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  • 化矩阵为对角矩阵
    2021-04-20 14:06:23

    假设两个实对称矩阵A和B,如果存在一个可逆的矩阵X, XAX'=B,已知A和B,知道怎么用matlab求X?

    本例中数据如下:

    A=[0.287402 0 0

    0 0.483209 0

    0 0 0.000025];

    B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727

    -0.028039 0.483209 0.001299

    -0.0000727 0.001299 0.000025];

    下面是对一个对称矩阵求转换后的对角矩阵的matlab程序

    程序来自

    《基于Matlab的实对称矩阵对角化》一文,作者 计文军等

    其中a的对称矩阵,d是对角化后的矩阵,p是相应的合同变换,满足pTap=d

    function [p,d]=juzheng(a)

    [m,n]=size(a);

    a=[a eye(n)]';

    for k=1:n

    if a(k,k)==0

    for r=(k+1):n

    if a(k,r)~=0

    for i=k:n

    a(k,i)=a(k,i)+a(r,i);

    end

    for i=k:2*n

    a(i,k)=a(i,k)+a(i,r);

    end

    break

    end

    end

    end

    for i=k+1:n

    l=a(i,k)/a(k,k);

    for j=k:n

    a(i,j)=a(i,j)-l*a(k,j);

    end

    for j=k:2*n

    a(j,i)=a(j,i)-l*a(j,k);

    end

    end

    end

    p=a(n+1:2*n,1:n);

    d=a(1:n,1:n);

    return

    下面在脚本文件中调用juzheng.m函数

    A=[0.287402 0 0

    0 0.483209 0

    0 0 0.000025];

    B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727

    -0.028039 0.483209 0.001299

    -0.0000727 0.001299 0.000025];

    [p,d]=juzheng(B);

    X=(inv(p))';% 这一步是将计算的结果转成本例中我所需要的形式

    %你可以验证X*A*X'=B

    完毕!

    感谢文章作者

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    矩阵对角化(Diagonalizing a Matrix)1.1 对角矩阵的优点1.2 求解一般矩阵的特征值和特征向量1.3 矩阵对角化1.4 计算 AkA^kAk1.5 矩阵对角化的注意事项 1.矩阵对角化(Diagonalizing a Matrix) 笔记参考来源:...

    1.矩阵对角化(Diagonalizing a Matrix)

    笔记参考来源:Visualizing Diagonalization & Eigenbases

    1.1 对角矩阵的优点

    对角矩阵优点1:

    我们观察到对角矩阵只是对标准基进行了缩放,而没有进行旋转(这里的性质和特征向量有些类似!!!)这大大提高了线性变换的确定性(尤其对于高维空间中的线性变换),同时也大大简化了计算量



    对角矩阵优点2:

    特别容易求出对角矩阵的逆矩阵

    1.2 求解一般矩阵的特征值和特征向量

    我们将一般矩阵化为对角矩阵


    我们观察到一般矩阵相较于对角矩阵,其线性变换较为复杂


    我们求出上述矩阵的特征向量和特征值

    求解矩阵的特征向量、特征值
    方法一:
    A = [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ]   A x ⃗ = λ x ⃗   ( A − λ I ) x ⃗ = 0 ⃗   A − λ I = [ 5 / 4 − λ 3 / 4 3 / 4 5 / 4 − λ ]   d e t ( A − λ I ) = 0   d e t ( A − λ I ) = ( 5 4 − λ ) 2 − ( 3 4 ) 2 = 0   λ 1 = 1 2 、 λ 2 = 2   A x ⃗ 1 = 1 2 x ⃗ 1 、 A x ⃗ 2 = 2 x ⃗ 2   [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ] [ a 1 a 2 ] = 1 2 [ a 1 a 2 ] 、 [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ] [ a 3 a 4 ] = 2 [ a 3 a 4 ]   a 1 = − a 2 、 a 3 = a 4   W e   t a k e   a 1 = − 1 、 a 2 = 1 、 a 3 = 1 、 a 4 = 1   x ⃗ 1 = [ 1 1 ] 、 x ⃗ 2 = [ − 1 1 ] A=\begin{bmatrix}5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4\end{bmatrix}\\ ~\\ A\vec{x}=\lambda \vec{x}\\ ~\\ (A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}\\ ~\\ A-\lambda I=\begin{bmatrix}5/4-\lambda & 3/4\\ 3/4 & 5/4-\lambda\end{bmatrix}\\ ~\\ det(A-\lambda I)=0\\ ~\\ det(A-\lambda I)=(\frac{5}{4}-\lambda)^2-(\frac{3}{4})^2=0\\ ~\\ \lambda_1=\frac{1}{2}、\lambda_2=2\\ ~\\ A\vec{x}_1=\frac{1}{2}\vec{x}_1、A\vec{x}_2=2\vec{x}_2\\ ~\\ \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}、 \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_1=-a_2、a_3=a_4\\ ~\\ We\ take\ a_1=-1、a_2=1、a_3=1、a_4=1\\ ~\\ \vec{x}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}、 \vec{x}_2= \begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix} A=[5/43/43/45/4] Ax =λx  (AλI)x =0  AλI=[5/4λ3/43/45/4λ] det(AλI)=0 det(AλI)=(45λ)2(43)2=0 λ1=21λ2=2 Ax 1=21x 1Ax 2=2x 2 [5/43/43/45/4][a1a2]=21[a1a2][5/43/43/45/4][a3a4]=2[a3a4] a1=a2a3=a4 We take a1=1a2=1a3=1a4=1 x 1=[11]x 2=[11]
    方法二:
    A = [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ]   d e t   A = ( 5 4 ) 2 − ( 3 4 ) 2 = 1 = λ 1 λ 2   t r   A = 5 4 + 3 4 = 5 2 = λ 1 + λ 2   { λ 1 λ 2 = 1 λ 1 + λ 2 = 5 2   λ 1 = 1 2 、 λ 2 = 2   A x ⃗ 1 = 1 2 x ⃗ 1 、 A x ⃗ 2 = 2 x ⃗ 2   [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ] [ a 1 a 2 ] = 1 2 [ a 1 a 2 ] 、 [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ] [ a 3 a 4 ] = 2 [ a 3 a 4 ]   a 1 = − a 2 、 a 3 = a 4   W e   t a k e   a 1 = − 1 、 a 2 = 1 、 a 3 = 1 、 a 4 = 1   x ⃗ 1 = [ 1 1 ] 、 x ⃗ 2 = [ − 1 1 ] A=\begin{bmatrix}5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4\end{bmatrix}\\ ~\\ det\ A=(\frac{5}{4})^2-(\frac{3}{4})^2=1=\lambda_1\lambda_2\\ ~\\ tr\ A=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{2}=\lambda_1+\lambda_2\\ ~\\ \begin{cases} \lambda_1\lambda_2=1\\ \lambda_1+\lambda_2=\frac{5}{2} \end{cases}\\ ~\\ \lambda_1=\frac{1}{2}、\lambda_2=2\\ ~\\ A\vec{x}_1=\frac{1}{2}\vec{x}_1、A\vec{x}_2=2\vec{x}_2\\ ~\\ \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}、 \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_1=-a_2、a_3=a_4\\ ~\\ We\ take\ a_1=-1、a_2=1、a_3=1、a_4=1\\ ~\\ \vec{x}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}、 \vec{x}_2= \begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix} A=[5/43/43/45/4] det A=(45)2(43)2=1=λ1λ2 tr A=45+43=25=λ1+λ2 {λ1λ2=1λ1+λ2=25 λ1=21λ2=2 Ax 1=21x 1Ax 2=2x 2 [5/43/43/45/4][a1a2]=21[a1a2][5/43/43/45/4][a3a4]=2[a3a4] a1=a2a3=a4 We take a1=1a2=1a3=1a4=1 x 1=[11]x 2=[11]

    1.3 矩阵对角化

    特征向量矩阵 X X X
    X = [ x ⃗ 1 x ⃗ 2 ] = [ 1 − 1 1 1 ] X=[\vec{x}_1\quad\vec{x}_2]= \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} X=[x 1x 2]=[1111]

    特征值矩阵 Λ \Lambda Λ
    Λ = [ λ 1 0 0 λ 2 ] = [ 2 0 0 1 / 2 ] \Lambda= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} Λ=[λ100λ2]=[2001/2]
    特征向量矩阵的逆矩阵 X − 1 X^{-1} X1

    X − 1 = 1 d e t   X [ 1 1 − 1 1 ] = 1 2 [ 1 1 − 1 1 ] = [ 1 / 2 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 ] X^{-1}=\frac{1}{det\ X} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2\\ -1/2 & 1/2 \end{bmatrix} X1=det X1[1111]=21[1111]=[1/21/21/21/2]

    将矩阵 A A A 进行分解
    A = X Λ X − 1 = [ 1 − 1 1 1 ] [ 2 0 0 1 / 2 ] [ 1 / 2 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 ] A=X\Lambda X^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2\\ -1/2 & 1/2 \end{bmatrix} A=XΛX1=[1111][2001/2][1/21/21/21/2]

