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  • 匹配滤波器时域下FPGA的实现,Xilinx ISE环境,长度是750个采样点,用了三个乘法器,两个async fifo做乒乓结构。代码问题也比较多,可以提供思路抛砖引玉
  • 关于匹配滤波器的原理以及其matlab实现方式的详细过程 匹配滤波器的简单实现
  • 【主动声呐】——匹配滤波器

    千次阅读 2020-03-23 21:56:38
    信号的自相关函数与功率谱是傅里叶变换对关系 P(ω)=∫R(t)e−jωtdtP(\omega)=\int R(t)e^{-j\omega t} \rm dtP(ω)=∫R(t)e−jωtdt 匹配滤波器 基本准则 使滤波器输出的时域信号能在某一时刻,取到最大的信噪比,...

    背景知识

    注意频谱密度和频谱的概念一般不作区分!

    • 能量谱
      能量信号频谱的平方
      S ( f ) = ∫ s ( t ) e − j 2 π f t d t S(f)=\int s(t) e^{-j2\pi ft} {\rm dt} S(f)=s(t)ej2πftdt
      G ( f ) = ∣ S ( f ) ∣ 2 G(f)=|S(f)|^2 G(f)=S(f)2
      频率 f f f对应的能量为:
      d E f = G ( f ) d f \rm dE_{f}=G(f) \rm df dEf=G(f)df
    • 功率谱
      功率信号频谱的平方除时间
      P ( f ) = lim ⁡ T → + ∞ 1 T ∣ S ( f ) ∣ 2 P(f)=\lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T}|S(f)|^2 P(f)=T+limT1S(f)2
      功率信号的功率为
      P = ∫ P ( f ) d f P=\int P(f) \rm df P=P(f)df
    • 帕斯瓦尔定理
      信号的总能量既可以在时间域求积分得到,也可以频域中求积分得到(功率同理):
      W = ∫ s ( t ) d t = 1 2 π ∫ S ( ω ) d ω W=\int s(t) \rm dt =\frac{1}{2\pi} \int S(\omega) \rm d \omega W=s(t)dt=2π1S(ω)dω
    • 维纳辛钦定理
      信号的自相关函数与功率谱是傅里叶变换对关系
      P ( ω ) = ∫ R ( t ) e − j ω t d t P(\omega)=\int R(t)e^{-j\omega t} \rm dt P(ω)=R(t)ejωtdt

    匹配滤波器

    基本准则

    使滤波器输出的时域信号能在某一时刻,取到最大的信噪比,然后在该时刻进行判决
    (通过滤波器输出的信号即可认为是输入信号和输出信号的相关函数,判决时刻可认为是两者波形重合的时刻)

