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抽象函数的对称性和周期性
2021-11-28 21:09:28抽象函数的对称性和周期性 抽象函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的对称性和周期性,是学习中的一个难点。由于抽象函数具备一般性,难于画出具体的图像,因此其对称性和周期性不容易理解,因此成为学习中的一个难点。 1 ...抽象函数的对称性和周期性 抽象函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的对称性和周期性,是学习中的一个难点。由于抽象函数具备一般性,难于画出具体的图像,其对称性和周期性不容易理解,因此成为学习中的一个难点。
1 抽像函数在轴对称和中心对称下表达式所满足的关系
命题1: y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为 R R R,则其图像关于 x = a x=a x=a对称(轴对称),当且仅当 f ( x ) = f ( 2 a − x ) f(x)=f(2a-x) f(x)=f(2a−x)
变式推广:若函数满足 f ( x + a ) = f ( b − x ) f(x+a)=f(b-x) f(x+a)=f(b−x),则该函数关于 x = a + b 2 x=\frac{a+b}2 x=2a+b对称
命题2: y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为 R R R,则其图像关于点 ( a , b ) (a,b) (a,b)对称(中心对称),当且仅当 2 b − f ( x ) = f ( 2 a − x ) 2b-f(x)=f(2a-x) 2b−f(x)=f(2a−x)
注意:若 a a a在 f ( x ) f(x) f(x)的定义域中,则必然有 f ( a ) = b f(a)=b f(a)=b变式推广:若函数满足 f ( x + a ) + f ( a − x ) = 2 b f(x+a)+f(a-x)=2b f(x+a)+f(a−x)=2b,则该函数关于点 ( a , b ) (a,b) (a,b)对称
命题3: y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为 R R R,则函数 y = f ( x + a ) y=f(x+a) y=f(x+a),与函数 y = f ( b − x ) y=f(b-x) y=f(b−x)的图像关于 x = b − a 2 x=\frac{b-a}2 x=2b−a对称
2 抽像函数周期性的一些结论
周期函数
:若存在数非零的数 T T T,使得 f ( x ) = f ( x + T ) f(x)=f(x+T) f(x)=f(x+T),则称 f ( x ) f(x) f(x)为周期函数,其中 T T T是该函数的一个周期。
显然若 T T T为 f ( x ) f(x) f(x)的周期,则 k T kT kT也为 f ( x ) f(x) f(x)的周期,其中 k k k为非零整数。通常我们只关心正的周期,特别是最小正周期
命题4: y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为 R R R,若有 f ( x ) = − f ( x + a ) f(x)=-f(x+a) f(x)=−f(x+a),则 2 a 2a 2a为 f ( x ) f(x) f(x)的一个周期。
命题5: y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为 R R R,若有 f ( x ) = m f ( x + a ) f(x)=\frac m{f(x+a)} f(x)=f(x+a)m,则 2 a 2a 2a为 f ( x ) f(x) f(x)的一个周期。
命题6: y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为 R R R,若有 f ( x ) = f ( x + a ) + f ( x − a ) f(x)=f(x+a)+f(x-a) f(x)=f(x+a)+f(x−a),则 6 a 6a 6a为 f ( x ) f(x) f(x)的一个周期。
下面三个命题为双对称性导致周期性的命题
命题7-1: y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为 R R R,若有 f ( x ) f(x) f(x)关于 x = a , x = b x=a,x=b x=a,x=b对称,其中 a ≠ b a\ne b a=b,则 f ( x ) f(x) f(x)为周期函数, 2 ∣ b − a ∣ 2|b-a| 2∣b−a∣为其一个周期。
命题7-2: y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为 R R R,若有 f ( x ) f(x) f(x)关于点 ( a , 0 ) , ( b , 0 ) (a,0),(b,0) (a,0),(b,0)都对称,其中 a ≠ b a\ne b a=b,则 f ( x ) f(x) f(x)为周期函数, 2 ∣ b − a ∣ 2|b-a| 2∣b−a∣为其一个周期。
命题7-3: y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为 R R R,若有 f ( x ) f(x) f(x)关于点 ( a , 0 ) (a,0) (a,0)中心对称,关于 x = b x=b x=b轴对称,其中 a ≠ b a\ne b a=b,则 f ( x ) f(x) f(x)为周期函数, 4 ∣ b − a ∣ 4|b-a| 4∣b−a∣为其一个周期。注意:1、周期函数未必存在最小正周期,比如常值函数就没有最小正周期
2、周期函数加周期函数未必是周期函数。比如 s i n ( x ) + s i n ( π x ) sin(x)+sin(\pi x) sin(x)+sin(πx)就不是周期函数。3 真题
设 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 R R R, f ( x + 1 ) f(x+1) f(x+1)为奇函数, f ( x + 2 ) f(x+2) f(x+2)为偶函数,当 x ∈ [ 1 , 2 ] x\in[1,2] x∈[1,2]时 f ( x ) = a x 2 + b f(x)=ax^2+b f(x)=ax2+b,若 f ( 0 ) + f ( 3 ) = 6 f(0)+f(3)=6 f(0)+f(3)=6,则 f ( 9 2 ) f(\frac92) f(29)的值为多少?
