LC串联选频电路
 
一.缘由
 
高频电路实现的就是信号的无线传输功能。我们以语音信号传输来说，语音信号要实现传输，自然需要传输的介质，在此我们称之为传导，而传导和传播是不同的，根据互易定理可以知道他们的关系。这里我们不多说这个，因为不是很必要。
 信号要传播，就总是需要发出去信号，而发信号和接收信号，很自然，是需要天线的。天线要多高呢，信号的波长是与天线尺寸相比拟的。根据下面这个公式可以计算天线的高度参考值：
 
 语音信号的频率范围是20Hz~20kHz，电信中的范围是300Hz-3.4kHz。如果我们按照频率最大值20kHz来计算的话，那么天线高度的参考值就是
 
 你说，谁会给家里栽一个15公里高的天线，这明显不可能。
 但是光速的值是不变的，因此为了减少天线的高度，我们只能增大信号的频率了，这里也就涉及到了频率变换，变成啥样子？变大！
 通常我们使用三角函数来表示信号，这里我们假设是余弦函数cos。数学中有这样的一个变换关系，叫积化和差：
 
 而我们需要的，就是cos(A+B)这个信号的频率A+B。只要他们设计的足够大，天线的长度自然会很小。但是后面的A-B确实不能说不要了，人家就不在了，因此需要选频电路，留下A+B，滤掉A-B。
 而串联谐振电路就是选频电路中的比较简单也常用的一个。下来就说说这个电路的特性以及相关的推导。
 
二.LC串联选频电路
 
我们知道，电路比较复杂时，需要等效。
 
 
 
串联电路的等效，用戴维南定理；并联电路的等效，用诺顿定理。
 
 
如图，是我们要研究的对象电路：
 
 
 
 
不好意思，忘了标了，图中的啥都没标的那个电阻即是电阻Rs。
 
 
根据基尔霍夫电压定律或者欧姆定律我们都可以求出电流i。注意i是小写，大写表示直流，小写表示交流。电路中的电阻有RL、Rs，还有电容和电感的阻抗，等效为虚拟电阻R。根据KVL，可以得：
 
 对上式进行分析：
 电流的模值等于
 
 自变量为角频率w，R为固定值，无论虚部的w是变无穷大还是变无穷小，电流i总是变小。当虚部为零时，分母最小，电流最大。此时的角频率计算如下：
 
 此时电流有最大值：
 
 与角频率相对应，可以计算频率的大小。为了方便记忆，将电路取最大值时的角频率w记为w0，频率记为f0，电流记为Im0:
 
 
 
 
注意这里的w0的表达式哦，在下面的长段推导中会用到这个式子的变形。
 
 
在表征电路性能指标参数时，我们可参考下图中各项的参数来求：
 
 
 
 
1.图中的fc和fH的中间就是f0，即电流最大值对应的频率值。
 2.关于根号二分之一：
 在无线电技术中，常把U/Um从根号二分之一下降到对应的两个频率的单位成为通频带，对应于-3dB。根二分之一等于0.707或0.7。
 
 
fc和fH表示的是选频滤波器的上下限频率，以此可以计算滤波器的带宽B。图中的电流最大值Im0在上面已经求出来了，下来就是要计算最大值的0.707倍时，带宽B的值。并对此进行拓展，计算Im/Im0为任意比时的带宽B的计算方法。为什么要计算带宽B呢？因为要设计滤波器，而选频的实质就是用滤波器选择想要的频率。下来就做具体的推导了！
 
 推导到了这一步，把QL叫做品质因数。下来取近似：当w和w0很接近的时候，认为w约等于w0。在此基础上，有原式等于：
 
 
 
 
注：对上式的w和w0都除以2兀，便转化为了频率f。
 而B=2(f-f0)，因此就可以化为带宽的求解了。
 
 
至此，令上式等于根二分之一，就可以解得:
 
 
 
 
B0.7指定的就是通频带带宽。0.7就是根二分之一。
 
 
并根据推导过程中的步骤，可以知道品质因数为：
 
 以上的内容就是串连谐振电路的基本参数的求解。
 
可以看到，当串联电路谐振时，电路的电流有最大值，为什么呢，因为此时电感和电容的阻抗相互抵消了，为什么抵消了，你去看看w0是怎么计算出来的，就明白了。并且谐振时，电路中的R就是唯一的计算实际用到比较多的电阻了。但是R一般是肉眼看不到的，要得到R的值，一般要利用品质因数Q。所以Q的表达式也很重要了。
总之，只要明白了串联电路何时谐振，谐振后，电路会怎样，参数什么的都会有什么变化，就差不多没问题了。
 
