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  • 2019-10-31 10:06:50

    给定比特币n天内的价格表,完成一个算法计算你通过买卖能获得的最大收益。要求考虑执行效率。
    (你不能在第一次买入前卖出,而且一次买或者卖只能是一份,买卖次数不限,但你必须在再次购买前卖出之前买入的比特币。)
    举例:
    价格表:[5,3,1,5,4,7,8,6] 输出: 8
    解释:
    第3题(价格1)买,第4天(价格5)卖,收益4;然后第五天(价格4)买,第7天(价格8)的时候卖出,收益4;总共收益8.。

    一开始看的时候其实被题目中的解释误导了,其实简单来看,只要是有卖出的价格比买入高就可以出售,收益的总值其实是一样的,比如,第五天价格4买,然后7卖,7再买,8卖,总收益为4;跟4买,8卖,收益为4是相同的。所以就有了如下判断 if (prices[i + 1] > prices[i])

        function getSum (prices) {
            let sum = 0;
            for (let i = 0; i < prices.length - 1; i++) {
                if (prices[i + 1] > prices[i]) {
                    sum += prices[i + 1] - prices[i];
                }
            }
            return sum;
        }
        getSum([5,3,1,5,4,7,8,6]) // 8
    
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    珍惜每一分钱,把它当成摇钱树的种子

    经济学中有个重要的概念就是边际。边际概念的应用十分广泛,在投资学中学会运用边际概念可以让我们学会管理风险的同时获得更大收益。

    图片来自网络

    文章共有三个部分,依然是干货满满。

    一:什么是边际?生活中如何运用边际效应

    二:投资学中怎么运用边际概念

    三:实战举例投资中运用边际效应

    什么是边际?生活中如何运用边际

    边际的概念就是新增加的东西所带来的新增。边际效应在生活中也是很常见的。比如:边际递减效应

    1:我们肚子饿的时候吃饭刚开始吃会觉得很好吃,这时饭带给你的愉快感会>饭的成本,但是我们越往后吃饭随着肚子越来越饱我们就不会再从吃饭里获得愉快感了,这就是边际递减效应,当我们吃到某一口时我们的愉快感消失了,但是我们吃的饭还是要花钱的它是有成本的,所以此时我们吃饭的边际成本要>边际收入(吃饭愉快感)那么此时我们就要停止吃饭。

    2:我们小时候学习考试,考到90分努努力不难,但是想要从90分考到100分很难,需要花费的时间和精力甚至要多过从0分考到90分,而收益只是从90分到100分增加10分此时的收益明显跟付出不成正比,而我们往往要同时学习很多课程,时间和精力有限,所以只选择考到90分比较明智。

    生活中我们总是想追求利益最大化,其实就是在追求边际成本=边际收入的那一个平衡点,这时我们所获得的利益就是最大的。因为在增加的话边际成本就大于边际收入了。那么我们在投资上也总是想获得利益的最大化,那么关键就是找到风险和收益的平衡点。

    图片来自作者

    投资学中怎么运用边际概念

    在我们投资的过程中,我们总是想要找到收益高同时风险低的投资产品,但是我们都知道风险和收益往往是成正比的,我在之前的文章里也说过能带给你高收益低风险的不是骗子就是你的父母。所以,我们要追寻的不是高收益低风险而是要学会管理风险。我们可以运用经济学中的边际效用。把边际收益看成是投资的收益率,边际成本看成是投资中的风险。我简单画下如图:

    图片来自作者

    注意:图像中收益率逐渐向下的,风险逐渐向上,表示的是某个时刻收益率和风险率的对比,比如收益率线在风险线上面说明此时的获得收益的风险较小。

    虽然没有收益高风险低的产品,但是我们学会了管理风险后,就可以找到一个大概位置,此时的收益明显>风险。那么此时就是我们投资的好时候也就是投资最好的上车机会,如上图。

    1:我们可以看出图像平衡点往左,可以说收益是大于风险的,此时投资面临的风险很小,同时能够取得的收益往往很大,那么这时候就是投资上车最好的机会。

    2:图像中间,随着收益和风险会达到一个平衡点,这时投资的收益和风险刚好一样,想获得多少收益率就要承受多大的风险。此时是否要投资就要看你的心里承受能力了。

    3:图像右边,此时的风险明显大于收益了,这时我们如果想要多获得一点收益往往就要承受非常大的风险那么此时就不是一个好的投资机会,因为此时收益跟风险不成正比,并且这时最好的做法应该是把你投资产品抛出去的时候。

    实战举例投资中运用边际效用

    在我们证券投资中也就是投资股票过程中,我们都知道股票代表上市公司,它的价格受到市场情绪影响是会不断变化的,那么好的价格指的就是便宜的价格,也就是当前的股票价格低于企业的内在价值。

