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  • 椭圆方程

    2020-11-06 12:59:51
    椭圆极公式的推导: 沿+z方向传播的电磁波,其电场矢量在x-y平面内的分量分别表示和。 ​​​​​​​ 式中,和分别表示x,y方向上的单位矢量,δ表示相位,k表示波数,和分别表示电磁波在x,y方向上的复...

    椭圆极化公式的推导:

    沿+z方向传播的电磁波,其电场矢量在x-y平面内的分量分别表示为E_{x}E_{y}

    E\left ( z \right )=E_{x}\left ( z \right )e_{x}+E_{y}\left ( z \right )e_{y}

    E_{x}\left ( z \right )=E_{x}e^{-jkz}=E_{x}_{0}e^{-jkz}e^{j\delta _{x}}e_{x}

    E_{y}\left ( z \right )=E_{y}e^{-jkz}=E_{y}_{0}e^{-jkz}e^{j\delta _{y}}e_{y}

    式中,e_{x}e_{y}分别表示x,y方向上的单位矢量,δ表示相位,k表示波数,E_{x}\left ( z \right )E_{y}\left ( z \right )分别表示电磁波在x,y方向上的复分量,其幅度分别为\left | E_{x} \right |=E_{x0}\left | E_{y} \right |=E_{y0}

    在 t 时刻,E_{x}\left ( z \right )E_{y}\left ( z \right )的电场瞬时值为:
     

    E_{x}\left ( z,t \right )=\Re \left ( E_{x} \right \left ( z \right )e^{-j\omega t})=\Re \left ( E_{x}e^{-jkz}e^{j\omega t} \right )=E_{x0}cos\left ( \omega t-kz+\delta _{x} \right )       ①

    E_{y}\left ( z,t \right )=\Re \left ( E_{y} \right \left ( z \right )e^{-j\omega t})=\Re \left ( E_{y}e^{-jkz}e^{j\omega t} \right )=E_{y0}cos\left ( \omega t-kz+\delta _{y} \right )       ②

    式中,\Re \left ( \cdot \right )代表复数的实部,\omega代表角速度

    开始变换了!

    将上两式中幅度量移动至等号的左边,并做初步的三角函数拆分,得到:

    \frac{E_{x}}{E_{x0}}=cos\left ( \omega t-kz+\delta _{x} \right )=cos\left ( \omega t-kz \right )cos\delta _{x}-sin\left ( \omega t-kz \right )sin\delta _{x}                         ③

    \frac{E_{y}}{E_{y0}}=cos\left ( \omega t-kz+\delta _{y} \right )=cos\left ( \omega t-kz \right )cos\delta _{y}-sin\left ( \omega t-kz \right )sin\delta _{y}                         ④

    对③乘以sin\delta _{y},④乘以sin\delta _{x},得到:

    \frac{E_{x}}{E_{x0}}sin\delta _{y}=cos\left ( \omega t-kz \right )cos\delta _{x}sin\delta _{y}-sin\left ( \omega t-kz \right )sin\delta _{x}sin\delta _{y}                                  ⑤

    \frac{E_{x}}{E_{x0}}sin\delta _{x}=cos\left ( \omega t-kz \right )cos\delta _{y}sin\delta _{x}-sin\left ( \omega t-kz \right )sin\delta _{y}sin\delta _{x}                                  ⑥

    ⑤⑥两式相减,消去同项,并进行三角变换,得到:

    \frac{E_{x}}{E_{x0}}sin\delta _{y}-\frac{E_{y}}{E_{y0}}sin\delta _{x}=cos\left ( \omega t-kz \right )cos\delta _{x}sin\delta _{y}-cos\left ( \omega t-kz \right )cos\delta _{y}sin\delta _{x}

                                        =cos\left ( \omega t-kz \right )(cos\delta _{x}sin\delta _{y}-cos\delta _{y}sin\delta _{x})

