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    原文出处:  阮一峰(@ruanyf)

    学习编程的时候,经常会看到stack这个词,它的中文名字叫做”栈”。

    理解这个概念,对于理解程序的运行至关重要。容易混淆的是,这个词其实有三种含义,适用于不同的场合,必须加以区分。

    含义一:数据结构

    stack的第一种含义是一组数据的存放方式,特点为LIFO,即后进先出(Last in, first out)。

    bg2013112901

    在这种数据结构中,数据像积木那样一层层堆起来,后面加入的数据就放在最上层。使用的时候,最上层的数据第一个被用掉,这就叫做”后进先出”。

    与这种结构配套的,是一些特定的方法,主要为下面这些。

    • push:在最顶层加入数据。
    • pop:返回并移除最顶层的数据。
    • top:返回最顶层数据的值,但不移除它。
    • isempty:返回一个布尔值,表示当前stack是否为空栈。

    含义二:代码运行方式

    stack的第二种含义是“调用栈”(call stack),表示函数或子例程像堆积木一样存放,以实现层层调用。

    下面以一段Java代码为例。

    class Student{
        int age;             
        String name;     
     
        public Student(int Age, String Name)
        {
            this.age = Age;
            setName(Name);
        }
        public void setName(String Name)
        {
            this.name = Name;
        }
    }
     
    public class Main{
        public static void main(String[] args) {
                Student s;          
                s = new Student(23,"Jonh");
        }
    }

    上面这段代码运行的时候,首先调用main方法,里面需要生成一个Student的实例,于是又调用Student构造函数。在构造函数中,又调用到setName方法。

    bg2013112902

    这三次调用像积木一样堆起来,就叫做”调用栈”。程序运行的时候,总是先完成最上层的调用,然后将它的值返回到下一层调用,直至完成整个调用栈,返回最后的结果。

    含义三:内存区域

    stack的第三种含义是存放数据的一种内存区域。程序运行的时候,需要内存空间存放数据。一般来说,系统会划分出两种不同的内存空间:一种叫做stack(栈),另一种叫做heap(堆)。

    bg2013112903

    它们的主要区别是:stack是有结构的,每个区块按照一定次序存放,可以明确知道每个区块的大小;heap是没有结构的,数据可以任意存放。因此,stack的寻址速度要快于heap。

    bg2013112904

    其他的区别还有,一般来说,每个线程分配一个stack,每个进程分配一个heap,也就是说,stack是线程独占的,heap是线程共用的。此外,stack创建的时候,大小是确定的,数据超过这个大小,就发生stack overflow错误,而heap的大小是不确定的,需要的话可以不断增加。

    根据上面这些区别,数据存放的规则是:只要是局部的、占用空间确定的数据,一般都存放在stack里面,否则就放在heap里面。请看下面这段代码。

    public void Method1()
    {
        int i=4;
     
        int y=2;
     
        class1 cls1 = new class1();
    }

    上面代码的Method1方法,共包含了三个变量:i, y 和 cls1。其中,i和y的值是整数,内存占用空间是确定的,而且是局部变量,只用在Method1区块之内,不会用于区块之外。cls1也是局部变量,但是类型为指针变量,指向一个对象的实例。指针变量占用的大小是确定的,但是对象实例以目前的信息无法确知所占用的内存空间大小。

    这三个变量和一个对象实例在内存中的存放方式如下。

    bg2013112905

    从上图可以看到,i、y和cls1都存放在stack,因为它们占用内存空间都是确定的,而且本身也属于局部变量。但是,cls1指向的对象实例存放在heap,因为它的大小不确定。作为一条规则可以记住,所有的对象都存放在heap。

    接下来的问题是,当Method1方法运行结束,会发生什么事?

