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  • 2021-04-18 06:08:29

    MATLAB求数值积分的方法

    2008年12月第20卷第6期石家庄职业技术学院学报

    JournalofShijiazhuangVocationalTechnologyInstituteDec.2008Vol.20 No.6

    文章编号:100924873(2008)0620058203

    用MATLAB求数值积分的方法

    陈佩宁a, 刘 竞b

    Ξ

    (石家庄职业技术学院a.信息工程系;b.机电工程系,河北石家庄 050081)

    摘 要:介绍了数值积分法的几种计算公式及相应的MATLAB命令,并给出了用MATLAB编程求数值积分的实例.

    关键词:MATLAB;数值积分;矩形公式;梯形公式;辛普森公式中图分类号:O172   文献标识码:A

    1 引言

    (4)f(x),只有一些由

    在一元微积分学中,若已知函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),求f(x)区间上的定积分可用牛顿∫

    a

    b

    f(x)dx)|

    a

    (b)-F(a).而在

    的方法求).2用数值积分的方法求一个函数在区间[a,b]上的定积分,可利用定积分的定义来求解:

    I=

    MATLABint求

    a

    b

    f(x)dx,

    该命令格式为:

    int(f,x,a,b) %求函数f在区间[a,b]上的

    a

    b

    n

    n→∞k=1

    f(x)dx=lim

    n

    ξf(k)∑

    ,n

    设In=

    k=1

    ξf(k)∑

    ,则I=limIn.

    n→∞n

    定积分.

    例1 求

    sinxdx.

    2

    此时称In为数值积分.显然,数值积分In就是I的近似值,并且当n越大,In就越接近于精确值I.由

    [2]

    于ξk取值不同,数值积分In的结果会有所不同.数值积分的计算公式也有多种:

    (1)矩形公式

    解 输入命令:>>symsx>>I=int(sin(x),x,0,pi/2),结果显示为:I=1.

    用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的方法在理论上和解决实际问题中起到了很大的作用,但它并不能解决定积分计算的所有问题.在工程技术领域常遇到十分复杂的情况而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.其可能出现的情况[1]有:

    (1)某些被积函数f(x),其原函数无法用初等函数表示,如exdx,

    将积分区间[a,b]n等分,每个小区间宽度均为h=(b-a)/n,h称为积分步长.

    记a=x0

    n-1

    ∫x

    2

    Ln=hRn=h

    dx等.

    k=0n

    f(xk),h∑f(xk),h∑

    ==

    nn

    ①②

    (2)函数f(x)结构复杂,求其原函数非常困难.(3)函数f(x)的结构虽然简单且其原函数存

    k=1

    在,但其原函数的结构相对复杂.

    Ξ收稿日期:2007212224

    称公式①,②分别为左、右矩形公式,两个矩形面积分别小于和大于所求曲边梯形的面积

    1-118-png_6_0_0_45_1164_37_22_841.5_1204.5-200-0-443-200.jpg

    .

    作者简介:陈佩宁(19712),女,河北望都人,石家庄职业技术学院讲师.

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    问题描述

    给定一个闭区间,我们假设函数f(x)在该区间内有且仅有一个零点,则令f(x) = 0,在该区间内不断折半区间,根据有根的判别条件f(x₁) × f(x₂) < 0,则经过不断地折半,我们总能找到一个给定了精度的根,并且有理由相信,该根x关于精度是 “准确” 的。在实际操作过程中,我们用在精度控制下找到有根区间的中点的值作为方程的近似解。

    例:用二分法求方程x³ - x - 1 = 0 在区间[1,1.5]内的一个实根,要求误差不超过0.005。

    运行示例

    在这里插入图片描述

    源码

    //实现用二分查找求根法:求出给定精度给定方程的根
    #include<iostream>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    
    //函数名:function
    //参数:用户输入的值x
    //返回值:输入参数值的函数值
    //功能:求解给定值的函数值
    double function(double x)   //用户自定义的函数,可修改
    {
    	double result;
    	//求解自定义函数值的函数
    	result = pow(x, 3) - x - 1;
    	return result;
    }
    
    int main(void)
    {
    	double low, up, mid=0, accuracy;    //区间上下限、中点、精度
    	int i=0;
    
    	cout << "请输入区间上、下限:";
    	cin >> low;
    	cin >> up;
    	cout << "请输入精度:";
    	cin >> accuracy;
    
    	cout << endl;
    
    	do
    	{
    
    		//区间取半
    		mid = (low + up) / 2;
    		
