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  • 匹配滤波器的工作原理
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    2022-05-16 19:32:35

    前言:数字信号的最佳接收方法有两种:最佳接收机法和匹配滤波器法。这里记录一下在通信原理考试前一个晚上学习匹配滤波器时的理解。

    一、不管是最佳接收机还是匹配滤波器,最佳接收准则是相同的,都是“错误概率最小”,即“误码率最小”,由于决定误码率的关键因素是输出信噪比,信噪比越大则误码率越小,匹配滤波器的特性就是使得在抽样时刻上,滤波器的输出信噪比最大,即使得输出信噪比最大的线型滤波器就是匹配滤波器。

    二、匹配滤波器是基于最大信噪比的,而这个最大信噪比满足关系式:

    r0<=2E/n0

    E就是信号的能量,no/2为噪声功率

    而要满足这一最大信噪比,就要设计合适的滤波器,即匹配滤波器,该滤波器的传输函数为

    其中S*(w)或者S*(f)为信号的频谱

    这就是信号s(t)对应的匹配滤波器,显然,给出一个信号,我们首先求出它的频谱,然后就可以求得H(w)。这里K一般取1.

    由此可以得到匹配滤波器的冲击响应函数

    h(t)=ks(t0-t)

    t0就是指抽样时刻,一把来说,在匹配滤波器问题中,选择码元末尾进行抽样比较合适,因此t0=TB,即

    h(t)=ks(TB-t)

    通常k取1.

    综上,若匹配滤波器输入电压为s(t),则输出为s(t)*h(t).

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    万次阅读 多人点赞 2020-11-16 20:26:22
    背景   雷达接收机在接收回波信号的同时,不可避免地会遇到噪声,同时还会受到各种干扰,如各种分布物体产生的杂波干扰、敌方施放的噪声调制干扰等。为了选出有用目标,同时抑制各种噪声和干扰,...匹配滤波器是在

    1.背景

      雷达接收机在接收回波信号的同时,不可避免地会遇到噪声,同时还会受到各种干扰,如各种分布物体产生的杂波干扰、敌方施放的噪声调制干扰等。为了选出有用目标,同时抑制各种噪声和干扰,需要滤波器做出频率选择,滤波器是完成这一任务的重要器件。滤波器的频带宽度和频率特性影响滤波效果,直接关系到雷达接收机的灵敏度、波形失真等重要指标。对应于不同的输入信号和噪声干扰,为了使接收机输出端的信号噪声比最大,波形失真最小,要求滤波器有一个最佳的频带宽度和频率特性形状,以实现最佳滤波。

      所谓最佳是在某种准则下系统性能达到最佳。在数字通信中,最常采用的最佳准则是输出信噪比最大准则和差错概率最小准则。

      最佳线性滤波器的设计通常有两种准则:

    • 使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小——维纳滤波器
    • 使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大——匹配滤波器

    2.数字信号接收等效原理图

    解调器中抽样判决以前各部分电路可以用一个线性滤波器来等效,如图所示:
    数字信号接收机

    这里, n ( t ) n(t) n(t)为高斯白噪声,均值为 0,方差为 σ 2 \sigma^2 σ2,双边功率谱密度为 n 0 2 \frac{n_0}{2} 2n0

    抽样判决器输出数据正确与否,与滤波器输出信号波形和发送信号波形之间的相似程度无关,也即与滤波器输出信号波形的失真程度无关;只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比,即信噪比

    3.匹配滤波器的基本概念

    匹配滤波器是在白噪声背景中检测信号的最佳线性滤波器,其输出信噪比在抽样判决时刻 t = t 0 t=t_0 t=t0可以达到最大。

    4.匹配滤波器的频率响应函数

    匹配滤波器的输入信号 r ( t ) = s ( t ) + n ( t ) r(t)=s(t)+n(t) r(t)=s(t)+n(t)

    匹配滤波器的输出信号 y ( t ) = s o ( t ) + n o ( t ) y(t)=s_o(t)+n_o(t) y(t)=so(t)+no(t)

    其中,根据傅里叶反变换, s o ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S o ( ω ) e j ω t   d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S ( ω ) H ( ω ) e j ω t   d ω s_o(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} {\color{Maroon}S_o(\omega)}e^{j\omega t}\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} {\color{Maroon}S(\omega)H(\omega)}e^{j\omega t}\,d\omega so(t)=2π1So(ω)ejωtdω=2π1S(ω)H(ω)ejωtdω

    t = t 0 t=t_0 t=t0时刻信号的瞬时功率:
    ∣ s o ( t 0 ) ∣ 2 = ∣ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S ( ω ) H ( ω ) e j ω t 0   d ω ∣ 2 \big|s_o(t_0)\big|^2=\Big|\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} S(\omega)H(\omega)e^{j\omega t_0}\,d\omega\Big|^2 so(t0)2=2π1S(ω)H(ω)ejωt0dω2
    噪声的平均功率:
    N o = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ P n o ( ω )   d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ P n i ( ω ) ∣ H ( ω ) ∣ 2   d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ n 0 2 ∣ H ( ω ) ∣ 2   d ω \begin{aligned} N_o&=\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} P_{no}(\omega)\,d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} P_{ni}(\omega)\big|H(\omega)\big|^2\,d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞}\frac{n_0}{2}\big|H(\omega)\big|^2\,d\omega\\ \end{aligned} No=2π1Pno(ω)dω=2π1Pni(ω)H(ω)2dω=2π12n0H(ω)2dω
    抽样时刻的输出信噪比:
    ( S N ) o = ∣ s o ( t 0 ) ∣ 2 N o = ∣ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ H ( ω ) S ( ω ) e j ω t 0   d ω ∣ 2 n 0 2 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ H ( ω ) ∣ 2   d ω (\frac{S}{N})_o=\frac{\big|s_o(t_0)\big|^2}{N_o}=\frac{\Big|\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} {\color{DarkOrchid}H(\omega)}{\color{Royalblue}S(\omega)e^{j\omega t_0}}\,d\omega\Big|^2}{\frac{n_0}{2}\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞}\big|H(\omega)\big|^2\,d\omega} (NS)o=Noso(t0)2=2n02π1H(ω)2dω2π1H(ω)S(ω)ejωt0dω2

    根据 S c h w a r t z Schwartz Schwartz不等式
    ∣ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( ω ) Y ( ω )   d ω ∣ 2 ≤ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( ω ) ∣ 2   d ω 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ Y ( ω ) ∣ 2   d ω \Big|\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} X(\omega)Y(\omega)\,d\omega\Big|^2\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} \big|X(\omega)\big|^2\,d\omega\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} \big|Y(\omega)\big|^2\,d\omega 2π1X(ω)Y(ω)dω22π1X(ω)2dω2π1Y(ω)2dω
    其中,等号仅当 X ( ω ) = k Y ∗ ( ω ) X(\omega)=kY^*(\omega) X(ω)=kY(ω)时成立,这里 k k k为不等于0的常数

    因此有
    ( S N ) o = ∣ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ H ( ω ) S ( ω ) e j ω t 0   d ω ∣ 2 n 0 2 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ H ( ω ) ∣ 2   d ω ≤ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ H ( ω ) ∣ 2   d ω ⋅ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( ω ) e j ω t 0 ∣ 2   d ω n 0 2 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ H ( ω ) ∣ 2   d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( ω ) ∣ 2   d ω n 0 2 \begin{aligned} (\frac{S}{N})_o&=\frac{\Big|\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} {\color{DarkOrchid}H(\omega)}{\color{Royalblue}S(\omega)e^{j\omega t_0}}\,d\omega\Big|^2}{\frac{n_0}{2}\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞}\big|H(\omega)\big|^2\,d\omega}\\ &\leq\frac{\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} \big|H(\omega)\big|^2\,d\omega\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} \big|S(\omega)e^{j\omega t_0}\big|^2\,d\omega}{\frac{n_0}{2}\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞}\big|H(\omega)\big|^2\,d\omega}\\ &=\frac{\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞} \big|S(\omega)\big|^2\,d\omega}{\frac{n_0}{2}} \end{aligned} (NS)o=2n02π1H(ω)2dω2π1H(ω)S(ω)ejωt0dω22n02π1H(ω)2dω2π1H(ω)2dω2π1S(ω)ejωt02dω=2n02π1S(ω)2dω

