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  • 该程序允许您从方阵的 LU 分解中获得 L 和 U 矩阵
  • 将矩阵化为上三角矩阵

    千次阅读 2021-05-07 23:45:16
    题目:将矩阵化为上三角矩阵。 public class shangsanjiao{ public static void main(String[] args) { int i, j, k, v, hang, lie; double[][] a = new double[50][50]; double m; double[][] b = new ...

    题目:将矩阵化为上三角矩阵。

    public class shangsanjiao{
        public static void main(String[] args) {
            int i, j, k, v, hang, lie;
            double[][] a = new double[50][50];
            double m;
            double[][] b = new double[50][50];
            double c[][] = {};
            int num1, num2, num3, num4;
            //输入部分
            Scanner in = new Scanner(System.in);
            System.out.println("请输入你想计算的行的个数:");
            hang = in.nextInt();
            System.out.printf("请输入你想计算的列的个数:");
            lie= in.nextInt();
            for (i = 0; i < hang; ++i) {
               System.out.printf("请输入第%d行元素:", i + 1);
                for (j = 0; j < lie; ++j)
                   a[i][j]=in.nextDouble();
            }
            System.out.printf("上三角矩阵为:");
            //对角化部分
            for (k = 0; k < hang - 1; ++k) {
                for (i = k; i < hang - 1; ++i) {
                    for (j = 0; j < lie; ++j) {
                        //数组行交换
                        if (a[k][k] == 0) {
                            for (num1 = k; num1 == k; ++num1) {
                                for (num2 = 0; num2 < lie; ++num2) {
                                    c[num1][num2] = a[num1][num2];
                                    a[num1][num2] = a[num1 + 1][num2];
                                    a[num1 + 1][num2] = c[num1][num2];
                                    for (v = 0; v < lie; ++v)
                                        b[k][v] = a[k][v];
                                    //这一步至关重要,少此步,改变的b数组全为0,没有刷新,输出为0
                                }
                            }
                        }
                        //矩阵换行结束
                        m = a[i + 1][k] / (1.0 * a[k][k]);
                        b[i + 1][j] = a[i + 1][j] - (m) * a[k][j];
                    }
                }
                //将寄存在b中的数据转到a中
                for (num3 = 1; num3 <= hang; ++num3)
                    for (num4 = 0; num4 < lie; ++num4) {
                        a[num3][num4] = b[num3][num4];
                    }
            }
            //矩阵输出
            for (i = 0; i < hang; ++i) {
                {
                    for (j = 0; j < lie; ++j)
                        System.out.print(a[i][j]+" ");
                }
                System.out.println("\n");
            }
        }
    }
    

     

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  • spaPart 1:上三角矩阵本节含有许多实用性的结果,而且证实手段每每不惟一,应当认真体会一下不一样证实方法之间的异同。get本征值的存在性 有限维非零复向量空间上,每一个算子均有本征值。数学注意,这里并无涉...

    在本系列中,个人我的看法将使用斜体标注。因为时间关系,移除了例题部分,可参考答案连接,若有疑问,可在评论区处留言。因为文章是我独自整理的,缺少审阅,不免出现错误,若有发现欢迎在评论区中指正。spa

    Part 1:上三角矩阵

    本节含有许多实用性的结果,而且证实手段每每不惟一,应当认真体会一下不一样证实方法之间的异同。get

    本征值的存在性 有限维非零复向量空间上,每一个算子均有本征值。数学

    注意,这里并无涉及本征值的个数,也不涉及重特征值问题。class

    设\(\dim V=n>0\),\(T\in\mathcal L(V)\)。取\(v\in V\)且\(v\ne 0\),\(n+1\)个向量\(v,Tv,\cdots,T^nv\)线性相关,故存在不全为0的实数\(a_0,a_1,\cdots,a_n\),使得angular

    \[0=a_0v+a_1Tv+\cdots+a_nT^nv. \]

    若是\(a_1=\cdots=a_n=0\),则因为\(v\ne 0\)必有\(a_0=0\),这与线性相关矛盾。令基础

    \[p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n, \]

    由上面的分析,它不是一个常值多项式,故存在\(\lambda_1,\cdots,\lambda_m\in\mathbb{C}\),使得lambda

    \[p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n=c(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m) \]