    回答是整个stack被清空,i、y和cls1这三个变量消失,因为它们是局部变量,区块一旦运行结束,就没必要再存在了。而heap之中的那个对象实例继续存在,直到系统的垃圾清理机制(garbage collector)将这块内存回收。因此,一般来说,内存泄漏都发生在heap,即某些内存空间不再被使用了,却因为种种原因,没有被系统回收。

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  • 网络概念- IPRAN的含义及来历——转载

    万次阅读 多人点赞 2019-04-09 14:39:21
    引言:偶然看到了IPRAN这个词,不知道什么意思,然后查了一下,结果出现了连锁反应。参考链接如下: https://zhidao.baidu.com/question/560342510.html ...wfr=spider&for=pc 一 含义 IPRAN中的IP 指的是...

    引言:偶然看到了IPRAN这个词,不知道什么意思,然后查了一下,结果出现了连锁反应。参考链接如下:

    https://zhidao.baidu.com/question/560342510.html

    https://baijiahao.baidu.com/s?id=1610549300903624530&wfr=spider&for=pc


    一 含义

    IPRAN中的IP 指的是互联协议,RAN指的是Radio Access Network。相对于传统的SDH传送网,IPRAN 的意思:“无线接入网IP化”, 是基于IP的传送网。网络IP化趋势是近年来电信运营商网络发展中最大的一个趋势,在该趋势的驱使下,移动网络的IP化进程也在逐步的展开,作为移动网络重要的组成部分,移动承载网络的IP化是一项非常重要的内容。

    传统的移动运营商的基站回传网络是基于TDM/SDH建成的,但是随着3GLTE等业务的部署与发展,数据业务已成为承载主体,其对带宽的需求在迅猛增长。SDH传统的TDM独享管道的网络扩容模式难以支撑,分组化的承载网建设已经成为一种不可逆转的趋势。

    二 来历

    在开始之前,先要解释一下TDM的概念。

    TDM,就是时分复用,就是将一个标准时长(1秒)分成若干段小的时间段(8000),每一个小时间段(1/8000=125us)传输一路信号。

    SDH系统的电路调度均以TDM为基础,所以看到很多人说SDH业务就是TDM业务,就是传统的电路调度,是有理论依据的。

    SDH全称叫做同步数字传输体制,是一种传输的体制协议。你可以把SDH简单的理解为集装箱运输。
    以2M业务为例。每个2M业务就是一件货物。先把货物装在一个标准的盒子里(VC12),然后给盒子贴上一个指示其位置的标识标签(TU-12),再把三个这样的贴了标签的盒子装在一个大一点的盒子里(TUG2),再把七个大盒子装在一个更大的盒子里(TUG3),再把三个更大的盒子装在一个货箱中(VC4)。然后在货箱上加上有关这箱货物中各个盒子的一些附加信息(段开销和指针),这样就组成了一个集装箱运输车(STM-1)。多个集装箱运输车还可以合在一起形成更长的集装箱运输车队(STM-N)。这样的集装箱车队就在光纤组成的高速公路上行驶,运输货物。在货物的接收端,就按上面相反的方式把货物(2M业务)取出来。

    但在SDH大红大紫的时候,另一场战争在以太网和ATM(不是取款机,是“异步传输模式”,一种以信元为基础的分组交换和复用技术)之间开打。

    在这场大战中,以太网取得全面胜利,从而大行其道。其中又以IP最为强势,导致后来很多业务侧都IP化了,可以说是“当红炸子鸡”。

    这样的话,SDH是一个大红人,以太网是另一个大红人,能否合作一下???一拍即合,MSTP诞生!

