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  • 怎样才能将刘徽割术动画演示

    千次阅读 2017-04-14 11:04:17
    所谓“割术”,是用内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。它是由我国古代的伟大数学家刘徽,提出来的。他在数学上的重大贡献是将我国最古的数学著作之一《九章算术》详细整理(公元263年),...

    所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。它是由我国古代的伟大数学家刘徽,提出来的。他在数学上的重大贡献是将我国最古的数学著作之一《九章算术》详细整理(公元263年),从此之后,这本书才有了定本。割圆术在现代,老师教学也拿来解释给学生们理解,用来计算圆周率。下面就给大家分享使用专业的动态几何工具来动态演示刘徽割圆术。

    动态几何工具几何画板免费版获取地址http://wm.makeding.com/iclk/?zoneid=13398

    几何画板制作的刘徽割圆术课件样图:

    刘徽割圆术
    几何画板课件模板——动态演示刘徽割圆术

    “割圆术”,则是以“圆内接正多边形的面积”,来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。

    即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长无限接近圆的周长,进而来求得较为精确的圆周率。

    刘徽发明“割圆术”是为求“圆周率”。那么圆周率究竟是指什么呢?它其实就是指“圆周长与该圆直径的比率”。很幸运,这是个不变的“常数”!我们人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算。如果没有它,那么我们对圆和球体等将束手无策。同样,圆周率数值的“准确性”,也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度。这就是人类为什么要求圆周率,而且要求得准的原因。

    有了以上课件,就可以将它用于割圆术的讲课中,动态演示从而加深学生们对概念的理解。如果想学习关于几何画板的更多使用教程和课件模板,可参考几何画板中文官网(www.jihehuaban.com.cn)。

    以上教程转载自:http://www.jihehuaban.com.cn/jichuji/geyuan-shu.html

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  • 请看我简介关注“统编小学语数英”获取更多资料我们曾经学过三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形,面积及周长都有相应公式直接计算,如下表:实际...

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    我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形,面积及周长都有相应的公式直接计算,如下表:

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    实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
    那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢?我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系,问题就能解决了。先看三道例题感受一下例1 如右图,甲、乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

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    一句话:阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形(△ABG、△BDE、△EFG)的面积之和。例2 如右图,正方形ABCD的边长为6厘米,△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF的面积.

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    一句话:因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,都等于正方形ABCD面积的三分之一,也就是12厘米.
    解:
    S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12
    在△ABE中,因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,
    ∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
    所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10(平方厘米)。例3 两块等腰直角三角形的三角板,直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分(阴影部分)的面积。

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    一句话:阴影部分面积=S△ABG-S△BEF,S△ABG和S△BEF都是等腰三角形总结:对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决。常用的基本方法有:一、相加法
    这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积.
    例如:求下图整个图形的面积

    7770d85d71cfe208d574e83fc5d34662.png

    一句话:半圆的面积+正方形的面积=总面积二、相减法 这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法 这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积.例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形四、重新组合法 这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可.例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:拆开图形,使阴影部分分布在正方形的4个角处,如下图。

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    五、辅助线法 这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可例如:下图,求两个正方形中阴影部分的面积。

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    一句话:此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便(如下图)

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    根据梯形两侧三角形面积相等原理(蝴蝶定理),可用三角形丁的面积替换丙的面积,组成一个大三角ABE,这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半.六、割补法法 这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.例如:下图,若求阴影部分的面积。

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    一句话:把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法 这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积.例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。八、旋转法 这种方法是将图形中某一部分切割下来之后,使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规则的图形,便于求出面积.例如:下图(1),求阴影部分的面积。

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    一句话:左半图形绕B点逆时针方向旋转180°,使A与C重合,从而构成右图(2)的样子,此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.

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    九、对称添补法
    这种方法是作出原图形的对称图形,从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

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    十、重叠法
    这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分。例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:可先求两个扇形面积的和,减去正方形面积,因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.经典例题一、有简便计算的
    任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4∶π(圆面积是正方形面积的78.5%)
    1.如图,求阴影部分的面积.(单位:厘米)

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    方法:正方形面积-半径为5厘米的圆的面积=阴影面积
    提示:圆的半径=正方形边长的一半
    2.计算如图阴影部分的面积.(单位:厘米)

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    方法:长方形面积-直径为10的半圆面积=阴影面积
    提示:长方形的长=圆的直径,宽=圆的半径
    3.求出如图阴影部分的面积:单位:厘米.