                                        =cos\left ( \omega t-kz \right )sin(\delta _{y}-\delta _{x})                                                            ⑦

    对③乘以cos\delta _{y},④乘以cos\delta _{x},得到:

    \frac{E_{x}}{E_{x0}}cos\delta _{y}=cos\left ( \omega t-kz \right )cos\delta _{x}cos\delta _{y}-sin\left ( \omega t-kz \right )sin\delta _{x}cos\delta _{y}                                   ⑧

    \frac{E_{x}}{E_{x0}}cos\delta _{x}=cos\left ( \omega t-kz \right )cos\delta _{y}cos\delta _{x}-sin\left ( \omega t-kz \right )sin\delta _{y}cos\delta _{x}                                   ⑨

    ⑧⑨两式相减,消去同项,并进行三角变换,得到:

    \frac{E_{x}}{E_{x0}}cos\delta _{y}-\frac{E_{y}}{E_{y0}}cos\delta _{x}=sin\left ( \omega t-kz \right )sin\delta _{y}cos\delta _{x}-sin\left ( \omega t-kz \right )cos\delta _{y}sin\delta _{x}

                                        =sin\left ( \omega t-kz \right )(sin\delta _{y}cos\delta _{x}-cos\delta _{y}sin\delta _{x})

                                         =sin\left ( \omega t-kz \right )sin(\delta _{y}-\delta _{x})                                                           ⑩

    令⑦与⑩的左右两边平方后相加:

     

    \left ( \frac{E_{x}}{E_{x0}}sin\delta _{y}-\frac{E_{y}}{E_{y0}}sin\delta _{x} \right )^{2}+\left ( \frac{E_{x}}{E_{x0}}cos\delta _{y}-\frac{E_{y}}{E_{y0}}cos\delta _{x} \right )^{2}

    =cos^{2}\left ( \omega t-kz \right )sin^{2}(\delta _{y}-\delta _{x})+sin^{2}\left ( \omega t-kz \right )sin^{2}(\delta _{y}-\delta _{x})

    =sin^{2}(\delta _{y}-\delta _{x})(cos^{2}\left ( \omega t-kz \right )+sin^{2}\left ( \omega t-kz \right ))

    =sin^{2}(\delta _{y}-\delta _{x})                                                                                                                       

     

    \delta _{0}=\delta _{y}-\delta _{x},则上式转化为:

    \left ( \frac{E_{x}}{E_{x0}}sin\delta _{y}-\frac{E_{y}}{E_{y0}}sin\delta _{x} \right )^{2}+\left ( \frac{E_{x}}{E_{x0}}cos\delta _{y}-\frac{E_{y}}{E_{y0}}cos\delta _{x} \right )^{2}=sin^{2}\delta _{0}

    等式的左边打出来稍微复杂,做一个简单的代换:

    A=\frac{E_{x}}{E_{x0}} B=\frac{E_{y}}{E_{y0}},则上式可以写为:

    \left ( Asin\delta _{y}-Bsin\delta _{x} \right )^{2}+\left ( Acos\delta _{y}-Bcos\delta _{x} \right )^{2}=sin^{2}\delta _{0}

    A^{2}sin^{2}\delta _{y}-2ABsin\delta _{y}sin\delta _{x}+B^{2}sin^{2}\delta _{x}+A^{2}cos^{2}\delta _{y}-2ABcos\delta _{y}cos\delta _{x}+B^{2}cos^{2}\delta _{x}=sin^{2}\delta _{0}

    A^{2}-2ABsin\delta _{y}sin\delta _{x}+B^{2}-2ABcos\delta _{y}cos\delta _{x}=sin^{2}\delta _{0}

    A^{2}+B^{2}-2AB(sin\delta _{y}sin\delta _{x}+cos\delta _{y}cos\delta _{x})=sin^{2}\delta _{0}

    A^{2}+B^{2}-2ABcos(\delta _{x}-\delta _{y})=sin^{2}\delta _{0}

    A^{2}+B^{2}-2ABcos\delta _{0}=sin^{2}\delta _{0}

    把AB往回带入,就得到最终的椭圆极化方程了!