    MSTP(Multi-Service Transfer Platform)(基于SDH 的多业务传送平台)是指基于SDH 平台同时实现TDM、ATM、以太网等业务的接入、处理和传送,提供统一网管的多业务节点。

    在合资公司MSTP中,股份分配不太均匀:SDH占股70%,以太网占股20%,其它包括ATM占股10%。

    可以看出来,掌权的还是SDH,内核还是TDM,TDM的一切劣势都依旧保留,如刚性管道。

    以太网和ATM因为股权问题,都没有拿出像样的东西,只是须有其表(提供相应接口)而已。

    随着互联网的大力普及,电脑、手机、电视等终端都能上网了,带宽的需求急剧增加,电信运营商们赚钱的机会来了。

    但是,挑战也来了,以前1*155M(STM-1)可以供好上千人打电话,现在人们在打电话时还要上网,带宽需求增长和现网资源出现激烈的矛盾。要解决这个矛盾,我们就来看看SDH这位红人平时是如何与人相处的:

    SDH这位红人一直都是我行我素,唯我独尊,从不与人分享公共资源,比如二环批给我跑,二环就不许有其它车辆经过,上面就我一辆车。刚开始,我这个车能拉1个客人(STM-1),那么二环的效率就是运送了一个人(155M--STM-1),后来把车吨位升级了,我能拉64个客人(64*STM-1),那么二环的效率就是(10G-STM-64),这就是环速率。如果有个时间段没有人需要运送,那么我就空跑,沿路看看风景、美女什么的,这时的效率就是0,其它道路就是堵死了也和我没关。

    由于比较固执,自己也有很多的无奈,比如你的车能装64位客人,但现在有65位客人,对不起,我也只能运64人,我们把这种低效率运作方式叫刚性管道。

    现在需要运送的客人越来越多了,忙不过来了,解决方法有三个:

    第一种:多修几条路(新建光缆),进行人员分流;缺点:成本和周期太长--------PASS

    第二种:升级汽车吨位(提高速率);缺点:汽车厂还没研发出更大载重的车辆(电子元器件受限)-PASS

    第三种:将二环划分成多个车道(波道),多个车辆共享道路

    领导看后,立即批示:方案三可行,立即执行!

    于是乎,波分产生。

    波分,就是波分复用,WDM。

    波分就是将多个车道(波道)的车辆(信号)放到同一条道路(光纤)中进行传送。

    • 高速公路: 光纤
    • 巡逻车: 监控信号
    • 加油站: 光中继(放大)站
    • 灰色汽车: 不同的客户侧业务
    • 彩色汽车: 不同通道(波长)内的承载业务
    • 车道: 光波长

    这里又根据车道间隔大小,分为两类:

    车道间隔为20nm的,为稀疏波分,又称粗波分。

    车道间隔小于等于0.8nm的,为密集波分。

    这样带宽成倍增加了,暂时解决了带宽不足的问题!可以休息休息了……

    WDM得到重用后,各地纷纷仿效,现在的WDM不仅在城市主干道里使用(城域波分),还用在跨市、跨省道路上(长途波分)。

    它的具体工作方式是各种类型的货物或乘客(业务信号)都被装载到一辆辆汽车中,汽车按照预先分配的车道(波道)行驶。中间汽车需要加油我们还设置了加油站(光放站OLA)。司乘人员需要吃饭休息补充体力,我们为他们设置临时休息区(中继站)。当然我们还是离不开交警系统的支持(光监控OSC或电监控ESC)。

    随着人们需求的不断增加,车道数也由刚开始的16或32一下子扩充到40、80、160,目前施工水平(制造工艺)已经突破200个车道数(波道)。

    但我们的管理水平还是很低的,主要体现在一下几个方面:

    1、交通管理消息传递不畅(OAM缺乏,操作维护管理(Operation Administration and Maintenance)是指根据运营商网络运营的实际需要,通常将网络的管理工作划分为3大类:操作(Operation)、管理(Administration)、维护(Maintenance),简称OAM。):

    WDM的初衷就是为了解决带宽不够问题,没有考虑到带宽提高后,管理也要跟上呀。

    现在最大的问题是车辆多了,如何对每一辆车的状态做到了如指掌,交警(OSC)感到力不从心。

    这时,有几位SDH的司乘人员在小声谈论:我们SDH公交系统,都有统一的管理机构,每一辆车上都有司机和售票员,分工明确,还用实时视频监控(在线监测),公司时刻都能了解每一辆车的运行状况,WDM你差的太远了。

