数有界性常用方法 什么是有界函数: 有界函数是设f(x)是区间E上的函数,若对于任意的x属于E,存在常数m、M,使得m≤f(x)≤M,则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在...
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  • <!-- ...页给出一个有关连续函数的“中介值定理”( ...说明:本文想表明的是,不懂得连续函数“零点定理”的证明,不知道一只小蚂蚁从园的内部爬出去必须通过圆周的道理,是一种思想上的“缺陷”。
  • 陶哲轩实分析-第9章 R上的连续函数

    千次阅读 2016-05-27 05:41:51
    这一章比较容易理解了 9.1 实直线的子集合 ...,证明完成 ...包含X中元素和不属于X但是是X的附着点,对于X中元素,显然属于Y,对于X的附着点,因为Y是...要证明限制在Y上也是连续函数,那么需要证明对于任意 y ∈ Y ...

空空如也

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怎么证明连续函数