    根据帕塞瓦尔定理,信号的能量 E E E 可以用时域能量和频域能量表示为
    E = ∫ − ∞ ∞ ∣ s ( t ) 2   d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( ω ) ∣ 2   d ω E=\int_{-∞}^{∞}|s(t)^2\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞}|S(\omega)|^2\,d\omega E=s(t)2dt=2π1S(ω)2dω

    由此可得
    ( S N ) o ≤ 2 E n 0 (\frac{S}{N})_o \leq \frac{2E}{n_0} (NS)on02E

    只有当接收机频率响应函数满足:
    H ( ω ) = k S ∗ ( ω ) e − j w t 0 {\color{BROWN} H(\omega)=kS^*(\omega)e^{-jwt_0}} H(ω)=kS(ω)ejwt0
    时,上式的等号才成立,此时输入/输出信号噪声比达到最大值,即
    ( S N ) m a x = 2 E n 0 {\color{Brown}(\frac{S}{N})_{max} = \frac{2E}{n_0}} (NS)max=n02E

    这表明,当一个线性系统的频率响应函数 H ( ω ) H(\omega) H(ω)为输入信号的复共轭时,其输出的信号噪声比达到最大,这个线性系统称作匹配滤波器。

    匹配滤波器的重要特性是:不管输入信号的波形、带宽、持续时间如何,最大输出信号噪声比总是两倍于接收信号能量 ( 2 E ) (2E) 2E 除以单位带宽的噪声功率 n 0 n_0 n0这里 n 0 = k T 0 F n n_0=kT_0F_n n0=kT0Fn k k k为玻尔兹曼常数 ( k = 1.38 × 1 0 − 23 J / K ) (k=1.38×10^{-23} J/K) (k=1.38×1023J/K) T 0 T_0 T0为室温17℃对应的热力学温度 ( T 0 = 290 ° K ) (T_0=290°K) (T0=290°K) F n F_n Fn为接收机的噪声系数。

    5.匹配滤波器的脉冲响应函数

    根据傅里叶反变换:
    h ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ H ( ω ) e j w t   d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ k S ∗ ( ω ) e − j w t 0 e j w t   d ω = k 2 π ∫ − ∞ ∞ S ∗ ( ω ) e − j w ( t 0 − t )   d ω = k 2 π ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ s ( τ ) e − j w τ   d τ ] ∗ e − j w ( t 0 − t )   d ω = k ∫ − ∞ ∞ [ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e j w ( τ − t 0 + t )   d τ ] s ∗ ( τ )   d τ = k ∫ − ∞ ∞ s ∗ ( τ ) δ ( τ − t 0 + t )   d τ = k s ∗ ( t 0 − t ) \begin{aligned} h(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞}H(\omega)e^{jwt}\,d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞}kS^*(\omega)e^{-jwt_0} e^{jwt}\,d\omega\\ &=\frac{k}{2\pi}\int_{-∞}^{∞}S^*(\omega)e^{-jw(t_0-t)}\,d\omega\\ &=\frac{k}{2\pi}\int_{-∞}^{∞}\Big[\int_{-∞}^{∞}s(\tau)e^{-jw\tau}\,d\tau\Big]^*e^{-jw(t_0-t)}\,d\omega\\ &=k\int_{-∞}^{∞}\Big[\frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{∞}e^{jw(\tau-t_0+t)}\,d\tau\Big]s^*(\tau)\,d\tau\\ &=k\int_{-∞}^{∞}s^*(\tau)\delta(\tau-t_0+t)\,d\tau\\ &=ks^*(t_0-t) \end{aligned} h(t)=2π1H(ω)ejwtdω=2π1kS(ω)ejwt0ejwtdω=2πkS(ω)ejw(t0t)dω=2πk[s(τ)ejwτdτ]ejw(t0t)dω=k[2π1ejw(τt0+t)dτ]s(τ)dτ=ks(τ)δ(τt0+t)dτ=ks(t0t)

    这表明,匹配滤波器的脉冲响应函数 h(t) 是输入信号在时间上的反转后,再向右平移 t 0 t_0 t0时间,即 s [ − ( t − t 0 ) ] s[-(t-t_0)] s[(tt0)],这等效为频率响应函数 H(ω) 必须有相移 e − j ω t 0 e^{-j\omega t_0} ejωt0
    在这里插入图片描述

    注:对于一个因果可实现系统
    h ( t ) = 0 , t < 0 h(t)=0,t<0 h(t)=0t<0
    也就是说要求 − τ + t 0 ≥ 0 -\tau+t_0≥0 τ+t00,即 t 0 ≥ τ t_0≥ \tau t0τ,而 t 0 t_0 t0是抽样判决时刻,实际上是时延,我们希望时延越小越好,尽早进行判决,因此 t 0 = τ t_0=\tau t0=τ

    6.匹配滤波器的输出信号

    匹配滤波器的输出 y ( t ) y(t) y(t)
    y ( t ) = r ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ − ∞ ∞ r ( τ ) h ( t − τ ) d τ y(t)=r(t)*h(t)=\int_{-∞}^{∞}r(\tau)h(t-\tau)d\tau y(t)=r(t)h(t)=r(τ)h(tτ)dτ
    由于 h ( t ) = k s ∗ ( t 0 − t ) h(t)=ks^*(t_0-t) h(t)=ks(t0t),因此输出也可表示为
    y ( t ) = k ∫ − ∞ ∞ r ( τ ) s ∗ ( t 0 − t + τ ) d τ = k R r s ( t 0 − t ) y(t)=k\int_{-∞}^{∞}r(\tau)s^*(t_0-t+\tau)d\tau=kR_{rs}(t_0-t) y(t)=kr(τ)s(t0t+τ)dτ=kRrs(t0t)
    其中, R r s ( t 0 − t ) R_{rs}(t_0-t) Rrs(t0t) r ( t ) r(t) r(t) s ∗ ( t 0 − t ) s^*(t_0-t) s(t0t)互相关函数。

    可见,匹配滤波的过程可看作接收信号sr与系统冲激响应ht的卷积:
    so = conv( sr , ht) = conv( sr , conj(fliplr( si )) );
    
    也可看作雷达接收信号sr与发射信号si的延迟的互相关函数:
    so = xcorr( sr , si );
    

    7.匹配滤波器的输出噪声

    n o ( t ) = n ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ − ∞ ∞ n ( τ ) h ( t − τ ) d τ = k ∫ − ∞ ∞ n ( τ ) s ( t 0 − t + τ ) d τ = k R n s ( t 0 − t ) \begin{aligned} n_o(t)&=n(t)*h(t)\\ &=\int_{-∞}^{∞}n(\tau)h(t-\tau)d\tau\\ &=k\int_{-∞}^{∞}n(\tau)s(t_0-t+\tau)d\tau\\ &=kR_{ns}(t_0-t) \end{aligned} no(t)=n(t)h(t)=n(τ)h(tτ)dτ=kn(τ)s(t0t+τ)dτ=kRns(t0t)
    其中, R n s ( t 0 − t ) R_{ns}(t_0-t) Rns(t0t)为输入噪声与输入信号的互相关函数,由于 n ( t ) n(t) n(t) s ( t ) s(t) s(t)不相关,输出的噪声很小。

