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  • 一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数{x=f(t),y=g(t)并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程则为这条曲线的参数方程,联系...

    目录

    参数方程中参数的意义:

    参数方程定义:

    什么是参数方程:

    参数方程与普通方程的公式:

    举例:

    参数方程:


    参数方程中参数的意义:

    参数方程中t的几何意义要看具体的曲线方程了,一般都是长度,角度等几何量,也有一些是不容易找到对应的几何量的。

     

    参数方程定义:

    一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数{x=f(t),y=g(t)并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程则为这条曲线的参数方程,联系x,y的变数t叫做变参数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

     

    什么是参数方程:

    其实就是 :

    y=f(t);x=g(t);其中t是参数,分别能表示出x,y;你看看下面参数方程与一般函数的转化你就明白了;

     

    参数方程与普通方程的公式:

    参数方程与普通方程的互化最基本的有以下四个公式:

    1.cos²θ+sin²θ=1

    2.ρ=x²+y²

    3.ρcosθ=x

    4.ρsinθ=y

    举例:

    参数方程:

    一般的参数方程,主要使2式子进行乘除运算消掉  t。

    遇到三角三角函数一般使用公式带入,消掉。

    x=3-2t ① 
    y=-1-4t ② 

    解:
    ①×2-②得
    x-2y=2(3-2t)-(-1-4t)
    x-2y=7
    ∴2x-y = 7

     

    将x, y的中参数转化为同一的,之后进行替换,得出一般函数方程。

    例子:

    x=cosθ (θ为参数) ①
    y=cos2θ+1 ②
    由②得
    y=2cos²θ-1+1
    y=2cos²θ
    由①得
    cosθ=x
    ∴y=2x² -1

     

    例:

    又例圆,椭圆等:

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  • 平面方程

    千次阅读 2010-11-01 22:36:00
    點法式: 若平面E法向量n=(a,b,c)且過點A(x0,y0,z0),則平面E的方程為a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z... 一般ax+by+cz+d=0的法向量為n=(a,b,c)  (c)求平面方程:已知三点 // ------------- 由三

    點法式:
    若平面E法向量n=(a,b,c)且過點A(x0,y0,z0),則平面E的方程式為a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

    一般式:
    將方程式a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 化簡可得ax+by+cz+d=0的方程式。
    我們將ax+by+cz+d=0稱為一般式。

    一般式ax+by+cz+d=0的法向量為n=(a,b,c)

     (c)求平面方程:已知三点

    // ------------- 由三点确定平面方程的个系数---------------- //

    //参数: pDots ------------> 体数据中的三点

    //               pdCoef -----------> 三点确定的平面方程系数指针

    //返回值: 成功返回, 失败返回.

    long  CMathFunCls::GetPanelCoef(double pPanelDots1[3],double pPanelDots2[3],double pPanelDots3[3],double pdCoef[4])

    {

             long lRes =1;

             double      x21,x31,y21,y31,z21,z31;

     

             //计算中间量..---法向量

             x21=pPanelDots2[0]-pPanelDots1[0];//x21表示x2-x1,以下以此类推..

             x31=pPanelDots3[0]-pPanelDots1[0];

             y21=pPanelDots2[1]-pPanelDots1[1];

             y31=pPanelDots3[1]-pPanelDots1[1];

             z21=pPanelDots2[2]-pPanelDots1[2];

             z31=pPanelDots3[2]-pPanelDots1[2];

             //这里用点法式求解方程,最初自己理解的使用矩阵,是错误的。

             //已知三点坐标计算平面方程的公式(三点式)...

             //平面方程Ax+By+Cz+D=0

             pdCoef[0]=y21*z31-z21*y31;

             pdCoef[1]=z21*x31-x21*z31;

             pdCoef[2]=x21*y31-y21*x31;

             Normalise3D(pdCoef);//法向量单位化

     

             // 常数项

             pdCoef[3] = - pdCoef[0] * pPanelDots1[0] - pdCoef[1] * pPanelDots1[1] - pdCoef[2] * pPanelDots1[2];

     

             for(long i=0; i<4; i++) {

                       if(fabs(pdCoef[i])<1.0E-10)

                                pdCoef[i]=0.0;

             }

     

             return lRes;

    }

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  • 文章目录空间直线的参数方程空间直线的向量式方程直线的点向式方程空间直线的两点式方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程化为点向式方程小结:直线方程的几种形式参考资料 直线是随处可见的空间形状 问题:如何...