    匹配滤波器的频域表达式

    设主动声呐发出的信号为 s ( t ) s(t) s(t),噪声的功率谱密度为 n 0 2 \frac{n_0}{2} 2n0,滤波器的输出为 y ( t ) = s 0 ( t ) + n 0 ( t ) y(t)=s_0(t)+n_0(t) y(t)=s0(t)+n0(t)
    滤波器输出信号部分 s 0 ( t ) s_0(t) s0(t)可表达为:
    s 0 ( t ) = 1 2 π ∫ S 0 ( ω ) e j ω t d ω = 1 2 π ∫ S ( ω ) H ( ω ) e j ω t d ω s_0(t)=\frac{1}{2\pi}\int S_0(\omega)e^{j \omega t} {\rm d \omega}=\frac{1}{2\pi}\int S(\omega)H(\omega)e^{j \omega t} {\rm d \omega} s0(t)=2π1S0(ω)ejωtdω=2π1S(ω)H(ω)ejωtdω
    噪声的平均功率可表达为:
    N 0 = 1 2 π ∫ P 0 ( ω ) d ω = 1 2 π ∫ P ( ω ) ∣ H ( ω ) ∣ 2 d ω = n 0 4 π ∫ ∣ H ( ω ) ∣ 2 d ω N_0=\frac{1}{2\pi}\int P_0(\omega) {\rm d \omega}=\frac{1}{2\pi}\int P(\omega)|H(\omega)|^2 {\rm d \omega}=\frac{n_0}{4\pi}\int |H(\omega)|^2 {\rm d \omega} N0=2π1P0(ω)dω=2π1P(ω)H(ω)2dω=4πn0H(ω)2dω
    输出信号的瞬时功率与噪声平均功率的比值即为信噪比,要找到使它达到最大的时刻 t 0 t_0 t0
    r 0 = ∣ s 0 ( t 0 ) ∣ 2 N 0 = ∣ 1 2 π ∫ S ( ω ) H ( ω ) e j ω t 0 d ω ∣ 2 n 0 4 π ∫ ∣ H ( ω ) ∣ 2 d ω r_0=\frac{|s_0(t_0)|^2}{N_0}=\frac{|\frac{1}{2\pi}\int S(\omega)H(\omega)e^{j \omega t_0} {\rm d \omega}|^2}{\frac{n_0}{4\pi}\int |H(\omega)|^2 {\rm d \omega}} r0=N0s0(t0)2=4πn0H(ω)2dω2π1S(ω)H(ω)ejωt0dω2
    根据施瓦兹不等式可知:
    ∣ 1 2 π ∫ S ( ω ) H ( ω ) e j ω t 0 d ω ∣ 2 ≤ 1 2 π ∣ ∫ H ( ω ) ∣ 2 d ω × ∫ ∣ S ( ω ) e j ω t 0 ∣ 2 d ω |\frac{1}{2\pi}\int S(\omega)H(\omega)e^{j \omega t_0} {\rm d \omega}|^2\leq\frac{1}{2\pi}|\int H(\omega)|^2 {\rm d \omega}\times\int |S(\omega) e^{j \omega t_0} |^2 {\rm d \omega} 2π1S(ω)H(ω)ejωt0dω22π1H(ω)2dω×S(ω)ejωt02dω
    等号取到条件为:
    H ( ω ) = K ( S ( ω ) e j ω t 0 ) ∗ H(\omega)=K(S(\omega) e^{j \omega t_0})^* H(ω)=K(S(ω)ejωt0)
    信噪比可化简为:
    r 0 = 1 2 π ∫ ∣ S ( ω ) ∣ 2 d ω n 0 2 = 2 E n 0 r_0=\frac{\frac{1}{2\pi}\int |S(\omega) |^2 {\rm d \omega}}{\frac{n_0}{2}}=\frac{2E}{n_0} r0=2n02π1S(ω)2dω=n02E
    注:此时 H ( ω ) = K S ∗ ( ω ) e − j ω t 0 H(\omega)=KS^*(\omega)e^{-j\omega t_0} H(ω)=KS(ω)ejωt0,通过该滤波器的信号在 t = t 0 t=t_0 t=t0的时候取到最大的信噪比

    匹配滤波器的冲激响应

    根据匹配滤波器的频域表达式 H ( ω ) = K S ∗ ( ω ) e − j ω t 0 H(\omega)=KS^*(\omega)e^{-j\omega t_0} H(ω)=KS(ω)ejωt0,利用傅里叶反变换可以求得匹配滤波器的冲激响应 h ( t ) h(t) h(t)
    h ( t ) = 1 2 π ∫ H ( ω ) e j ω t d ω = 1 2 π ∫ K S ∗ ( ω ) e − j ω t 0 e j ω t d ω = K 2 π s ∗ ( t 0 − t ) = K 2 π s ( t 0 − t ) h(t)=\frac{1}{2\pi}\int H(\omega) e^{j \omega t} {\rm d \omega}=\frac{1}{2\pi}\int KS^*(\omega)e^{-j\omega t_0} e^{j \omega t} {\rm d \omega}=\frac{K}{2\pi}s^*(t_0-t)=\frac{K}{2\pi}s(t_0-t) h(t)=2π1H(ω)ejωtdω=2π1KS(ω)ejωt0ejωtdω=2πKs(t0t)=2πKs(t0t)
    即匹配滤波器的单位冲激响应为 h ( t ) = K s ( t 0 − t ) h(t)=Ks(t_0-t) h(t)=Ks(t0t)
    注:
    1.这里的 t 0 t_0 t0是自己取的,直接决定了滤波器的形式,同时决定了输出信号的最大信噪比的时刻。
    2.为了使滤波器是一个因果系统,则 h ( t ) = 0 , t ≤ 0 h(t)=0, t\leq 0 h(t)=0,t0,故 s ( t ) = 0 , t ≥ t 0   o r   t ≤ 0 s(t)=0, t\geq t_0\ or\ t\leq0 s(t)=0,tt0 or t0,即主动声呐发出的信号需为一个短时脉冲。
    3.若信号脉宽为 T T T,则需要满足 t 0 ≥ T t_0\geq T t0T,一般取 t 0 = T t_0=T t0=T使滤波器作最小的延时。