    8.线性调频信号的匹配滤波输出推导

    8.1 时域分析

    线性调频信号 s ( t ) = r e c t ( t T ) e j π K t 2 s(t)=rect(\frac{t}{T})e^{j\pi K t^2} s(t)=rect(Tt)ejπKt2
    匹配滤波器的脉冲响应函数 h ( t ) = s ∗ ( − t ) = r e c t ( t T ) e − j π K t 2 h(t)=s^*(-t)=rect(\frac{t}{T})e^{-j\pi K t^2} h(t)=s(t)=rect(Tt)ejπKt2
    匹配滤波器的输出 s o u t ( t ) = s ( t ) ∗ h ( t ) s_{out}(t)=s(t)*h(t) sout(t)=s(t)h(t)

    8.2 频域分析

    线性调频信号 S ( f ) = 1 K r e c t ( f K T ) e − j π f 2 K e j π 4 S(f)=\frac{1}{\sqrt K}rect(\frac{f}{KT})e^{-j\pi \frac{f^2}{K}}e^{j\frac{\pi}{4}} S(f)=K 1rect(KTf)ejπKf2ej4π
    匹配滤波器的频率响应函数 H ( f ) = S ∗ ( f ) = 1 K r e c t ( f K T ) e j π f 2 K e − j π 4 H(f)=S^*(f)=\frac{1}{\sqrt K}rect(\frac{f}{KT})e^{j\pi \frac{f^2}{K}}e^{-j\frac{\pi}{4}} H(f)=S(f)=K 1rect(KTf)ejπKf2ej4π
    匹配滤波器的频率输出 S o u t ( f ) = S ( f ) H ( f ) = 1 K r e c t ( f K T ) S_{out}(f)=S(f)H(f)=\frac{1}{K}rect(\frac{f}{KT}) Sout(f)=S(f)H(f)=K1rect(KTf)

    8.3 再变换回时域

    s o u t ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S o u t ( f ) e j 2 π f t d f = 1 K ∫ − B / 2 B / 2 e j 2 π f t d f = 1 K e j 2 π f t j 2 π t ∣ − B / 2 B / 2 = 1 K s i n ( π B t ) π t = T s i n c ( π B t ) \begin{aligned} s_{out}(t)&=\int_{-∞}^{∞}S_{out}(f)e^{j2\pi ft}df\\ &=\frac{1}{K}\int_{-B/2}^{B/2}e^{j2\pi ft}df\\ &=\frac{1}{K}\frac{e^{j2\pi ft}}{j2\pi t}\Bigg|_{-B/2}^{B/2}\\ &=\frac{1}{K}\frac{sin(\pi Bt)}{\pi t}\\ &=Tsinc(\pi Bt) \end{aligned} sout(t)=Sout(f)ej2πftdf=K1B/2B/2ej2πftdf=K1j2πtej2πftB/2B/2=K1πtsin(πBt)=Tsinc(πBt)
    在这里插入图片描述

    由此可见,线性调频信号的匹配滤波器输出为sinc函数,其时宽为 τ = 1 B \tau=\frac{1}{B} τ=B1(-4dB点);
    根据能量守恒, P 0 P t = T p τ = B T p = D \frac{P_0}{P_t}=\frac{T_p}{\tau}=BT_p=D PtP0=τTp=BTp=D,输出脉冲峰值功率比输入脉冲峰值功率增大了D倍,也就是线性调频信号经过压缩处理后的接收信号幅度峰值是原来发射信号峰值的D的1/2次方。(D为时宽带宽积)

    8.4 匹配滤波脉压输出性能分析

    • 峰值旁瓣比:
      峰值与最大的第一对旁瓣之比。
      在这里插入图片描述

    • 高旁瓣影响:
      强目标回波的旁瓣会埋没附近较小目标的主瓣,导致目标丢失。

    • 解决方法:
      为了提高分辨多目标的能力,必须采用旁瓣抑制或加权技术。

    9.线性调频信号脉冲压缩的匹配滤波实现

    对于线性调频信号

    时域为: s ( t ) = r e c t ( t T ) e j π K t 2 s(t)=rect(\frac{t}{T})e^{j\pi K t^2} s(t)=rect(Tt)ejπKt2
    频谱为(驻定相位原理): S ( f ) = 1 K r e c t ( f K T ) e − j π f 2 K e j π 4 S(f)=\frac{1}{\sqrt K}rect(\frac{f}{KT})e^{-j\pi \frac{f^2}{K}}e^{j\frac{\pi}{4}} S(f)=K 1rect(KTf)ejπKf2ej4π

    9.1 时域匹配滤波

    根据 h ( t ) = s ∗ ( − t ) h(t)=s^*(-t) h(t)=s(t)可构造时域匹配滤波器为发射信号时间反褶再取共轭,再与发射信号进行线性卷积即可实现脉冲压缩。
    s 0 ( t ) = s ( t ) ∗ s ∗ ( − t ) s0(t)=s(t)*s^*(-t) s0(t)=s(t)s(t)

    ht = conj(fliplr(st));
    s = conv(st,ht);

    9.2 频域匹配滤波

    9.2.1 方法一
    • 原理:

    将发射信号时间反褶后取共轭得到h(t),补零后计算FFT,再与信号补零后的FFT在频域相乘,最后IFFT。

    ht = conj(fliplr(st));
    Hf = fft(ht,Nfft);
    Sf = fft(st,Nfft);
    s = ifft(Hf.*Sf);

    • 说明:
    • 为什么需要补零?
      因为匹配滤波需要计算线性卷积,但 (DFT) FFT 计算的是循环卷积,所以需要对信号进行补零直到长度超过线性卷积的长度。对于点数分别为N1与N2的两信号,它们线性卷积的长度为 N1+N2-1;若循环卷积长度为N,则有如下关系:
      ① N < N1 + N2 - 1 时,循环卷积是线性卷积长度为 N 的混叠;
      ② N = N1 + N2 - 1 时,循环卷积 = 线性卷积;
      ③ N > N1 + N2 - 1 时,循环卷积 = 线性卷积末尾补 N-(N1+N2-1) 个 0 (弃置区)。
    • 弃置区位置
      由于发射信号时间反褶后再补零,故最终得到IFFT结果后,弃置区位于信号前端。
    9.2.2 方法二
    • 原理:

    将发射脉冲补零后进行FFT,再取共轭(无需反褶),与信号补零后的FFT在频域相乘,最后IFFT。

    Hf = conj(fft(st,Nfft));
    Sf = fft(st,Nfft);
    s = ifft(Hf.*Sf);

    • 说明:

    • 方法二与方法一的关系?
      根据傅里叶变换的性质,时域反褶+共轭 ↔ 频域共轭(方法一);因此,也可先变换到频域再取共轭(方法二)。但由于它们补零时存在是否反褶的差别,故最终结果的弃置区也存在反褶。

    • 弃置区位置
      由于是直接在发射信号末尾补零,故最终得到IFFT结果后,弃置区位于信号末端。

    9.2.3 方法三

    直接在频域生成匹配滤波器:
    H ( f ) = 1 K r e c t ( f K T ) e j π f 2 K e − j π 4 H(f)=\frac{1}{\sqrt K}rect(\frac{f}{KT})e^{j\pi \frac{f^2}{K}}e^{-j\frac{\pi}{4}} H(f)=K 1rect(KTf)ejπKf2ej4π
    然后与信号的FFT在频域相乘,最后IFFT。

    Hf = exp(1i*pi*f_h.^2/K);
    Sf = fft(st,Nfft);
    s = ifft(Hf.*Sf);