    比如:鸡蛋内在价值2元钱,但是有一天有人说了吃鸡蛋会生病那么此时鸡蛋卖不出去了,价格也降到了一元钱,如果此时你知道鸡蛋吃了不仅不会生病还可以补充蛋白质对人身体有益,那么这时你就会多买点鸡蛋,因为价格低于了它的内在价值,是购买鸡蛋的好机会。同样如果有一天人们说吃鸡蛋可以包治百病随着人们争抢鸡蛋,鸡蛋价格也上升到了3元,那么如果你知道鸡蛋没有那么神奇,吃了鸡蛋不会包治百病,那么此时鸡蛋的价格就高于了它的内在价值,所以你不仅不会买,甚至家里有鸡蛋的话也会拿出来卖。

    证券投资也是这个原理,生活中突发的事情我们一般称为黑天鹅,就像鸡蛋有时有人说吃了会生病导致鸡蛋价格下跌,有时有人说吃了包治百病导致价格会上升一样,最近我们都知道股市受疫情影响人们恐慌分分抛售股票导致股票大幅下跌,如果你理智就会发现这是人们恐慌心里导致的,等到疫情结束情绪稳定了股价肯定会回升的那么此时的购买股票的收益就>风险,那么这时就是购买股票好的时候,因为便宜的买才能便宜的卖。买的便宜也就可以卖的便宜

    好了,我们知道了股市中的边际原理以后,教给刚进入股市小白一个最实用的技巧,可以判断当前是不是一个好的购买股票时机。

    看大盘指数,大盘指数一般指的是上证指数和深圳成指,不过我们内地一般指的是上证指数把它称为大盘指数就是下图:

    图片来自作者

    就是图中最左边的上证指数,它代表市场整体水平。我们可以通过它来判断此时股市的整体价格是不是趋于便宜,从而判断当前购买股票收益和风险的关系那么我直接把结论告诉你:

    1:上证指数<3000点。此时机会大于风险,也就是获得高收益的同时承担的风险很小。当然越低于3000点,机会就越大,如果足够低,那就卖房卖车为国护盘的时刻到了。你相信股市,股市就不会让你失望。

    2:上证指数=3000点,此时机会和风险一样也就是要获得多大的收益就要承担多大的风险。此时要不要投资需要根据自己的心里承受范围来定,如果拿不准建议定投指数基金。

    3:上证指数>3000点,此时风险逐渐大于机会,当然越高于3000点风险越大,这时想要获得高收益就要承受更大的风险了,所以现在这个位置不适合建仓,最好的方式就是分批抛售。

    当然上述主要对于保守投资而言的,尤其是刚入市的新人来说,股龄久股民当然已经总结出适合自身的投资体系了,事实上就算高点买入股票被套了也是有解决办法的,如果你感兴趣可以给我留言。

    投资有风险,入市需谨慎

    如果你不了解股市还是建议不要去碰,不然就是白白给别人送钱,你可以去定投指数基金,巴菲特也不止一次推荐指数基金,基金每年的平均收益率也在12%以上而且有专业人士帮我们投资,风险更低,收益相对风险来说也更高一些。

    图片来自网络

    好了,感谢你看完今天我分享的文章

    如果你对边际有很深的理解也可以评论区跟我留言

    如果你在投资中遇到或者有更好的投资策略也欢迎跟我讨论

    最后,祝你投资顺利

    谢谢你!

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  • 【高级微观经济学】利润最大化

    千次阅读 2021-09-27 21:33:48
    一、目标函数:利润最大化 二、利润最大化必要条件 1、内点解 (1)单要素情况: (2)双要素情况:

    一、目标函数:利润最大化

     

    二、利润最大化必要条件

    1、内点解

    (1)单要素情况:

     

     (2)双要素情况:

    2、角点解:

    即存在投入水平为0的要素。即X>=0。我们结合该约束条件构建拉格朗日函数:

    可知,当投入生产要素为0时,其边际产出价值:p*f_{i}(X^{*}) 必然小于该要素价格\omega

    注意:这里的p为产品价格,f_{i}(X^{*})为边际产量,两者相乘为边际价值。

    三、要素需求函数的性质

    1、厂商要素需求:

    \mathbf{x}(p, \mathbf{w}); 厂商产品供给:y(p, \mathbf{w}) = f(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}))