    1. 06向量及其坐标表示、向量的方向角与方向余弦、向量组共线与共面的条件、向量的加法与数乘运算、向量组的线性组合、二维向量的基向量分解、三维向量的基向量分解、用坐标做向量的数乘
    2. 07向量的点积、数量积、两向量垂直的条件、投影与投影向量、向量的正交分解、几个不等式、用坐标计算数量积
    3. 08向量的叉积、向量积、用坐标行列式计算向量积、二重外积
    4. 09向量的混合积、向量之间的位置关系、用坐标行列式计算混合积、三向量共面的条件
    5. 10空间直线方程、参数方程、向量式方程、点向式方程、两点式方程、一般方程、空间直线的一般方程化为点向式方程
    6. 11空间平面方程、参数方程、向量式方程、行列式方程、三点式方程、点法式方程、一般方程

    直线是随处可见的空间形状

    img

    问题:如何从几何上确定一个空间直线?

    • 过一定点可以作唯一直线平行于一定直线.
    • 两点可以确定一条直线.
    • 任意一条直线可以视为两相交平面的交线.

    image-20201213173654029

    空间直线的参数方程

    过一定点可以作唯一直线平行于一定直线.

    任何平行于直线的非零向量 v v v 称为直线的方向向量

    要素:点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 方向向量 v = ( m , n , p ) v=(m, n, p) v=(m,n,p).

    v v v 平行的所有非零向量均可作为此直线的方向向量. 直线上的所有向量都与该直线的方向向量平行

    任务:求直线 𝐿 𝐿 L 的方程即动点 𝑀 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) M(x,y,z)的轨迹方程.

    依据: M 0 M → \overrightarrow{M_{0} M} M0M 与方向向量 v v v 平行 .

    关系: M 0 M → = t v \large{\color{red}{\overrightarrow{M_{0} M}=t \boldsymbol{v}}} M0M =tv

    image-20201213174209822

    要 素 \Large\color{violet}{要素} M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 方向向量 v = ( m , n , p ) v=(m, n, p) v=(m,n,p).

    关系: M 0 M → = t v \large{\color{red}{\overrightarrow{M_{0} M}=t \boldsymbol{v}}} M0M =tv ,得到 直 线 𝑳 的 参 数 方 程 \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{直线 𝑳 的参数方程}}} 线L
    L : { x = x 0 + m t y = y 0 + n t , − ∞ < t < + ∞ . z = z 0 + p t L:\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+m t \\ y=y_{0}+n t,\quad-\infty<t<+\infty . \quad \\ z=z_{0}+p t\end{array}\right. L:x=x0+mty=y0+nt,<t<+.z=z0+pt

    【注1】 直线方程只含一个自由参数,通常说直线是一维的 .

    【注2】 直线可以看作匀速运动的质点的轨迹,其中 𝒗 是速度,𝑡是时间.

    空间直线的向量式方程

    关系: M 0 M → = t v \large{\color{red}{\overrightarrow{M_{0} M}=t \boldsymbol{v}}} M0M =tv

    image-20201213194544137

    r = O M → = ( x , y , z ) r=\overrightarrow{O M}=(x, y, z) r=OM =(x,y,z) r 0 = O M 0 → = ( x 0 , y 0 , z 0 ) r_0=\overrightarrow{O M_0}=(x_0, y_0, z_0) r0=OM0 =(x0,y0,z0) 可以得到

    L = r 0 + t v ⟶ {L} =r_{0}+t v\longrightarrow L=r0+tv 直 线 𝑳 的 向 量 式 方 程 \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{直线 𝑳 的向量式方程}}} 线L

    直线的点向式方程

    要素:点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 方向向量 v = ( m , n , p ) v=(m, n, p) v=(m,n,p).

    依据: M 0 M → \overrightarrow{M_{0} M} M0M 与方向向量 v v v 平行 . . .