    其中 X X X 是由矩阵的各个特征向量组成的矩阵、 Λ \Lambda Λ 是由矩阵的各个特征值组成的


    对矩阵 X 、 Λ 、 X − 1 X、\Lambda、X^{-1} XΛX1 对应的线性变换过程的可视化


    矩阵 X − 1 X^{-1} X1 将特征向量转换到了标准基的位置(我们将此时的特征向量称其为特征基



    矩阵 Λ \Lambda Λ特征基缩放了特征值大小


    矩阵 X X X 将缩放后的特征基转换到特征向量的原本位置(原标准基的坐标系下)

    1.4 计算 A k A^k Ak



    例子:

    1.5 矩阵对角化的注意事项





    可逆性与可对角化性无关!!!

    展开全文
  • 此函数将使用 Householder 方法对方形对称矩阵进行三对角化
  • 矩阵对角化,SVD分解

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    矩阵对角化

    矩阵的相似

    A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B 为两个 n n n阶矩阵,若存在可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P,使得
    P − 1 A P = B \boldsymbol{P}^{^{-1}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B} P1AP=B
    则称 A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B 相似。特别的,如果 B \boldsymbol{B} B 为对角形矩阵,则称 A \boldsymbol{A} A 可(相似)对角化

    n n n阶矩阵 A A A可对角化的充要条件: A \boldsymbol{A} A n n n个线性无关的特征向量 X 1 , X 2 , . . . X n \boldsymbol{X_{1}},\boldsymbol{X_{2}},...\boldsymbol{X_{n}} X1,X2,...Xn。具体的证明我们不在此展开,只做几点说明:

    1. n n n 阶矩阵 A \boldsymbol{A} A m m m 个不同特征值(方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 \left | \lambda \boldsymbol{E} -\boldsymbol{A}\right |=0 λEA=0 m m m 个不同实根),则不同特征值对应的特征向量线性无关
    2. 存在 A \boldsymbol{A} A 属于某个特征值的线性无关特征向量
    3. P − 1 A P = d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . λ n ) \boldsymbol{P}^{^{-1}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=diag(\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n}) P1AP=diag(λ1λ2...λn) 时, d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . λ n ) diag(\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n}) diag(λ1λ2...λn) n n n个主对角元是 A \boldsymbol{A} A n n n个特征值(含重根); A \boldsymbol{A} A 分别属于 λ 1 , λ 2 , . . . λ n \lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n} λ1λ2...λn 的线性无关特征向量 X 1 , X 2 , . . . X n \boldsymbol{X_{1}},\boldsymbol{X_{2}},...\boldsymbol{X_{n}} X1,X2,...Xn 构成了可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P 的列向量

    实对称矩阵的对角化

    考虑实对称矩阵的对角化,有如下结论:

    1. n n n阶实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 的特征值都是实数(证明思路:对表达式 A X = λ X \mathbf{AX=\lambda X} AX=λX 左乘复特征向量的共轭转置 X ˉ T \mathbf{\bar{X}^{T}} XˉT,推出 λ \lambda λ 为实数)
    2. 实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 不同特征值对应的特征向量正交(证明思路:列出 A \boldsymbol{A} A 两组不同的特征方程,分别左乘另一个复特征向量的共轭转置,两端取转置后方程相减)
    3. 属于 A \boldsymbol{A} A 的同一个特征值的一组线性无关特征向量不一定正交,但可用施密特正交方法将其正交化
    4. 一定存在正交矩阵 Q \mathbf{Q} Q (满足 Q − 1 = Q T \mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}^{T} Q1=QT),使得 Q − 1 A Q \boldsymbol{Q}^{^{-1}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} Q1AQ 为对角形矩阵
    5. n n n阶实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 存在 n n n个正交的单位特征向量

    SVD分解

    特征值分解只能用于可逆方阵,奇异值分解(SVD)适用于任意 m × n \mathit{m}\times\mathit{n} m×n 矩阵,定义如下:

    A \boldsymbol{A} A 是一个 m × n \mathit{m}\times\mathit{n} m×n 矩阵,则存在一个分解,使得
    A = U Σ V ∗ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{U}\Sigma\boldsymbol{V}^{*} A=UΣV
    其中 U \boldsymbol{U} U m × m m\times m m×m 酉矩阵(满足 U − 1 = U ∗ \boldsymbol{U^{-1}}=\boldsymbol{U}^{*} U1=U), Σ \Sigma Σ m × n m\times n m×n 非负实对称矩阵, V ∗ \boldsymbol{V}^{*} V V \boldsymbol{V} V 的共轭转置,是 n × n n\times n n×n 酉矩阵.