    \left (\frac{E_{x}}{E_{x0}} \right )^{2}+\left ( \frac{E_{y}}{E_{y0}} \right )^{2}-2\frac{E_{x}}{E_{x0}} \frac{E_{y}}{E_{y0}}cos\delta _{0}=sin^{2}\delta _{0}

     

     

     

     

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  • 写在前面:好吧这个东西真的让人头疼的不行。。。每次碰到总要再思考一遍,索性这次记录下来以备不时之需 天线极定义 先定义天线的极 Polarization of an antenna in ...即天线的极定义其传输的电磁波的极

    写在前面:好吧这个东西真的让人头疼的不行。。。每次碰到总要再思考一遍,索性这次记录下来以备不时之需

    天线极化定义

    先定义天线的极化

    • Polarization of an antenna in a given direction is defined as “the polarization of the wave transmitted (radiated) by the antenna. ----Antenna Theory by Balanis
      即天线的极化定义为其传输的电磁波的极化。
      那么什么是电磁波的极化呢?
      *Polarization of a radiated wave is defined as “that property of an electromagnetic wave describing the time-varying direction and relative magnitude of the electric-field vector; specifically, the figure traced as a function of time by the extremity of the vector at a fixed location in space, and the sense in which it is traced, as observed along the direction of propagation.”
      电磁波的极化是电场矢量端点随时间的变化(从波的传播方向上看)
      从O点向wt正方向看过去,这是一个顺时针旋转的右旋极化波
    • The polarization of a wave received by an antenna is defined as the “polarization of a plane wave, incident from a given direction and having a given power flux density, which results in maximum available power at the antenna terminals.”
      天线接收的波的极化方向定义为平面波的极化方向(balabala)
    • “Co-polarization represents the polarization the antenna is intended to radiate (receive) while cross-polarization represents the polarization orthogonal to a
      specified polarization, which is usually the co-polarization.”
      主极化和交叉极化的定义(垂直于主极化的是交叉极化,主极化是想要的极化方向)
      线极化,圆极化以及椭圆极化的定义及充要条件想必大家都在大学物理或者电磁场相关课程中学过,这里不再赘述,直接引出这次的重点**(这两个天线极化方向一样么!!!!)**
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      例题如上图所示,可能有人就和我一样迷糊了,这两个单位方向向量一个正虚部一个负虚部,怎么就正好匹配了?不是老师说同样旋向的发射天线和接受天线才能匹配么??
      嘿,别急,这其实就是一个习惯性参考系的问题。
      上图!
      在这里插入图片描述
      也就是说,描述方向向量的坐标系的习惯性建法一个是顺着波的传播方向(发射天线),一个是顺着来波方向(接收天线),所以出现了不同。但是,天线的极化前文的定义写的很清楚,是其传输的波的极化,而波的极化是顺着波传播方向上看去的电场矢量端点随时间的变化决定的,在这一点上发射天线和接受天线的定义是统一的,都是看波的传播方向上电场矢量方向的变化。
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  • 我想绘制一个以(x0,y0)中心的ax ^ 2 + bxy + cy ^ 2 = 1给出的旋转椭圆。... 此外,n 是参数考虑的区间 [0, 2pi] 中的点数。 该函数您提供两个向量 x 和 y,您只需使用命令 plot(x, y) 即可绘制椭圆。
  • 绘制椭圆

    2011-02-21 20:45:00
    #include <graphics.h>main(){ int gdriver, gmode; gdriver = DETECT; initgraph(&gdriver, &gmode, "");/*图形方式初始*/ ellipse(200, 200, 0, 360, 50, 100);/*以(200,200)中心的椭圆...
    #include <graphics.h>
    main()
    {
        int gdriver, gmode;
        gdriver = DETECT;
        initgraph(&gdriver, &gmode, "");     /*图形方式初始化*/
        ellipse(200, 200, 0, 360, 50, 100);     /*以(200,200)为中心的椭圆*/
        getch();
        closegraph();        /*退出图形状态*/
    }