    10.MATLAB仿真

    10.1 线性调频信号的匹配滤波器输出

    • 代码:
    clear all;
    close all;
    clc;
    %%******************* 线性调频与脉冲压缩 ********************%%
    set(0,'defaultfigurecolor','w'); %设置MATLAB的图形窗口背景为白色
    %% 线性调频信号参数设置
    T = 1e-6;      %时宽
    B = 200e6;     %带宽
    Fs = 4*B;      %采样率
    
    K = B/T;                          %调谐频率
    N = round(T/(1/Fs) );             %采样点数,四舍五入
    %% 产生线性调频信号
    t = linspace( -T/2 ,T/2 ,N);
    st = ( abs(t) < T/2 ) .* exp( 1j * pi * K * t.^2 ); 
    phase = pi * K * t.^2;          %信号相位
    f= K * t;                       %信号频率
    %% 频谱
    freq = linspace(-Fs/2,Fs/2,N);  %频域采样
    Sf = fftshift( fft(st) );
    %% 时域匹配滤波
    % conj()函数用于计算复数的共轭值;
    % fliplr()函数将数组从左到右翻转.
    ht = conj( fliplr(st) );    %时域匹配滤波为发射信号时间反褶再取共轭:h(t)=s*(-t)
    s1 = conv(st,ht);           %线性调频信号经过匹配滤波器后的输出(时域卷积)
    N1 = N+N-1 ;                %线性卷积后信号长度变为 N1+N2-1
    t1 = linspace( -T/2 , T/2 , N1);
    %% 频域匹配滤波1 (复制发射脉冲进行时间反褶并取共轭,计算补零DFT)
    N2 = 2*N;                    %循环卷积长度 (N2应当≥N+N-1,其中弃置区位于长度大于N+N-1的部分)
    t2 = linspace( -T/2 , T/2 , N2);
    Hf1 = fftshift(fft(ht,N2));  %频域匹配滤波器
    Sf2 = fftshift(fft(st,N2));  %频域信号
    S2 = Sf2 .* Hf1;             %频域乘积
    s2 = ifft(S2);
    %% 频域匹配滤波2(复制发射脉冲补零后计算FFT,再取共轭)
    Hf2 = fftshift(conj(fft(st,N2)));
    S3  = Sf2.* Hf2;
    s3  = fftshift(ifft(S3));
    %% 频域匹配滤波3(直接生成频域滤波器)
    f_h = (-N2/2:N2/2-1)*Fs/N2;
    Hf3 = exp(1i*pi*f_h.^2/K);       
    S4 = Sf2.*Hf3;
    s4 = ifft(S4);
    %% 绘图
    % 时域
    figure,plot( t*1e6, real(st) ),xlabel('t /us'),ylabel('幅度'),title('Chirp信号 实部');
    figure,plot( t*1e6, imag(st) ),xlabel('t /us'),ylabel('幅度'),title('Chirp信号 虚部');
    figure,plot( t*1e6, f*1e-6 ),xlabel('t /us'),ylabel('频率 /MHz'),title('Chirp信号 频率');
    figure,plot( t*1e6, phase ),xlabel('t /us'),ylabel('相位 /rad'),title('Chirp信号 相位');
    % 频域
    figure,plot( freq*1e-6,abs(Sf) ),xlabel('f /MHz'),ylabel('幅度谱'),title('Chirp信号 幅度谱');
    figure,plot( freq*1e-6,-pi*freq.^2/K+pi/4 ),xlabel('f /MHz'),ylabel('相位谱'),title('Chirp信号 相位谱');
    % 时域匹配滤波
    figure,plot( t1*1e6 , abs(s1) ),xlabel('t /us'),ylabel('幅度谱'),title('时域匹配滤波');
    % 频域匹配滤波1
    figure,plot( t2*1e6 , abs(s2) ),xlabel('t /us'),ylabel('幅度谱'),title('频域匹配滤波1');
    % 频域匹配滤波2
    figure,plot( t2*1e6 , abs(s3) ),xlabel('t /us'),ylabel('幅度谱'),title('频域匹配滤波2');
    % 频域匹配滤波3
    figure,plot( t2*1e6 , abs(s4) ),xlabel('t /us'),ylabel('幅度谱'),title('频域匹配滤波3');
    
    • 结果:
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    10.2 利用匹配滤波器对回波信号进行脉冲压缩来测距

    • 代码:
    %%------------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
    %%说明:使用匹配滤波器进行脉冲压缩,matched_filter函数的输出包括未压缩和压缩的信号图形,以及在脉冲压缩中使用的线性调频信号%%
    %%------------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
    function [y] =matched_filter(nscat,taup,b,rrec,scat_range,scat_rcs,winid)
    %********* y: 归一化的压缩输出 **************%
    %***** nscat: 目标个数 *********************%
    %****** taup: 信号时宽,单位为s *************%
    %********* b: 信号带宽,单位为Hz ************%
    %****** rrec: 接收窗的大小,单位为m *********%
    % scat_range: 目标的相对距离向量,单位为m ****%
    %** scat_rcs: 目标的雷达截面积向量,单位为m^2 %
    %***** winid: 决定了选用什么样的滤波器形式 ***%  
    
    %%%%% 时宽带宽积--time bandwidth product %%%%%
    T_B_product=b*taup;
    if(T_B_product<5)
        fprintf('**********Time Bandwidth product is TOO SMALL**********')
        fprintf('\nChange b and or taup');
        return
    end
    
    c=3e8;           %光速--speed of light
    n=fix(5*taup*b); %采样点数--number of samples;函数fix():向零方向取整
                     %根据奈奎斯特采样定理及频率分辨率△f=fs/N的要求可以确定采样点数N的取值
    
    %%%%% 初始化输入输出--initialize input,output %%%%%
    x(nscat,1:n)=0;
    y(1:n)=0;
    %%%%% 确定合适的接收窗--determine proper window %%%%%
    if(winid==0)              %不加窗
        win(1:n)=1;
        win=win';  
    else
        if(winid==1)          %汉明窗
            win=hamming(n);
        else
            if(winid==2)      %带参数pi的凯泽窗
               win=kaiser(n,pi);
            else
                if(winid==3)  %旁瓣为-60dB的切比雪夫窗
                    win=chebwin(n,60);
                end
            end
        end
    end
    %%%%%% 确保目标在接收窗内--check to ensure that scatters are within receive window %%%%%
    index=find(scat_range>rrec);
    if(index~=0)
        fprintf('Error.Receive window is too large or scatters fall outside window');
        return
    end
    %%%%% 计算采样间隔--calculate sampling interval %%%%%
    t=linspace(-taup/2,taup/2,n);
    LFM=exp(1i*pi*(b/taup).*t.^2); %载频为0的线性调频信号
    
    figure(1);
    subplot(2,1,1);
    plot(t,real(LFM));
    xlabel('时间/s');
    ylabel('线性调频信号的实部');
    grid on;
    subplot(2,1,2);
    sampling_interval=taup/n;
    freqlimit=1/sampling_interval;            %采样频率Fs=1/Ts
    freq=linspace(-freqlimit/2,freqlimit/2,n);
    plot(freq,fftshift(abs(fft(LFM))));
    xlabel(' 频率/Hz');
    ylabel('线性调频信号的幅度谱');
    grid on;
    
    for j=1:1:nscat
        range=scat_range(j);
        x(j,:)=scat_rcs(j).*exp(1i*pi*(b/taup).*(t+2*range/c).^2); %第j个目标的回波信号
        y=x(j,:)+y;                                                %实现对nscat个目标回波信号的叠加
    end
    
    figure(2);
    plot(t,real(y),'m');
    xlabel('相对延迟/s');
    ylabel('未压缩回波');
    grid on;
    
    out=xcorr(LFM,y);       %xcorr(x,y):互相关函数
    out=out./n;
    s=taup*c/2;
    Npoints=ceil(rrec*n/s); %ceil():朝正无穷方向取整
    dist=linspace(0,rrec,Npoints);
    
    figure(3);
    plot(dist,abs(out(n:n+Npoints-1)),'k');
    xlabel('目标相对距离');
    ylabel('压缩回波');
    grid on;
    end
    