解: ∵ f ( x + 1 ) \because f(x+1) ∵f(x+1)为奇函数
∴ f ( x + 1 ) = − f ( − x + 1 ) \therefore f(x+1)=-f(-x+1) ∴f(x+1)=−f(−x+1)
变形得到 f ( x ) = − f ( 2 − x ) f(x)=-f(2-x) f(x)=−f(2−x)-------------------------------❶
由此得到(1,0)为对称中心。
∵ f ( x + 2 ) \because f(x+2) ∵f(x+2)为偶函数
∴ f ( x + 2 ) = f ( − x + 2 ) \therefore f(x+2)=f(-x+2) ∴f(x+2)=f(−x+2)
变形得到 f ( x ) = f ( 4 − x ) f(x)=f(4-x) f(x)=f(4−x)----------------------------------❷
由此得到 x = 2 x=2 x=2为对称轴。
由❶❷联立可以得到, − f ( 2 − x ) = f ( 4 − x ) -f(2-x)=f(4-x) −f(2−x)=f(4−x),变形得到 f ( x ) = − f ( x + 2 ) f(x)=-f(x+2) f(x)=−f(x+2)
根据命题4可知, f ( x ) f(x) f(x)以4为周期。
由❶可知 f ( 0 ) = − f ( 2 ) f(0)=-f(2) f(0)=−f(2),由❷可知 f ( 3 ) = f ( 1 ) f(3)=f(1) f(3)=f(1)
所以 f ( 0 ) + f ( 3 ) = f ( 1 ) − f ( 2 ) = 6 f(0)+f(3)=f(1)-f(2)=6 f(0)+f(3)=f(1)−f(2)=6
根据 f ( x ) f(x) f(x)在 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]上的表达式,代入可得 a = − 2 a=-2 a=−2
根据 [ 1 , 0 ] [1,0] [1,0]为对称中心,可知 f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f(1)=0,由此得到 b = 2 b=2 b=2
所以 f ( x ) f(x) f(x)在 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]上的表达式为 f ( x ) = − 2 x 2 + 2 f(x)=-2x^2+2 f(x)=−2x2+2
根据周期性有 f ( 9 2 ) = f ( 4 + 1 2 ) = f ( 1 2 ) = − f ( 2 − 1 2 ) = − f ( 3 2 ) f(\frac92)=f(4+\frac12)=f(\frac12)=-f(2-\frac12)=-f(\frac32) f(29)=f(4+21)=f(21)=−f(2−21)=−f(23)
而 f ( 3 2 ) = − 5 2 f(\frac32)=-\frac52 f(23)=−25,所以 f ( 9 2 ) = 5 2 f(\frac92)=\frac52 f(29)=25 -
Java-函数式编程(二)Lambda表达式
2021-03-12 19:38:12“Lambda 表达式”(lambda expression)是一个匿名函数,Lambda表达式基于数学中的λ演算得名,直接对应于其中的lambda抽象(lambda abstraction),是一个匿名函数,即没有函数名的函数。Lambda表达式可以表示闭包...“Lambda 表达式”(lambda expression)是一个匿名函数,Lambda表达式基于数学中的λ演算得名,直接对应于其中的lambda抽象(lambda abstraction),是一个匿名函数,即没有函数名的函数。Lambda表达式可以表示闭包(注意和数学传统意义上的不同)。
认识lambda
public static void main(String[] args) {
new Thread(new Runnable() {
@Override
public void run() {
System.out.println("匿名内部类的执行");
}
}).start();
}
设计匿名内部类的目的,就是为了方便程序猿将代码作为数据来传递。但是你会发现,这个对象看起来是很多余的,所以我们不想传入对象,只想传入行为。
new Thread(()->{
System.out.println("lambda代替内部类");
}).start();
和实现某接口的对象不同,我们传入了一段代码块--一个没有名字的函数。->将参数和表达式主体分开,左边是参数,右边是方法体。
Lambda的不同形式
Runnable runnable = ()-> System.out.println("hello world");
该Lambda表达式不包含参数(因为是空括号)。
interface Test{
void oneParam(String name);
}
Test test = s -> System.out.println("oneParam方法传递参数:"+s);
test.oneParam("我是传递的值");
控制台输出:
oneParam方法传递参数:我是传递的值
(lambda只能用于函数式接口),如果参数只包含一个参数,可以省略参数的括号。
interface Test2{
int add(int a,int b);
}
Test2 test2 = (x,y) -> x+y;
int add = test2.add(10, 10);
System.out.println(add);
控制台输出:
20