    匹配滤波器的输出

    根据冲激响应的性质,匹配滤波器的输出可以表示为冲激响应与输入信号的卷积:
    s 0 ( t ) = s ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ h ( τ ) s ( t − τ ) d τ = ∫ K s ( t 0 − τ ) s ( t − τ ) d τ s_0(t)=s(t)*h(t)=\int h(\tau)s(t-\tau){\rm d\tau}=\int Ks(t_0-\tau)s(t-\tau){\rm d \tau} s0(t)=s(t)h(t)=h(τ)s(tτ)dτ=Ks(t0τ)s(tτ)dτ
    在这里插入图片描述
    根据上图,可以发现如果 t 0 = T t_0=T t0=T时, h ( t ) h(t) h(t)翻转后直接就可以得到有效的输出信号,否则还需要进行滑动,直到滑动了一段距离后才能得到有效(不为0)的输出信号。
    可以得到输出信号的表达式:
    r ( t ) = K R ( t − t 0 ) r(t)=KR(t-t_0) r(t)=KR(tt0)
    即为输入信号的自相关函数,故在 t = t 0 t=t_0 t=t0时取到最大,故在这个时候进行判决。

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  • 匹配滤波器的物理解释

    千次阅读 2011-09-30 17:35:00
    匹配滤波器的物理解释 匹配滤波器是一种非常重要的滤波器,广泛应用与通信、雷达等系统中。匹配滤波器的推导数学公式看起来很负责,在通信系统、雷达系统、随机信号处理等很多教科书中都有详细的推导过程。...

    匹配滤波器的物理解释

    匹配滤波器是一种非常重要的滤波器,广泛应用与通信、雷达等系统中。匹配滤波器的推导数学公式看起来很负责,在通信系统、雷达系统、随机信号处理等很多教科书中都有详细的推导过程。最开始的时候,顺着推导的过程,基本也能推导下来,但对其内在的涵义却无半点认识,可以说完全淹没在公式推导的海洋了。

    张直中老师可以说是新中国雷达事业的开拓者之一。就目前的阅读范围来看,张老师在其早期的著作《雷达信号的选择与处理》一书中对匹配滤波器的讲解最为透彻。说句题外话,这本1979年出版的老书,充满了哲学思辨的色彩,让人读起来满口余香,也能让我们充分领略老一辈科学家宽广深厚的学术素养。

    所谓的最优滤波器,实际上都是在某个准则下的最优。匹配滤波器对应的最优的准则是输出信噪比(SNR)最大。而且还有一个前提条件是在白噪声背景下。推导很多地方都有,最后的结果就是匹配滤波器的表达式为:

    H(f)=S*(f)

    也即是说,匹配滤波器的频率响应是输入信号频率响应的共轭。这看起来又很简单,那么如何从物理直观上理解匹配滤波器呢?

    一方面,从幅频特性来看,匹配滤波器和输入信号的幅频特性完全一样。这也就是说,在信号越强的频率点,滤波器的放大倍数也越大;在信号越弱的频率点,滤波器的放大倍数也越小。这就是信号处理中的“马太效应”。也就是说,匹配滤波器是让信号尽可能通过,而不管噪声的特性。因为匹配滤波器的一个前提是白噪声,也即是噪声的功率谱是平坦的,在各个频率点都一样。因此,这种情况下,让信号尽可能通过,实际上也隐含着尽量减少噪声的通过。这不正是使得输出的信噪比最大吗?

    另外一方面,从相频特性上看,匹配滤波器的相频特性和输入信号正好完全相反。这样,通过匹配滤波器后,信号的相位为0,正好能实现信号时域上的相干叠加。而噪声的相位是随机的,只能实现非相干叠加。这样在时域上保证了输出信噪比的最大。

    实际上,在信号与系统的幅频特性与相频特性中,幅频特性更多地表征了频率特性,而相频特性更多地表征了时间特性。匹配滤波器无论是从时域还是从频域,都充分保证了信号尽可能大地通过,噪声尽可能小地通过,因此能获得最大信噪比的输出。

    实际上,匹配滤波器由其命名即可知道其鲜明的特点,那就是这个滤波器是匹配输入信号的。一旦输入信号发生了变化,原来的匹配滤波器就再也不能称为匹配滤波器了。由此,我们很容易联想到相关这个概念,相关的物理意义就是比较两个信号的相似程度。如果两个信号完全一样,不就是匹配了吗?事实上,匹配滤波器的另外一个名字就是相关接收,两者表征的意义是完全一样的。只是匹配滤波器着重在频域的表述,而相关接收则着重在时域的表述。

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  • 2.从一般信号推导出线性调频信号的时域表达式 推导原则:根据频率随时间变化的特点就可以推导出线性调频信号的时域表达式。 对于一个一般信号,其表达式为 x(t)=Acos⁡(ω0t+ϕ)x(t) = A\cos(\omega_0t+\phi)x(t...

