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  • Python正态分布概率计算方法
    2020-11-27 23:13:50

    Python正态分布概率计算方法,喜欢算法的伙伴们可以参考学习下。需要用到math模块。先了解一下这个模块方法,再来写代码会更好上手。

    def st_norm(u):

    '''标准正态分布'''

    import math

    x=abs(u)/math.sqrt(2)

    T=(0.0705230784,0.0422820123,0.0092705272,

    0.0001520143,0.0002765672,0.0000430638)

    E=1-pow((1+sum([a*pow(x,(i+1))

    for i,a in enumerate(T)])),-16)

    p=0.5-0.5*E if u<0 else 0.5+0.5*E

    return(p)

    def norm(a,sigma,x):

    '''一般正态分布'''

    u=(x-a)/sigma

    return(st_norm(u))

    while 1:

    '''输入一个数时默认为标准正态分布

    输入三个数(空格隔开)时分别为期望、方差、x

    输入 stop 停止'''

    S=input('please input the parameters:\n')

    if S=='stop':break

    try:

    L=[float(s) for s in S.split()]

    except:

    print('Input error!')

    continue

    if len(L)==1:

    print('f(x)=%.5f'%st_norm(L[0]))

    elif len(L)==3:

    print('f(x)=%.5f'%norm(L[0],L[1],L[2]))

    else:

    print('Input error!')

    #www.iplaypy.com

    玩蛇网文章,转载请注明出处和文章网址:https://www.iplaypy.com/code/algorithm/a2236.html

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          学过概率论的相信对于正态分布都不会陌生,这个可以说是非常经典非常重要的一种概率分布了,在现实生活中也是广泛在使用的,比如说:男女的升高服从正态分布,灯泡的寿命服从正态分布,某地区的降雨量服从正态分布,诸如此类的实例还有很多,可以说我们生活中的很多场景都符合或者近似符合于正态分布。

          记得上学的时候,求解指定区间内的概率如下:

        往往都是转化为标准正态分布,之后借助于已经做好的表格来实现概率求解的。

         上面的求解方式能够满足很多需要,但是不能做很精细化的处理,这里先贴出来正态分布表格数据,如下:

    Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
    0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
    0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
    0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
    0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
    0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
    0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
    0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
    0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
    0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
    0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
    1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
    1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
    1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
    1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
    1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
    1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
    1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
    1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
    1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
    1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
    2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
    2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
    2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
    2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
    2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
    2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
    2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
    2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
    2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
    2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
    3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

             这是我专门整理过的,可以直接复制使用的。

             今天在网上看到了一个非常好玩的标准正态分布表,如下:

          借助于鼠标的左右移动就可以求解三种形式的正态分布区间概览,着实很方便,既然方便那么我就要拿下来,页面是基于js做的,我基于Python实现了计算模块的功能,具体实现如下:

    #!usr/bin/env python
    # encoding:utf-8
    from __future__ import division
    
    '''
    __Author__:沂水寒城
    功能: 正态分布区间概率值计算
    '''
    
    
    import math
    
    
    
    def normalcdf(X):
        '''
        计算正态分布的累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)
        '''
        T=1/(1+.2316419*abs(X))
        D=0.3989423*math.exp(-X*X/2)
        Prob=D*T*(0.3193815+T*(-0.3565638+T*(1.781478+T*(-1.821256+T*1.330274))))
        if X>0:
            return 1-Prob
        else:
            return Prob
    
    
    def zoneProbality(zVal,flag='0-z'):
        '''
        计算指定区间内的正态分布概率值
        '''
        if flag=='0-z':
            if zVal==0:
                return 0
            else:
                return abs(normalcdf(zVal)-0.5)
        elif flag=='inf-z':
            if zVal==0:
                return 0.5
            else:
                return normalcdf(zVal)
        elif flag=='z-inf':
            if zVal==0:
                return 0.5
            else:
                return 1-normalcdf(zVal)
        else:
            return None
    
    
    def low2upProbality(L=-1.2,U=2.3):
        '''
        计算给定Z值区间的概率值
        '''
        small=zoneProbality(L,flag='inf-z')
        big=zoneProbality(U,flag='inf-z')
        return big-small
    
    
    if __name__=='__main__':
        print zoneProbality(1.97,flag='0-z')  #0.47558088818
        print zoneProbality(-1.01,flag='0-z') #0.343752376611
    
    
        print zoneProbality(1.97,flag='inf-z') #0.97558088818
        print zoneProbality(-1.01,flag='inf-z') #0.156247623389
    
    
        print zoneProbality(1.97,flag='z-inf') #0.0244191118198
        print zoneProbality(-1.01,flag='z-inf') #0.843752376611
    
    
        print low2upProbality(L=-1.01,U=1.97)  #0.819333264791

            测试样例以及结果输出我都放在源代码中了,可以对比一下。

            相比于原始页面的三种计算方式,我这里做了一层扩展就是可以直接计算某一值落在给定的上下边界区间中的概率,这个功能相信会是经常使用到的。

     

