我经常在代码中使用($var & 1) ，如果$var是一个奇数，则返回true，如果是偶数，则返回false。
但是“＆”实际上做了什么？
＆是二进制and 。  如果你有一个二进制值，你and另一个二进制值，那么结果将是按位and两个。  一个例子：01101010
& 01011001
= 01001000
最右边的位是1(在这种情况下，数字是奇数)，或者是0，在这种情况下，数字是偶数。  如果您& 1的数字，你只能看至少显著位，而如果检查的数量是1或0正如其他人所说，看位运算符的信息他们是如何工作的。
对于二进制系统来说两个基本的操作是OR和AND。
OR意思是'如果A打开或B打开'。  一个真实世界的例子是两个并联的开关。  如果任一个允许电流通过，则电流通过。
AND表示'如果A和B都打开'。  真实世界的例子是两个串联的开关。  如果两者都允许电流通过，电流只能通过。
在计算机中，这些不是物理交换机，而是半导体，其功能称为逻辑门。  他们和开关做类似的事情 - 对电流或电流做出反应。
当应用于整数时，一个数字中的每一位与另一个数字中的每一位相结合。  因此，要理解按位运算符OR和AND，需要将数字转换为二进制，然后对每对匹配位执行OR或AND操作。
这就是为什么：00011011 (odd number)
AND
00000001 (& 1)
==
00000001 (results in 1)
而00011010 (even number)
AND
00000001 (& 1)
==
00000000 (results in 0)
(＆1)操作因此使用AND逻辑将最右边的位与1进行比较。  所有其他位都被有效地忽略，因为任何东西都没有。  二进制中的偶数也是十进制的偶数(10是2的倍数)。
对二进制系统的其他基本操作包括NOT和XOR。  NOT表示'如果A关闭'并且是仅采用一个信号或'参数'而不是两个的逻辑门的唯一形式。  XOR表示'如果A或B开启，但不是两者'。  然后是NAND，NOR和NXOR，它们基本上不与AND，OR和XOR组合，即NAND意味着'如果A和B不都同时开启'。
在编程中，操作员& means AND,
| means OR,
~ means NOT, and
^ means XOR.
其他人可以通过组合这些来弥补，例如：~ (a & b) is equivalent to a NAND operation
PHP的具体说明
按位运算符不适用于浮点值，而在PHP中，浮点值将首先隐式转换为整数。  可以表示为整数的范围以外的数字将被截断为零 - 也就是说，在PHP_INT_MAX上的所有数字在表达式($num & 1)都会显示为“偶数”)。  如果你想支持PHP_INT_MIN / PHP_INT_MAX之外的数字，你需要使用fmod($num, 2) 。  但是，如果你使用的是64位PHP，那么你的整数比浮点数具有更高的精度。
了解关于按位和PHP的知识也很有趣：/**
* Regular
*/
echo (true && true); // 1
echo (true && false); // nothing
echo (true || false); // 1
echo (false || false); // nothing
echo (true xor false); // 1
echo (false xor false); // nothing
/**
* Bitwise
*/
echo (true & true); // 1
echo (true & false); // 0
echo (true | false); // 1
echo (false | false); // 0
echo (true ^ false); // 1
echo (false ^ false); // 0
链接地址: http://www.djcxy.com/p/1687.html

基于这本书：
resens：计算机硬件算法目录汉化COMPUTER ARITHMETIC : Algorithms ...​zhuanlan.zhihu.com
下文中，r表示基数，s表示数集。
有符号数的表示
无符号数
对于一个基r、k位的无符号整数，其表示范围应为：
注意！区间符号[a,b]表示的是某个表示系统上的区间，而不是实数集 
 上的区间。比如对于整数表示系统，所使用的[a,b]仅表示该区间上的所有整数，因为整数表示系统不能表示小数。
有符号数
让数带有正负如 
 的一种办法是，将基r、k位的无符号整数上的某1位（通常是最高位）作为符号位，通常约定符号位sign=1时表示该数为负数，sign=0时表示该数为正数。
如上图，可以看到有符号数具有+0和-0之分。
显然，基r、k位的有符号数的表示范围为：
有符号数的加法器
偏移表示系统
所谓偏移表示，就是给原表示数加一个偏移量bias，如我们可以令基2、4位的有符号数A加上一个8得到偏移后的A'：