    2、调度不够灵活:

    WDM在设计之初就有一个严重缺陷:比如一个货物要从西安运到北京,预先分配的车道是10车道(第10波),那么从西安到北京全程都是第10车道,不能更改,除非你经过了好几个高速段(光再生段),如西安-郑州、郑州-北京,那么你在郑州可以有一次更换车道的机会,而且这种更换车道的代价是为你这次的行为专门修一条小路(布放光纤)。

    以前SDH遇到类似的情况时就在郑州修一个大的调度中心,所有问题都解决了。

    3、容易堵死(保护不完善):

    在城市主干道或省际快速道路上,为了提高效率,在公路设计时就考虑到与普通道路的区别,只设置几个很少的出口,其它全是封闭的。

    这样带来的后果是一旦发生拥堵或交通事故,乘客就会闹得不可开交(业务中断)。

    想想我们的城市公交SDH,司机一看到前面堵车,马上就抄小路了。可能会有几个乘客不能在目的地下车(少量业务中断),但是绝大部分乘客都能顺利到达。究其原因,就是有大量可用迂回路由,再加上灵活调度(司机就可决定)。

    交通运输局(ITU-T,中文名称是国际电信联盟电信标准分局(ITU-T for ITU Telecommunication Standardization Sector), 它是国际电信联盟管理下的专门制定电信标准的分支机构。)看到问题所在,从以下几个方面进行改革:

    1、为所有上路车辆增加监控设备以及必要的安全管理员----增加OAM开销。

    2、在交通枢纽节点增设调度枢纽-----增加业务调度(车道间调度【光层调度】和货物或乘客间调度【电层调度】)。

    3、依托调度枢纽,加上在道路上预留一部分车道或一部分车辆,为所有车辆提供完善的保障-----完善保护机制。

    SDH笑道:这是什么改革,我们一直都是这样做的,就是容量没你大而已。

    WDM回应道:我容量确实比你大得多,但这些方面没你们做得好。

    他们握手言欢,优势互补,一个全新的模式诞生了------OTN(光传送网,OpticalTransportNetwork)。

    概况一下OTN:

    OTN是在WDM基础上,融合了SDH的一些优点,如丰富的OAM开销、灵活的业务调度、完善的保护方式等。

    OTN对业务的调度分为:光层调度和电层调度。

    光层调度可以理解为是WDM的范畴;电层调度可以理解为SDH的范畴。

    所以简单的说:OTN=WDM+SDH

    但OTN的电层调度工作方式与SDH还是有些不同的地方——

    回顾一下SDH的特点:

    1、统一发车频率,1秒发车8000次,制度规定,无法更改(沿袭PDH制度,PDH采用准同步数字系列(PDH)的系统,是在数字通信网的每个节点上都分别设置高精度的时钟,这些时钟的信号都具有统一的标准速率。)。

    2、通过研发更大吨位的车辆来提高容量,高容量的车一般是由4辆低一个容量级别的车拼接而成,所以不同容量的车结构是不一样的。

    OTN电层调度的工作特点:

    1、所有车辆的大小、规格、容量均统一,外形尺寸:4*4080。

    2、根据需求提高发车频率。

    优点:

    1、无需不断研发更大容量的车,减低开发成本。

    2、统一结构,便于管理。

    3、跨区域运输方便(异厂家互通方便)。

    4、理论上,可以通过提高发车频率就可以无限提高容量,实现方式更简单明了。

    花开两朵,各表一支,我们对以前的红人SDH在江湖的发展做了详细的描述。现在的SDH也只相当于OTN掌门下的一个堂主而已了,那么另一位红人它现在发展的如何呢?