    因此方法

    \[0=p(T)v=c(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)v \]

    至少存在一个\(j\),使得\(T-\lambda_jI\)不可逆(不然容易得出\(v=0\)),故找到了\(T\)的一个本征值\(\lambda_j\)。im

    习题1六、17分别利用线性映射证实本征值的存在性,下面给出证实。集合

    对于\(T\in\mathcal L(V)\),构造线性映射\(f\in\mathcal L(\mathcal P_n(\mathbb{C}),V)\),其中\(\forall p\in\mathcal P_n(\mathbb{C})\),有

    \[f(p)=p(T)v\in V. \]

    因为\(\dim\mathcal P_n(\mathbb{C})=n+1>n=\dim V\),因此\(f\)不是单射,存在\(p\ne 0\)使得

    \[p(T)v=0. \]

    显然\(p(z)\)不能是非零常数,由代数基本定理,能够分解为

    \[c(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)=0, \]

    因此存在一个\(\lambda_j\)是\(T\)的特征值。

    对于\(T\in\mathcal L(V)\),构造线性映射\(g\in\mathcal L(P_{n^2}(\mathbb{C}),\mathcal L(V))\),其中\(\forall p\in\mathcal P_{n^2}(\mathbb{C})\),有

    \[g(p)=p(T), \]

    因为\(\dim\mathcal P_{n^2}(C)=n^2+1>n^2=\dim\mathcal L(V)\),因此\(g\)不是单射,存在\(p\ne 0\)使得

    \[p(T)=0 \]

    显然\(p(z)\)不能使非零常数,故依旧有如上的分解。

    算子的矩阵(matrix of an operator) 设\(T\in\mathcal L(V)\),并设\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基,\(T\)关于该基的矩阵定义为\(\mathcal M(T)=(A_{i,k})_{n\times n}\),其元素定义为

    \[Tv_k=A_{1,k}v_1+\cdots+A_{n,k}v_k. \]

    在讨论线性映射的矩阵时,为\(V,W\)都找了一组基;而进入到算子的矩阵,因为线性空间只有一个,因此只使用\(V\)的一组基,而且通常使用标准基。

    矩阵的对角线(diagonal of a matrix) 方阵的对角线由位于左上角到右下角的直线上的元素组成。

    上三角矩阵(upper-triangular matrix) 若是位于方阵对角线下方的元素都是0,则这个方阵称为上三角矩阵。

    上三角矩阵与不变子空间之间存在联系,若\(T\in\mathcal L(V)\),且\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基,则如下三个说法等价:

    \(T\)关于\(v_1,\cdots,v_n\)的矩阵\(\mathcal M(T)\)是上三角的。

    \(\forall j=1,\cdots,n\),\(Tv_j\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_j)\)。

    \(\forall j=1,\cdots,n\),\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_j)\)是\(T\)下的不变子空间。

    上三角矩阵的存在性 在\(V(\mathbb{C})\)上,每一个算子\(T\in\mathcal L(V)\)均有上三角矩阵。

    这个定理的实用之处在于,将特征值关联到了线性映射上。而且,书上给出的两个证实,一个基于限制算子,一个基于商算子,因为商算子咱们平时不经常使用,所以更应该注意商算子的用法。

    限制算子:使用数学概括法,若\(\dim V=1\),则结论显然成立。

    现设\(\dim V>1\),且对于全部维数比\(V\)小的复向量空间都成立这样的结论。设\(\lambda\)是\(T\)的任意本征值,\(U=\mathrm{range}(T-\lambda I)\),则因为\(T-\lambda I\)不是满射,有\(\dim U

    \[Tu=(T-\lambda I+\lambda I)u=(T-\lambda I)u+\lambda u\in U. \]

    故\(T|_U\)是\(U\)上的算子,由概括假设,\(U\)有基\(u_1,\cdots,u_m\)使得\(T|_U\)关于这个基有上三角矩阵,所以对每一个\(j=1,\cdots,m\)都有

    \[Tu_j=T|_U (u_j)\in\mathrm{span}(u_1,\cdots,u_j). \]

    将\(u_1,\cdots,u_m\)扩充成\(V\)的基\(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n\),对每一个\(k\),都有

    \[Tv_k=(T-\lambda I)v_k+\lambda v_k, \]