    转载于:https://www.cnblogs.com/djcsch2001/archive/2011/02/21/1960097.html

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  • 从从协方差的误差椭圆到PCA

    千次阅读 2019-02-18 13:07:51
    误差椭圆是代表高斯分布的等值轮廓线,并允许可视一个2D置信区间,下图正态分布样本数据95%置信椭圆: 下面主要介绍椭圆的长轴,短轴,置信度以及椭圆的旋转角度的由来。 2.轴对齐的置信椭圆 先看一种特殊...

    参考博客:如何绘制协方差误差椭圆
    PCA-特征提取

    1.误差椭圆的介绍

    误差椭圆是代表高斯分布的等值轮廓线,并允许可视化一个2D置信区间,下图正态分布样本数据为95%置信椭圆:
    在这里插入图片描述
    下面主要介绍椭圆的长轴,短轴,置信度以及椭圆的旋转角度的由来。

    2.轴对齐的置信椭圆

    先看一种特殊的误差椭圆,轴对齐的置信椭圆,即各个维度之间是独立的,协方差为0的误差椭圆。
    协方差为:
    在这里插入图片描述
    误差椭圆为:在这里插入图片描述

    椭圆的方程式定义如下:
    (xa)2+(yb)2=1(\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{b})^2 = 1
    误差椭圆定义为
    (xσx)2+(yσy)2=s(\frac{x}{\sigma_x})^2 + (\frac{y}{\sigma_y})^2 = s

    σxσy\sigma_x与\sigma_y分别代表x和y的标准差,s与置信度有关。
    95%的置信水平对应于s =5.991。(详情参考卡方分布表

    3.任意置信椭圆

    数据之间存在相关的情况下存在写放擦汗,所产生的误差椭圆不会是轴对齐的。椭圆以x轴为基准,发生逆时针旋转,旋转的角度定义为α\alpha
    在这里插入图片描述
    我们这里可以直观的感觉到,误差椭圆的长短轴方向应该是协方差的特征向量的方向,大小等于特征值。

    因为我们知道特征向量之间是正交的,而且特征值的大小表示在对应特征向量上的能量大小,感兴趣可以参考花了10分钟,终于弄懂了特征值和特征向量到底有什么意义
    所以误差椭圆定义为
    (xλ1)2+(yλ2)2=s(\frac{x}{\lambda_1})^2 + (\frac{y}{\lambda_2})^2 = s
    95%的置信水平对应于s =5.991。那旋转角都怎么算呢?
    为了获得椭圆的方向,我们简单地计算最大特征向量的角度
    在这里插入图片描述

    可以参考

    向量能不能相除?

    4.PCA的介绍

    PCA即主成分分析(principal component analysis)

    1.线性变换,变换到原来空间的子空间;
    2.应用特征向量,选取正交特征,去相关。

    我们知道高维数据意味着更多的参数,更复杂的模型,很容易过度拟合,所以应该选择我们需要的特征保留,舍弃不需要的特征。

    5 PCA-从去相关到降维

    通常数据都是相关的,也就是数据的各个维度并不独立,导致各维度之间有或强或弱的相关性。直接删除一个维度,舍弃此维度的特征往往不可取,因为它隐含消去了其他维度的分量。我们可以去相关。
    考虑下面二维特征空间的例子:
    x1N(0,1)和x2N(0,1),x1,x2相互独立
    {x=x1+x2y=x2x1\begin{cases} x = x_1 + x_2\\ y = x_2 - x_1\\ \end{cases}
    协方差
    =[2222]\sum= \begin{bmatrix} {2}&amp;{2}\\ {2}&amp;{2}\\ \end{bmatrix}
    s=时的误差椭圆的长轴与短轴,

