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  • 关于有限元网格划分
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    2020-12-20 20:24:15

    首先,研究和分析有限元网格划分的基本原则;其次,对当前典型网格划分方法进行科学地分类,结合实例,系统地分析各种网格划分方法的机理、特点及其适用范围,如映射法、基于栅格法、节点连元法、拓扑分解法、几何分解法和扫描法等;再次,阐述当前网格划分的研究热点,综述六面体网格和曲面网格划分技术;最后,展望有限元网格划分的发展趋势。

    1引言

    有限元网格划分是进行有限元数值模拟分析至关重要的一步,它直接影响着后续数值计算分析结果的精确性。网格划分涉及单元的形状及其拓扑类型、单元类型、网格生成器的选择、网格的密度、单元的编号以及几何体素。在有限元数值求解中,单元的等效节点力、刚度矩阵、质量矩阵等均用数值积分生成,连续体单元以及壳、板、梁单元的面内均采用高斯(Gauss)积分,而壳、板、梁单元的厚度方向采用辛普生(Simpson)积分。

    2有限元网格划分的基本原则

    有限元方法的基本思想是将结构离散化,即对连续体进行离散化,利用简化几何单元来近似逼近连续体,然后根据变形协调条件综合求解。所以有限元网格的划分一方面要考虑对各物体几何形状的准确描述,另一方面也要考虑变形梯度的准确描述。为正确、合理地建立有限元模型,这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。

    2.1网格数量

    网格数量直接影响计算精度和计算时耗,网格数量增加会提高计算精度,但同时计算时耗也会增加。当网格数量较少时增加网格,计算精度可明显提高,但计算时耗不会有明显增加;当网格数量增加到一定程度后,再继续增加网格时精度提高就很小,而计算时耗却大幅度增加。所以在确定网格数量时应权衡这两个因素综合考虑。

    2.2网格密度

    为了适应应力等计算数据的分布特点,在结构不同部位需要采用大小不同的网格。在孔的附近有集中应力,因此网格需要加密;周边应力梯度相对较小,网格划分较稀。由此反映了疏密不同的网格划分原则:在计算数据变化梯度较大的部位,为了较好地反映数据变化规律,需要采用比较密集的网格;而在计算数据变化梯度较小的部位,为减小模型规模,网格则应相对稀疏。

    2.3单元阶次

    单元阶次与有限元的计算精度有着密切的关联,单元一般具有线性、二次和三次等形式,其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界,且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数,所以增加单元阶次可提高计算精度。但增加单元阶次的同时网格的节点数也会随之增加,在网格数量相同的情况下由高阶单元组成的模型规模相对较大,因此在使用时应权衡考虑计算精度和时耗。

    2.4单元形状

    网格单元形状的好坏对计算精度有着很大的影响,单元形状太差的网格甚至会中止计算。单元形状评价一般有以下几个指标:

    (1)单元的边长比、面积比或体积比以正三角形、正四面体、正六面体为参考基准。

    (2)扭曲度:单元面内的扭转和面外的翘曲程度。

    (3)节点编号:节点编号对于求解过程中总刚矩阵的带宽和波前因数有较大的影响,从而影响计算时耗和存储容量的大小

    2.5单元协调性

    单元协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递给相邻单元。为保证单元协调,必须满足的条件是:

    (1)一个单元的节点必须同时也是相邻点,而不应是内点或边界点。

    (2)相邻单元的共有节点具有相同的自由度性质。另外,有相同自由度的单元网格也并非一定协调。

    3网格生成通用方法

    有限元网格划分方法难以准确分类,分类方法有很多,可以按产生的单元类型、生成单元的维数、自动化程度等进行分类。

    3.1映射法

    映射法的基本思想是实际图形与标准图形的双向映射,具体有三个步骤:

    (1)根据形体边界的参数方程,利用适当的映射函数,将待划分的物理域映射到参数空间,形成规则参数域;

    (2)对参数域进行网格划分;

