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    LC串联选频电路

    一.缘由

    高频电路实现的就是信号的无线传输功能。我们以语音信号传输来说,语音信号要实现传输,自然需要传输的介质,在此我们称之为传导,而传导和传播是不同的,根据互易定理可以知道他们的关系。这里我们不多说这个,因为不是很必要。
    信号要传播,就总是需要发出去信号,而发信号和接收信号,很自然,是需要天线的。天线要多高呢,信号的波长是与天线尺寸相比拟的。根据下面这个公式可以计算天线的高度参考值:
    波长与频率的关系
    语音信号的频率范围是20Hz~20kHz,电信中的范围是300Hz-3.4kHz。如果我们按照频率最大值20kHz来计算的话,那么天线高度的参考值就是
    天线高度计算
    你说,谁会给家里栽一个15公里高的天线,这明显不可能。
    但是光速的值是不变的,因此为了减少天线的高度,我们只能增大信号的频率了,这里也就涉及到了频率变换,变成啥样子?变大!
    通常我们使用三角函数来表示信号,这里我们假设是余弦函数cos。数学中有这样的一个变换关系,叫积化和差:
    积化和差公式
    而我们需要的,就是cos(A+B)这个信号的频率A+B。只要他们设计的足够大,天线的长度自然会很小。但是后面的A-B确实不能说不要了,人家就不在了,因此需要选频电路,留下A+B,滤掉A-B。
    而串联谐振电路就是选频电路中的比较简单也常用的一个。下来就说说这个电路的特性以及相关的推导。

    二.LC串联选频电路

    我们知道,电路比较复杂时,需要等效。

    串联电路的等效,用戴维南定理;并联电路的等效,用诺顿定理。

    如图,是我们要研究的对象电路:
    LC串联电路

    不好意思,忘了标了,图中的啥都没标的那个电阻即是电阻Rs。

    根据基尔霍夫电压定律或者欧姆定律我们都可以求出电流i。注意i是小写,大写表示直流,小写表示交流。电路中的电阻有RL、Rs,还有电容和电感的阻抗,等效为虚拟电阻R。根据KVL,可以得:
    电流
    对上式进行分析:
    电流的模值等于
    电流模值
    自变量为角频率w,R为固定值,无论虚部的w是变无穷大还是变无穷小,电流i总是变小。当虚部为零时,分母最小,电流最大。此时的角频率计算如下:
    角频率的·求解
    此时电流有最大值:
    电流最大值
    与角频率相对应,可以计算频率的大小。为了方便记忆,将电路取最大值时的角频率w记为w0,频率记为f0,电流记为Im0:
    参数计算

    注意这里的w0的表达式哦,在下面的长段推导中会用到这个式子的变形。

    在表征电路性能指标参数时,我们可参考下图中各项的参数来求:
    电路参数

    1.图中的fc和fH的中间就是f0,即电流最大值对应的频率值。
    2.关于根号二分之一:
    在无线电技术中,常把U/Um从根号二分之一下降到对应的两个频率的单位成为通频带,对应于-3dB。根二分之一等于0.707或0.7。

    fc和fH表示的是选频滤波器的上下限频率,以此可以计算滤波器的带宽B。图中的电流最大值Im0在上面已经求出来了,下来就是要计算最大值的0.707倍时,带宽B的值。并对此进行拓展,计算Im/Im0为任意比时的带宽B的计算方法。为什么要计算带宽B呢?因为要设计滤波器,而选频的实质就是用滤波器选择想要的频率。下来就做具体的推导了!
    t推导过程
    推导到了这一步,把QL叫做品质因数。下来取近似:当w和w0很接近的时候,认为w约等于w0。在此基础上,有原式等于:
    约等于

    注:对上式的w和w0都除以2兀,便转化为了频率f。
    而B=2(f-f0),因此就可以化为带宽的求解了。

    至此,令上式等于根二分之一,就可以解得:
    带宽

    B0.7指定的就是通频带带宽。0.7就是根二分之一。

    并根据推导过程中的步骤,可以知道品质因数为:
    品质因数
    以上的内容就是串连谐振电路的基本参数的求解。

    • 可以看到,当串联电路谐振时,电路的电流有最大值,为什么呢,因为此时电感和电容的阻抗相互抵消了,为什么抵消了,你去看看w0是怎么计算出来的,就明白了。并且谐振时,电路中的R就是唯一的计算实际用到比较多的电阻了。但是R一般是肉眼看不到的,要得到R的值,一般要利用品质因数Q。所以Q的表达式也很重要了。
    • 总之,只要明白了串联电路何时谐振,谐振后,电路会怎样,参数什么的都会有什么变化,就差不多没问题了。