    在这里插入图片描述

    借助代码,我们算一下特征向量和特征值

    import numpy as np
    #A = np.array([[16.7,14.94],[14.94,17.27]])
    #A = np.array([[3,-1],[-1,3]])
    A = np.array([[2,2],[2,2]])
    print('打印A:\n{}'.format(A))
    a,b = np.linalg.eig(A)
    print('打印特征值a:\n{}'.format(a))
    print('打印特征向量b:\n{}'.format(b))

    结果
    在这里插入图片描述
    特征值从大到小排列,则由特征向量组成的特征矩阵为:(每列表示一个特征向量)

    V=[0.70710.70710.70710.7071]V= \begin{bmatrix} {0.7071}&amp;{-0.7071}\\ {0.7071}&amp;{0.7071}\\ \end{bmatrix}

    V是旋转矩阵,tan(α)=0.7071/0.7071=1 tan(\alpha) = 0.7071/0.7071 =1 ,坐标系逆时针旋转45度得到新的坐标系x’ 和 有 y’,
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    特征向量空间下的特征是正交的,未知的,换言之是不相关的,这时候想要降低维度只需按照需求删除x’或者y’.
    在上述例子中,我们以一个二维问题开始。如果我们想降低维数,问题仍然是是否消除x1(x’)或y1(y’)。尽管这样的选择可能取决于许多因素,如分类问题的数据可分性,但是PCA简单地假定最有趣的特征具有最大方差。这种假设是基于信息论的角度,由于最大方差的维对应于最大熵的维,编码了大部分信息。最小的特征向量将简单地表示噪声成分,而最大的特征向量往往对应于定义数据的主要成分。

    由主成分分析降低维数,然后投影数据到协方差矩阵的最大特征向量上。对于上面的例子,所得到的一维特征空间如图3所示:
    在这里插入图片描述

    显然,上面的例子很容易推广到更高维的特征空间。例如,在三维情况下,我们既可以将数据投影到两个最大特征向量定义的平面来获得2D特征空间,也可以将其投影到最大特征向量来获得1D特征空间。结果示于图4:
    在这里插入图片描述

    Figure 4. 3D data projected onto a 2D or 1D linear subspace by means of Principal Component Analysis.

    一般情况下,主成分分析使我们获得原始N维数据的一个线性M维子空间,其中M小于等于N。此外,如果未知,不相关的成分满足高斯分布,则PCA实际上充当了独立成分分析的角色,因为不相关的高斯变量在统计上是独立的。但是,如果底层成分不是正态分布,PCA仅仅产生去相关的变量,这些变量不一定是独立的。在这种情况下,非线性降维算法可能是一个更好的选择。
    参考为什么随机变量X和Y不相关却不一定独立?

    6. PCA-正交回归方法

    在上述的讨论中,我们以获得独立成分(如果数据不是正态分布,至少是不相关成分)为目标来减少特征空间的维数。我们发现,这些所谓的“主成分”是由我们数据协方差矩阵的特征值分解获得的。然后将数据投影到最大特征向量从而降低维数。

    现在,我们不考虑找不相关成分。相反,我们现在尝试通过找到原始特征空间上的一个线性子空间来实现降维数,我们可以将我们的数据映射的这个子空间上使得映射误差最小化。在二维情况下,这意味着我们试图找到一个向量,映射到这个向量上的数据对应于一个映射误差,而这个误差比任何其他可能向量所映射数据的映射误差低。接下来的问题是如何找到这个最佳向量。

    考虑图5所示的例子。三种不同的映射向量,以及所得到的一维数据。在接下来的段落中,我们将讨论如何确定哪些映射向量最小化映射误差。在寻找这个向量之前,我们必须定义这个误差函数。
    在这里插入图片描述这部分参考 PCA-正交回归方法PCA实际应用:特征脸,PCA配方,PCA陷阱

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    千次阅读 2014-08-21 09:16:00
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空空如也

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化椭为圆