    (3)将参数空间内单元的网格反向映射到欧氏空间,从而生成实际的网格。

    这种网格控制机理有以下几个缺点:

    (1)映射法不是完全面向几何特征的,所以很难完成自动化,尤其是对于3D区域;

    (2)网格局部控制能力差;

    (3)各映射块之间的网格密度相互影响程度很大,改变某一映射块的网格密度,其它映射块的网格都要做相应的调整;

    (4)对于形状较为复杂的形体适应性差,要求事先根据所要产生的网格类型将目标域分割成一系列可映射的子区域。子域分解繁琐,所需人工交互多,难以实现网格自动的生成。

    3.2基于栅格法

    基于栅格法也叫空间分解法。该算法的基本流程:首先用一组不相交的栅格覆盖在物体之上,既可在栅格的规则点处布置节点,也可在栅格单元中随机布置节点;再对栅格和物体进行相交检测,保留完全或部分落在目标区域之内的栅格,删除完全落在目标区域之外的栅格;然后对与物体边界相交的栅格进行调整、剪裁、再分解等操作,使其更准确地逼近目标区域;最后对内部栅格和边界栅格进行栅格级的网格剖分,进而得到整个目标区域的有限元网格。

    3.3节点连元法

    节点连元法一般分为两步:(1)在物体的边界和有效区域内按照网格密度的要求均匀布点;(2)根据一定的准则将这些节点连接成三角形或四面体网格。

    3.4拓扑分解法

    拓扑分解法它首先是由英国剑桥大学的Wordenwaber提出来的。拓扑分解法是从形体的拓扑因素着手进行分割,而不过问元素的具体形状。首先假设网格顶点全部由目标边界顶点组成,那么可以用一种三角化算法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖。

    3.5几何分解法

    几何分解法最大的特点是节点和单元同步生成。该方法较多地考虑了待分域的几何特征,确保生成质量较好的网格单元

    3.6扫描法

    扫描法是将离散化的基本单元形体进行旋转、扫描、拉伸等操作,获得高维网格的一种方法。这种方法难度较低,容易实现,在当今大多数商用CAD软件和有限元前置处理软件中均有这种功能。但是这种方法只适合于形状简单的三维物体,且主要靠人机交互来实现,自动化程度低。

    4研究热点

    近年来有限元分析在各种工程领域中得到了广泛的应用,网格划分技术的理论基础已日趋成熟。近几年有限元网格划分的研究领域已由二维平面问题转移到三维实体,研究重点已经由三角形(四面体)网格转变为四边形(六面体)网格,注重网格的全自动生成、网格自适应等研究。

    4.1六面体网格划分

    当前,六面体单元网格生成算法主要有映射单元法、单元转换法、基于栅格法、多子区域法、扫描法和投影法等。

    映射单元法:先把三维实体分成几个大的20节点六面体区,然后使用形函数映射技术把各个六面体区域映射为很多细小的8节点六面体单元。

    单元转换法:通过其他单元转化为六面体单元。

    基于栅格法:首先产生六面体网格模板,将其覆盖到需要网格化的三维实体上。

    多子区域法:分为三个主要步骤:首先将复杂目标域分解为一定数量的简单子区域,然后对每个子区域进行六面体网格划分,最后将各个子区域的网格组合成全局网格,从而形成目标域的整体网格

    扫描法:是由二维四边形有限元网格通过旋转、扫描、拉伸等操作而形成六面体网格的一种方法。

    投影法:是利用良好的四面体网格作为投影网格,通过模板网格节点与待分实体表面关键点的对应关系控制投影的路径与比例缩放情况。

    4.2曲面网格划分

    工程结构中常用的薄壳结构都是由自由曲面组合而成的。三维曲面是三维实体的退化,是一种特殊形式,三维曲面的有限元网格划分的应用范围很广。目前的曲面网格生成方法可粗略地分为直接法和映射法两种。

    直接法的曲面网格划分是直接在曲面的物理空间进行,网格划分过程直接以曲面的局部几何形态为参考,并根据曲面的局部状况采取不同的剖分策略

    映射法首先将曲面边界映射到二维参数空间,在二维参数空间中进行网格划分,然后将划分结果反向映射到物理空间形成曲面网格。

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    之前转载了一篇博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_6163bdeb0102dvay.html,讲Matlab网格划分程序Distmesh,看了看程序,感觉程序写得有很多值得学的地方,所以又自己重新看了一看,加了一些注释,最后再总结一下学...