    关系: M 0 M → × v = 0  或  M 0 M → = t v \large{\color{red}{ \overrightarrow{M_{0} M} \times \boldsymbol{v}=\mathbf{0} \text { 或 } \overrightarrow{M_{0} M}=t \boldsymbol{v}}} M0M ×v=0  M0M =tv
    L : x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p . \begin{array}{l} L: \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p} . \end{array} L:mxx0=nyy0=pzz0.
    ——称为直线 L L L 点 向 式 ( 标 准 、 对 称 式 ) 方 程 \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{点向式(标准、对称式)方程}}} .

    空间直线的两点式方程

    两点可以确定一条直线 :

    要素: 点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)

    要素: 点 M 1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{1}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M1(x0,y0,z0), 方向向量 v = M 1 M 2 → \boldsymbol{v}=\overrightarrow{M_{1} M_{2}} v=M1M2

    L : x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 = z − z 1 z 2 − z 1 L: \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}} L:x2x1xx1=y2y1yy1=z2z1zz1
    ——称为直线 𝑳 的 两 点 式 方 程 \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{两点式方程}}}

    空间直线的一般方程

    任意一条直线可以视为两相交平面的交线 .

    image-20201213195256692

    过直线 𝐿 的两平面 :

    π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \pi_{1}: A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ \pi_{2}: A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 π1:A1x+B1y+C1z+D1=0π2:A2x+B2y+C2z+D2=0

    得到直线 𝑳 一 般 方 程 \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{一般方程}}}
    L : { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \begin{array}{r} L:\left\{\begin{array}{l} A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 \end{array}\right. \end{array} L:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
    【 注 1 】 \Large\color{violet}{【注1】} 1在空间直线的一般方程中,对应的两平面的法向量
    n 1 = ( A 1 , B 1 , C 1 ) , n 2 = ( A 2 , B 2 , C 2 ) \boldsymbol{n}_{1}=\left(A_{1}, B_{1}, C_{1}\right), \boldsymbol{n}_{2}=\left(A_{2}, B_{2}, C_{2}\right) n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2)
    是不平行的, 或者说方程组
    { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \left\{\begin{array}{l} A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 \end{array}\right. {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
    的系数矩阵
    A = [ A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 ] A=\left[\begin{array}{lll} A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \end{array}\right] A=[A1A2B1B2C1C2]
    的秩 r ( A ) = 2 , \mathrm{r}(A)=2, r(A)=2, 通俗地说, 这两个方程是独立的 . . .

    空间直线的一般方程化为点向式方程

    因直线 L L L 同时位于平面 π 1 \pi_{1} π1 π 2 \pi_{2} π2 上, 故直线 L L L 同时垂直于这两个平面的法向量. 所以, 直线 L L L 的方向向量可取为
    v = n 1 × n 2 = ∣ i j k A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 ∣ \boldsymbol{v}=\boldsymbol{n}_{1} \times \boldsymbol{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \end{array}\right| v=n1×n2=iA1A2jB1B2kC1C2
    再取 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \quad M0(x0,y0,z0) 满足方程组则可将直线的一般式方程转化为点向式方程 .

    例 1 \Large\color{violet}{例1} 1 求过点 M 0 ( 1 , 2 , 1 ) M_{0}(1,2,1) M0(1,2,1) 且与平面 π : 2 x − y + 5 = 0 \pi: 2 x-y+5=0 π:2xy+5=0 垂直的直线 L L L 的标准方程、参数方程与一般方程,并求直线 L L L π \pi π 平面的交点坐标.

    【解】 L ⊥ π , L \perp \pi, Lπ, v / / n = ( 2 , − 1 , 0 ) v / / n=(2,-1,0) v//n=(2,1,0).

    因此, 所求直线 L L L的标准方程为 x − 1 2 = y − 2 − 1 = z − 1 0 \quad \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{0} 2x1=1y2=0z1.