    因为\((T-\lambda I)v_k\in U\),\(\lambda v_k\in\mathrm{span}(v_k)\subset\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_k)\),因此

    \[Tv_k\in\mathrm{span}(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_k), \]

    故\(T\)关于基\(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n\)有上三角矩阵。

    商算子:使用数学概括法,若\(\dim V=1\),则结论显然成立。

    现设\(\dim V=n>1\),并设对于全部\(n-1\)维复向量空间都成立这样的结论。设\(v_1\)是\(T\)的任意一个本征向量,\(U=\mathrm{span}(v_1)\),则\(U\)是\(T\)下的不变子空间,且\(\dim U=1\),故\(\dim V/U=n-1\)。

    对\(V/U\),由概括假设,存在一组基\(v_2+U,\cdots,v_n+U\),使得\(T/U\)关于该基有上三角矩阵,即\(\forall j=2,\cdots,v_n\)有

    \[(T/U)(v_j+U)\in\mathrm{span}(v_2+U,\cdots,v_j+U), \]

    \[Tv_j+U=a_2v_2+\cdots+a_jv_j+U, \]

    因此

    \[Tv_j-(a_2v_2+\cdots+a_jv_j)=a_1v_1, \]

    \[Tv_j\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_j). \]

    这就证实\(T\)关于\(v_1,\cdots,v_n\)这组基(这一组确实是基)存在上三角矩阵。

    上三角矩阵与可逆性 若\(T\in\mathcal L(V)\)关于\(V\)的某个基有上三角矩阵,则\(T\)是可逆的当且仅当这个上三角矩阵对角线上的元素都不是0。

    这是一个基础定理,由此能够很容易获得其余推论。

    设\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基,\(T\)关于这组基存在上三角矩阵:

    \[\mathcal M(T)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & * \\ \vdots & \lambda _2 & & \\ 0 & 0 & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}. \]

    先证充分性。上面的矩阵代表\(Tv_1=\lambda_1v_1\),因为\(\lambda_1\ne 0\),因此\(T(v_1/\lambda_1)=v_1\),即\(v_1\in\mathrm{range}T\)。从而

    \[T(v_2/\lambda_2)=a_1v_1+v_2,\quad v_2\in\mathrm{range}T,\\ T(v_3/\lambda_3)=b_1v_1+b_2v_2+v_3,\quad v_3\in\mathrm{range}T,\\ \vdots \]

    以此类推,\(v_1,\cdots,v_n\in\mathrm{range}T\),故\(T\)是满的,等价于\(T\)是可逆的。

    再证必要性。\(T\)是可逆的故\(\mathrm{null}T=\{0\}\),因此\(Tv_1=\lambda_1v_1\ne 0\),\(\lambda_1\ne 0\)。若是存在某个\(\lambda_j=0\),且\(\forall k

    \[Tv_j\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1}), \]

    同时\(T\)将\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j})\)映射到\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)上,即\(T\)在子空间\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)上不是单射,存在某个\(v\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_j)\)使得\(v\ne 0\)且\(Tv=0\),这与\(T\)的可逆性矛盾。

    上三角矩阵的特征值 设\(T\in\mathcal L(V)\)关于\(V\)的某个基有上三角矩阵,则\(T\)的本征值恰为这个上三角矩阵对角线上的元素。

    设\(\lambda \in\mathbb{F}\),则

    \[\mathcal M(T-\lambda I)=\begin{pmatrix} \lambda_1-\lambda & & & * \\ \vdots & \lambda _2-\lambda & & \\ 0 & 0 & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n-\lambda \end{pmatrix}. \]

    为使得\(T-\lambda I\)可逆,必有\(\lambda\)等于\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)中的某一个,即\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)是\(T\)的所有特征值。

    Part 2:对角矩阵

    对角矩阵(diagonal matrix) 对角矩阵是对角线之外的元素全是0的方阵。

    若一个算子关于某个基有对角矩阵,则对角线上的元素恰为该算子的本征值。

    本征空间(eigenspace) 设\(T\in\mathcal L(V)\)且\(\lambda \in \mathbb{F}\),则\(T\)相应于\(\lambda\)的本征空间定义为

    \[E(\lambda,T)=\mathrm{null}(T-\lambda I). \]