    话说当年,以太网和ATM,就像华山派,以剑术精妙独步武林,在武林中有较高的声望,但在华山派中有分为以剑为主以气为辅的剑宗和以气为主以剑为辅的气宗。以太网就像剑宗,ATM就像气宗。

    以太网以简单著称,容易上手引来众多门徒;ATM因其内功心法太过高深,修炼之人寥寥。最后的争斗中以太网获得大胜,这与小说中的情节不相符,令人费解……

    直到有一天,以太网在为如何将本门派再发扬光大烦恼,同时ATM也在为有如此高深的武功没人赏识郁闷。二位昔日的对手,偶遇并交谈后,ATM想借以太网来提高影响,以太网想借ATM的内功精髓来壮大声势,一拍即合。

    两人经过数月秘密商讨,并在一年之后,共同发布了一本新的武功秘笈——MPLS(多协议标签交换)。

    该部武功秘笈后来被改编为多个版本,是其它武功的重要基础,这是后话!

    以太网的声势越来越大,再加上又有MPLS助阵,逐渐有了可以抗衡SDH的实力,所以才有了SDH与以太网的初步融合,诞生了MSTP。但MSTP因为股权问题,还是SDH主导,以太网、ATM只能是配角,以太网并不高兴,发誓要有所改观……

    为了对抗SDH阵营,以太网大力发展自己的势力范围,走农村包围城市的策略,先将末端IP化(业务侧IP化)。IP可以作为SDH的货物,通过SDH进行传输。

    但问题出来了:

    SDH当初开发时就对货物有严格的外形要求,必须是“块状结构”,而且大小也是标准的,每一个座位也是按照这个要求做的,这样运输的效率最高。

    后来IP这种长相奇特(格式不同)的货物越来越多,就算是专门开发出了MSTP。

    说白了MSTP就是在SDH车辆上给IP和ATM留了几个专座而已,IP还是不能很好的运输!

    原因是IP是以太网门下的得力弟子,以太网就是因为简单、无拘无束、尽力而为等特点为其创派宗旨。所以IP也有此特性,有的小巧,有的肥大(IP帧长可变)。如果SDH/MSTP中的IP较少,问题不大。如果IP占到一半以上,恐怕车辆的改造成本就太大了。

    MSTP:如果分组业务低于50%,仍有成本优势。

    但现在的问题是IP货物越来越多,我要自己成立运输公司,而且要我说了算,不能再受制于SDH了。

    同时SDH也再想,能不能将车厢分成二层,一层给原来的业务,一层专门给IP预留,这样就可以兼顾了。

    现在真是百家争鸣的时期,各种新公司、新技术都涌现出来。

    我们先说SDH阵营,由于先前MSTP成立时,股权分配不均,有很多遗留问题,导致现在以太网严重不满意。

    现在SDH集团研究后推出MSTP+(也叫Hybrid MSTP),50/50股权分配,车辆变成二层,二层分开管理和调度,两套调度体系(双内核交叉);也不失为一种好的补偿措施。

    再说以太网阵营,自由散漫惯了,现在出现了两种大的分歧:

    一种认为我们自己成立的运输公司不让SDH的客户(TDM业务)上车,如果一定要进来,必须改头换面-伪装(仿真),同时我们没有时间上的保证(无时间同步),我们纯粹为我们以太网服务,我们的公司名叫IP-RAN。

    一种认为我们应该吸收一些SDH的客户,SDH经营了这么多年,它的客户还是很多的(还有很多TDM业务需求),同样进来后还是要改头换面-伪装(仿真),然后再我们的帮派里活动,出帮派后再去掉伪装还原成自己原来的模样,这个公司取名叫PTN。PTN(分组传送网,Packet Transport Network)是一种光传送网络架构和具体技术。

    无论哪种方式,伪装-易容术总少不了,随后就开发了PWE3易容术。

    在PTN公司中又有2大派别:

    一派是融合MPLS、易容术PWE3和MSTP的产物--------MPLS-TP派别。

    一派是融合了QinQ和MSTP的产物------------------PBT派别。

    对于MPLS-TP派别,当年支持者众多,有华为、中兴、烽火、阿朗、爱立信、中移动等重量级明星。

    对于PBT派别,支持者仅有北电网络,人单势孤。

    所以我们现在看到的PTN绝大部分是MPLS-TP派别。

    随着相互学习,现在的IP-RAN和PTN的差别也越来越小了,IP-RAN的优势是三层无连接服务,但PTN现在也可以实现了;以前PTN为了传输SDH的客户TDM业务,专门开发了时间和时钟同步系统叫1588系统。IP-RAN也学过来了,也支持这一系统了。

    真应了那句话:分久必合,合久必分啊!