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    方法:长方形面积-半径为4的半圆面积=阴影面积
    提示:长方形的长=圆的直径,宽=圆的半径
    4、

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    方法:正方形面积-半径为4的扇形面积=阴影面积
    提示:正方形的边长=扇形的半径
    5、

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    方法:正方形面积-直径为8的圆面积=阴影面积
    提示:正方形的边长=圆的直径
    6、

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    方法:正方形面积-直径为6的圆面积=阴影面积
    提示:正方形的边长=圆的直径
    7、

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    方法:圆的面积-内正方形的面积=阴影面积
    提示:

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    圆的直径=外正方形的连长20
    内内正方形分为两个两样的三角形
    三角形的底=圆的直径20,高=圆的半径10。二、割补平移的
    1、

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    方法:将组合图形拆分

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    圆形面积+正方形面积-半圆的面积=阴影面积
    提示:也可以这样计算:
    正方形面积+圆面积的四分之三=阴影部分面积
    2、

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    提示:此图相当于计算上底是6,下底是10,高是6的梯形面积。
    3、

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    提示:此图相当于计算长是10,宽是5的长方形面积。

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    4、

    2d58861e37adeabf11e1f39bce40ac3c.png


    提示:此图相当于计算半径为2的半圆面积。

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    5、

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    提示:此图计算上底是5下底是13,高是5的梯形面积,再减去底是5,高是5的三角形面积。
    6、

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    提示:计算底是8,高8的三角形面积,减去底是8,高是4的三角形的面积。
    7、

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    提示:计算半径是6的大圆的面积,再减去直径是6(半径是6÷3)的小圆面积。可用圆环公式计算:3.14×(外圆半径的平方-内圆半径的平方)

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    三、方程法
    1.计算如图中阴影部分的面积.单位:厘米.

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    2、如图所示,圆的周长12.56厘米,圆的面积与长方形的面积相等。求图中阴影部分的面积。

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    提示:阴影部分相当于圆面积的四分之三。
    根据圆的周长计算出圆的半径,计算出圆的半径和面积;然后圆的面积乘四分之三。四、自己测量
    量出你需要的数据,列式计算阴影部分的面积。(4分)(测量结果取整厘米)

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    提示:
    半圆的直径相当于梯形的上底。
    梯形的面积减去半圆的面积=阴影部分面积。五、一般的
    1.求下图阴影部分的面积.(单位:厘米)

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    提示:半圆面积-半圆的面积=阴影部分面积
    2.求阴影部分图形的面积.(单位:厘米)

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    提示:梯形的面积-圆面积的四分之一=阴影部分面积
    ▍资料来源:网络▍免责声明:所有资料仅供学习交流,版权归原作者,如侵权请告知,我们会立即删除。

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  • 原标题:五年级数学图形面积计算的十种方法!让孩子学习!我们曾经学过三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、和扇形等图形,一般称为基本图形或规则...那么,不规则图形面积及周长怎样计算呢...

    原标题:五年级数学图形面积计算的十种方法!让孩子学习!

    我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。如下表:

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    实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

    那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢?我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系,问题就能解决了。

    先看三道例题感受一下

    1 如图,甲、乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

    476b1c65366ddec073aa94aff1578c91.png

    一句话:阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个空白三角形(△ABG△BDE△EFG)的面积之和。

    2 如图,正方形ABCD的边长为6厘米,△ABE△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF的面积.

    39e3e105a4732492cb984eb857af0833.png

    一句话:因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,都等于正方形ABCD面积的三分之一,也就是12厘米.

    解:△ABE面积=△ADF面积=四边形AECF面积=12

    在△ABE中,因为AB=6,所以BE=4。

    同理DF=4,因此CE=CF=2。

    所以△ECF的面积为2×2÷2=2。

    所以△AEF面积=四边形AECF面积-△ECF面积=12-2=

    10(平方厘米)。

    3 两块等腰直角三角形的三角板如下图所示重合,它们的直角边分别是10 厘米和6 厘米。求重合部分(阴影部分)的面积。

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    一句话:阴影部分面积=△ABG面积-△BEF面积,且 △ABG和△BEF都是等腰三角形。

    总结:对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决。

    常用的基本方法有:

