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  • 怎么证明连续函数
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    2021-05-27 18:14:43

    若函数f(x)在某区间上连续,则f(x)在该区间内必存在原函数,这是一个充分而不必要条件,也称为“原函数存在定理”。

    函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数,

    故若函数f(x)有原函数,那么其原函数为无穷多个。

    例如:x3是3x2的一个原函数,易知,x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

    例如:已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ,就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当f(x)为连续函数时,其原函数一定存在。

    扩展资料

    定义域中含有第一类间断点和无穷间断点的函数都没有原函数,只有连续函数和存在非无穷型第二类间断点的函数存在原函数,同时关于是否存在原函数是针对区间来说的,例如函数f(x)=1/x,其在任意包含x=0的区间都没有原函数,但是在x>0或者x<0时,其存在原函数且等于Inx。

    几何意义:设f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数是f(x)的一个原函数.

    物理意义:若t为时间,f(t)为作直线运动的物体的速度函数,则f(t)的原函数就是路程函数.

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    一、有界性定理

    函数的上界和下界的绝对值不一定相等。

    函数在某区间上不是有界就是无界,二者必属其一;

    要证明f(x)在X上有界,必须找到一个M>0,使任意x属于X都有 |f(x)|<=M;要证明f(x)在X上无界,只需要找到一个数列{xn}存在于X,使f(xn) n趋于∞,f(xn)趋于∞

    外界函数有界,复合函数必有界。

    函数有界,从几何意义看就是图形被框定在两条平行于x轴的直线之间,不会跑出去;从代数意义看,就是函数值不会趋于正无穷大,也不会趋于负无穷大;当时并不意味着有极限,比如y=sinx,被框定在y=±1这两条直线之间,x→∞时,sinx游走于[-1,+1]之间。


     二、最大最小值定理


     三、零点存在定理

     四、介值定理

    五、反函数连续性定理

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    x ∈ [ 0 , 1 ) x\in[0,1) x[0,1) 时, ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) = − x \sum_{n=1}^\infty f_n(x)=-x n=1fn(x)=x,而当 x = 1 x=1 x=1 时, ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) = 0 \sum_{n=1}^\infty f_n(x)=0 n=1fn(x)=0。因此,它的无穷多和函数数不是连续函数。

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    定理1:有界性与最大值最小值定理

    在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

    定理2:零点定理

    设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则在开区间(a,b)内至少有点ξ,使f(ξ)=0

    定理3:介值定理

    设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值

    f(a)=A, f(b)=B,

    则对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有点ξ,使得f(ξ)=C

     

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