    它的参数方程为 { x = 1 + 2 t y = 2 − t , z = 1 \left\{\begin{array}{c}x=1+2 t \\ y=2-t, \\ z=1\end{array} \quad\right. x=1+2ty=2t,z=1 它的一般方程为 { x + 2 y − 5 = 0 z = 1 \left\{\begin{array}{c}x+2 y-5=0 \\ z=1\end{array}\right. {x+2y5=0z=1

    将直线L的参数方程代入平面 π \pi π 的一般方程中得 5 t + 5 = 0 , 5 t+5=0, 5t+5=0, t = − 1. t=-1 . t=1.因此, 所求交点为 P ( − 1 , 3 , 1 ) P(-1,3,1) P(1,3,1).

    例 2 \Large\color{violet}{例2} 2 求过点 M 0 ( 2 , 4 , 0 ) M_{0}(2,4,0) M0(2,4,0) 且与直线 L 1 : { x + 2 z − 1 = 0 , y − 3 z − 2 = 0 L_{1}:\left\{\begin{array}{c}x+2 z-1=0, \\ y-3 z-2=0\end{array}\right. L1:{x+2z1=0,y3z2=0 平行的直线 L L L的标准方程.

    【解】 直线 L 1 L_{1} L1 的方向向量为
    v 1 = ( 1 , 0 , 2 ) × ( 0 , 1 , − 3 ) = ∣ i j k 1 0 2 0 1 − 3 ∣ = − 2 i + 3 j + k = ( − 2 , 3 , 1 ) \boldsymbol{v}_{1}=(1,0,2) \times(0,1,-3)=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \end{array}\right|=-2 \boldsymbol{i}+3 \boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}=(-2,3,1) v1=(1,0,2)×(0,1,3)=i10j01k23=2i+3j+k=(2,3,1)
    因直线 L L L L 1 L_{1} L1 平行, 故直线L的方向向量可取为 v = v 1 = ( − 2 , 3 , 1 ) v=v_{1}=(-2,3,1) v=v1=(2,3,1).

    又直线 L L L过点 M 0 ( 2 , 4 , 0 ) , M_{0}(2,4,0), M0(2,4,0), 故所求直线的标准式方程为
    L : x − 2 − 2 = y − 4 3 = z 1 L: \frac{x-2}{-2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z}{1} L:2x2=3y4=1z

    【 注 】 \Large\color{violet}{【注】} 将直线 L 1 : { x + 2 z − 1 = 0 , y − 3 z − 2 = 0 L_{1}:\left\{\begin{array}{l}x+2 z-1=0, \\ y-3 z-2=0\end{array}\right. L1:{x+2z1=0,y3z2=0 的方程变形得到 L 1 : { x − 1 − 2 = z y − 2 3 = z , L_{1}:\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{-2}=z \\ \frac{y-2}{3}=z,\end{array}\right. L1:{2x1=z3y2=z,

    容易得到它的点向式方程 L 1 : x − 1 − 2 = y − 2 3 = z 1 L_{1}: \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1} L1:2x1=3y2=1z,于是其方向向量 v 1 = ( − 2 , 3 , 1 ) v_{1}=(-2,3,1) v1=(2,3,1)

    例 3 \Large\color{violet}{例3} 3 求过点 M 0 ( 1 , 0 , − 2 ) M_{0}(1,0,-2) M0(1,0,2) 且同时平行于平面 π 1 : x − y − z + 2 = 0 \pi_{1}: x-y-z+2=0 π1:xyz+2=0 与平面 π 2 : 2 x + 3 y − 4 = 0 \pi_{2}: 2 x+3 y-4=0 π2:2x+3y4=0 的直线 L L L 的方程.

    【解】 依题意, 直线L的方向向量 v v v 同时垂直于两平面的法向量
    n 1 = ( 1 , − 1 , − 1 )  和  n 2 = ( 2 , 3 , 0 ) \boldsymbol{n}_{1}=(1,-1,-1) \text { 和 } \boldsymbol{n}_{2}=(2,3,0) n1=(1,1,1)  n2=(2,3,0)
    故取
    v 1 = n 1 × n 2 = ∣ i j k 1 − 1 − 1 2 3 0 ∣ = 3 i − 2 j + 5 k \boldsymbol{v}_{1}=\boldsymbol{n}_{1} \times \boldsymbol{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \end{array}\right|=3 \boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{j}+5 \boldsymbol{k} v1=n1×n2=i12j13k10=3i2j+5k
    因此, 所求直线L的点向式方程为
    L : x − 1 3 = y − 2 = z + 2 5 L: \frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{5} L:3x1=2y=5z+2

    小结:直线方程的几种形式

    1、空间直线的点向式方程
    L : x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p L: \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p} L:mxx0=nyy0=pzz0
    也称对称式方程, 或标准方程.