    之前转载了一篇博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_6163bdeb0102dvay.html,讲Matlab网格划分程序Distmesh,看了看程序,感觉程序写得有很多值得学的地方,所以又自己重新看了一看,加了一些注释,最后再总结一下学到的东西吧。

    源代码的地址已经改变,如下http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/distmesh/distmesh.html。程序给出了20个划分的例子,文件名为p1_demo.m~p20_demo.m,直接运行程序可以看到划分的动画效果,每个例子基本都是设置一些参数,然后调用distmesh_2d函数进行网格划分,最后得到划分的节点p和各三角形t,最后将划分的三角形绘制出来。划分结果如下

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.pnga4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    p1_demo p14_demo

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.pnga4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    p5_demo p18_demo

    进一步加注释的程序(需要学习的地方用颜色标记):

    function [ p, t ] = distmesh_2d ( fd, fh, h0, box,

    iteration_max, pfix, varargin )

    %% DISTMESH_2D is a 2D mesh generator using distance

    functions.

    % Example:

    % Uniform

    Mesh on Unit Circle:

    % fd = inline('sqrt(sum(p.^2,2))-1','p');

    % [p,t] = distmesh_2d(fd,@huniform,0.2,[-1,-1;1,1],100,[]);

    % Rectangle

    with circular hole, refined at circle boundary:

    % fd =

    inline('ddiff(drectangle(p,-1,1,-1,1),dcircle(p,0,0,0.5))','p');

    % fh = inline('min(4*sqrt(sum(p.^2,2))-1,2)','p');

    % [p,t] =

    distmesh_2d(fd,fh,0.05,[-1,-1;1,1],500,[-1,-1;-1,1;1,-1;1,1]);

    % Parameters:

    % Input,

    function FD, signed distance function d(x,y).

    % fd:d=fd(p),p=[x y],fd为给定任一点到边界的有符号距离函数,负号表示在区域内,正号为在区域外

    % Input,

    function FH, scaled edge length function h(x,y).

    % fh:就是网格大小的函数

    % Input, real

    H0, the initial edge length.

    % h0:也就是h,

    网格的初始大小

    % Input, real

    BOX(2,2), the bounding box [xmin,ymin; xmax,ymax].

    % box:最大外围矩形范围

    % Input,

    integer ITERATION_MAX, the maximum number of iterations.

    % The

    iteration might terminate sooner than this limit, if the program

    decides

    % that the

    mesh has converged.

    % iteration_max:允许的最大迭代次数

    % Input, real

    PFIX(NFIX,2), the fixed node positions.

    % pfix:网格中需要固定的点坐标,也就是一定需要出现在网格中的点

    % Input,

    VARARGIN, aditional parameters passed to FD and FH.%

    % Output,

    real P(N,2), the node positions.

    % p:网格点的x,y坐标

    % Output,

    integer T(NT,3), the triangle indices.

    % t:输出网格任意一个三角形的三个顶点

    % Local parameters:

    % Local, real

    GEPS, a tolerance for determining whether a point is "almost"

    inside

    % the

    region. Setting GEPS = 0 makes this an exact

    test. The program currently

    % sets it to

    0.001 * H0, that is, a very small multiple of the desired side

    length

    % of a

    triangle. GEPS is also used to determine whether

    a triangle falls inside

    % or outside

    the region. In this case, the test is a little

    tighter. The centroid

    % PMID is

    required to satisfy FD ( PMID ) <= -GEPS.