    产品供给为要素需求的函数;要素需求为要素价格、产品价格的函数。

    2、要素需求函数\mathbf{x}(p, \mathbf{w})是要素价格的减函数

    (1)利润最大化的一二阶必要条件

    (2)一阶必要条件等式对要素价格 \omega 求导,得

    又已知二阶必要条件等式

    因此,要素需求函数对要素价格\omega的导数小于0,即要素需求是要素价格的减函数。

    3、要素需求函数\mathbf{x}(p, \mathbf{w})为产品价格的增函数

    (1)同样根据利润最大化的一二阶必要条件:

     (2)等式(2.8)对产品价格p求导:

    整理得,

    又根据一阶必要条件f'>0

    根据二阶必要条件知f''<0 ,得

     可知要素需求函数为产品价格的增函数。

    4、双要素情况:要素需求为其价格的减函数

    (1)根据利润函数对产品价格求一阶导:

    pf(\mathbf{w}) - \mathbf{w} \mathbf{x}

    (2)对要素1价格w_{1}求一阶偏导 :

     

     (3)对要素2价格w_{2}求一阶偏导 :

     

     (4)写成矩阵形式:

     求逆,得

     已知利润最大化的二阶必要条件为:生产函数的海赛矩阵为半负定的

     

     因此得等式左侧矩阵为半负定的,其主对角线元素为负值,即:

    得要素需求为其价格的减函数。

    5、双要素情况:要素价格的交叉效应对称

    又知生产函数的海赛矩阵为对称矩阵,即f12=f21,因此左侧矩阵同样为对称矩阵,得:

    因此,要素i需求量对要素j价格的弹性 等于 要素j需求量对要素i价格的弹性,即要素价格的交叉效应对称。

    四、利润函数

    将厂商所能达到的最大利润定义为其利润函数

    1、利润函数的性质

    (1)\pi (p, \mathbf{w})是产品价格p的增函数,是每一要素价格w_{i}的减函数;

    (2)\pi (p, \mathbf{w})(p, \mathbf{w})的一次齐次函数:

    (3) \pi (p, \mathbf{w})(p, \mathbf{w})的凸函数。

     2、证明:\pi (p, \mathbf{w})是产品价格p的增函数

    (1)设要素需求函数\mathbf{x}(p^{i}, \mathbf{w}),设p^{1} \leqslant p^{2}

    (2)根据利润函数定义:

    \pi(p^{i}, \mathbf{w}) = p^{i}f(\mathbf{x}(p^{i}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{i}, \mathbf{w})

    知 \pi(p^{2}, \mathbf{w}) = p^{2}f(\mathbf{x}(p^{2}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{2}, \mathbf{w})

    (3)因为\mathbf{x}(p^{2}, \mathbf{w})为利润最大化的解,因此\pi(p^{2}, \mathbf{w})大于任何利润函数,注意只改变X(p,w)的值

    p^{2}f(\mathbf{x}(p^{2}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{2}, \mathbf{w}) \geqslant p^{2}f(\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})

    (4)又根据p^{1} \leqslant p^{2}知,p^{2}f(\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w}) \geqslant p^{1}f(\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})

    p^{2}f(\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w}) \geqslant \pi(p^{1}, \mathbf{w})

    (5)最终得,\pi(p^{2}, \mathbf{w}) \geqslant \pi(p^{1}, \mathbf{w}),证明\pi(p^{i}, \mathbf{w})为产品价格p的增函数。

     3、证明: \pi (p, \mathbf{w})是每一要素价格w_{i}的减函数

    (1)同理设\mathbf{w}^{2} \geqslant \mathbf{w}^{1} 

    \pi(p, \mathbf{w}^{i}) = pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{i})) - \mathbf{w}^i\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{i})

    \pi(p, \mathbf{w}^{1}) = pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{1})) - \mathbf{w}^1\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{1})

    因为\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{i})为利润最大化的解,因此其利润函数\pi(p, \mathbf{w}^{1})大于任何利润,仍然只改变X(p,w)的值

    pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{1})) - \mathbf{w}^1\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{1})\geqslant pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{2})) - \mathbf{w}^1\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^2)

    pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{2})) - \mathbf{w}^1\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^2) \geqslant pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{2})) - \mathbf{w}^2\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^2)

    \pi(p, \mathbf{w}^{1}) \geqslant \pi(p, \mathbf{w}^{2}),证明 \pi (p, \mathbf{w})是每一要素价格w_{i}的减函数。

    4、证明:利润函数为一次齐次函数

     设\mathbf{x}(p, \mathbf{w})为利润最大化问题的解,因此其大于所有利润函数

     两边同乘t,得

    因此X(p,w)为下述最大化问题的解:

    写出PI(tp, tw)的函数,将t提取出来,即得证。

    5、证明:利润函数为(p,w)的凸函数

     

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    题目来源于力扣–https://leetcode-cn.com/