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  • 矩阵特征值和特征向量物理含义

    千次阅读 2017-01-09 10:55:55
    最近在做聚类的时候用到了主成分分析PCA技术,里面涉及一些关于矩阵特征值和特征向量的内容,在网上找到一篇对特征向量及其物理意义说明较好的文章,整理下来,分享一下。   一、矩阵基础[1]: 矩阵是一个...

    最近在做聚类的时候用到了主成分分析PCA技术,里面涉及一些关于矩阵特征值和特征向量的内容,在网上找到一篇对特征向量及其物理意义说明较好的文章,整理下来,分享一下。

     

    一、矩阵基础[1]

    矩阵是一个表示二维空间的数组,矩阵可以看做是一个变换。在线性代数中,矩阵可以把一个向量变换到另一个位置,或者说从一个坐标系变换到另一个坐标系。矩阵的“基”,实际就是变换时所用的坐标系。而所谓的相似矩阵(clip_image002),就是同样的变换,只不过使用了不同的坐标系。线性代数中的相似矩阵实际上就是要使这些相似的矩阵有一个好看的外表,而不改变其变换的功用。

    矩阵虽然是二维的,但我们通常把矩阵的大小称为矩阵的维度。例如一个3乘3的矩阵就可以说是一个三维矩阵。

     

    二、直观性说明[2]

    我们先来看点直观性的内容。矩阵的特征方程式是:

    clip_image004

    矩阵实际可以看作一个变换,方程左边就是把向量x变到另一个位置而已;右边是把向量x作了一个拉伸,拉伸量是lambda。那么它的意义就很明显了,表达了矩阵A的一个特性就是这个矩阵可以把向量x拉长(或缩短)lambda倍,仅此而已。

    任意给定一个矩阵A,并不是对所有的向量x它都能拉长(缩短)。凡是能被矩阵A拉长(缩短)的向量就称为矩阵A的特征向量(Eigenvector);拉长(缩短)的量就是这个特征向量对应的特征值(Eigenvalue)。

    值得注意的是,我们说的特征向量是一类向量,因为任意一个特征向量随便乘以一个标量结果肯定也满足上述方程,当然这两个向量都可以看成是同一特征向量,并且它们也对应于同一个特征值。

    如果特征值是负数,则说明矩阵不但把特征向量拉长(缩短)了,而且使该向量的方向发生了反转(指向了相反的方向)。一个矩阵可能可以拉长(缩短)多个向量,因此它就可能有多个特征值。另外,对于实对称矩阵来说,不同特征值对应的特征向量必定正交

    我们也可以说,一个变换矩阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基。所谓基,可以理解为坐标系的轴。我们平常用到的大多是直角坐标系,在线性代数中可以把这个坐标系扭曲、拉伸、旋转,称为基变换。我们可以按需求去设定基,但是基的轴之间必须是线性无关的,也就是保证坐标系的不同轴不要指向同一个方向或可以被别的轴组合而成,否则的话原来的空间就“撑”不起来了。在主成分分析(PCA)中,我们通过在拉伸最大的方向设置基,忽略一些小的量,可以极大的压缩数据而减小失真。

    变换矩阵的所有特征向量作为空间的基之所以重要,是因为在这些方向上变换矩阵可以拉伸向量而不必扭曲和选择它,使得计算大为简单。因此特征值固然重要,但我们的终极目标却是特征向量。

     