这些参数都是设计选频电路时的重要指标。不过大多数人看到这篇文章的，应该更多的是怎么用它来做题吧，所以就拿个题来说下。
 
 
 
给定串联谐振回路的f0=1.5MHz，C0=100pF。谐振时电阻R=50欧姆，试求Q0和L0。又若信号源电压振幅Vsm=1mV，求谐振回路中的电流I0以及回路原件上的电压VLom和VCom。
 
 
 
 
分析：谐振时的频率给出来了，自然可以知道角频率。再依据谐振时的角频率就可以算出电感的值L。再依据品质因数表达式就可以算出品质因数Q0。最后利用串联谐振回路的电感和电容相互抵消的特性，就可以计算出回路原件上的电压了。不过这里涉及到了相量的计算，注意计算就好了。
 
 
 
 
计算过程求解：
 
 
 
至此，串联谐振回路的基本知识就说这些了。
 有问题的话，希望各位指出，谢谢。
 另外，我是J.GMson，附我的QQ:1197658381。

LC串联谐振电路回路广泛地用于超外差收音机的选频电路之中，如输入回路、变频电路、中频电路等。
 
 LC串联谐振电路回路的性能及特点。
 
 上图为一LC串联谐振电路，其中R表示线圈L的损耗电阻。该电路的交流阻抗为
 Z=R j（），当回路发生谐振时，=0，故回路的谐振频率为：
 f0=
 

该串联电路谐振时的特点是，回路的阻抗最小且Z0＝R；信号电压一定时，回路的电流最大且I0＝Vs/R；电感或电容两端的电压最大，且是信号电压的Q倍。Q的定义为：

 Q＝

 Q叫回路的品质因数。

 

 LC串联选频电路的幅频特性、通频带和选择性。 

 1. LC串联谐振电路回路电流的幅频特性
由上图知，该电路的电流

 
 
 为方便起见，通常用电流的相对比值（称归一化）来表示串联回路电流的幅频特性：

 

 利用上式可画出下图的幅频特性曲线（即谐振曲线）。

 
 
 从曲线看出：Q值愈大，曲线愈尖锐，回路的选择性愈好。

 

 2. LC串联电路回路的通频带
在谐振频率附近，f
 f0=[≈2f


  上式代入式可得

 
 
 满足a≥(即0.707)的频率认为可以通过回路，通过回路的频率范围称通频带，通频带的宽度用B表示，

 

 由此可见： Q值越低，通频带越宽，Q值越高，通频带越窄。

 

 3. LC串联谐振电路回路的选择性
回路的选择性通常用谐振曲线的矩形系数Kr来表示，如图Z1004所示，Kr定义为a下降到0.1时的频宽B0.1与a下降到0.7时频宽B0.7的比值，即 

 
 

 R、L、C串联回路的矩形系数为：

 
 
 理想矩形系数Kr=1，而LC串联回路谐振曲线矩形系数较大，因此选择性较差。

三分频用两个在不同的时钟沿的序列发生器来构成一个3分频信号：
 
`timescale 1ns/10ps
module div_3(clkin,clkout1,clkout2,clkout3);
input clkin;
output clkout1,clkout2,clkout3;
reg [1:0] step1,step0;
always @(posedge clkin)
begin
  case(step0)
    2'b00: step0 <= 2'b01;
    2'b01: step0 <= 2'b10;
    2'b10: step0 <= 2'b00;
    default: step0 <= 2'b00;
  endcase
end
always@(negedge clkin)
begin
  case(step1)
  2'b00: step1 <= 2'b01;
  2'b01: step1 <= 2'b10;
  2'b10: step1 <= 2'b00;
  default: step1 <= 2'b00;
endcase
end
assign clkout1 = step0;
assign clkout2 = step1;
assign clkout3 = ~(step0|step1);
endmodule
 
测试程序如下：
 
module div_2_tb();
reg clkin;
wire clkout1,clkout2,clkout3;
div_3 wt (.clkin(clkin),  .clkout1(clkout1),.clkout2(clkout2),.clkout3(clkout3));

initial 
begin
  clkin = 0;
end

always
  begin
    #10 clkin = ~clkin;
  end
  
endmodule