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  • 区间数运算
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    2020-07-21 16:56:48

    模糊数是模糊代数的基础,在其基础之上可以继续重构许多经典数学的理论。但也正由于它的基础性,故而其理论性的内容相对较多。本文旨在抛开模糊数的相关复杂理论,直接从计算过程出发讨论,以便各位同学迅速掌握。

    1、区间数
    • 定义: 实数轴上的区间(闭区间、开区间或半开半闭区间) I I I 被称为一个区间数。区间数通常是指闭区间数。如 I = [ a , b ] I= [a,b] I=[a,b] 称为一个闭区间数。

    • 运算法则:设 I = [ a , b ] I=[a, b] I=[a,b] I = [ c , d ] I=[c, d] I=[c,d]为两个闭区间数,则

      • 倒数: 1 I 2 = [ 1 d , 1 c ] ( 0 ∉ [ c , d ] ) \quad \frac{1}{I_{2}}=\left[\frac{1}{d}, \frac{1}{c}\right] \quad(0 \notin[c, d]) I21=[d1,c1](0/[c,d])
      • 加法: I 1 + I 2 = [ a + c , b + d ] \quad I_{1}+I_{2}=[a+c, b+d] I1+I2=[a+c,b+d]
      • 减法: I 1 − I 2 = [ a − d , b − c ] \quad I_{1}-I_{2}=[a-d, b-c] I1I2=[ad,bc]
      • 乘法 I 1 × I 2 = [ min ⁡ ( a c , a d , b c , b d ) , max ⁡ ( a c , a d , b c , b d ) ] I_{1} \times I_{2}=[\min(a c, a d, b c, b d), \max(a c, a d, b c, b d)] I1×I2=[min(ac,ad,bc,bd),max(ac,ad,bc,bd)]
      • 除法 : I 1 ÷ I 2 = I 1 × 1 I 2 = [ a , b ] × [ 1 d , 1 c ] I_{1} \div I_{2}=I_{1} \times \frac{1}{I_{2}}=[a, b] \times\left[\frac{1}{d}, \frac{1}{c}\right] I1÷I2=I1×I21=[a,b]×[d1,c1]
      • “并”: I 1 ∨ I 2 = [ a ∨ c , b ∨ d ] I_{1} \vee I_{2}=[a \vee c, b \vee d] I1I2=[ac,bd]
      • "交” I 1 ∧ I 2 = [ a ∧ c , b ∧ d ] I_{1} \wedge I_{2}=[a \wedge c, b \wedge d] I1I2=[ac,bd]

    :上述运算法则的规律其实十分明显,对应的四则运算主要是对其端点进行处理,通常处理完成后保证较小的结果为新的左端点,较大结果为新的右端点即可。

    • 例:

    设闭区间数I = [1, 3], J=[2,5],则

    I + J = [ 1 + 2 , 3 + 5 ] = [ 3 , 8 ] {I}+{J}=[{1}+{2}, {3}+{5}]=[{3}, {8}] I+J=[1+2,3+5]=[3,8]

    I − J = [ 1 − 5 , 3 − 2 ] = [ − 4 , 1 ] {I}-{J}=[{1}-{5}, {3}-{2}]=[{- 4}, {1}] IJ=[15,32]=[4,1]

    I ÷ J = [ 1 , 3 ] × [ 0.2 , 0.5 ] = [ min ⁡ ( 0.2 , 0.5 , 0.6 , 1.5 ) , max ⁡ ( 0.2 , 0.5 , 0.6 , 1.5 ) ] = [ 0.2 , 1.5 ] {I} \div {J}=\left[1, 3\right] \times \left[0.2, 0.5\right]=[\min(0.2,0.5,0.6,1.5), \max(0.2,0.5,0.6,1.5)]=[0.2,1.5] I÷J=[1,3]×[0.2,0.5]=[min(0.2,0.5,0.6,1.5),max(0.2,0.5,0.6,1.5)]=[0.2,1.5]

    I ∧ J = [ 1 ∧ 2 , 3 ∧ 5 ] = [ 1 , 3 ] {I} \wedge {J}=[1 \wedge 2,3 \wedge 5]=[1,3] IJ=[12,35]=[1,3]

    2、模糊数
    • 定义:实数论域 R R R 上的正则凸模糊集称为模糊数,正则闭凸模糊集称为闭模糊数,正则有界闭凸模糊集称为有界闭模糊数。

    :对应区间数的概念理解这一问题十分简单而从上述定义来看,模糊数的定义则更为宽泛.

    3、模糊数的运算法则
    • 抽象定义(离散型)

    A ∗ B = ∑ x ⋁ x 1 ∗ x 2 = x ( A ( x 1 ) ∧ B ( x 2 ) ) x A * B=\sum_{x} \frac{\bigvee_{x_1*x_2=x} \left(A\left(x_{1}\right) \wedge B\left(x_{2}\right)\right)}{x} AB=xxx1x2=x(A(x1)B(x2))

    这里 ∗ * 表示任意运算符。该式子看起来比较抽象,这里稍作分析:

    • 式子中 x x x 表示运算后的结果
    • 分子部分是该结果对应的隶属度
    • 仔细分析 ⋁ x 1 ∗ x 2 = x \bigvee_{x_1*x_2=x} x1x2=x 的含义,不难理解,它表示这里要列举出一切结果为 x x x x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2