可知A的表示范围是 
 ，给它+8后，得到的A'，其表示范围变成了 
 ，即基2、4位无符号数的表示范围。这不是巧合，这是无符号数与有符号数的一种联系。
（这里有符号数A的最高位被作为符号位，符号位=1表示负，=0表示正）
偏移表示系统的算数性质
对于自然数x、y和偏移量bias，显然有：
上式左边表示x±y的偏移数，而右边则是x的偏移表示和y的偏移表示的合或差。可以看出两者并不相等。
因此偏移表示数直接相加或相减会得到错误的运算结果，对于加法，错误的运算结果会比正确的运算结果少了一个bias；减法则是大了一个bias。
但是对于一些特例，如基2、偏移为 
 的偏移表示数，有：
显然右式的 
 刚刚好能给这个表示数产生一次上溢或下溢，于是可以忽略这个偏差，运算结果依旧正确。（打个比方就是，对于12小时制的时钟，其存在偏差，但如果偏差刚好等于12或-12，那还是等于没有偏差。）
直接对偏移数进行乘除运算非常困难。因此，偏移表示的实际应用仅限于浮点数的指数部分，它们从不被乘或除。
补码表示
对于补码表示系统，可以选择适当的互补常数 
 ，将负数 
 表示为无符号数 
 。下图描述了用于正负值的编码及正负区域间任意的边界：
为明确地表示范围 
 的整数， 
 必须满足 
 。
为防止上图中正负数区域间发生重叠，必须满足 
 。
令 
 可以产生最大的编码效率，不会有任何一位编码被浪费。
补码的算数性质
从上图可以看出，补码能够通过计算x+(-y)来间接计算x-y，从而统一了加减法。而普通的有符号数显然并不直接满足这个性质。这个性质使得补码表示受到了更多关注。
带小数补码
补码也可以被用于带小数数的表示，唯一的区别是在上图Fig.2.4中，连续的值将被 
 而不是1分开，比如如果精确到0.1，圈外的数就是0.1、0.2、0.3、0.4 ... 举个例子：
令M = 12.000，原定点数的表示范围为[-6.000 , +5.999 ]，于是原定点数 -3.258 的补码表示应为 12.000 − 3.258 = 8.742。
补码常数的选取
如果要应用补码，显然不可避免地会涉及这两个辅助计算操作：
求互补或改变符号（计算 
 ）
计算x模M的商
对于基 r 的，k 位整数和 l 位小数的系统，选取特殊的M可以简化这两个计算操作：
我将 radix complement 译为 基数补码，digit or diminished-radix complement译为数位补码。
2的补码和1的补码
2的补码（通常所说的补码）
作为基数补码的特例，对于基2的表示，选择互补常数 
 得到的补码系统称为2的补码。
对于2的补码，有：
 表示取反x的所有位，即可以通过取反x的每位，然后再加上ulp来求得x的补码。
 k 位的2的补码的表示范围为：
1的补码（通常所说的反码）
作为数位补码的特例，对于基2的表示，选择补码常数 
 得到的补码系统称为1的补码。
x的1的补码可以直接通过取反每位得到：
 k 位的1的补码的表示范围为：
这个范围是对称的，这是1的补码的优点之一。
基数补码和位数补码的比较
2的补码的加减混合运算器
对于2的补码，上面的加法器中的Cin被接入了ulp作为输入，来处理 
 中的ulp。
对于x的2的补码，需要特别地使用算数移位来保持与原x的逻辑移位的等价关系。具体地请百度算数移位和符号拓展。
直接计算与间接计算
直接计算就是直接计算，间接计算就是通过一个中间结果间接求出运算结果。例如我们可以通过三角函数的诱导公式将求任意角的三角函数值的问题转化为求0到90度间角的三角函数值的问题。（ sin(−x) = −sin x 及 sin(2π+x) = sin(π−x) = sin x ）
计算机也是如此，比如输入了9999个十进制原码（有正有复），要求出它们的乘积。计算机通常会先将他们转换为二进制表示（通常还会更具体地，用2的补码表示所有数以方便处理正负），然后在二进制下进性计算。最后解果才转回十进值输出。这样效率通常更高。
定点数或有符号数的应用
理解2的补码的一种方法是将其符号位的权重定义为（较原本权重）取负后的结果。如下式为例，最高位（符号位）的权重被设置为了负数，其它位依旧正常。这样可以直接将x的2的补码的值对应到x的值。
可以给数的每位的权重设置一个系数 λ , λ 可以在 1 和 -1 见取值。上式的例子中，最高位（符号位）的λ=-1，其它位的λ=1。其它例子如：
如果给基数表示系统每位的权重分别提供一个系数 λ ，可能会导致该表示系统变成冗余地，即一个数在该系统下可以有多种表示，一个例子就是平衡三进制。下面两图又是例子，每位可能为正，也可能为负：
参考文献
[Aviz61]   Avizienis, A., “Signed-Digit Number Representation for Fast Parallel Arithmetic,”IRE Trans. Electronic Computers, Vol. 10, pp. 389–400, 1961.