    • 结果:

    • 2个目标的回波信号的匹配滤波

    clear all;
    close all;
    clc;
    %%调用matched_filter函数,观察结果,这两个目标回波是重叠的,不能被分辨,但是脉冲压缩后,这两个脉冲是完全分开的,即可以被分辨出来
    nscat=2;             %两个目标
    taup=10e-6;          %10us信号时宽
    b=50.0e6;            %50MHz脉宽
    rrec=50;             %50m的接收窗
    scat_range=[15 25];  %目标的相对距离分别为15m、25米
    scat_rcs=[1 2];      %目标的雷达截面积分别是1m^22m^2
    winid=0;             %不加窗
    [y]=matched_filter(nscat,taup,b,rrec,scat_range,scat_rcs,winid);
    

    线性调频信号的波形图及幅度谱
    两个目标的合成回波信号
    压缩回波信号

    • 3个目标的回波信号的匹配滤波
    clear all;
    close all;
    clc;
    %%%%%%%%%% 调用matched_filter函数观测3个目标相对距离为[10 75 120]m的结果 %%%%%%%%%%
    nscat=3;                 %3个目标
    taup=5e-6;               %5us非压缩脉冲
    b=100e6;                 %100MHz脉宽
    rrec=200;                %200m的处理窗
    scat_range=[10 75 120];  %目标相对雷达的距离分别为10m、75m及120m
    scat_rcs=[1 2 1];        %目标的雷达截面积分别是1m^22m^21m^2
    winid=2;                 %凯泽窗
    [y]=matched_filter(nscat,taup,b,rrec,scat_range,scat_rcs,winid);
    

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    展开全文
  • 匹配滤波器原理.doc

    2021-09-27 15:12:44
    匹配滤波器原理.doc
  • matlab代码 对于了解匹配滤波原理非常有用
  • FIR滤波器工作原理及实现过程介绍

    万次阅读 多人点赞 2020-04-17 20:07:25
    FIR滤波器越长(有大量的抽头),滤波器的响应越好。然而这里有折衷的情况,由于大量的抽头增加了对逻辑的需求、增加了计算的复杂性,增加了功耗,以及可能引起饱和/溢出。 多相技术可以用于实现滤波器,拥有与传统...

    引言

    在现代电子系统中,到处都可以看到数字信号处理( DSP )的应用,从MP3播放器、数码相机到手机。DSP设计人员的工具箱的支柱之一是有限脉冲响应( FIR )滤波器。FIR滤波器越长(有大量的抽头),滤波器的响应越好。然而这里有折衷的情况,由于大量的抽头增加了对逻辑的需求、增加了计算的复杂性,增加了功耗,以及可能引起饱和/溢出。

    多相技术可以用于实现滤波器,拥有与传统FIR滤波器可比的结果,而且使用了较少的逻辑、需要较少的计算资源、更低的功耗,并减少了可能的饱和/溢出。可用如今新型的小规模、中档的FPGA,如LATTICEECP3 来实现这些滤波器。

    基本概念

    进入DSP世界可能会有些令人生畏,因此,让我们首先介绍一些简单的概念。对于数字系统,如音频,视频和无线领域,形成信号的结果是与采样率相关的。举例来说,以48 kHz(即每秒48000个样本)对专业音频信号进行采样。相比之下,消费者的CD播放机则使用44.1 kHz的采样率。

    多速率系统

    多速率系统使用多个采样速率。在某些情况下,运行于某个速率的系统的一部分需要一个原来以另外某个速率采样的信号(转换专业音频到消费者的CD音频就是一个例子)。在这种情况下,原始信号的速率必须根据需要增加或减少。

    或者针对特定的用途,也可能以比实际需要更高的速率对原来的数据进行了采样。因此,降低采样率,然后运行所得到的数据就可以大幅度降低数据吞吐量的要求,降低对存储器的要求,提高处理效率并降低功耗。

    向下采样和抽取

    让我们首先考虑降低采样率的问题。假设我们有一个信号,原来以我们称之为fHz的某一频率进行采样,如如图1所示。

                                                 Lattice用中档FPGA实现多相滤波器

    图1 用f Hz采样率对原始信号采样

    现在假设我们要降低采样率至原来频率的1/4。达到此目的一个方法来就是简单地扔掉每四个原始采样中的三个,如图2所示。

                                                  Lattice用中档FPGA实现多相滤波器

    图2 用1/4 f Hz采样率得到新的信号

    在数字信号处理中, “混叠现象”是指采样时造成不同的连续信号彼此难以区分的情况,它们互相“混叠”。 混叠现象也称为失真,或赝品,即源于采样重构的信号不同于原来的连续信号。

    如果我们丢弃了如上文所讨论的一些样本,由此得到的信号会含有混叠现象的赝品。作为一个简单的例子,考虑一个音频信号,可能含有人耳听不见的高频分量的乐曲。如果我们以过低的速率对这个信号采样(当我们丢弃一些样本时,实际上是我们正在做的事情),然后用数字模拟转换器重构这个乐曲,我们可以听到欠采样高频分量的低频混叠。

    为了避免这种情况,常见的做法是在丢弃不想要的样本之前,用低通滤波器去除不要的高频,如图3所示。

                                                                 

    图3 在丢弃任何样本前对这个信号进行滤波

    一般而言, “向下采样”只是指丢弃样本的处理而不执行滤波的操作。相比之下, “抽取”指的是降低采样率的整个过程,即执行滤波操作,然后丢弃样本。实际上, “向下采样” 、“下变频”和“抽取”往往交替使用。

    “抽取因子”是指输入采样率与输出采样率之比。通常用字母M来表示。在上面的例子中,输入速率是输出速率的4倍,所以M=4。

    向上采样和内插

    现在考虑的情况是,我们希望提高采样率。这样做的原因是为了使系统的另一部分与信号运行在更高的采样速率。假设我们从一个信号开始,即原来以我们称为fHz的某个频率进行采样的信号,如图4所示。

                                                   

    图4 采样率为f Hz的原始信号

    现在假设我们要增加采样率为原来频率的4倍。我们开始在原始样本之间插入零值样本,以提高采样率,如图5所示。

                                                     

    图5 用零值样本对原始信号进行扩充

    但现在有一个问题,因为新的零值样品添加了不要的频谱分量至信号。为了解决此问题,我们对这个新的信号进行了滤波,除去了不想要的分量,产生了更合适的采样值,如图6所示。

                                                     

    图6采样率为4倍 fHz的最终信号

    从技术上讲, “ 向上采样 ”只是指插入零值样本的过程。相比之下, “内插”指的是增加采样率的整个过程,即插入零值样本,然后进行滤波操作1。实际上, “向上采样 ”、“向上转换”和“内插”往往交替使用。

    “内插因子”指的是输出采样率对输入采样率的比例。这通常用字母L来表示。在上面的例子中,输出速率4倍于输入速率,因此,L = 4 。这个过程的图形说明参见图7。

                                                              

                                                                图7 插入零值样本后对这个信号进行滤波

    重采样

    前面的讨论中,应该指出的是,抽取和内插因子可以假设为只有整数值。也就是说,我们只可以抽取或内插整数因子,而不是分数因子。例如,如果进行抽取,我们只能丢弃整数的样本(2个中的1个、3个中的1个、3个中的2个、3个4个中的3个,等等)。