    2、直线的参数方程
    L : { x = x 0 + m t y = y 0 + n t , − ∞ < t < + ∞ z = z 0 + p t L:\left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+m t \\ y=y_{0}+n t,-\infty<t<+\infty \\ z=z_{0}+p t \end{array}\right. L:x=x0+mty=y0+nt,<t<+z=z0+pt

    3、空间直线的一般式方程
    L : { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 L:\left\{\begin{array}{l} A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 \end{array}\right. L:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
    4、空间直线的两点式方程
    L : x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 = z − z 1 z 2 − z 1 L: \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}} L:x2x1xx1=y2y1yy1=z2z1zz1
    5、空间直线的向量式方程
    L : r = r 0 + t s L: \quad r=r_{0}+t s L:r=r0+ts

    参考资料

    空间解析几何_国防科技大学

    北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版)

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

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  • 内容 参数化表达式 求平面法向量 求点到平面的距离 求直线与平面交点 求三个平面斜交 1. 参数化表达式 ...除此之外,平面方程还有一种常用的表达方式: 这里的 ,,其实就是法向量的,,分量,而 2...

    内容

    1. 参数化表达式
    2. 求平面法向量
    3. 求点到平面的距离
    4. 求直线与平面交点
    5. 求三个平面斜交

    1.  参数化表达式

    三维平面可以看做是点的集合,已知一个平面上一点 \small P 和法向量 \small N
               设点 \small Q 为平面上任意一点,那么 \small PQ 一定与平面法向量 \small N 垂直,表达式为:

     \small N\cdot (Q-P)=0

    除此之外,平面方程还有一种常用的表达方式:

     \small Ax+By+Cz+D=0

    这里的 \small A\small B\small C其实就是法向量\small N的 \small x\small y\small z 分量,而 \small D=-N \cdot P


    2. 求平面法向量

    • 已知平面上两条不共线的直线 \small a = (l,m,n)\small b=(o,p,q),求法向量:

    而根据叉积的定义,两个向量的叉积所得的向量和这两个向量垂直;

    根据平面性质,垂直于平面的直线与平面上任何一条直线垂直;

    因此,平面上两不共线直线的叉积(两平行直线的叉积为0),就是该平面的法向量,方向遵循右手定则。 

    • 已知平面方程 \small Ax+By+Cz+D=0,求法向量:

    上述平面方程的三个系数所组成的向量 \small N =(A,B,C),就是平面的一个法向量,证明如下:

    设过平面上一点 \small (x_0,y_0,z_0) 的一个法向量为 \small \small N =(A,B,C),该向量垂直于面上任意一条直线;

    \small (x,y,z) 为平面上任意一点,则平面上的向量均可表示为:\small (x-x_0,y-y_0,z-z_0),

    因为向量 \small N =(A,B,C) 与向量 \small (x-x_0,y-y_0,z-z_0)%uFF0C 垂直,所以其数量积为0,即:

    \small A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

    整理得:\small Ax+By+Cz+D=0


    3. 求点到平面的距离

    对于平面S1,有方程 \small Ax+By+Cz+D=0

    之前已经提到了 \small D = -N\cdot P,N为平面的法向量,P是平面S1上一点;

    因为N是向量,P是一个点,可以先把 \small N\cdot P 看做是向量N和向量OP的乘积(O为原点),

    以下描述和公式中的向量P皆指代向量OP。

    设过原点O与S1平行的平面为S0,因为:

    \small D=-N\cdot P

    \small N\cdot P=|N||P|\cos \theta

    其中\small \theta为量N和向量P的夹角,\small |P|\cos \theta 是向量P在法线向量N上投影的矢量大小,也是S0和S1的之间的距离,则:

    S0和S1的之间的距离为: \small \left \| P \right \|\cos \theta =\frac{N\cdot P}{\left \| N \right \|}=\frac{|D|}{\left \| N \right \|} 。

    同理,设任意一点R,假设过点R且与平面S1,S0平行的平面为S2,则S0和S2之间的距离d2为:

    \small \left \| R \right \|\cos \alpha = \frac{ N\cdot R}{ \left \| N \right \|}

    若平面法向量N为单位向量,则点R到平面S1的距离为S0和S1之间的距离减去S0和S2之间的距离,即:

    \small d=N\cdot Q+D

    若d=0,则点R位于平面上;

    若d>0,则点R位于平面法向量所指的一侧,称为平面的正向侧

    若d<0,则点R位于平面的负向侧


    4. 求直线与平面交点

    求一条直线和一个平面的交点是3D图形引擎中的普通计算,比如说在多边形裁剪中被广泛使用。

    设过点S且与方向V平行的直线的表达式为:\small P(t)=S+tV

    设有一法向量为N且到原点的符号距离为D的平面,那么则存在:

    \small N\cdot P(t)+D = 0,即存在P(t)直线过该平面的一点(当然也可能直线和平面平行了,没有交点)

    解上述关于P(t)的方程,即可获得直线与平面的交点。将P(t)替换为\small S+tV,可得:

    \small N\cdot S+(N\cdot V)t +D = 0

    求解关于t的方程,可得:

    \small t=\frac{-(N\cdot S+D)}{N\cdot V}

    将t的值代入直线方程即可求得交点。

    如果 \small N\cdot V=0,则直线与平面平行,且平面法向量N与直线方向向量V垂直,

    此时,若\small N\cdot S+D=0,则直线位于平面上,否则无交点。


    5. 求三个平面斜交

    一个空间的区域通常表示成由一系列平面为边界组成的凸面多面体的形式。该多面体的边和顶点可以通过执行多次三个平面的求交运算得出。

    • 求三个平面交于一点

    \small L_1=<N_1,D_1>\small L_2=<N_2,D_2>\small L_3=<N_3,D_3>,为任意三个平面;

    通过计算以下方程组的解可以得到同时位于这三个平面的点Q:

    \small L_1\cdot Q=0
               \small L_2\cdot Q=0
               \small L_3\cdot Q=0

    写成矩阵形式:

    \small MQ=\begin{bmatrix} -D_1\\-D_2 \\ -D_3 \end{bmatrix}

    其中,矩阵M的表达式如下:

    \small M=\begin{bmatrix} (N_1)_x & (N_1)_y& (N_1)_z \\ (N_2)_x & (N_2)_y& (N_2)_z \\ (N_3)_x & (N_3)_y& (N_3)_z \end{bmatrix}

    假设矩阵M可逆,计算下式可得到三个平面的唯一交点Q:

    \small Q=M^{-1}\begin{bmatrix} -D_1\\-D_2 \\ -D_3 \end{bmatrix}

    如果矩阵M是奇异矩阵,即行列式为0:\small detM=0,则这三个平面不相交与一点;

    当三个平面法向量位于同一平面时,会出现这种情况,下图所示就是情况之一:

     

    • 求两个平面交于一条直线

    设有两个不平行的平面 \small L_1 = <N_1,D_1>\small L_2 = <N_2,D_2> 相交时,其交于一条直线,如下图所示:

    交线的方向V与两个平面的法向量都垂直,可表示为 \small V=N_1\times N_2

    已知交线的方向,为了完整获取表达式,还需要知道直线上的一点;

    为此,构造经过原点且法向量为V的第三个平面 \small L_3= <V,0>

    可以确保三个平面交于一点,该点为平面 \small L_1 和 \small L_2 上的一点;

    利用之前推倒的求三个平面的唯一交点的公式,可以得到交点Q:

    \small Q=\begin{bmatrix} (N_1)_x &(N_1)_y &(N_1)_z \\ (N_2)_x& (N_2)_y & (N_2)_z\\ V_x& V_y & V_z \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} -D_1\\-D_2 \\ 0 \end{bmatrix}

    则平面 \small L_1\small L_2 交线的表达式为 \small P(t) = Q + tV


     

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