     

    展开全文
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    一、离散随机变量及连续随机变量

    随机变量

    1. 离散随机变量(Discrete random variable):取值是可数个值(且只能为自然数0、1、2...)的随机变量

    2. 连续随机变量(Continuous random variable):取值是一个区间中任一实数(即变量的取值可以是连续的)的随机变量

    相应概率计算公式PMF/PDF/CDF

    1. 离散随机变量:概率质量函数(Probability Mass Function,PMF)

    PMF即离散随机变量在各特定取值上的概率

    2. 连续随机变量:概率密度函数(Probability Density Function,PDF)

    PDF:连续随机变量的概率密度函数是描述这个随机变量的输出值,在某个特定取值点附近可能性的函数。

    3. 累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)

    CDF:概率密度函数的积分,能完整描述一个随机变量X的概率分布。概率中的PDF,PMF,CDF - wanzer之家 - CSDN博客​blog.csdn.net

    二、离散概率分布及连续概率分布

    离散概率分布伯努利分布(Bernoulli Distribution):亦称“0-1分布”

    二项分布(Binomial Distribution):即重复n次独立的伯努利实验,每次试验中只有两种可能的结果。

    几何分布(Geometric Distribution):在n次伯努利试验中,试验k次才得到一次成功的概率(即前k-1次均失败)

    泊松分布(Poisson Distribution):一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。

    泊松分布一般需满足三个条件:事件的发生是小概率事件/事件间相互独立/事件发生的概率是稳定的

    连续概率分布

    正态分布(Normal Distribution):是所有分布趋于极限大样本的分布,属于连续分布。

    各种分布类型间关系二项分布的极限分布是泊松分布。

    泊松分布的极限分布是正态分布,即np=λ,当n很大时可近似相等。

    二项分布和泊松分布都可以用正态分布代替(需满足一定条件,中心极限定理or大数定律)。中心极限定理以及其和大数定律的区别 - 每天进步一点点 - CSDN博客​blog.csdn.nethttp://www.math.wm.edu/~leemis/2008amstat.pdf​www.math.wm.edu

    以下为各单变量分布间关系:

    各概率分布的Python实现:

    #导入包

    import numpy as np #数组包

    from scipy import stats #统计计算包的统计模块

    import matplotlib.pyplot as plt #绘图包

    %matplotlib inline

    1.伯努利分布(Bernoulli Distribution)

    #1、定义随机变量:抛一次硬币,0代表失败即反面朝上;1代表成功即正面朝上

    #(随机变量通常用大写字母表示)

    X=np.arange(0,2,1)

    X

    >>>

    array([0, 1])

    #2、求对应分布的概率:概率质量函数(PMF:Probabilily mass function)

    p=0.5 #硬币朝上的概率

    pList=stats.bernoulli.pmf(X,p)

    pList

    >>>

    array([0.5, 0.5])

    #3、绘图

    plt.plot(X,pList,linestyle='None',marker='o') #不需要将两点相连

    plt.vlines(X,0,pList) #绘制竖线,参数说明plt.vlines(x坐标值,y坐标最小值,y坐标最大值)

    plt.xlabel('随机变量:抛1次硬币结果为反面记为0,为正面记为1')

    plt.ylabel('概率值')

    plt.title('伯努利分布:p=%0.2f'%p)

    2.二项分布(Binomial Distribution)

    #1、定义随机变量:抛5次硬币,正面朝上的次数

    n=5 #做某件事的次数

    p=0.5 #做成功某件事的概率

    X=np.arange(0,n+1,1)

    X

    >>>

    array([0, 1, 2, 3, 4, 5])

    #2、求对应分布的概率

    pList=stats.binom.pmf(X,n,p) #参数含义为:pmf(k次成功,共n次实验,单次实验成功概率为p)

    pList

    >>>

    array([0.03125, 0.15625, 0.3125 , 0.3125 , 0.15625, 0.03125])

    #3、绘图

    plt.plot(X,pList,linestyle='None',marker='o')

    plt.vlines(X,0,pList)

    plt.xlabel('随机变量:抛5次硬币,正面朝上的次数')

    plt.ylabel('概率值')

    plt.title('二项分布:n=%i,p=%0.2f'%(n,p))

    3.几何分布(Geometric Distribution)

    #1、定义随机变量:首次表白成功所需次数k

    k=5 #做某件事的次数

    p=0.6 #做成功某件事的概率

    X=np.arange(1,k+1,1)

    X

    >>>

    array([1, 2, 3, 4, 5])

    #2、求对应分布的概率

    pList=stats.geom.pmf(X,p) #参数含义为:pmf(第X次成功,单次实验成功概率为p)

    pList

    >>>

    array([0.6 , 0.24 , 0.096 , 0.0384 , 0.01536])