    1.使用线性调频信号的原因

    • 线性调频信号的特点在于频率会随时间变化,所以作为测试信号可以测试不同频率的状态。

    2.从一般信号推导出线性调频信号的时域表达式

    • 推导原则:根据频率随时间变化的特点就可以推导出线性调频信号的时域表达式。

    • 对于一个一般信号,其表达式为 x ( t ) = A cos ⁡ ( ω 0 t + ϕ ) x(t) = A\cos(\omega_0t+\phi) x(t)=Acos(ω0t+ϕ)。从这个表达式中得到相位是 θ ( t ) = ω 0 t + ϕ \theta(t) = \omega_0t+\phi θ(t)=ω0t+ϕ,这是一个线性相位,并且注意有 ω ( t ) = d θ ( t ) d t \omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt} ω(t)=dtdθ(t)把这个相位修改成二次相位,即 θ ( t ) = 2 π α t 2 + 2 π f 0 t + ϕ \theta(t) = 2\pi\alpha t^2 + 2\pi f_0t + \phi θ(t)=2παt2+2πf0t+ϕ,其中 α \alpha α 是一个常数,这样 ω ( t ) \omega(t) ω(t) 就变成了 ω ( t ) = d θ ( t ) d t = 4 π α t + 2 π f 0 \omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}=4\pi\alpha t+2\pi f_0 ω(t)=dtdθ(t)=4παt+2πf0 相应的 f ( t ) = 2 α t + f 0 f(t) = 2\alpha t + f_0 f(t)=2αt+f0 。可以看到这实现了一个频率随时间的变换而变换的效果。假设初始频率是 f 0 f_0 f0 ,信号持续时间为 T T T,并且此时的终止频率为 f 1 f_1 f1

      可以得到斜率 k = 2 α = f 1 − f 0 T k = 2\alpha = \displaystyle\frac{f_1-f_0}{T} k=2α=Tf1f0,这样就可以将上式写成 ω ( t ) = d θ ( t ) d t = 2 π ( k t + f 0 ) \omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}=2\pi(kt+f_0) ω(t)=dtdθ(t)=2π(kt+f0)
      进而可以求出
      θ ( t ) = ∫ ω ( t ) d t = 2 π ∫ ( k t + f 0 ) d t = 2 π ( k t 2 2 + f 0 t ) + ϕ 0 = 2 π ( k t 2 + f 0 ) t + ϕ 0 \begin{aligned} \theta(t) = \int\omega(t)dt&=2\pi\int(kt+f_0)dt\\&=2\pi(\frac{kt^2}{2}+f_0t) + \phi_0\\ &=2\pi(\frac{kt}{2}+f_0)t + \phi_0 \end{aligned} θ(t)=ω(t)dt=2π(kt+f0)dt=2π(2kt2+f0t)+ϕ0=2π(2kt+f0)t+ϕ0
      由此可得到 chirp 信号的表达式(三角函数形式):
      x ( t ) = A cos ⁡ [ 2 π f c ( t ) t + ϕ 0 ]      f c ( t ) = k t 2 + f 0 x(t) = A\cos[2\pi f_c(t)t + \phi_0]~~~~f_c(t) = \frac{kt}{2}+f_0 x(t)=Acos[2πfc(t)t+ϕ0]    fc(t)=2kt+f0

    3.代码仿真

    • 假定信号带宽 B = 20MHZ,信号时宽 T = 10 μ \mu μs,信号的采样频率 F s F_s Fs = 50MHz,起始频率为 0Hz。
    • 线性调频信号的生成函数:
      function signal = chirp_signal(t,f0,f1,phase)
      % t表示信号产生的全部时间(一个序列)
      % f0表示起始时刻的信号频率,f1表示终止时刻的信号频率
      % phase 表示初始相位,默认为 0 
      if nargin == 3
          phase = 0;
      end
      t0 = t(1);
      t1 = t(end);
      T = t1 - t0;
      k = (f1-f0)/T;
      signal = cos(2*pi*(k/2 * t + f0).*t +  phase);
      end
      
    • 线性调频信号的仿真:
      clear;clc;
      close all;
      TimeWidth = 10e-6;%信号时宽
      BandWidth = 20e6; %信号带宽
      Fs = 50e6;%采样频率,注意需要满足奈奎斯特频率
      sample_dot_num = round(TimeWidth * Fs);%表示采样点的个数
      
      f0 = 0;%初始频率
      f1 = f0 + BandWidth;%终止频率
      t=0:1/Fs:TimeWidth;%根据结束时间生成时间序列
      signal = chirp_signal(t,f0,f1);
      subplot(211)
      plot(t*1e6,signal);
      xlabel('时间/us');
      title('线性调频信号');
      grid on;
      
      freq = (0:sample_dot_num)/sample_dot_num*Fs;
      subplot(212)
      plot(freq*1e-6,fftshift(abs(fft(signal))));
      xlabel('频率/MHz');
      title('线性调频信号的幅频特性');
      grid on;
      
