仿真匹配滤波器的FFT-IFFT的实现，采用矩形脉冲信号，观察滤波前后的波形，分析匹配滤波器对矩形脉冲的压缩前后的性质。

         FFT实现匹配滤波的原理图如下图所示，对x[n]和h[n]补零，然后做N点FFT，相乘后做ifft，得到的y[n]就是滤波后的信号，这其实就是一个FFT实现线性卷积的过程，对x[n]做匹配滤波也就是与滤波器冲激函数做卷积运算。

1、产生矩形脉冲信号，这里采用正弦波与脉冲信号进行调制，载波信号与脉冲信号相乘，得到调制后的矩形脉冲，下图为调制的信号与其频谱图，这里的频谱图为正弦波的频谱图，为单根谱线，信号频率为400Hz，由于未做fftshift，没有把零频分量移到原点，因此100Hz也有根谱线。

2、做匹配滤波器的冲激响应，由于该信号的对称性，此时的匹配滤波器的冲激响应，等于原信号在一个周期的值，因此直接写出匹配滤波器的冲激响应，当然也可以用信号的反褶共轭得到冲激响应。

h=conj(fliplr(s));  %匹配滤波起的系统函数

 3、先用线性卷积来实现匹配滤波，对s(t)和h(t)直接做卷积运算后截断，得到输出信号。

clin = conv(s,h);
clin_1 = clin(1:250);

4、用FFT 实现匹配滤波，如上述原理图 所示，补零、FTT、IFFT、截断后得到输出信号。

输出信号如下图所示，上面为卷积运算得到的输出信号，下面为FFT得到的输出信号。

N1=length(s);
N2=length(h);
N=N1+N2-1;

XK=fft(s,N);
HK=fft(h,N);
YK=XK.*HK;
yt=ifft(YK,N);

yt1=yt(1:250);

从图中我们可以看出，矩形脉冲信号经过匹配滤波后，信号的时宽并没有减小， 对于雷达信号来讲，经过匹配滤波后，没有提高分辨率，脉冲压缩比为1，没有信噪比的提升。

clc
clear
close all

Fs=500;        %采样率500Hz
Ts = 1/Fs;
t0=0.1;      
t = 0:Ts:0.5-Ts;   
%载波信号 
x =( sin(2*pi*400*t)+1)/2; %+ sin(2*pi*20*t);
figure(1)
subplot (3 ,1,1);
plot(t,x)
xlabel('Time (seconds)')
ylabel('Amplitude')
title('载波/脉冲信号')
hold on

%编码信号
j = (square(2*pi*5*t)+1)/2; 
plot(t,j);
hold off

s=x.*j;
subplot (3 ,1,2);
plot(t,s)
xlabel('Time (seconds)')
ylabel('Amplitude')
title('调制信号')

y = fft(x);   
fs = 1/Ts;
f = (0:length(y)-1)*fs/length(y);
subplot (3 ,1,3);
plot(f,abs(y))
xlabel('Frequency (Hz)')


%MF响应函数
t2= 0:Ts:0.1-Ts;  
h=( sin(2*pi*400*t2)+1)/2; 
figure(2);
plot(t2,h)
xlabel('Time (seconds)')
ylabel('Amplitude')
title('FM响应')


%线性卷积
clin = conv(s,h);
clin_1 = clin(1:250);
figure(3);
subplot (2 ,1,1);
plot(t,clin_1)
xlabel('Time (seconds)')
ylabel('Amplitude')
title('线性卷积 ')

%用FFT实现线性卷积。

N1=length(s);
N2=length(h);
N=N1+N2-1;

XK=fft(s,N);
HK=fft(h,N);
YK=XK.*HK;
yt=ifft(YK,N);

yt1=yt(1:250);
subplot (2 ,1,2);
plot(t,yt1)
xlabel('Time (seconds)')
ylabel('Amplitude')
title('FFT进行匹配滤波')

本博参考 合成孔径雷达-算法与实现 3.4节 匹配滤波器的实现。如有错漏，还请各位大佬指正

1、LFM信号

线性调频信号在SAR系统中十分重要，其频率是时间的线性函数。这种信号用于发射，以得到均匀的信号带宽，其在接收信号中则来自传感器运动。
时域表达式为：

频谱的简略表达式为（忽略常数振幅和相位正负pi/4）：

2、匹配滤波器的实现

2.1 基本方式

匹配滤波器的生成方法一般有如下几种（基于基带信号）：

1. 将时间反褶后的复制脉冲（发射复制脉冲）取复共轭，计算补零DFT；
2. 复制脉冲补零后进行DFT，对结果取复共轭（无时间反褶）；
3. 根据设定的线性调频特性，直接在频域生成匹配滤波器。

前两种方式中复制信号在进行FFT前要补零至选定的长度（Nfft）,由于弃置区等于复制信号长度（减1），Nfft的长度应倍数于信号长度。SAR中的匹配滤波器一般比较长，通常在频域实现。

弃置区位置

1. 方式1：在复制信号末端补零，则循环卷积中弃置区位于IDFT输出序列的起始；
2. 方式2：同样在复制信号末端补零，但其循环卷积中弃置区位于IDFT输出序列的末端；
3. 方式3：弃置区分则于IDFT输出序列的两则。

2.2 MATLAB实现

方式1：将发射信号时间反褶后取共轭得到h(t),再与信号补零后的FFT在频域相乘，最后取IFFT。

// 方式1
ht=conj(fliplr(st));
Hf=fft(ht,Nfft);
Sf=fft(st,Nfft);
s=ifft(Hf.*Sf);

方式2：将发射脉冲补零后进行FFT，再取共轭（无需反褶），与信号补零后的FFT在频域相乘，最后IFFT。

// 方式2
Hf=conj(fft(st,Nfft));
Sf=fft(st,Nfft);
s=ifft(Hf.*Sf);

方式3：直接在频域生成匹配滤波器

// 方式三
Hf=exp(1i*pi*f.^2/K);
Sf=fft(st,Nfft);
s=ifft(Hf.*Sf);

注： conv函数计算的是两个序列的线性卷积，而fft计算的是序列的循环卷积，Nfft满足下式时可以无差别地使用循环卷积计算线性卷积。
,

N1、N2分别表示两个信号删去左右两边零值后的长度。

MATLAB 实现示例

// Match_filter
close all;clear all;clc
%%线性调频信号
T=42e-6;
B=17.2e6;
Fs=18.5e6;
K=B/T;
N=round(T/(1/Fs));
t=linspace(-T/2,T/2,N);
st=( abs(t) < T/2 ) .*exp(1j*pi*K.*t.^2);
%%时域匹配滤波
ht=conj(fliplr(st));
y1=conv(st,ht);
Nfft=N+N-1;
t1=linspace(-T/2,T/2,Nfft);
figure(1);
subplot(311),plot(t,real(st));
subplot(312),plot(t,imag(st));
subplot(313),plot(t1,abs(y1));
%%方式1
Nfft2=2*N;
freqz=linspace(-Fs/2,Fs/2,Nfft2);
t2=linspace(-T/2,T/2,Nfft2);
Hf1=fftshift(fft(ht,Nfft2));
Sf1=fftshift(fft(st,Nfft2));
y2=ifft(Hf1.*Sf1);
figure(2);
subplot(311),plot(freqz,abs(Hf1));
subplot(312),plot(freqz,abs(Sf1));
subplot(313),plot(freqz,abs(y2));
%%方式2
Hf2=fftshift(conj(fft(st,Nfft2)));
y3=fftshift(ifft(Sf1.*Hf2));
figure(3);
plot(t2,abs(y3));

仿真结果