    这些参数都是设计选频电路时的重要指标。不过大多数人看到这篇文章的,应该更多的是怎么用它来做题吧,所以就拿个题来说下。

    给定串联谐振回路的f0=1.5MHz,C0=100pF。谐振时电阻R=50欧姆,试求Q0和L0。又若信号源电压振幅Vsm=1mV,求谐振回路中的电流I0以及回路原件上的电压VLom和VCom。

    分析:谐振时的频率给出来了,自然可以知道角频率。再依据谐振时的角频率就可以算出电感的值L。再依据品质因数表达式就可以算出品质因数Q0。最后利用串联谐振回路的电感和电容相互抵消的特性,就可以计算出回路原件上的电压了。不过这里涉及到了相量的计算,注意计算就好了。

    计算过程求解:
    计算过程

    至此,串联谐振回路的基本知识就说这些了。
    有问题的话,希望各位指出,谢谢。
    另外,我是J.GMson,附我的QQ:1197658381。

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    LC串联谐振电路回路广泛地用于超外差收音机的选频电路之中,如输入回路、变频电路、中频电路等。

    LC
    串联谐振电路回路的性能及特点。
    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路
    上图为一LC串联谐振电路,其中R表示线圈L的损耗电阻。该电路的交流阻抗为
    Z=R j
    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路),当回路发生谐振时,LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路=0,故回路的谐振频率为:
    f0=LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路


    该串联电路谐振时的特点是,回路的阻抗最小且Z0R;信号电压一定时,回路的电流最大且I0Vs/R;电感或电容两端的电压最大,且是信号电压的QQ的定义为:

    Q
    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路

    Q
    叫回路的品质因数。



    LC
    串联选频电路的幅频特性、通频带和选择性。

    1. LC
    串联谐振电路回路电流的幅频特性
    由上图知,该电路的电流

    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路

    为方便起见,通常用电流的相对比值(称归一化)来表示串联回路电流的幅频特性:

    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路

    利用上式可画出下图的幅频特性曲线(即谐振曲线)。

    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路

    从曲线看出:Q值愈大,曲线愈尖锐,回路的选择性愈好。



    2. LC
    串联电路回路的通频带
    在谐振频率附近,f
    f0=[
    2f
    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路

    上式代入式LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路可得

    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路

    满足aLC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路(0.707)的频率认为可以通过回路,通过回路的频率范围称通频带,通频带的宽度用B表示,

    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路

    由此可见: Q值越低,通频带越宽,Q值越高,通频带越窄。



    3. LC
    串联谐振电路回路的选择性
    回路的选择性通常用谐振曲线的矩形系数Kr来表示,如图Z1004所示,Kr定义为a下降到0.1时的频宽B0.1a下降到0.7时频宽B0.7的比值,即

    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路


    R
    LC串联回路的矩形系数为:

    LC串联电路-LC串联谐振电路-LC串联选频电路

    理想矩形系数Kr=1,而LC串联回路谐振曲线矩形系数较大,因此选择性较差。

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    三分频用两个在不同的时钟沿的序列发生器来构成一个3分频信号:

    `timescale 1ns/10ps
    module div_3(clkin,clkout1,clkout2,clkout3);
    input clkin;
    output clkout1,clkout2,clkout3;
    reg [1:0] step1,step0;
    always @(posedge clkin)
    begin
      case(step0)
        2'b00: step0 <= 2'b01;
        2'b01: step0 <= 2'b10;
        2'b10: step0 <= 2'b00;
        default: step0 <= 2'b00;
      endcase
    end
    always@(negedge clkin)
    begin
      case(step1)
      2'b00: step1 <= 2'b01;
      2'b01: step1 <= 2'b10;
      2'b10: step1 <= 2'b00;
      default: step1 <= 2'b00;
    endcase
    end
    assign clkout1 = step0;
    assign clkout2 = step1;
    assign clkout3 = ~(step0|step1);
    endmodule
    

    测试程序如下:

    module div_2_tb();
    reg clkin;
    wire clkout1,clkout2,clkout3;
    div_3 wt (.clkin(clkin),  .clkout1(clkout1),.clkout2(clkout2),.clkout3(clkout3));
    
    initial 
    begin
      clkin = 0;
    end
    
    always
      begin
        #10 clkin = ~clkin;
      end
      
    endmodule
    

     

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