    若是\(\lambda\)不是\(T\)的本征值,则\(E(\lambda,T)=\{0\}\),反之亦然。

    \(E(\lambda,T)\)是\(T\)的相对应于\(\lambda\)的全体本征向量加上\(0\)构成的集合。

    \(E(\lambda,T)\)是\(V\)关于\(T\)的不变子空间,\(\forall v\in E(\lambda,T)\),\(Tv=\lambda v\)。

    本征空间的和是直和 设\(V\)是有限维的,\(T\in\mathcal L(V)\),且\(\lambda_1\cdots,\lambda_m\)是\(T\)的互异本征值,则

    \[E(\lambda_1,T)+\cdots+E(\lambda_m,T) \]

    是直和,且

    \[\dim E(\lambda_1,T)+\cdots+\dim E(\lambda_m,T)\le \dim V. \]

    这说明,不一样本征空间是互不相交的(除了\(0\))。这里用的是小于等于号,说明\(V\)中并不是全部向量都是特征向量。

    假设\(u_j\in E(\lambda_j,T)\),且\(u_1+\cdots+u_m=0\)。因为相应于不一样本征值的本征向量线性无关,因此\(u_j=0,\forall j\),这说明

    \[E(\lambda_1,T)+\cdots+E(\lambda_m,T) \]

    是直和,天然成立下方的不等式。

    可对角化(diagonalizable) 若是算子\(T\)关于\(V\)的某个基有对角矩阵,则\(T\)是可对角化的。

    可对角化的算子具备很简洁的表达形式,若是要计算\(Tv\),只要将\(v\)关于对角基分解便可。

    如下说法等价:

    \(T\)可对角化。

    \(V\)有由\(T\)的本征向量构成的基。

    \(V\)有在\(T\)下不变的一维子空间\(U_1,\cdots,U_n\),使得\(V=U_1\oplus\cdots\oplus U_n\)。

    \(V=E(\lambda_1,T)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,T)\)。

    \(\dim V=\dim E(\lambda_1,T)+\cdots+\dim E(\lambda_m,T)\)。

    以上五点,\(1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3\)和\(4\Leftrightarrow 5\)都是显然的,下证\(2\Leftrightarrow 4\)。

    先证\(2\Rightarrow 4\),若\(V\)有\(T\)的本征向量构成的基,则显然

    \[V=E(\lambda_1,T)+\cdots+E(\lambda_m,T). \]

    又由于不一样本征值对应的本征空间是直和,因此

    \[V=E(\lambda_1,T)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,T). \]

    最后证\(4\Rightarrow 2\),在每一个\(E(\lambda_j,T)\)内取一组基,将其合在一块儿就获得\(V\)的本征向量构成的基。

    本征值足够多则可对角化 若\(T\in\mathcal L(V)\)有\(\dim V\)个互异的本征值,则\(T\)可对角化。

    设\(\dim V=n\),\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)是\(T\)的\(n\)个互异本征值,对应的本征向量为\(v_j\),则这些\(v_j\)是线性无关的,因为长度为\(n\)的线性无关组是\(V\)的基,因此\(v_1,\cdots,v_j\)是\(V\)的一组基,故\(T\)可对角化。

    事实上,因为不一样本征空间都是\(T\)下的不变子空间,因此将不一样本征空间的基组成整个\(V\)上的一组线性无关向量,对应的矩阵是一个对角子矩阵;进而将这个向量组扩充成一组基。

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  • p=eye(21,21); p1=eye(21,21); pm=[]; c=zeros(252,672); a1=1:21;a2=22:42;a3=43:63;a4=64:84;a5=85:105;a6=106:126;...这是H,怎么样把它经过变换变成【A ,B】,A为上三角矩阵,求大神帮忙,新手

    p=eye(21,21);

    p1=eye(21,21);

    pm=[];

    c=zeros(252,672);

    a1=1:21;a2=22:42;a3=43:63;a4=64:84;a5=85:105;a6=106:126;a7=127:147;a8=148:168;a9=169:189;a10=190:210;a11=211:231;a12=232:252;a13=253:273;a14=274:294;a15=295:315;a16=316:336;a17=337:357;a18=358:378;