    假设我们要修改信号的采样率,以便在两个子系统之间进行接口。如果子系统的采样率的比率是一个整数值,那么我们只需要执行抽取或内插。但是,如果采样率的比率是一个分数值,那么我们需要进行抽取和内插的组合,这样的过程称之为重采样。

    例如,如果用2.5因子进行重采样,首先我们用插值因子为5 ,然后用抽取因子2产生输出对输入采样率为5/2 = 2.5的采样率,如图8所示。

                                              

                                                           图8 重采样(L= 5、M= 2 )

    在实践中,如图8所示的内插和抽取滤波器将组合在一起。术语“重采样因子”是指输出采样率和输入采样率之间的比例。不考虑涉及的频率,这可以表示为内插和抽取因子L/M之间的比例,在上面的例子中就是5/2 = 2.5。

    作为另一个例子,考虑重采样专业音频信号的过程,采样率为48千赫,对于消费者的音频设备,需要的采样率为44.1千赫。在这种情况下,重采样因子等于输出速率对输入速率之比: 44.1 kHz /48 kHz = 0.91875 。

    看看另一种方法,采样速率必须由48,000Hz改变到44100Hz,这意味着输入输出比为44100/48,000 = = 441 / 480 = 147 / 160。由于在147和160中没有公共的因子,我们只好就此止步,这意味着我们需要的内插因子为147 ,然后抽取因子为160,如图9所示。

                                                        

                                                                   图9 对商业音频重采样(L= 147、M= 160 )

    再次说明,重采样因子可表示为内插和抽取因子L/M之间的比例,就是147/160 =0.91875 。毫不意外,这正是我们得到的与输入和输出采样率的比例完全相同的值,因为所需的内插和抽取因子源于这些比率。

    介绍FIR滤波器

    有两种基本类型的数字滤波器:有限脉冲响应( FIR )和无限脉冲响应( IIR)。

    IIR滤波器使用反馈,而且往往是模仿传统的模拟滤波器的响应。反馈的用途意味着他们的脉冲响应是递归的,并延伸到无限的时段。虽然可以用比FIR滤波器更少的计算来实施IIR滤波器,IIR滤波器可能有稳定性的问题,他们可能与用FIR滤波器完成的性能不匹配。

    相比之下, FIR滤波器没有反馈,这意味着它的脉冲响应在一个有限的时间范围之内。 FIR滤波器拥有优于IIR滤波器的几个优点,其中包括一个事实,即在整个频谱范围,他们有完全恒定的群时延,在所有频率范围内,不论滤波器的大小,他们是完全稳定的。

    通用FIR滤波器的图形表示如图10所示。在这种情况下,输入样本xn通过一系列的缓冲寄存器(这些都标记为z-1,对应延时单元的Z变换)。

                                           

                                                                         图10 经典FIR滤波器的通用表示

    滤波器的工作原理是用一系列的常数(称为抽头系数)乘以一系列最新的n个数据采样,并对所得到的数组的单元进行求和。通过改变系数和滤波器抽头数目的加权(值),FIR滤波器实际上可实现几乎任何所需的频率响应特性。

    问题是FIR滤波器可能需要大量的抽头(有时数百个),以实现其预定的目标。每一个抽头需要消耗逻辑资源的乘法器累加器( Mac )单元。另外在每个时钟,每个抽头执行消耗功率2的乘法和加操作。

    用多相FIR滤波器进行抽取

    多相滤波器的基本概念是把FIR滤波器分割成若干较小的单元,然后组合这些单元的结果。首先,让我们考虑一个基于常规8抽头FIR滤波器的抽取子系统的符号表示,如图11所示(为了使用这些例子,我们假设抽取因子为M = 4 )。

                                                  

                                                          图11 基于传统的8抽头FIR滤波器的抽取器的符号表示

    现在让我们假设主时钟正在以某一频率fHz运行。像往常一样,在滤波操作之后任何不要的样本将被丢弃,但这样做是低效率的,因为这意味着是以完全的时钟频率在进行滤波。用另一种方式来看这种操作,即在每个时钟时刻,每个抽头级执行乘法和加运算。

    相比多相实现的情况,我们可以将原来的8抽头FIR滤波器分为四个2抽头子滤波器,如图12所示。

                                                               

                                                                     图12 基于4 &TImes; 2抽头多相滤波器的抽取器的符号表示

    假设同样的主时钟以f Hz的频率运行,我们可以想象输入数据流被送入一个旋转开关(当然,这可用标准的逻辑技术来实现)。第一个数据值送入第一个子滤波器;第二个数据值送入第二个子滤波器;第三个数据值送入第三个子滤波器;第四个数据值送入第四个子滤波器。然后,我们进行“循环”操作,以便第五个数据值送入第一个子滤波器;第六个数据值送入第二个子滤波器;等等。

    使用子滤波器减少了可能的饱和/溢出(发生任何饱和/溢出通常只需要在最后的函数求和时进行处理)。另外,使用子滤波器具有一个直接有效的优点,因为在执行滤波操作之前,我们有效地“抽取”了数据。这也意味着,我们的四个子滤波器中的每个都能有效地以F ÷ 4Hz的频率运行,如图13所示。

                                                          

                                                               图13 4 &TImes; 2抽头多相滤波器的运行情况

    除了任何寄存器和一般用途的逻辑,常规8抽头FIR滤波器中的每个抽头包含一个乘法器和一个加法器,当然为我们提供了总共8个乘法器和8个加法器。滤波器之后需要一些额外的逻辑,以便丢弃任何不想要的样本。

    同样,在我们最初的4 &TImes; 2抽头多相实现中的每一个抽头含有一个乘法器和一个加法器,再次为我们提供了总共8个乘法器和8个加法器。在多相实现中,需要实现“旋转开关”送入滤波器的逻辑数量大约相当于在常规8抽头FIR滤波器中丢弃不要的样本所需的逻辑。

    当然,多相实现还需要一些额外的逻辑和一个加法器累加来自四个子滤波器的结果。因此,最终的结果是,最初的多相实现需要比传统的8抽头FIR滤波器更多一点的逻辑。

    然而,对于传统的8位FIR滤波器,在每个时钟都要执行8次乘和8次加。相比最初的多相实现的情况,在任何主时钟时刻,只有一个子滤波器是工作的。由于在这个例子中每个子滤波器含有两个抽头,这意味着这个功能的滤波器部分在每个时钟只进行两次乘法和两次加法。

    当然,从四个子滤波器收集结果的求和功能还必须在每个主时钟进行加(在每4时钟周期开始时,这个累加器清零;它从四个子滤波器收集结果; 在每4时钟周期结束时,它产生一个新的值)。

    这意味着,最初的多相实现的每个子滤波器有效地以常规8抽头FIR滤波器1/ 4的频率运行。反过来,这意味着最初多相实现只在每个主时钟进行两次乘法和三次加法(包括加法器的加操作),从而大大节省了功耗。

    此外,在最初的多相实现中,由于四个子滤波器的每个只用了1/4的时间,这意味着在任何特定时间,我们实际上只需要其中的一个,这使我们更加完善了实现方法,如图14所示。

                                                      

                                                   图14 更完善的基于多相滤波器的抽取器实现方案

    在这种情况下,我们采用了单一的2抽头子滤波器,每个抽头含有乘法器和加法器。在每个主时钟,我们选择合适的系数对。每一个抽头需要额外的寄存器和用于维护的逻辑,但与减少的乘法器和加法器相比,与我们的最初多相实现相比,这是微不足道的。