    • 仿真结果

    在这里插入图片描述

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  • 该matlab文件以LFM信号为例详细介绍了信号匹配滤波的仿真方法和实现,包括时域方法和频域方法
  • 从频域直观理解匹配滤波器的效果(2) 匹配滤波器的冲激响应(3) 匹配滤波器的输出信噪比(4) 匹配滤波器的时间适应性(5) 匹配滤波器与自相关(6) 匹配滤波器进行频域滤波 参考 通信之道——从微积分到5G 匹配滤波器...

    (1) 匹配滤波器的公式推导与解释

    解释实际上是要分三步进行:首先要说明要用匹配滤波器干了一个什么事,其次要通过匹配滤波器要做的事说明为什么匹配滤波器的公式是这个形式,最后又要从直观的角度来说明匹配滤波器的这个公式为什么能让它做成这个事情。

    1.使用匹配滤波器的目的

    • 当有用信号通过信道传输后,混杂有许多高斯白噪声,信号被噪声淹没。通过匹配滤波器提高信噪比,使有用信号在时域上更加明显,更易被检测到。

    2.推导匹配滤波器的公式

    • 推导公式从匹配滤波器要实现的功能出发:提高信噪比。
    • 一个实信号 s ( t ) s(t) s(t) 通过 AWGN 信道,得到 r ( t ) = s ( t ) + n ( t ) r(t) = s(t) + n(t) r(t)=s(t)+n(t)。其中 n ( t ) n(t) n(t) 是高斯白噪声。同时已知的高斯白噪声的相关函数 R ( τ ) = N 0 2 δ ( τ ) R(\tau) = \displaystyle\frac{N_0}{2}\delta(\tau) R(τ)=2N0δ(τ)
      让被污染的信号通过一个时域冲激响应为 h ( t ) h(t) h(t) 的系统并在 t 0 t_0 t0 时刻采样可以得到
      y ( t 0 ) = ∫ − ∞ ∞ r ( τ ) h ( t 0 − τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ s ( τ ) h ( t 0 − τ ) d τ + ∫ − ∞ ∞ n ( t ) h ( t 0 − t ) d t = y s ( t 0 ) + y n ( t 0 ) \begin{aligned} y(t_0) &= \int_{-\infin}^{\infin}r(\tau)h(t_0-\tau)d\tau\\ &=\int_{-\infin}^{\infin}s(\tau)h(t_0-\tau)d\tau + \int_{-\infin}^{\infin}n(t)h(t_0-t)dt\\ &=y_s(t_0) + y_n(t_0) \end{aligned} y(t0)=r(τ)h(t0τ)dτ=s(τ)h(t0τ)dτ+n(t)h(t0t)dt=ys(t0)+yn(t0)
      很容易发现, y s ( t 0 ) y_s(t_0) ys(t0) 是有用信号, y n ( t 0 ) y_n(t_0) yn(t0) 是噪声信号,由此定义信噪比 S N R = y s 2 ( t 0 ) E [ y n 2 ( t 0 ) ] SNR = \displaystyle\frac{y_s^2(t_0)}{E[y_n^2(t_0)]} SNR=E[yn2(t0)]ys2(t0)
      同时可以推导出 E [ y n 2 ( t 0 ) ] E[y_n^2(t_0)] E[yn2(t0)] 的表达式
      E [ y n 2 ( t 0 ) ] = E [ ∫ − ∞ ∞ n ( τ ) h ( t 0 − τ ) d τ ∫ − ∞ ∞ n ( t ) h ( t 0 − t ) d t ] = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ N 0 2 δ ( t − τ ) h ( t 0 − τ ) h ( t 0 − t ) d τ d t = N 0 2 ∫ − ∞ ∞ h 2 ( t 0 − τ ) d τ \begin{aligned} E[y_n^2(t_0)] &= E[\int_{-\infin}^{\infin}n(\tau)h(t_0-\tau)d\tau\int_{-\infin}^{\infin}n(t)h(t_0-t)dt]\\ &=\int_{-\infin}^{\infin}\int_{-\infin}^{\infin}\frac{N_0}{2}\delta(t-\tau)h(t_0-\tau)h(t_0-t) d\tau dt\\ &=\frac{N_0}{2}\int_{-\infin}^{\infin}h^2(t_0-\tau) d\tau \end{aligned} E[yn2(t0)]=E[n(τ)h(t0τ)dτn(t)h(t0t)dt]=2N0δ(tτ)h(t0τ)h(t0t)dτdt=2N0h2(t0τ)dτ
      回代并求出最大值
      S N R = 2 [ ∫ − ∞ ∞ s ( τ ) h ( t 0 − τ ) d τ ] 2 N 0 ∫ − ∞ ∞ h 2 ( t 0 − τ ) d τ ≤ 2 ∫ − ∞ ∞ s 2 ( τ ) d τ ∫ − ∞ ∞ h 2 ( t 0 − τ ) d τ N 0 ∫ − ∞ ∞ h 2 ( t 0 − τ ) d τ = 2 N 0 ∫ − ∞ ∞ s 2 ( τ ) d τ \begin{aligned} SNR&=\displaystyle\frac{2[\displaystyle\int_{-\infin}^{\infin}s(\tau)h(t_0-\tau)d\tau]^2}{N_0\displaystyle\int_{-\infin}^{\infin}h^2(t_0-\tau)d\tau}\le \displaystyle\frac{2\displaystyle\int_{-\infin}^{\infin}s^2(\tau)d\tau\displaystyle\int _{-\infin}^{\infin}h^2(t_0-\tau)d\tau}{N_0\displaystyle\int_{-\infin}^{\infin}h^2(t_0-\tau)d\tau}\\ &=\displaystyle\frac{2}{N_0}\displaystyle\int_{-\infin}^{\infin}s^2(\tau)d\tau \end{aligned} SNR=N0h2(t0τ)dτ2[s(τ)h(t0τ)dτ]2N0h2(t0τ)dτ2s2(τ)dτh2(t0τ)dτ=N02s2(τ)dτ
      上面的式子在放缩的过程中使用了柯西不等式,所以想要达到最大值就需要根据柯西不等式等号成立的条件得到 h ( t 0 − τ ) = s ( τ ) ⇒ h ( t ) = k s ( t 0 − t ) h(t_0-\tau) = s(\tau)\Rightarrow h(t) = ks(t_0-t) h(t0τ)=s(τ)h(t)=ks(t0t)