    一、相加法

    这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积。

    例如:求下图整个图形的面积

    f808c589d320774823139bd1d54cb7d8.png

    一句话:半圆的面积+正方形的面积=总面积

    二、相减法

    这方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:正方形面积减去圆的面积即可。

    三、直接求法

    这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不 规则图形面积。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形。

    四、重新组合法

    这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:拆开图形,使阴影部分分布在正方形的4个角处,如下图。

    83614a9074690395590e5c51f71fb2ef.png

    五、辅助线法

    这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可

    例如:下图,求两个正方形中阴影部分的面积。

    f95c37cb226e1a2357c0f4923704a2fd.png

    一句话:此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便(如下图)。

    0173e37bc0617a94f5ac2d10bef23d0a.png

    根据梯形两侧三角形面积相等原理(蝴蝶定理),可用三角形丁的面积替换丙的面积,组成一个大三角ABE, 这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半。

    六、割补法法

    这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决。

    例如:下图,若求阴影部分的面积。

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    一句话:把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。

    七、平移法

    这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。

    八、旋转法

    这种方法是将图形中某一部分切割下来之后,使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规则的图形,便于求出面积。

    图(1),求阴影部分的面积。

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    一句话:左半图形绕B点逆时针方向旋转180°,使A与C重合,从而构成右图(2)的样子,此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.

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    九、对称添补法

    这种方法是作出原图形的对称图形,从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD。弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

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    十、重叠法

    这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:可先求两个扇形面积的和,减去正方形面积,因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分。

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  • 祖冲之是我国古代著名数学家和天文学家,他在数学上最重要成就是把圆周率...圆周率并不是通过先作,然后量周长和直径,最后算出来。因为这样做误差很大,测量误差不可避免。事实上,古代数学家在很长...
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    祖冲之是我国古代著名的数学家和天文学家,他在数学上最重要的成就是把圆周率的小数位史无前例地计算到第七位,这个精度在随后的800年里一直是世界第一。那时是公元480年,一切都要依靠手工计算的时代(甚至算盘可能还没有出现),算个开方都费劲,那么,祖冲之是如何算出精度这么高的圆周率呢?

    圆周率并不是通过先作圆,然后量周长和直径,最后算出来的。因为这样做的误差很大,测量误差不可避免。事实上,古代数学家在很长一段时间里都是用几何方法来计算圆周率。

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    祖冲之算圆周率所使用的方法是刘徽发明的割圆术,这与阿基米德所用的方法有些不同。阿基米德通过做圆的外切和内接正多边形,来计算圆周率的上下限,因为边数越多的正多边形越接近于圆。

    刘徽的割圆术基于圆的内接正多边形,他用正多边形的面积来逼近圆的面积。分割越多,内接正多边形和圆之间的面积越来越小,两者越来接近。无限分割之后,内接正多边形和圆将会合二为一。

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    如上图所示,在一个半径为r的圆中做正3×2^n(n为正整数)边形,假设其边长为a_n,即AB=a_n。AB的中点为P,连接OP交圆于C。那么,AC和BC就是正3×2^(n+1)边形的边长,可以表示为a_(n+1)。

    在直角三角形AOP中,根据勾股定理:

    OA^2=AP^2+OP^2

    令OP=b_n,由此可得:

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    令PC=c_n,c_n=PC=OC-OP=r-b_n

    在直角三角形APC中,根据勾股定理:

    AC^2=AP^2+PC^2

    由此可得:

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    知道正3×2^n边形的边长之后,再根据刘徽多边形面积公式,可以算出正6×2^n边形的面积。根据上述正多边形边长的迭代公式,不断的把圆分割下去,圆面积的计算精度会越来越高。

    在刘徽的方法中,引入了极限和无穷小分割的思想。刘徽的方法更为巧妙,也更为简洁。刘徽算到了正3072边形,结果得到的圆周率为3.1416。

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    祖冲之在刘徽割圆术的基础上,算到了正24576边形,并根据刘徽圆周率不等式,确定了圆周率的下限(肭数)为3.1415926,上限(盈数)为3.1415927。并且,祖冲之还顺便给出了圆周率的一个近似分数355/113,其前六位都是正确的。

    在没有计算机和算盘的帮助下,祖冲之用算筹来计算乘方和开方,硬生生地把圆周率的小数位算到了第七位,这需要极其巨大的毅力和艰苦卓绝的付出。在祖冲之的努力下,此后800年里,没有人能够算出比这精度更高的圆周率。

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怎样计算圆的周长