    % 局部变量geps:容忍度,一个点是否属于区域,也在判断三角形是否属于区域内时使用

    dptol =

    0.001; % 收敛精度

    ttol =

    0.1; % 三角形划分精度(百分比)

    Fscale =

    1.2; % 放大比例

    deltat =

    0.2; % 相当于柔度

    geps = 0.001 *

    h0; % 容忍度

    deps = sqrt ( eps ) * h0; %

    微小变化dx

    iteration =

    0; % 迭代次数

    triangulation_count =

    0; %

    三角形划分次数

    % 1. Create the initial point distribution by

    generating a rectangular mesh

    % in the bounding box.

    % 根据初始网格的大小h0,先把能涵盖欲划分区域的最大矩形划分为结构网格。

    [ x, y ] = meshgrid ( box(1,1) :

    h0 : box(2,1), ...

    box(1,2) :

    h0*sqrt(3)/2 : box(2,2) );

    % Shift the even rows of the mesh to create a

    "perfect" mesh of equilateral triangles.

    % Store the X and Y coordinates together as our

    first estimate of "P", the mesh points

    % we want.

    % 然后把偶数行的点整体向右平移半格,得到正三角形划分

    x(2:2:end,:) = x(2:2:end,:) + h0 / 2;

    p = [ x(:), y(:) ];

    % 2. Remove mesh points that are outside the

    region,

    % then satisfy the density constraint.

    % Keep only points inside (or almost inside) the

    region, that is, FD(P) < GEPS.

    % 根据fd的函数定义,移除边界外的点

    p = p( feval_r( fd, p, varargin{:} )

    <= geps, : ); % 1 % Set R0, the relative probability to keep a point, based on the mesh

    density function.

    r0 = 1 ./ feval_r( fh, p, varargin{:} ).^2;

    % Apply the rejection method to thin out points

    according to the density.

    % 根据网格密度函数fh,每个点上产生一个0-1随机数,判断是否小于r0/max(r0)大于的话,该点被删除

    p = [ pfix; p(rand(size(p,1),1) < r0 ./ max ( r0 ),:

    ) ];

    [ nfix, dummy ] = size ( pfix );

    % Especially when the user has included fixed

    points, we may have a few

    % duplicates. Get rid of any

    you spot.

    % 当指定了某些点要保留的时候,把保留的点加入,删除重复的点。

    p = unique ( p, 'rows' ); % 2

    N = size ( p, 1 );

    % If ITERATION_MAX is 0, we're almost

    done.

    % For just this case, do the triangulation, then

    exit.

    % Setting ITERATION_MAX to 0 means that we can

    see the initial mesh

    % before any of the improvements have been

    made.

    % 如果最大迭代次数为负,则直接结束

    if ( iteration_max <= 0 )

    t =

    delaunayn ( p ); % 3

    triangulation_count = triangulation_count + 1;

    return

    end

    pold = inf; % 第一次迭代前设置旧的点的坐标为无穷

    while ( iteration < iteration_max )

    iteration =

    iteration + 1;

    if ( mod (

    iteration, 10 ) == 0 )

    fprintf ( 1, ' %d iterations,', iteration

    );

    fprintf ( 1, ' %d triangulations.\n',

    triangulation_count );

    end

    % 3. Retriangulation by the Delaunay

    algorithm.

    % Was there large enough movement to

    retriangulate?

    % If so, save the current positions, get the list

    of

    % Delaunay triangles, compute the centroids, and

    keep

    % the interior triangles (whose centroids are

    within the region).

    %

    %

    先判断上次移动后的点和旧的点之间的移动距离,如果小于某个阀值,停止迭代

    if ( ttol

    < max ( sqrt ( sum ( ( p - pold ).^2, 2 ) ) / h0 )

    )

    pold =

    p; % 如果还可以移动,保存当前的节点

    t = delaunayn ( p

    ); %

    利用delauny算法,生成三角形网格

    triangulation_count = triangulation_count +

    1; % 划分次数加1

    pmid = ( p(t(:,1),:) + p(t(:,2),:) + p(t(:,3),:) ) / 3; %

    计算三角形的重心

    t = t( feval_r( fd, pmid, varargin{:} ) <= -geps, :

    ); % 移除重心在区域外的三角形

    % 4. Describe each bar by a unique pair of

    nodes.