    a19=379:399;a20=400:420;a21=421:441;a22=442:462;a23=463:483;a24=484:504;a25=505:525;a26=526:546;a27=547:567;a28=568:588;a29=589:609;a30=610:630;a31=631:651;a32=652:672;

    for i=1:20

    p=[p(:,2:21) p(:,1)];

    pm{i}={p};

    end

    c(1:21,a1)=p1;

    c(1:21,a4)=pm{5}{1};

    c(1:21,a6)=pm{18}{1};

    c(1:21,a7)=pm{16}{1};

    c(1:21,a11)=pm{3}{1};

    c(1:21,a12)=pm{6}{1};

    c(1:21,a13)=pm{10}{1};

    c(1:21,a16)=p1;

    c(1:21,a18)=pm{7}{1};

    c(1:21,a20)=pm{5}{1};

    c(1:21,a23)=pm{4}{1};

    c(1:21,a24)=pm{4}{1};

    c(1:21,a26)=pm{10}{1};

    c(1:21,a28)=pm{5}{1};

    c(22:42,a3)=pm{6}{1};

    c(22:42,a5)=pm{7}{1};

    c(22:42,a10)=pm{2}{1};

    c(22:42,a15)=pm{9}{1};

    c(22:42,a17)=pm{20}{1};

    c(22:42,a21)=pm{4}{1};

    c(22:42,a27)=pm{19}{1};

    c(43:63,a2)=pm{18}{1};

    c(43:63,a8)=p1;

    c(43:63,a9)=pm{10}{1};

    c(43:63,a14)=pm{16}{1};

    c(43:63,a19)=pm{9}{1};

    c(43:63,a22)=pm{12}{1};

    c(43:63,a25)=pm{4}{1};

    c(43:63,a31)=pm{17}{1};

    c(64:84,a1)=pm{5}{1};

    c(64:84,a2)=p1;

    c(64:84,a7)=pm{18}{1};

    c(64:84,a8)=pm{16}{1};

    c(64:84,a9)=pm{6}{1};

    c(64:84,a12)=pm{3}{1};

    c(64:84,a13)=p1;

    c(64:84,a14)=pm{10}{1};

    c(64:84,a17)=pm{5}{1};

    c(64:84,a19)=pm{7}{1};

    c(64:84,a21)=pm{4}{1};

    c(85:105,a4)=pm{6}{1};

    c(85:105,a6)=pm{7}{1};

    c(85:105,a11)=pm{2}{1};

    c(85:105,a16)=pm{9}{1};

    c(85:105,a18)=pm{20}{1};

    c(85:105,a22)=pm{4}{1};

    c(106:126,a3)=pm{18}{1};

    c(106:126,a5)=p1;

    c(106:126,a10)=pm{10}{1};

    c(106:126,a15)=pm{16}{1};

    c(106:126,a20)=pm{9}{1};

    c(106:126,a23)=pm{12}{1};

    c(127:147,a2)=pm{5}{1};

    c(127:147,a3)=p1;

    c(127:147,a5)=pm{16}{1};

    c(127:147,a8)=pm{18}{1};

    c(127:147,a9)=pm{3}{1};

    c(127:147,a10)=pm{6}{1};

    c(127:147,a14)=p1;

    c(127:147,a15)=pm{10}{1};

    c(127:147,a18)=pm{5}{1};

    c(127:147,a20)=pm{7}{1};

    c(127:147,a21)=pm{4}{1};

    c(127:147,a22)=pm{4}{1};

    c(127:147,a26)=pm{5}{1};

    c(148:168,a1)=pm{6}{1};

    c(148:168,a7)=pm{7}{1};

    c(148:168,a12)=pm{2}{1};

    c(148:168,a13)=pm{9}{1};

    c(148:168,a19)=pm{20}{1};

    c(148:168,a23)=pm{4}{1};

    c(148:168,a25)=pm{19}{1};

    c(169:189,a4)=pm{18}{1};

    c(169:189,a6)=p1;

    c(169:189,a11)=pm{10}{1};

    c(169:189,a16)=pm{16}{1};

    c(169:189,a17)=pm{9}{1};

    c(169:189,a24)=pm{12}{1};

    c(190:210,a3)=pm{5}{1};