    那么综上,这个式子的含义即是,对任意两个模糊数(本质上是模糊子集),给定某种元素的运算,取该运算结果相同的组合中两个元素隶属度取小后的最大值为该运算结果的隶属度。这句话很绕,下面先写出四则运算的定义,再以具体例子说明。

    • 四则运算

    ( A + B ) ( z ) = ⋁ x + y = z ( A ( x ) ∧ B ( y ) ) ( A − B ) ( z ) = ⋁ x − z = z ( A ( x ) ∧ B ( y ) ) ( A × B ) ( z ) = ⋁ x × y = z ( A ( x ) ∧ B ( y ) ) ( A ÷ B ) ( z ) = ⋁ x ÷ y = z ( A ( x ) ∧ B ( y ) ) (A+B)(z)=\bigvee_{x+y=z}(A(x) \wedge B(y)) \\ (A-B)(z)=\bigvee_{x-z=z}(A(x) \wedge B(y)) \\ (A \times B)(z)=\bigvee_{x\times y=z}(A(x) \wedge B(y)) \\ (A \div B)(z)=\bigvee_{x \div y=z}(A(x) \wedge B(y)) (A+B)(z)=x+y=z(A(x)B(y))(AB)(z)=xz=z(A(x)B(y))(A×B)(z)=x×y=z(A(x)B(y))(A÷B)(z)=x÷y=z(A(x)B(y))

    • 例: 给定两个模糊数

    2 ‾ = 0.4 1 + 1 2 + 0.7 3 , 3 ‾ = 0.5 2 + 1 3 + 0.6 4 \underline{2}=\frac{0.4}{1}+\frac{1}{2}+\frac{0.7}{3}, \quad \underline{3}=\frac{0.5}{2}+\frac{1}{3}+\frac{0.6}{4} 2=10.4+21+30.7,3=20.5+31+40.6

    2 ‾ − 3 ‾ = ∑ x ⋁ x 1 − x 2 = x ( 2 ‾ ( x 1 ) ∧ 3 ‾ ( x 2 ) ) x = 0.4 ∧ 0.6 1 − 4 + ( 0.4 ∧ 1 ) ∨ ( 1 ∧ 0.6 ) ( 1 − 3 )  或  ( 2 − 4 ) + ( 0.4 ∧ 0.5 ) ∨ ( 1 ∧ 1 ) ∨ ( 0.7 ∧ 0.6 ) ( 1 − 2 )  或  ( 2 − 3 )  或  ( 3 − 4 ) + ( 1 ∧ 0.5 ) ∨ ( 0.7 ∧ 1 ) ( 2 − 2 )  或  ( 3 − 3 ) + 0.7 ∧ 0.5 3 − 2 = 0.4 − 3 + 0.6 − 2 + 1 − 1 + 0.7 0 + 0.5 1 \begin{aligned} \underline{2} - \underline{3}&=\sum_{x} \frac{\bigvee_{x_1 - x_2=x} \left(\underline{2}\left(x_{1}\right) \wedge \underline{3}\left(x_{2}\right)\right)}{x} \\ &= \frac{0.4 \wedge 0.6}{1-4}+\frac{(0.4 \wedge 1) \vee(1 \wedge 0.6)}{(1-3) \text { 或 }(2-4)}+\frac{(0.4 \wedge 0.5) \vee(1 \wedge 1) \vee(0.7 \wedge 0.6)}{(1-2) \text { 或 }(2-3) \text { 或 }(3-4)}+\frac{(1 \wedge 0.5) \vee(0.7 \wedge 1)}{(2-2) \text { 或 }(3-3)}+\frac{0.7 \wedge 0.5}{3-2} \\ & = \frac{0.4}{-3}+\frac{0.6}{-2}+\frac{1}{-1}+\frac{0.7}{0}+\frac{0.5}{1} \end{aligned} 23=xxx1x2=x(2(x1)3(x2))=140.40.6+(13)  (24)(0.41)(10.6)+(12)  (23)  (34)(0.40.5)(11)(0.70.6)+(22)  (33)(10.5)(0.71)+320.70.5=30.4+20.6+11+00.7+10.5

    上述步骤的第二步是理解模糊数运算的关键。从上面的过程不难看出,这里采用的模式正是上面标黑的内容。这里先是将所有运算出现的相同的结果分别写在不同的分母上,再根据不同的组合算出其对应的隶属度,分别最小再最终取大后,得到最终的运算结果。

    类似的还可以计算加法和乘法,其结果如下,可用于检验自己的理解是否正确:
    2 ‾ + 3 ‾ = 0.4 3 + 0.5 4 + 1 5 + 0.7 6 + 0.6 7 2 ‾ × 3 ‾ = 0.4 2 + 0.4 3 + 0.5 4 + 1 6 + 0.6 8 + 0.7 9 + 0.6 12 \begin{aligned} \underline{2}+\underline{3}&=\frac{0.4}{3}+\frac{0.5}{4}+\frac{1}{5}+\frac{0.7}{6}+\frac{0.6}{7} \\ \underline{2} \times \underline{3}&=\frac{0.4}{2}+\frac{0.4}{3}+\frac{0.5}{4}+\frac{1}{6}+\frac{0.6}{8}+\frac{0.7}{9}+\frac{0.6}{12} \end{aligned} 2+32×3=30.4+40.5+51+60.7+70.6=20.4+30.4+40.5+61+80.6+90.7+120.6
    此外,更为复杂的运算是在隶属度函数为连续实函数的情况。这里不多作介绍,相关内容可参考相关教材或课程。

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