    % 生成网格的边的集合,也就是相邻点之间连接的线段

    bars = [ t(:,[1,2]); t(:,[1,3]); t(:,[2,3]) ];

    bars = unique ( sort ( bars, 2 ), 'rows' );

    % 5. Graphical output of the current mesh

    trimesh ( t, p(:,1), p(:,2),

    zeros(N,1)

    ) % 绘制划分的三角形% 3

    view(2), axis equal, axis off, drawnow

    end

    % 6. Move mesh points based on bar lengths L and

    forces F

    % Make a list of the bar vectors and

    lengths.

    % Set L0 to the desired lengths, F to the scalar

    bar forces,

    % and FVEC to the x, y components of the bar

    forces.

    % At the fixed positions, reset the force to

    0.

    barvec =

    p(bars(:,1),:) -

    p(bars(:,2),:); %

    生成bar的矢量

    L = sqrt (

    sum ( barvec.^2, 2 )

    );

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    一、 圆形平面网格划分技巧

    点击Done之后,生成一个壳

    切换到 Mesh模式中:

     

    自动划分的网格中还有三角形等,质量不是特别高,这就需要人为去干预:

    设置完成后再网格划分(注意去除前一次的mesh):

     

    更优的网格划分方法:将圆形先手动化成铜钱形,再进行网格划分。

     

     

     

     先划分中间的正方形:

     

     

    再向外扩展,对周围的进行数量控制:

    由于是对外拓展,有一种映射的意思,所以外面一圈也是六个。

    再设置需要几层,这需要人为定义的:

     

    这有一块出现了问题?这是为什么呢? 

    人为强行设置:

     

    现在整体来看还是不错的划分效果:

     

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    划分方式如下:

    在这里插入图片描述

    共节点拓扑:

    在这里插入图片描述

    网格控制

    在这里插入图片描述

    最后效果:

    在这里插入图片描述




    2 圆柱结构 (o型划分)

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    画风方法采用multizone
    划分结果:
    在这里插入图片描述

    整体网格质量还是不错的:
    在这里插入图片描述





    3 三棱柱结构 (Y型划分)

    在这里插入图片描述

    网格划分

    在这里插入图片描述




    网格质量非常好:

    在这里插入图片描述





    4 实战演练:(离心风机)

    在这里插入图片描述

    基本剖分:

    在这里插入图片描述
    剖分出了一个三棱锥、长方体、圆体。

    具体剖分:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    o划分、 y划分等等。



    在这里插入图片描述

    网格质量:
    在这里插入图片描述

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    千次阅读 2020-04-15 10:57:36
    目录网格划分生成映射网格的基本条件面映射网格体映射网格参考文献 网格划分 网格划分的方法有两种,应根据实际情况,选择合适的网格划分方法。 自由网格划分 自由网格限制较少,对单元形状与模型复杂程度无过多...
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    千次阅读 2021-12-10 20:28:31
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  • Matlab网格划分程序Distmesh讲解(一)

    千次阅读 2021-04-25 15:08:58
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  • COMSOL网格划分技巧总结

    万次阅读 2021-05-04 15:36:56
    在对马赫曾德尔型光学传感器进行模拟仿真时,在采用自动物理场自动控制网格-极细化的情况下透射谱曲线仍不理想,因此需要手动划分网格来对其进行更精细的剖分。 手动划分的基本原则是在作用边界,热点,曲边处做...
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  • 07- Workbench网格划分概述

    千次阅读 2021-10-04 08:36:11
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  • 2-meshing-网格划分-一

    2022-04-01 19:42:32
    anasy workbench 16.0 对于三维 and 二维体的网格划分

空空如也

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区域网格划分