    c(190:210,a4)=p1;

    c(190:210,a5)=pm{18}{1};

    c(190:210,a6)=pm{16}{1};

    c(190:210,a10)=pm{3}{1};

    c(190:210,a11)=pm{6}{1};

    c(190:210,a15)=p1;

    c(190:210,a16)=pm{10}{1};

    c(190:210,a17)=pm{7}{1};

    c(190:210,a19)=pm{5}{1};

    c(190:210,a22)=pm{4}{1};

    c(190:210,a23)=pm{4}{1};

    c(190:210,a25)=pm{10}{1};

    c(190:210,a27)=pm{5}{1};

    c(190:210,a29)=pm{7}{1};

    c(211:231,a2)=pm{6}{1};

    c(211:231,a8)=pm{7}{1};

    c(211:231,a9)=pm{2}{1};

    c(211:231,a14)=pm{9}{1};

    c(211:231,a20)=pm{20}{1};

    c(211:231,a24)=pm{4}{1};

    c(211:231,a26)=pm{19}{1};

    c(211:231,a32)=pm{10}{1};

    c(232:252,a1)=pm{18}{1};

    c(232:252,a7)=p1;

    c(232:252,a12)=pm{10}{1};

    c(232:252,a13)=pm{16}{1};

    c(232:252,a18)=pm{9}{1};

    c(232:252,a21)=pm{12}{1};

    c(232:252,a28)=pm{4}{1};

    c(232:252,a30)=pm{17}{1};

    H=sparse(c);这是H,怎么样把它经过变换变成【A ,B】,A为上三角矩阵,求大神帮忙,新手

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  • 21 0 3 -3 4 -3 --用a32把第2列中其余数化成0 --顺便把a14(下次要处理第4列)化成1 r2+r3, r4+3r3, r1*(1/3) 0 0 0 1 -3 1 0 -1 7 -17 0 -1 1 6 -21 0 0 0 22 -66 --用a14=1将第4列其余数化为0 r2-7r1, r3-6r1, r4-22...

    一、用初等行变换化行最简形的技巧1. 一般是从左到右,一列一列处理

    2. 尽量避免分数的运算

    具体操作:

    1. 看本列中非零行的首非零元

    若有数a是其余数的公因子, 则用这个数把第本列其余的数消成零.

    2. 否则, 化出一个公因子

    给你个例子看看吧.

    例:

    2 -1 -1 1 2

    1 1 -2 1 4

    4 -6 2 -2 4

    3 6 -9 7 9

    --a21=1 是第1列中数的公因子, 用它将其余数化为0 (*)

    r1-2r2, r3-4r2, r4-3r2 得

    0 -3 3 -1 -6

    1 1 -2 1 4

    0 -10 10 -6 -12

    0 3 -3 4 -3

    --第1列处理完毕

    --第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3

    -- 没有公因子, 用r3+3r4w化出一个公因子

    -- 但若你不怕分数运算, 哪就可以这样:

    -- r1*(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1

    -- 这样会很辛苦的 ^_^

    r1+r4,r3+3r4 (**)

    0 0 0 3 -9

    1 1 -2 1 4

    0 -1 1 6 -21

    0 3 -3 4 -3

    --用a32把第2列中其余数化成0

    --顺便把a14(下次要处理第4列)化成1

    r2+r3, r4+3r3, r1*(1/3)

    0 0 0 1 -3

    1 0 -1 7 -17

    0 -1 1 6 -21

    0 0 0 22 -66

    --用a14=1将第4列其余数化为0

    r2-7r1, r3-6r1, r4-22r1

    0 0 0 1 -3

    1 0 -1 0 4

    0 -1 1 0 -3

    0 0 0 0 0

    --首非零元化为1

    r3*(-1), 交换一下行即得

    1 0 -1 0 4

    0 1 -1 0 3

    0 0 0 1 -3

    0 0 0 0 0

    注(*): 也可以用a11=2 化a31=4 为0

    关键是要看这样处理有什么好处

    若能在化a31为0的前提下, a32化成了1, 那就很美妙了.

    注(**): r1+r4 就是利用了1,4行数据的特点,先处理了a12.

    总之, 要注意观察元素的特殊性灵活处理.

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化成三角矩阵