可以看到,我们在使用lambda的时候创建了一个函数x+y,Test2对象不是表示两个数字的和,而是表示两个数字相加的代码。以上的代码中,参数类型都是由编译器自己推断的,同样,我们可以明确的声明参数类型:
interface Test3{
long add(long a,long b);
}
Test3 test3 = (long x,long y) -> x+y;
long add = test3.add(10, 10);
引用值的要求
Error:(25, 64) java: 从lambda 表达式引用的本地变量必须是最终变量或实际上的最终变量
String name = "FantJ";
Runnable runnable = ()-> System.out.println("hello " +name);
runnable.run();
hello FantJ
上面这段代码,Lambda可以引用非final变量这个属性你可以早已了解,但是你更需要知道,java8只是放松了这一语法的限制,但实际上要求该变量还是final。
可以看到,不管name在使用lambda的前还是后做改动,lambda都会报错:表达式引用的本地变量必须是最终变量或实际上的最终变量,简单的,我们可以称他为既成事实上的final变量。所以,lambda也被称为闭包。
Lambda表达式类型
java中,所有方法都有返回类型,那lambda返回类型是什么呢。
是接口方法的返回类型。这一点前文有体现过。这里再详细解释下。
interface Test{
void oneParam(String name);
}
拿这个例子来讲,oneParam方法表示一种行为:接受一个String,返回void。只要方法名和行为和Lambda表达式匹配即可完成调用。
注意:如果编译器猜不出参数和返回值的类型,则都将视为Object处理。
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Java8 Lambda表达式 和 函数式编程 原理详解
2021-04-18 08:24:35Lambda表达式是Java8的新特性,除此之外Java8还提供了其他新特性,比如:函数式编程、方法引用、Stream、Optional类、默认方法、新的日期类型、Base64、Nashorn, JavaScript 引擎。本篇详细介绍Lambda表达式,其他的...1、前言
Java8既JDK1.8。
Lambda表达式是Java8的新特性,除此之外Java8还提供了其他新特性,比如:函数式编程、方法引用、Stream、Optional类、默认方法、新的日期类型、Base64、Nashorn, JavaScript 引擎。
本篇详细介绍Lambda表达式,其他的参考后续文章。
它是一个语法糖,糖是甜的,但是对于初学者并不是,当你熟悉之后,你会发现,它是真的香。
Lambda表达式的初衷是,进一步简化匿名类的语法,使Java走向函数式编程。不过实现上,Lambda表达式并不是匿名类的语法糖。
2、实现接口的几种方式
方式一:单写一个类来实现接口
方式二:匿名内部类实现接口,重用性不是很高的情况下用。
方式三:Lambda表达式
看下执行结果:
是不是感觉lamda表达是更加简单了?
现在我们简单总结下:
1、 Lambda 表达式,也可称为闭包,是一种语法结构,是java8发布的最重要新特性。
2、 Lambda 允许把函数作为一个方法的参数(函数作为参数传递进方法中)。
3、使用 Lambda 表达式可以使代码变的更加简洁紧凑。并没有提升性能。
4、本质:接口的实现类的具体对象
5、应用场合:复用性没有那么强的场景
3、Lambda语法
分三部分:
a) -> :我们称之为“箭头操作符”或“lambda操作符”
b) -> 左侧:
lambda的形参列表,等效于 对应的接口的那个抽象方法的形参列表,例子中testMethod方法没有参数。
可选类型声明:不需要声明参数类型,编译器可以统一识别参数值。
可选的参数圆括号:一个参数无需定义圆括号,但多个参数需要定义圆括号。
c) -> 右侧:
抽象方法的方法体
可选的大括号:如果主体包含了一个语句,就不需要使用大括号。
可选的返回关键字:如果主体只有一个表达式返回值则编译器会自动返回值,大括号需要指定明表达式返回了一个数值。
4、Lambda使用案例
4.1 无参、无返回值
4.2 有一个参数,无返回值
4.3 两个以上参数,有返回值
5、函数式编程
函数式接口(Functional Interface)就是一个有且仅有一个抽象方法,但是可以有多个非抽象方法的接口。
函数式接口可以被隐式转换为 lambda 表达式。
通过注解@FunctionalInterface可以定义一个函数式接口,例:
那么就可以使用Lambda表达式来表示该接口的一个实现(注:JAVA 8 之前一般是用匿名类实现的):
函数式接口可以对现有的函数友好地支持 lambda。
JDK 1.8 之前已有函数式接口,比如:
JDK 1.8 在java.util.function包下面新增加了许多(43个)函数接口,常用的有:
下面我们举例来说明怎么使用。
6、函数式编程示例
6.1 不使用内置接口,消费型接口示例
我们自己定义了一个消费型的接口。
6.2 使用内置函数式接口Consumer示例
已经存在了内置函数式接口,我们就没必要再定义自己的接口,显得多余。
6.3 使用断言型接口示例
Predicate 接口是一个函数式接口,它接受一个输入参数 T,返回一个布尔值结果。
该接口包含多种默认方法来将Predicate组合成其他复杂的逻辑(比如:与,或,非)。
该接口用于测试对象是 true 或 false。
我们可以通过以下实例(Java8Tester.java)来了解函数式接口 Predicate 的使用:
请点击输入图片
输出结果:
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