    3.从频域直观理解匹配滤波器的效果

    • 由时域表达式可以推出频域表达式 H ( ω ) = k S ∗ ( ω ) e − j ω t 0 H(\omega) = kS^*(\omega)e^{-j\omega t_0} H(ω)=kS(ω)ejωt0,可以发现有 ∣ H ( ω ) ∣ = k ∣ S ( ω ) ∣ |H(\omega)| = k|S(\omega)| H(ω)=kS(ω),也就是说系统的增益和信号的幅度谱是一样的。
    • 由于白噪声的频谱是常数,就是说在哪里都一样,所以系统在信号幅度谱更大的地方(含有的有用信号会更多)使用更大的增益就可以让有用信号在总的信号中增长的更多,也就是说提高了信噪比。

    (2) 匹配滤波器的冲激响应

    • 由之前的推证可以知道,冲激响应的时域表达式为 h ( t ) = k s ( t 0 − t ) h(t) = ks(t_0-t) h(t)=ks(t0t)

    • 注意 h ( t ) h(t) h(t) t 0 t_0 t0 值选取需要遵循的准则:
      因果关系
      h ( t ) = { s ( t 0 − t ) , t ≥ 0 0 , t < 0 h(t) = \begin{cases} s(t_0-t),t\ge 0\\ 0,t<0 \end{cases} h(t)={s(t0t),t00,t<0
      为了使输入信号的全部都能对输出信号有所贡献,采样时刻 t 0 t_0 t0 应满足 s ( t ) = 0 , t > t 0 s(t)=0,t>t_0 s(t)=0,t>t0。比如信号产生的时间是 [ 0 , 10 μ s ] [0,10\mu s] [0,10μs],采样时刻 t 0 t_0 t0 就至少是 10 μ s 10\mu s 10μs

    • 这里假定采样时刻 T = 12 μ \mu μs,信号带宽 B = 20MHz,信号时宽 TimeWidth = 10 μ \mu μs,信号的采样频率 F s F_s Fs = 50MHz,起始频率为 0Hz。

    • matlab 代码

      %% 产生线性调频波
      TimeWidth = 10e-6;      %脉冲持续时间10us
      T = 8e-6;               %T在8us
      BandWidth = 20e6;       %线性调频信号的频带宽度20MHz
      Fs = 50e6;              %采样频率,注意需要满足奈奎斯特频率
      sample_dot_num = round(TimeWidth * Fs);%表示采样点的个数
      
      f0 = 0;%初始频率
      f1 = f0 + BandWidth;%终止频率
      t=0:1/Fs:TimeWidth;%根据结束时间生成时间序列
      signal = chirp_signal(t,f0,f1);
      plot(t*1e6,signal,'LineWidth',2);
      %% 匹配滤波器的脉冲响应
      %这里 k 假定取 1
      h = signal(end:-1:1);
      t = -t(end:-1:1) + T;
      plot(t*1e6,h,'LineWidth',2);
      