    #3、绘图

    plt.plot(X,pList,linestyle='None',marker='o')

    plt.vlines(X,0,pList)

    plt.xlabel('随机变量:表白k次才首次成功')

    plt.ylabel('概率值')

    plt.title('几何分布:p=%0.2f'%p)

    4.泊松分布(Poisson Distribution)

    #1、定义随机变量:已知某路口平均每天发生事故两次,则该路口一天内发生k起事故的概率是多少?

    mu=2 #平均值:每天平均发生2起事故

    k=4 #该路口发生4起事故的概率

    X=np.arange(0,k+1,1)

    X

    >>>

    array([0, 1, 2, 3, 4])

    #2、求对应分布的概率

    pList=stats.poisson.pmf(X,mu) #参数含义为:pmf(发生X次事件,平均发生mu次)

    pList

    >>>

    array([0.13533528, 0.27067057, 0.27067057, 0.18044704, 0.09022352])

    #3、绘图

    plt.plot(X,pList,linestyle='None',marker='o')

    plt.vlines(X,0,pList)

    plt.xlabel('随机变量:该路口发生事故的次数')

    plt.ylabel('概率值')

    plt.title('泊松分布:平均值mu=%i'%mu)

    5.正态分布(Normal Distribution)

    #1、定义随机变量

    mu=0 #平均值

    sigma=1 #标准差

    X=np.arange(-5,5,0.1)

    #2、求对应分布的概率

    pList=stats.norm.pdf(X,mu,sigma) #参数含义为:pdf(发生X次事件,均值为mu,方差为sigma)

    #3、绘图

    plt.plot(X,pList,linestyle='-')

    plt.xlabel('随机变量:x')

    plt.ylabel('概率值:y')

    plt.title('正态分布:$\mu$=%0.1f,$\sigma^2$=%0.1f'%(mu,sigma))

    5.4、已知正态分布查找对应概率值

    分三步:确定分布范围、求标准分z值、查找z表格

    1. 确定分布范围(以左尾为例)如:p(k<1.05)

    2. 求标准分 标准分z=(1.05-平均值)/标准差

    3. 查找z表格

    其他:右尾及双尾

    三、正态分布与幂律分布正态分布(Normal distribution)

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    幂律分布表现为斜率为负的幂指数的直线,概率越高,占比越小,生活中的马太效应及长尾分布都是幂律分布的典型案例。简单来说,幂律分布就是告诉你世界是不公平的,较少的人拥有大部分财富(二八法则),于是在他们身上就体现了财富的加速积累情况。幂律分布 - Together_CZ的博客 - CSDN博客​blog.csdn.net

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  • 置信区间计算方法

    千次阅读 2019-11-11 22:12:28
    画图加个阴影,需要用到置信区间计算方法。SPSS和R应该都能算,这里简单罗列下三阶统计的计算方法。 1 均值的置信区间 以前保存的一个表格,来源未知。补充,对于非正态的数据的小样本数据,参考[这里]。...


    画图加个阴影,需要用到置信区间的计算方法。SPSS和R应该都能算,这里简单罗列下三阶统计的计算方法。

    1 均值的置信区间

    以前保存的一个表格,来源未知。补充,对于非正态的数据的小样本数据,参考这里

    在这里插入图片描述

    2标准差的置信区间

    标准差(SD)的自信区间计算方法,以Excel为例。

    Lower limit: =SD*SQRT((n-1)/CHIINV((alpha/2), n-1))

    Upper limit: =SD*SQRT((n-1)/CHIINV(1-(alpha/2), n-1))

    其中,n为数据样本,SD为标准差。alpha =0.05 for 95% 置信区间; 0.01 for 99% 置信区间。
    CHIINV返回 χ2 分布单尾概率的反函数值。如果 probability = CHIDIST(x,…),则 CHIINV(probability,…) = x。使用此函数可比较观测结果和期望值,可确定初始假设是否有效。

    3偏度的置信区间

    偏度的标准误差(SES)取决于样本的大小,其计算方法如下。
    在这里插入图片描述
    误差范围等于1.96乘以SES,偏度的置信区间等于计算出的偏度加上/减去误差范围。
    程序参考R语言的spssSkewKurtosis函数

    4 变异系数的置信区间

    变异系数的置信区间的相关论文挺多的,好几篇都是利用贝叶斯去评估CV的广义置信区间。
    在这里插入图片描述
    其中SE(CV)为变异系数的标准差SE (CV) ≈C /√2n,
    偏差校正系数的标准误差(SE) (CV*)≈ CV (1+1/4n)/√ 2n,
    α是显著性水平,95%的置信区间α= 0.05.
    计算方法ci.cv {MBESS 包}或者自举法【3】

    以上对于正态分布是成立的,对于非正态分布的数据,还需谨慎使用。对于小样本的置信区间计算方法可用bootstrap,详见我的博文

    5参考文献

    【1】David J. Sheskin, Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures, Fourth Edition, IBSN:1584888148.
    【2】https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/261/
    【3】自举法求CV的置信区间

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