[Gosl80]   Gosling, J. B.,Design of Arithmetic Units for Digital Computers, Macmillan,1980.
[Knut97]   Knuth, D. E.,The Art of Computer Programming, 3rd ed., Vol. 2:SeminumericalAlgorithms, Addison-Wesley, 1997.
[Kore81]   Koren, I., and Y. Maliniak, “On Classes of Positive, Negative, and Imaginary RadixNumber Systems,”IEEE Trans. Computers, Vol. 30, No. 5, pp. 312–317, 1981.
[Korn94]  Kornerup, P., “Digit-Set Conversions: Generalizations and Applications,”IEEETrans. Computers, Vol. 43, No. 8, pp. 622–629, 1994.
[Parh90]   Parhami, B., “Generalized Signed-Digit Number Systems: A Unifying Frameworkfor Redundant Number Representations,”IEEE Trans. Computers, Vol. 39, No. 1,pp. 89–98, 1990.
[Parh98]   Parhami, B., and S. Johansson, “A Number Representation Scheme with Carry-FreeRounding for Floating-Point Signal Processing Applications,”Proc. Int’l. Conf.Signal and Image Processing, pp. 90–92, 1998.
[Scot85]    Scott, N. R.,Computer Number Systems and Arithmetic, Prentice-Hall, 1985.
[Swar07]  Swartzlander, E. E. Jr., “The Negative Two’s Complement Number System,”J. VLSISignal Processing, Vol. 49, No. 1, pp. 177–183, 2007.

数学是符号加逻辑——罗素 
罗素
(接上文)表示集合的方法通常有四种，即列举法 、描述法 、图像法和符号法 。
1.1 列举法
列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。例如，光学中的三原色可以用集合{红，绿，蓝}表示；由四个字母a,b,c,d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
1.1.1优点：可以明确集合中具体的元素及元素的个数。
1.1.2注意点：
①元素间必须用“，”分隔；
②集合的元素必须满足三个特性(确定性、互异性、无序性)；
③元素不能遗漏，重复的只写一次(互异性)；
④适应范围：
i.含有有限个元素且个数较少的集合；
ii.有些集合的元素较多，元素的排列又呈现规律性，在不致于发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他的元素用省略号表示。如{1,2,3，…，100}可以表示不大于100的自然数构成的集合。
iii.无限集有时也可以用上述的列举法表示，如自然数集：{0,1,2,3，…，n,…}，你明白它与{0,1,2,3，…，n}的区别吗？
1.2 描述法
描述法的形式为{代表元素∣代表元素满足的性质}，亦即{x∣p(x)}。
设集合S是由具有某种性质P的元素的全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x|P(x)}。例如，由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x2=2}。而有理数Q和正实数集R+则可以分别表示为
Q={x∣x=p/q p,q∈Z，p,q既约且q≠0}和 R+={x∣x∈R,x>0}
1.2.1注意点：
i.在不致发生误解时，x的取值集合可以省略不写；例如，实数集R中取值“∈R”常常省略不写，上述R+={x∣x∈R,x>0}也可以写作R+={x∣x>0}。
ii.所有描述都要写在 “{ }”内；
iii.大括号是集合的表示，故已包含“所有”的意思吗，比如实数集(即所有实数构成的集合)的表示是R,不是{ R }.