    • 仿真结果

    (3) 匹配滤波器的输出信噪比

    • 匹配滤波器的输出功率信噪比只取决于输入信号的能量和白噪声功率谱密度而与输入信号形状和噪声分布规律无关。

    • 这里在仿真时均假定 snr=0,并且通过增添频率移动量保证整体能量基本相等,均为 125.5 125.5 125.5 左右。

    • matlab 代码:

      %% 产生线性调频信号
      TimeWidth = 10e-6;      %脉冲持续时间10us
      BandWidth = 20e6;       %线性调频信号的频带宽度20MHz
      Fs = 50e6;Ts = 1/Fs;    %采样频率,注意需要满足奈奎斯特频率
      N = fix(TimeWidth/Ts);
      f0 = 0;%初始频率
      f1 = f0 + BandWidth;%终止频率
      
      %设定频率偏移量
      f_shifta = 5e6;
      f_shiftb = 10e6;
      t=0:1/Fs:TimeWidth;%根据结束时间生成时间序列
      %采用不同的频率偏移量生成两个能量(几乎)相同的信号
      signal1 = chirp_signal(t,f0+f_shifta,f1);
      signal2 = chirp_signal(t,f0+f_shiftb,f1);
      plot(t*1e6,signal1);
      plot(t*1e6,signal2);
      %% 加入噪声后
      %加入噪声
      snr = 0;
      y1 = awgn(signal1, snr, 'measured');
      y2 = awgn(signal2, snr, 'measured');
      plot(t*1e6,y1);
      plot(t*1e6,y2);
      % 经过匹配滤波器
      mf=fliplr(signal1);     %输入序列取反序(匹配滤波器的脉冲响应)
      sr_noise_mf=conv(mf,y1); %有噪声回波信号匹配滤波(使用脉冲响应和输入信号进行卷积)
      plot((0:length(sr_noise_mf)-1)/Fs*1e6,20*log10(abs(sr_noise_mf)))
      mf=fliplr(signal2);     %输入序列的复共轭(匹配滤波器的脉冲响应)
      sr_noise_mf=conv(mf,y2); %有噪声回波信号匹配滤波(使用脉冲响应和输入信号进行卷积)
      plot((0:length(sr_noise_mf)-1)/Fs*1e6,20*log10(abs(sr_noise_mf)))
      
    • 仿真结果

      可以看到在信号能量基本相等的情况下,通过匹配滤波器后的信噪比最大的位置基本相同。

    (4) 匹配滤波器的时间适应性

    • 匹配滤波器对振幅和时延参量不同的信号具有适应性,具体来说就是与信号 s ( t ) s(t) s(t) 相匹配的滤波器的系统函数 H ( ω ) H(\omega) H(ω) ,对于信号 s 1 ( t ) = A s ( t − τ ) s_1(t) = As(t-\tau) s1(t)=As(tτ) 来说也是匹配的,只不过最大输出功率信噪比出现的时刻延迟了 τ \tau τ
    • matlab 代码
      %% 产生线性调频信号
      TimeWidth = 10e-6;      %脉冲持续时间10us
      TimeEmpty = 20e-6;
      BandWidth = 20e6;       %线性调频信号的频带宽度20MHz
      Fs = 50e6;Ts = 1/Fs;    %采样频率,注意需要满足奈奎斯特频率
      N = fix(TimeWidth/Ts);
      
      f0 = 0;%初始频率
      f1 = f0 + BandWidth;%终止频率
      t=0:1/Fs:TimeWidth;%根据结束时间生成时间序列
      signal = chirp_signal(t,f0,f1);
      t_total = linspace(0,2*(TimeEmpty+TimeWidth),2*(TimeEmpty+TimeWidth)/Ts);
      signal_total = [signal(1:end-1),zeros(1,fix(TimeEmpty/Ts)),signal(1:end-1),zeros(1,fix(TimeEmpty/Ts))];
      plot(t_total*1e6,signal_total,'LineWidth',2);
      %% 加入噪声后
      %加入噪声
      snr = 0;
      signal_with_noise = awgn(signal_total, snr, 'measured');
      plot(t_total*1e6,signal_with_noise,'LineWidth',2);
      %% 经过匹配滤波器后(信号波形通过与其对应的匹配滤波器)
      %这里 k 假定取 1
      h=zeros(1,N);
      t1 = fix(TimeWidth/Ts);
      for tt=0:N-1
          h(tt+1)=signal_total(t1-tt);%匹配滤波器
      end
      % 经过匹配滤波器
      sr_noise_mf=conv(h,signal_with_noise); %有噪声回波信号匹配滤波(使用脉冲响应和输入信号进行卷积)
      plot((0:length(sr_noise_mf)-1)/Fs*1e6,20*log10(abs(sr_noise_mf)),'LineWidth',2);
      