    求解 U \boldsymbol{U} U, Σ \Sigma Σ, V \boldsymbol{V} V 矩阵

    给定一个 A m × n \boldsymbol{A_{m\times n}} Am×n 的奇异值分解,有:
    A ∗ A = V Σ ∗ U ∗ U Σ V ∗ = V ( Σ ∗ Σ ) V ∗ \boldsymbol{A^{*}A}=\boldsymbol{V}\Sigma^{*}\boldsymbol{U}^{*}\boldsymbol{U}\Sigma\boldsymbol{V}^{*}=\boldsymbol{V}(\Sigma^{*}\Sigma)\boldsymbol{V}^{*} AA=VΣUUΣV=V(ΣΣ)V
    A A ∗ = U Σ V ∗ V Σ ∗ U ∗ = U ( Σ Σ ∗ ) U ∗ \boldsymbol{AA^{*}}=\boldsymbol{U}\Sigma\boldsymbol{V}^{*}\boldsymbol{V}\Sigma^{*}\boldsymbol{U}^{*}=\boldsymbol{U}(\Sigma\Sigma^{*})\boldsymbol{U}^{*} AA=UΣVVΣU=U(ΣΣ)U
    关系式右边描述了关系式左边的特征值分解,于是:

    • A ∗ A \boldsymbol{A^{*}A} AA n n n个特征向量(右奇异向量)组成了 V \boldsymbol{V} V 的列向量
    • A A ∗ \boldsymbol{AA^{*}} AA m m m个特征向量(左奇异值向量)组成了 U \boldsymbol{U} U 的列向量
    • Σ \Sigma Σ 的非零对角元(非零奇异值)是 A ∗ A \boldsymbol{A^{*}A} AA A A ∗ \boldsymbol{AA^{*}} AA 的非零特征值(为啥相同?)的平方根,即 Σ = [ σ 1 0 0 0 0 σ 2 ⋯ 0 0 0 ⋱ σ r ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ] m × n \Sigma=\begin{bmatrix} \sigma_{1}& 0& 0& 0 \\ 0& \sigma_{2}& \cdots& 0 \\ 0& 0& \ddots& \sigma_{r} \\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots \end{bmatrix}_{m\times n} Σ=σ1000σ20000σrm×n,其中 r = r a n k ( A ) r=rank(\boldsymbol{A}) r=rank(A)(思考为什么?)且 m > r \mathit{m}>\mathit{r} m>r σ i = λ i ( i = 1 , 2 ⋯ r ) \sigma _{i}=\sqrt{\lambda _{i}}(i=1,2\cdots r) σi=λi (i=1,2r)

    补充1: A A T \boldsymbol{AA^{T}} AAT 性质

    • 对称性: ( A T A ) T = A A T (\boldsymbol{A^{T}A})^{T}=\boldsymbol{AA^{T}} (ATA)T=AAT
    • 半正定性:对任意非零向量 x n × 1 x_{n\times1} xn×1 ,有 x T ( A T A ) x = ( A x ) T ( A x ) ⩾ 0 \boldsymbol{x^{T}}(\boldsymbol{A^{T}A})\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{Ax})^{T}(\boldsymbol{Ax})\geqslant 0 xT(ATA)x=(Ax)T(Ax)0

    补充2:奇异值分解 Vs.特征值分解
    SVD_EigenDecomposition

    补充3:正定和半正定矩阵的性质

    • 正定矩阵的行列式恒为正;
    • 实对称矩阵 A A A正定当且仅当 A A A与单位矩阵合同;
    • 对于 n n n阶实对称矩阵 A A A,下列条件是等价的:正定矩阵=一切主子式均为正=一切顺序主子式均为正=特征值均为正;
    • 对于 n n n阶实对称矩阵 A A A,下列条件是等价的:半正定矩阵=所有的主子式非负(顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的)

    SVD分解的应用
    SVD-application

    参考链接

    1. 中文维基 奇异值分解
    2. 中文维基 可对角化矩阵
    3. 博客园 奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用
    4. 知乎 矩阵对角化与奇异值分解
    5. Markdown语言教程
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      MarkDown 插入数学公式实验大集合
      如何在Markdown中写公式
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    千次阅读 2020-08-12 16:38:09
    mathematica 小tip eigensystem给出的Vector默认是列向量,使用vectors做矩阵乘法的时候,就是利用向量的内积来做乘法 eg. A.B(AB都是矩阵),AB=(A1A2A3)(B1B2B3),其中A1A2A3是A的行向量,B1B2B3是B的列向量

空空如也

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化矩阵为对角矩阵