iv.大括号内的“，”除了隔开的意思外，往往兼有“且”的意思，注意灵活使用.
v.用描述法表示集合时，首先弄清楚集合的类型，是数集、点集还是其他类型.
vi.描述法多用于元素个数无限的集合。
1.2.2描述法运用的关键点： 你能正确地区别下面四个集合吗？
总结：看清集合的“代表元素”，从而判断集合元素所共有的“特征性质”。
1.3 图像法
图像法，又称韦恩图法、文氏图法(不同是因为音译的不同)，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法 。
小历史：数学的表述往往很抽象，而图形则以其生动活泼的形象展现在人们的面前。康托尔的集合论首次提出的时候，许多人都感到难以理解，把这一理论形容成“雾中之雾”。然而英国的逻辑学家韦恩(venn,1834～1923)建议用简单的圆表示集合，并用两圆相交的公共部分来表示两个集合的交集合，还用图形表达两个集合或三个集合间的关系。这种抽象中的形象，使得深奥的集合理论，一举变得人人感到非常亲切、合理。
把抽象的东西形象化，再通过直观的形象来深化抽象的内容，这大概就是数学教师的最终使命，也是教学的真谛。是谋求形象中的抽象，还是谋求抽象中的形象，这正是数学研究与数学教学的分水岭。
1.4 符号法
有些集合可以用一些特殊符号表示，举例如下：
N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}，英语单词Natural的首字母。
N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}
Z：整数集合{…,-1,0,1,…}，德语中的整数叫做Zahlen，德国人诺特在引入整数环概念的时候运用到它。当然它也是zone的首字母。
Q：有理数集合， Q是英语/德语中Quotient(商)的首字母。
R：实数集合(包括有理数和无理数)，英文名字The set of real number。
C：复数集合，英文名字complex number。
∅ ：空集(不含有任何元素的集合)
1.5元素与集合的关系符
属于符号“∈”，不属于“∉”
2.集合的相关问题
2.1基数，集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集 。
2.2集合的分类(按照元素个数的可数性)，一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集 。
2.3集合元素的特性
2.3.1确定性，给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
2.3.2互异性，一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。
2.3.3无序性，一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。
关于集合元素特性的题目，重点互异性
填空题：
判断题：你觉得一元二次方程ax2+bx+c=0的解集表示成如下形式正确吗？它兼顾到无序性吗？确定性呢？
2.4区间
3.对集合表示的解读
集合是高一新生遇到的第一个问题，往往会出现眼高手低的现象。集合表面上看并不是很难，事实上它也确实不难，但是它却非常重要。从前面的论述中也可以看到，它关涉的基本上都是数学语言、思想方法方面的问题，关系到我们如何去分析、解读概念、符号、图形等等问题。下面的前两个问题是整个高中必须掌握的思想方法必须达到精确理解与正确表述。 
3.1数形结合
华罗庚说：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。”
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面:第一种情形是"以数解形"，而第二种情形是"以形助数"。"以数解形"就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
由于数形结合的例子与相关文章很多，其中集合中的数形结合问题，大多是关于集合运算的，后文再说，其他的笔者也说不出什么新的花样，故不多说，自己去看相关文章。
3.2数学符号意识
《标准(2011年版)》指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”
比如，学习“数数”可以看作学习数学起点，数字符号：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……可以看作我们最早接触的数学符号，它给我们带来了巨大的方便，其中的“位值制”又蕴涵着最重要的数学智慧。
比如集合中已经学过的符号，表示集合的A,B,C…,{ }；列举法中的“，”；描述法中{x∣p(x)}；常见数集表示N,Z,Q,R,C；元素与集合的关系符∈，∉等等。当然还有我们接下来要学习的交、并、补、子集、空集就更多了。后文会有相关的问题。
3.3对区间解读
3.3.1注意前提条件
很多教师对区间的概念根本不讲，至多如上面那样列出图表就完事了，让学生死记硬背，以致后面的部分题目就会出现问题，如区间必须注意的是前提条件(a
若A=｛x|－1≤x≤7｝,B=｛x|k+1≤x≤2k－1｝,且A∩B=Φ,则k的取值范围为 .