    • 仿真结果
      可以看出来,对于有一个时延的信号,使用相同的匹配滤波器会导致输出在信噪比最大的地方也有一个响应的时延。

    (5) 匹配滤波器与自相关

    • matlab代码
      %% 产生线性调频信号
      TimeWidth = 10e-6;      %脉冲持续时间10us
      BandWidth = 20e6;       %线性调频信号的频带宽度20MHz
      Fs = 50e6;Ts = 1/Fs;    %采样频率,注意需要满足奈奎斯特频率
      N = fix(TimeWidth/Ts);
      f0 = 0;%初始频率
      f1 = f0 + BandWidth;%终止频率
      t=0:1/Fs:TimeWidth;%根据结束时间生成时间序列
      signal = chirp_signal(t,f0,f1);
      signal = awgn(signal,0,'measured');%这里添加白噪声
      plot(t*1e6,signal,'LineWidth',2);
      %% 匹配滤波
      %计算匹配滤波器的冲激响应函数
      h = zeros(1,N);
      t1 = fix(TimeWidth/Ts);
      for tt=0:N-1
          h(tt+1) = signal(t1-tt);%匹配滤波器
      end
      signal_match = abs(conv(h,signal));
      t_match = (0:length(signal_match)-1)/Fs;
      plot(t_match*1e6,signal_match,'LineWidth',2);
      %% 求自相关函数
      signal_autocorrelation = abs(xcorr(signal));
      t_autocorrelation = (0:length(signal_autocorrelation)-1)/Fs;
      plot(t_autocorrelation*1e6,signal_autocorrelation,'LineWidth',2);
      
    • 仿真结果:
    • 从波形上来看两者是完全相同的,但是一定要注意前提条件。 t = t 0 t=t_0 t=t0 并且噪声 n ( t ) n(t) n(t) 为零均值白噪声的条件下匹配滤波器与相关器的输出是相等的。

    (6) 匹配滤波器进行频域滤波

    • matlab 代码

      %% 产生线性调频信号
      TimeWidth = 10e-6;      %脉冲持续时间10us
      BandWidth = 20e6;       %线性调频信号的频带宽度20MHz
      Fs = 50e6;Ts = 1/Fs;    %采样频率,注意需要满足奈奎斯特频率
      N = fix(TimeWidth/Ts);
      f0 = 0;%初始频率
      f1 = f0 + BandWidth;%终止频率
      t=0:1/Fs:TimeWidth;%根据结束时间生成时间序列
      signal = chirp_signal(t,f0,f1);
      
      snr = 0;
      signal_with_noise = awgn(signal, snr, 'measured');  %回波信号实际上就是给原信号增加了噪声
      plot(t*1e6,signal_with_noise,'LineWidth',2);
      
      freq=linspace(0,Fs,N);
      plot(freq*1e-6,fftshift(abs(fft(signal_with_noise(1:end-1)))),'LineWidth',2);
      
      %% 进行匹配滤波
      %计算匹配滤波器的冲激响应函数
      h = zeros(1,N);
      t1 = fix(TimeWidth/Ts);
      for tt=0:N-1
          h(tt+1) = signal(t1-tt);%匹配滤波器
      end
      subplot(311)
      plot(freq*1e-6,abs(fftshift(fft(h)).* fftshift(fft(signal_with_noise(1:end-1)))),'LineWidth',2);
      
      %% 求相关
      temp = abs(ifft(fftshift(fft(h)).* fftshift(fft(signal_with_noise(1:end-1)))));
      temp = [temp,temp(end:-1:1)];
      plot((0:length(temp)-1)*Ts*1e6,temp,'LineWidth',2);
      %% 求匹配
      subplot(313)
      temp = abs(conv(h,signal_with_noise(1:end-1)));
      plot((0:length(temp)-1)*Ts*1e6,temp,'LineWidth',2);
      
    • 仿真结果:

      • 对淹没在 0dB 高斯白噪声中的信号直接进行 FFT,可以看到在频域并不能很好的分出信号。
      • 频域乘积:对加噪信号和匹配滤波器脉冲响应分别进行 FFT 变换,得到两组频谱后点乘然后进行 IFFT 变换即可得出滤波结果。
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匹配滤波器的时域