    1.可以多次买卖一支股票
    2.不能参加多笔交易,买之前需要把之前的股票卖掉

    贪心算法实现

    原理:只要第二天比第一天的股价贵,能赚钱的就买下来,然后第二天卖掉。否则的话就不买。
    main函数下的代码

    #include<stdio.h>
    int maxProfit(int* prices, int pricesSize);
    int max(int a,int b);
    int main(){
    	// 初始化一个股票价格数组
    	int prices[5] = {7,2,4,9,5};
    	int profit = maxProfit(prices,5);
    	printf("%d",profit);
    	return 0;
    } 
    

    贪心算法实现部分的代码
    时间复杂度O(n)

    int maxProfit(int* prices, int pricesSize){
    	int profit = 0; 
    	for(int i = 0;i<pricesSize-1;i++){
    		// 第二天的股票价格大于第一天 买入 再卖掉 
    		if(prices[i]<prices[i+1]){
    			// 卖掉的钱减去买掉的钱 就是利润 
    			profit =  profit+prices[i+1]-prices[i];
    		}
    	}
    	return profit;
    }
    

    动态规划

    动态规划这个方法,在看过解析之后,慢慢理解的一种方式,需要通过对问题进行分析,然后建立递推关系,大的问题由子问题组成,需要通过子问题来解决。首先来分析这个题目,到第i天的时候,你手里要么有股票,要么就没有股票,因此假设有一个二维数组maxProfit[i][0]表示第i天的交易完成后手里没有股票的最大利润,maxProfit[i][1]表示第i天的交易完成后手里持有股票的最大利润。
    一、分析手里没有股票:1、今天你把股票卖了。(前一天的持有股票的利润+卖掉的)2、前一天就没有股票。(前一天的最大利润)
    二、手里持有股票:1、今天你买了股票。(前一天的最大利润-今天的股票价格)2、前一天就有股票。(前一天的最大利润)这样的话,递推公式就很简单的可以写出来了。

    今天手里没有股票的递推公式,选择其中最大的
    maxProfit[i][0]=max{maxProfit[i-1][1]+price[i],maxProfit[i-1][0]}
    今天手里有股票的递推公式,选择其中最大的
    maxProfit[i][1]=max{maxProfit[i-1][0]-price[i],maxProfit[i-1][1]}
    最后肯定是手里没有股票的利润大于手里有股票的利润 返回 maxProfit[i][0]

    递推公式有了之后,解决的大问题需要子问题解决,由低向上解决问题,这就需要我们寻找初始化条件。
    i初始为0,maxProfit[0][0] = 0,maxProfit[0][1] = -price[0]

    这样代码就很容易写出来了
    时间复杂度O(n)

    // 动态规划实现 
    int maxProfit(int* prices, int pricesSize){
    	int maxProfit[pricesSize][2];
    	// 第一天没有持有股票的最大利润 
    	maxProfit[0][0] = 0;
    	// 第一天买了股票的最大利润 
    	maxProfit[0][1] = -prices[0];
    	// 递推公式 由低向上求解 
    	for(int i=1;i<pricesSize;i++){
    		maxProfit[i][0] = max(maxProfit[i-1][0],maxProfit[i-1][1]+prices[i]);
    		maxProfit[i][1] = max(maxProfit[i-1][1],maxProfit[i-1][0]-prices[i]);
    	} 
    	// 返回卖掉的最大利润 
    	return maxProfit[pricesSize-1][0];
    }
    
    // 判断两个数的最大值 
    int max(int a,int b){
    	return a>b?a:b;
    }
    

    看递推公式当天的最大利润只与前一天的有关系,可以不用存储其余天的最大利润,不需要数组来存储,换成变量存储前一天的最大利润即可。

    int maxProfit(int* prices, int pricesSize){
    	// 第一天没买的 
    	int maxProfit0 = 0;
    	// 第一天买了股票的最大利润 
    	int maxProfit1 = -prices[0];
    	// 递推公式 由低向上求解 
    	for(int i=1;i<pricesSize;i++){
    		// 新一天没持有股票的最大利润 
    		int newMaxProfit0 = max(maxProfit1+prices[i],maxProfit0);
    		// 新一天持有股票的最大利润 
    		int newMaxProfit1 = max(maxProfit0-prices[i],maxProfit1);
    		// 将新一天没持有股票的最大利润赋值给前一天 
    		maxProfit0 = newMaxProfit0; 
    		// 将新一天持有股票的最大利润赋值给前一天 
    		maxProfit1 = newMaxProfit1;
    	} 
    	// 返回卖掉的最大利润 
    	return maxProfit0;
    }
    
    // 判断两个数的最大值 
    int max(int a,int b){
    	return a>b?a:b;
    }
    
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空空如也

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