    		//判断根的位置
    		if ((function(low) * function(mid)) < 0)    //根在前半区间
    		 {  
    			up = mid;   //将区间中点值赋值给区间上限
    			i++;    //折半查找次数自增1
    			cout << "第" << i << "次折半!" << endl ;
    			cout << "根位于前半区间!" << endl<<endl;
    		}
    		else   //根在后半区间
    		{   
    			low = mid;   //将区间中点的值赋值给区间下限
    			i++;   //折半查找次数自增1
    			cout << "第" << i << "次折半!" << endl ;
    			cout << "根位于后半区间!" << endl << endl;
    		}
    	} while ((up - low) > accuracy);   //若i次二分区间后,区间长度小于精确度,则二分结束,找到近似根
    
    	cout << "解为:";  //用区间中点的值作为根的近似解
    	cout << mid << endl;
    
    	return 0;
    }
    
    展开全文
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    【练习】

    题目要求:
    	按如下递归公式求函数值。
    	x=1时 f(x)=10;x>1时 f(x)=f(x-1)+2
    
    例如:
    输入:10
    输出:28
    
    #include <stdio.h>
    
    int  main()
    {
    	int Fx(int a);
    	
        int a;
        
        scanf("%d",&a);
        
        printf("%d\n",Fx(a));
        
        return 0;
    
    }
    
    int Fx(int a)
    {
    	int b;
    	
    	if(a == 1)
    	{
    		b = 10;
    	}
    	
    	else if(a > 1)
    	{
    		b= Fx(a-1)+2;
    	
    	}
    	
        return b;
    }
    
    

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    梯形递推的变步长求积公式虽然算法简单,但精度低,收敛的速度慢,因此,研究收敛速度快、精度高的龙贝格算法显得尤为重要。

    例:用龙贝格算法求f(x) = sin(x) / x 在区间[0,1]的数值积分,精度要求为1e-6.

    • 加工流程:

    在这里插入图片描述

    • 程序框图设计:

    在这里插入图片描述

    • 运行示例:

    在这里插入图片描述

    • 源码:
    #include<iostream>
    #include<cmath>
    double f(double x);   //自定义函数
    
    using namespace std;
    
    int main(void)
    {
    	double a, b, accuracy;   //a为区间下限,b为区间上限,accuracy为精度
    
    	cout << "请输入积分区间:";   //输入提示
    	cin >> a >> b;
    
    	cout << "请输入精度:";   //输入提示
    	cin >> accuracy;
    
    	double h;   //步长
    
    	h = b - a;  
    
    	double T1, T2;   //T1:二分前的梯形法积分值;T2:二分后的梯形法积分值;
    
    	T1 = h / 2 * (1 + f(b));    
    	T2 = 0;
    
    	int k = 1;  //记录二分次数
    
    	cout << "T" << pow(2, 0) << " = " << T1 << endl;
    
    	double S1, S2;   //对T1与T2加权平均,得辛普森积分值
    	double C1, C2;   //对S1与S2加权平均,得柯特斯积分值
    	double R1, R2;   //对C1,C2加权平均,得龙贝格积分值
    	int flag = 1;   //flag作为循环控制标志性变量
    
    	while (flag == 1)
    	{
    		double sum = 0;  //各分点的函数值和
    		double x = a + h / 2;   //分点值
    
    		while (x < b)   //在区间上限范围内求各分点的函数值和
    		{
    			sum += f(x);   
    			x += h;   
    		}
    
    		T2 = T1 / 2 + h / 2 * sum;    //计算梯形序列得下一个二分结果
    		cout << "T" << pow(2, k) << " = " << T2 << endl;
    
    		S2 = T2 + 1.0 / 3 * (T2 - T1);   //线性组合外推值simpson
    		cout << "S" << pow(2, k - 1) << " = " << S2 << endl;
    
    		if (k == 1)   //至少外推2次得出S1,S2
    		{
    			k++;
    			h /= 2;
    			T1 = T2;
    			S1 = S2;
    			continue;
    		}
    		else
    		{
    			C2 = S2 + 1.0 / 15 * (S2 - S1);  //线性组合外推值Cotes
    			cout << "C" << pow(2, k - 2) << " = " << C2 << endl;
    
    			if (k == 2)   //至少外推3次得出C1,C2
    			{
    				C1 = C2;
    				k++;
    				h /= 2;
    				T1 = T2;
    				S1 = S2;
    				continue;
    			}
    			else
    			{
    				R2 = C2 + 1.0 / 63 * (C2 - C1);   //线性组合外推至Romberg
    				cout << "R" << pow(2, k - 3) << " = " << R2 << endl;
    
    				if (k == 3)   //至少外推4次得出R1,R2
    				{
    					R1 = R2;
    					C1 = C2;
    					k++;
    					h /= 2;
    					T1 = T2;
    					S1 = S2;
    					continue;
    				}
    				else if (abs(R2 - R1) >= accuracy)   //精度仍然不符合要求,继续二分步长、继续外推
    				{
    					R1 = R2;
    					C1 = C2;
    					k = k + 1;
    					h = h / 2;
    					T1 = T2;
    					S1 = S2;
    				}
    				else   //精度符合要求,修改flag为0,跳出while循环
    				{
    					flag = 0;
    					cout << "Romber算法求得数值积分结果为:" << R2 << endl;
    				}
    			}
    		}
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    double f(double x)   //自定义被积函数
    {
    	double result;
    
    	result = sin(x) / x;
    
    	return result;
    }
    
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