若A=[-1，7]，B=[k+1，2k-1]，且A∩B=Φ,则k的取值范围为 .
3.3.2注意开区间和闭区间
一开一闭，大不相同。举个好玩的但很有难度的例子吧！
闭区间[0,1]与开区间(0,1)的区别，前者有最大值1和最小值0，而后者没有最的大数与最小的数。
假想闭区间里的每个点都是一个小人儿，下雨啦，它们撑起了无数的小伞，小伞替每个点都很好地遮了雨。有一条定理说：这时没有必要用无穷多把伞，从这些伞里一定可以挑出有限把，其他的都收起来，照样遮雨。这就是微积分学里一条有名的定理，叫“有限覆盖定理”。
有趣的是，对开区间(0，1)，却没有“有限覆盖定理”。
比如，下面这无穷多的一串伞(如下图)：
确实遮盖了(0,1)中的每个点。如图所示：
具体的说，(1/3,1)包含了1/2，(1/4,1/2)又包含了1/3，(1/5,1/3)包含了1/4，……
(1/(n+1), 1/(n-1))包含了1/n.
但是，绝不可能从这一串“伞”里挑出有限把伞，替(0,1)中的每个点都遮好雨。
事实很清楚，如果挑出来的这有限把伞里最左边的是(1/(m+1), 1/(m-1)),那么，1/m这个点便淋雨了。
比1/m更小的那些数所表示的点，当然也都是不行的挨雨淋的小东西。
多两点与少两点，这里面大有文章，值得反复推敲。数学家看问题，就是这样反复推敲的。
而中学生解决的方法是代入检验法或者极限法。
要知后续如何，下文在分解吧。

展开全部
包括2的区间[2,+∞)  集合描述法 {x∈R| 2≤x
现代解释
无穷大，谓一个变量在变化32313133353236313431303231363533e59b9ee7ad9431333363396364过程中，其绝对值永远大于任意大的已定正数。一般用符号∞来表示。应用
无穷或无限，数学符号为∞。来自于拉丁文的"infinitas"，即"没有边界"的意思。它在神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。
在神学方面，例如在像神学家东斯歌德(Duns Scotus)的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。
在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关:数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金的无限群、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。哲学
我们眼中的无限在上帝眼中都为有限，我们无法理解上帝的无限，因为我们不被允许跨越过上帝的知识范围。数学
对于无限有以下解释或定义
"无限不是指边界外就没有东西，而是指边界外永远有另一个边界存在。"
在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关:数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金-无限群、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。在一些主题或概念中，无穷被认为是一个超越边界而增加的概念，而不是一个数。
在大众文化方面，《玩具总动员》中巴斯光年的口头禅:"To infinity and beyond!"(到达无穷，超越无穷)，这句话也可被看作研究大型基数的集合论者的呐喊。集合论
在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数(基数)，有不同的"无穷"。
这里比较不同的无穷的"大小"的时候唯一的办法就是通过是否可以建立"一一对应关系"来判断，而抛弃了欧几里得"整体大于部分"的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系，它们就具有相同的无穷基数。
例如， 可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为阿列夫0。
比可数集合"大"的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同。
由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是，无穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的"无穷大"，它不能对应于一个基数，否则会产生康托尔悖论的一种形式。换号数学数字反应现像多余感应验收破译驳运数字。