    当然,在我们原来的多相实现中,我们仍然要在每个主时钟时刻执行两次乘法和三次加法,。这些抽取实现例子的总结如表1所示。

    表1抽取实现实例的总结

                                                    

    利用多相FIR滤波器进行内插

    现在让我们来考虑内插的情况。首先让我们先考虑一个基于常规8抽头FIR滤波器的内插子系统的符号表示,如图15所示。

                                             

                                                           图15传统的基于8抽头FIR滤波器的内插器的符号表示

    针对这些例子的用途,我们假设内插因子为L = 4,主时钟频率为FHz。正如先前所讨论的,向上采样(插入零值样本的过程)发生在滤波操作之前。

    现在让我们来考虑一个最初的多相实现,我们原来的8抽头FIR滤波器被分成四个2 抽头子滤波器,如图16所示。

                                                

                                                                  图16 基于4 × 2抽头多相滤波器的内插器的符号表示

    在这种情况下,相同的输入数据流面向所有的四个子滤波器,在子滤波器输出之间轮流产生主输出数据流。最终的结果是,多相实现含有如同我们的常规8抽头FIR滤波器相同数量的乘法器和加法器。然而,因为在内插之前进行了滤波,子滤波器只需要以1 / 4的主时钟频率运行,从而大大节省了功耗(这里主时钟用于子滤波器输出之间的采样)。

    此外,多相实现不需要向上采样(零值插入)的逻辑。当然,我们可以用完全运行于主时钟频率和复用系数的单个2抽头子滤波器取代原来的多相滤波器实现。

    内插实现的这些例子的总结见表2 。

    表2内插实现实例的总结

                                                          

    总结

    DSP设计人员的工具箱的支柱之一是有限脉冲响应( FIR )滤波器。FIR滤波器越长(有大量的抽头),滤波器的响应越好。但是更多的抽头增加了逻辑要求、增加了计算的复杂性,增加了功耗,以及有更大可能的饱和/溢出。

    多相技术3可用于实现滤波器,提供可比较的结果,而使用较少的逻辑,需要更少的计算资源、消耗更低的功率,并减少了可能的饱和/溢出。

    所有这一切都意味着,多相基于滤波器的抽取器、内插器和重采样功能是非常适合用更小的中档FPGA来实现,如LATTICE半导体公司的拥有SERDES功能的LATTICEECP3系列,它具有高性能的sysDSP模块。它的特点是有dual-slice结构,具有级联/链接DSP slice和模块的功能,增强的DSP指令集使LATTICEECP3系列能够引人注目地用于范围广泛的数字信号处理的应用,包括那些需要传统的FIR和基于多相的滤波功能。

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  • 匹配的概念是指滤波器的性能与信号的特性取得某种一致,使滤波器的输出端的信号瞬时功率与噪声平均功率之比值为最大。

    匹配滤波器是在中频放大器中实现的,在混频器之后,检波器之前。

    匹配的概念是指滤波器的性能与信号 s ( t ) s(t) s(t)的特性取得某种一致,使滤波器的输出端的信号瞬时功率与噪声平均功率之比值为最大。

    此滤波器的作用在于增强信号分量而同时减弱噪声分量,以满足在某一瞬间使输出端信号幅度与噪声幅度之比增至最大。

    设滤波器的输入信号为 s ( t ) + n ( t ) s(t)+n(t) s(t)+n(t),其中 s ( t ) s(t) s(t)是有用信号脉冲, n ( t ) n(t) n(t)是信道噪声,滤波器的输出信号为 s o ( t ) + n o ( t ) s_o(t)+n_o(t) so(t)+no(t),其中 s o ( t ) s_o(t) so(t)是有用信号分量, n o ( t ) n_o(t) no(t)是噪声分量,如下图

    在这里插入图片描述

    设滤波器的转移函数为 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)。希望在某一时刻 t = t m t=t_m t=tm使信噪比最大,取 s o 2 ( t m ) s_o^2(t_m) so2(tm) n o 2 ( t m ) n_o^2(t_m) no2(tm)之比以 ρ \rho ρ表示

    ρ = s o 2 ( t m ) n o 2 ( t m ) \rho = \frac{s_o^2(t_m)}{n_o^2(t_m)} ρ=no2(tm)so2(tm)

    s ( t ) s(t) s(t)的傅里叶变换为 S ( j ω ) = F ( s ( t ) ) S(j\omega)=F(s(t)) S(jω)=F(s(t)),则 s o ( t ) s_o(t) so(t)可由下式给出:

    s o ( t ) = F − 1 [ S ( j ω ) H ( j ω ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S ( j ω ) H ( j ω ) e j ω t d ω s_o(t)=F^{-1}[S(j\omega)H(j\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S(j\omega)H(j\omega)e^{j\omega t}d\omega so(t)=F1[S(jω)H(jω)]=2π1S(jω)H(jω)ejωtdω

    t m t_m tm时刻
    s o ( t m ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S ( j ω ) H ( j ω ) e j ω t m d ω s_o(t_m)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S(j\omega)H(j\omega)e^{j\omega t_m}d\omega so(tm)=2π1S(jω)H(jω)ejωtmdω

    n ( t ) n(t) n(t)为白噪声,其功率谱为常数 N N N,输出噪声 n o ( t ) n_o(t) no(t)的功率谱为 ∣ H ( j ω ) ∣ 2 N |H(j\omega)|^2N H(jω)2N,由此求出 n o 2 ( t ) ‾ \overline {n_o^2 (t)} no2(t)

    n o 2 ( t ) ‾ = = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ N ∣ H ( j ω ) ∣ 2 d ω \overline {n_o^2 (t)} = =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}N|H(j\omega)|^2d\omega no2(t)==2π1NH(jω)2dω

    因无法确知 n o 2 ( t ) n_o^2 (t) no2(t),以 n o 2 ( t ) ‾ \overline {n_o^2 (t)} no2(t)取代 n o 2 ( t ) n_o^2 (t) no2(t),得到

    n o 2 ( t ) ‾ = = N 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ H ( j ω ) ∣ 2 d ω \overline {n_o^2 (t)} = =\frac{N}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|H(j\omega)|^2d\omega no2(t)==2πNH(jω)2dω

    因此得到

    ρ = s o 2 ( t m ) n o 2 ( t m ) = ∣ ∫ − ∞ ∞ S ( j ω ) H ( j ω ) e j ω t m d ω ∣ 2 2 π N ∫ − ∞ ∞ ∣ H ( j ω ) ∣ 2 d ω \rho = \frac{s_o^2(t_m)}{n_o^2(t_m)} = \frac{|\int_{-\infty}^{\infty}S(j\omega)H(j\omega)e^{j\omega t_m}d\omega|^2}{2\pi N \int_{-\infty}^{\infty}|H(j\omega)|^2d\omega} ρ=no2(tm)so2(tm)=2πNH(jω)2dωS(jω)H(jω)ejωtmdω2

    式中 s o ( t ) s_o(t) so(t)是实数,所以 s o 2 ( t ) = ∣ s o ( t ) ∣ 2 s^2_o(t)=|s_o(t)|^2 so2(t)=so(t)2

    使用柯西-施瓦茨不等式,借助此式可以给出

    ∣ ∫ − ∞ ∞ S ( j ω ) H ( j ω ) e j ω t m d ω ∣ 2 ≤ ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( j ω ) ∣ 2 d ω ∫ − ∞ ∞ ∣ H ( j ω ) ∣ 2 d ω |\int_{-\infty}^{\infty}S(j\omega)H(j\omega)e^{j\omega t_m}d\omega|^2 \le \int_{-\infty}^{\infty}|S(j\omega)|^2d\omega \int_{-\infty}^{\infty}|H(j\omega)|^2d\omega S(jω)H(jω)ejωtmdω2S(jω)2dωH(jω)2dω