    三、几个重要的抽象概念

    1、核

    所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合,通常用Ker(A)来表示。

    假设你是一个向量,有一个矩阵要来变换你,如果你不幸落入了这个矩阵的核里面,那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。特别指出的是,核实“变换”(Transform)中的概念,矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示,联系到矩阵时才用A,本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间,也就是全部向量原来的空间。

    2、值域

    某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合,通常用R(A)来表示。

    假设你是一个向量,有一个矩阵要来变换你,这个矩阵的值域表示了你将来所有可能的位置。值域的维度也叫做秩(Rank)。值域所在的空间定义为W空间。

    3、空间

    向量与建立在其上的加、乘运算构成了空间。向量可以(也只能在)空间中变换。使用坐标系(基)在空间中描述向量。

    不管是核还是值域,它们都是封闭的。意思是说,如果你和你的朋友困在核里面,你们不管是相加还是相乘都还会在核里面,跑不出去,这就构成了一个子空间。值域同理。

    数学家证明了,V(核所在的空间定义为V空间)的维度一定等于它的任意一个变换矩阵的核的维度加上值域的维度。

    clip_image006

    严格的证明可以参考相关资料,这里说一个直观的证明方法:

    V的维度也就是V的基的数目。这些基分为两部分,一部分在核中,一部分是值域中非零象的原象(肯定可以分,因为核和值域都是独立的子空间)。如果把V中的任意向量用基的形式写出来,那么这个向量必然也是一部分在核中,另一部分在值域中非零象的原象里。现在对这个向量作变换,核的那部分当然为零了,另一部分的维度刚好等于值域的维度。

     

    四、变换矩阵行空间和零空间的关系

    根据矩阵的性质,变换矩阵的行数等于V的维度,变换矩阵的秩等于值域R的维度,所以可以得出:

    clip_image008

    因为A的秩又是A行空间的维度(注意在非满矩阵中这个数肯定小于行数),所以上述公式可以变为:

    clip_image010

    之所以写成这个形式,是因为我们可以发现A的零空间和A的行空间是正交互补的。正交是因为零空间就是核,按定义乘以A的行向量当然为零。互补是因为它们加起来刚好张成整个V空间。

    这个正交互补导致了非常好的性质,因为A的零空间和A的行空间的基组合起来刚好可以凑成V的基。

     

    五、变换矩阵列空间和左零空间的关系

    如果把以上方程取转置,则可以得到:

    clip_image012

    因为clip_image014的实际意义是把值域和定义域颠倒过来了,所以clip_image014[1]的零空间就是值域以外的区域投向V中零点的所有向量的空间,有人将其称为“左零空间”(Left Null Space)。这样就可以得到:

    clip_image016

    同样,A的左零空间与A的列空间也正交互补,它们加起来刚好可以张成W空间,它们的基也构成了W的基。

     

    六、变换矩阵行空间和列空间的关系

    变换矩阵实际上就是把目标向量从行空间转换到列空间。

    矩阵的行空间、列空间、零空间、左零空间构成了我们在线性代数研究中的所有空间,把它们的关系弄清楚,对于分别的基转换非常重要。

     

    七、特征方程的秘密

    我们试图构造一个这样的变换矩阵A:它把向量变换到一个值域空间,这个值域空间的基是正交的;不仅如此,还要求任对于意一个基v都有 clip_image018 的形式,clip_image020 是原来空间的一个已知基。这样我们就能把复杂的向量问题转换到一个异常简单的空间中去。

    如果clip_image020[1] 的数量不等于v,那么用clip_image022取代A,可以变为一个对称且半正定矩阵,它的特征向量正是要求的基v!

    再次说明,矩阵不等于变换,把矩阵看成变换只是提供一个理解变换矩阵的方法。或者,我们可以认为,矩阵只是变换的一种变现形式。

     


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    这是stage0中tree0的结构

    翻译成图意义就是


    其中特征值的计算为利用积分图求rect2区域的像素和乘2减去rect1区域的像素和

    rect1 为2 7 16 4、 rect2为2 916 2



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