    式中等号仅满足以下条件成立

    H ( j ω ) = k [ S ( j ω ) e j ω t m ] ∗ H(j\omega) = k[S(j\omega)e^{j\omega t_m}]^* H(jω)=k[S(jω)ejωtm]

    式中, k k k为任意常数。代入可得到下式:

    ρ = s o 2 ( t m ) n o 2 ( t m ) ≤ 1 2 π N ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( j ω ) ∣ 2 d ω \rho = \frac{s_o^2(t_m)}{n_o^2(t_m)} \le \frac{1}{2\pi N} \int_{-\infty}^{\infty}|S(j\omega)|^2d\omega ρ=no2(tm)so2(tm)2πN1S(jω)2dω

    滤波器输出端信噪比的最大可能值为

    ρ m a x = s o 2 ( t m ) n o 2 ( t m ) ∣ m a x = 1 2 π N ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( j ω ) ∣ 2 d ω \rho_{max} = \frac{s_o^2(t_m)}{n_o^2(t_m)}|_{max}=\frac{1}{2\pi N} \int_{-\infty}^{\infty}|S(j\omega)|^2d\omega ρmax=no2(tm)so2(tm)max=2πN1S(jω)2dω

    为取得最大值, H ( j ω ) H(j\omega) H(jω) S ( j ω ) S(j\omega) S(jω)之间需要满足等号成立的条件,也即将此式改写为

    H ( j ω ) = k S ( − j ω ) e − j ω t m H(j\omega)=kS(-j\omega)e^{-j\omega t_m} H(jω)=kS(jω)ejωtm

    至此,求出匹配滤波器的冲激响应 h ( t ) h(t) h(t)

    h ( t ) = F − 1 [ H ( j ω ) ] = F − 1 [ k S ( − j ω ) e − j ω t m ] h(t)=F^{-1}[H(j\omega)]=F^{-1}[kS(-j\omega)e^{-j\omega t_m}] h(t)=F1[H(jω)]=F1[kS(jω)ejωtm]

    注意到 S ( − j ω ) S(-j\omega) S(jω)的傅里叶变换为 s ( − t ) s(-t) s(t),而 e − j ω t m e^{-j\omega t_m} ejωtm项表示 t m t_m tm的时移,因此

    h ( t ) = k s ( t m − t ) h(t)=ks(t_m-t) h(t)=ks(tmt)

    有用信号 s ( t ) s(t) s(t)的持续时间是受限的。设 s ( t ) s(t) s(t)在区间 ( 0 , T ) (0,T) (0,T)之外为零,如下图(a)所示, s ( t m − t ) s(t_m-t) s(tmt)可由 s ( t ) s(t) s(t)沿垂直轴反褶并向右平移 t m t_m tm得到,下图(b)-(e)分别给出了 s ( − t ) s(-t) s(t)以及 s ( t m − t ) s(t_m-t) s(tmt)的三种情况,即 t m < T t_m < T tm<T t m = T t_m=T tm=T t m > T t_m>T tm>T。下图©的波形具有非因果性,为匹配滤波器的物理实现,应选取(d)或(e)的 h ( t ) h(t) h(t)波形。希望观察时间尽可能小,以使判决迅速,因而取 t m = T t_m=T tm=T t m > T t_m>T tm>T更合适。同时,系数取 k = 1 k=1 k=1

    h ( t ) = s ( T − t ) h(t)=s(T-t) h(t)=s(Tt)

    在这里插入图片描述

    至此,可以得出结论:匹配滤波器的冲激响应使所需信号 s ( t ) s(t) s(t)对垂直轴镜像并向右平移T。这样的线性系统称为匹配滤波器或匹配接收机。从改善系统输出端信噪比的角度考虑,匹配滤波器是线性系统的最佳滤波器。所谓"最佳"仅限于线性系统。

    当输入端只加入有用信号 s ( t ) s(t) s(t)时,匹配滤波器输出信号可由下式求出

    s o ( t ) = s ( t ) ∗ h ( t ) = s ( t ) ∗ s ( T − t ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t − τ ) s ( T − τ ) d τ = R s s ( t − T ) s_o(t)=s(t)*h(t)=s(t)*s(T-t)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t-\tau)s(T-\tau)d\tau=R_{ss}(t-T) so(t)=s(t)h(t)=s(t)s(Tt)=s(tτ)s(Tτ)dτ=Rss(tT)

    式中, R s s ( t − T ) R_{ss}(t-T) Rss(tT) s ( t ) s(t) s(t)的自相关函数。可见,匹配滤波器的功能相当于对 s ( t ) s(t) s(t)进行自相关运算,在 t = T t=T t=T时刻取得自相关函数的峰值,而噪声通过滤波器所完成的互相关运算相对于有用信号受到明显抑制。由于上述工作原理,匹配滤波器也称为相关接收机。

    可求得在 t = t m = T t=t_m=T t=tm=T时刻输出信号的峰值(取系数 k = 1 k=1 k=1)

    s o ( t m ) = s o ( T ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( j ω ) ∣ 2 d ω s_o(t_m)=s_o(T)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|S(j\omega)|^2d\omega so(tm)=so(T)=2π1S(jω)2dω

    也可以求得:

    s o ( T ) = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t s_o(T)=\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)dt so(T)=s2(t)dt

    这一结果与帕塞瓦尔方程完全一致,都等于信号 s ( t ) s(t) s(t)的能量E

    s o ( T ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( j ω ) ∣ 2 d ω = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t = E s_o(T)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|S(j\omega)|^2d\omega=\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)dt=E so(T)=2π1S(jω)2dω=s2(t)dt=E

    这表明,匹配滤波器输出信号的最大值出现在 t = T t=T t=T时刻,其大小等于信号 s ( t ) s(t) s(t)的能量E。最大值与 s ( t ) s(t) s(t)的波形形状无关,仅与其能量有关。

    代码:

    代码来源:https://blog.csdn.net/weixin_44618906/article/details/113860107

    TimeWidth = 10e-6; %脉冲持续时间10us
    BandWidth = 20e6; %线性调频信号的频带宽度20MHz
    Fs = 50e6;
    Ts = 1/Fs; %采样频率,满足奈奎斯特采样定理
    N = fix(TimeWidth/Ts);
    
    f0 = 0; %初始频率
    f1 = f0 + BandWidth; %终止频率
    t = 0:1/Fs:TimeWidth; %根据结束时间生成时间序列
    signal = chirp(t,f0,TimeWidth,f1);
    signal = awgn(signal,0,'measured'); %添加白噪声
    figure;
    plot(t*1e6,signal,'LineWidth',2);
    %% 匹配滤波器
    % 计算匹配滤波器的冲激响应函数
    h = zeros(1,N);
    t1 = fix(TimeWidth/Ts);
    for tt = 0:N-1
        h(tt+1) = signal(t1-tt); %匹配滤波器
    end
    signal_match = abs(conv(h,signal));
    t_match = (0:length(signal_match)-1)/Fs;
    figure;
    plot(t_match*1e6,signal_match,'LineWidth',2);
    %% 求自相关函数
    signal_autocorrelation = abs(xcorr(signal));
    t_autocorrelation = (0:length(signal_autocorrelation)-1)/Fs;
    figure;
    plot(t_autocorrelation*1e6,signal_autocorrelation,'LineWidth',2);
    

    运行结果:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    参考文献:

    1. 《现代雷达系统分析与设计》,陈伯孝
    2. https://blog.csdn.net/weixin_44618906/article/details/113860107
    3. 《信号与系统》,郑君里
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