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  • 例3(宝鸡市二检文理科第22)【坐标系与参数方程】 在直角坐标系 \(xoy\) 中,曲线 \(C_1\) 的参数方程为 \(\begin{cases}x=2+2cos\alpha\\y=2sin\alpha\end{cases}(\alpha为参数)\) ,以坐标原点为极点,以 \(x\)...

    例1【均值不等式】

    均值不等式中的一则题目\(\scriptsize\text{$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\ge \cfrac{25}{2}$}\)

    例2【数列的相关运算】

    已知数列\(\{a_n\}\)是等差数列,其前\(n\)项和为\(S_n\),已知\(S_6=42\)\(S_{12}=156\),求\(S_{18}\)的值。

    【法1:以\(a_1\)\(d\)为元的方程组法】利用\(S_n=na_1+\cfrac{n(n-1)}{2}\times d\)得到,

    \(\begin{cases}S_6=6a_1+15d=42\\S_{12}=12a_1+66d=156\end{cases}\),解得\(\begin{cases}a_1=2\\d=2\end{cases}\)

    \(S_{18}=18a_1+\cfrac{18\times17}{2}\times 2=342\)

    【法2:以\(a\)\(b\)为元的方程组法】由等差数列的性质知道,其前\(n\)项和公式可以写成这样:\(S_n=an^2+bn\)

    由此得到,\(\begin{cases}S_6=36a+6b=42\\S_{12}=144a+12b=156\end{cases}\),解得\(\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}\)

    \(S_{18}=1\times 18^2+1\times 18=342\)

    【法3:等差数列性质,函数法】注意到\(\cfrac{S_n}{n}=an+b\),即表明数列\(\{\cfrac{S_n}{n}\}\)也是一个等差数列。

    由于\(\cfrac{S_6}{6}\)\(\cfrac{S_{12}}{12}\)\(\cfrac{S_{18}}{18}\)分别是数列的第\(6,12,18\)项,故这三项也是成等差数列的,

    则有$2\times\cfrac{S_{12}}{12}=\cfrac{S_6}{6}+\cfrac{S_{18}}{18} $,即$2\times\cfrac{156}{12}=\cfrac{42}{6}+\cfrac{S_{18}}{18} $,

    解得\(S_{18}=342\)

    【法4:等差数列性质法】由于\(S_6,S_{12}-S_6,S_{18}-S_{12}\)成等差数列,

    故有\(2(S_{12}-S_6)=S_6+S_{18}-S_{12}\),即\(2(156-42)=42+S_{18}-156\)

    解得\(S_{18}=3(156-42)=342\)

    例3(宝鸡市二检文理科第22题)【坐标系与参数方程】

    在直角坐标系\(xoy\)中,曲线\(C_1\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2+2cos\alpha\\y=2sin\alpha\end{cases}(\alpha为参数)\),以坐标原点为极点,以\(x\)轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线\(C_2\)的极坐标方程为\(\rho=2cos\theta\)

    (1)写出曲线\(C_1\)的普通方程和\(C_2\)的直角坐标方程;

    (2)设点\(P\)\(C_1\)上,点\(Q\)\(C_2\)上,且\(\angle POQ=\cfrac{\pi}{2}\),求三角形\(POQ\)面积的最大值。

    分析:(1) 直接给出答案,曲线的普通方程\(C_1:(x-2)^2+y^2=4\);所求的直角坐标方程\(C_2:(x-1)^2+y^2=1\)

    (2)【法1】极坐标法,曲线\(C_1\)的极坐标方程为\(\rho_1=4cos\alpha(\alpha\in(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}))\), 曲线\(C_2\)的极坐标方程为\(\rho_2=2cos\theta(\theta\in(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}))\)

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    如右图所示,初步分析,当点\(P\)\(x\)轴上方时,点\(Q\)必在\(x\)轴下方;当然还会有另一种情形,当点\(P\)\(x\)轴下方时,点\(Q\)必在\(x\)轴上方;

    我们取其中一种做研究,比如点\(P\)\(x\)轴上方,点\(Q\)\(x\)轴下方;注意此时点\(Q\)的极角是负值\(-\theta\)

    由于\(\rho_1>0\)\(\rho_2>0\),以及\(\angle POQ=\cfrac{\pi}{2}\)可得,\(\alpha-\theta=\cfrac{\pi}{2}\),即\(\alpha=\theta+\cfrac{\pi}{2}\),(顺时针为正,逆时针为负)

    则有\(S_{\Delta OPQ}=\cfrac{1}{2}|OP||OQ|=\cfrac{1}{2}\rho_1\rho_2=\cfrac{1}{2}\times 4cos\alpha\times 2cos\theta\)

    \(=4cos(\theta+\cfrac{\pi}{2})cos\alpha=-4sin\theta cos\theta=-2sin2\theta\)

    \(2\theta=-\cfrac{\pi}{2}\),即\(\theta=-\cfrac{\pi}{4}\)时,\((S_{\Delta OPQ})_{max}=2\)

    【法2】参数方程法,992978-20180320151044294-1482290351.png

    如图所示,曲线\(C_1\)的参数方程是\(\begin{cases}x=2+2cos\alpha\\y=2sin\alpha\end{cases}(\alpha为参数,\alpha\in (0,2\pi))\),曲线\(C_2\)的参数方程是\(\begin{cases}x=1+cos\theta\\y=2sin\theta\end{cases}(\theta为参数,\theta\in (0,2\pi))\),注意参数的含义,\(\cfrac{\alpha}{2}-\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{\pi}{2}\),即\(\alpha=\pi+\theta\)

    则有\(S_{\Delta OPQ}=\cfrac{1}{2}|OP||OQ|=\cfrac{1}{2}\sqrt{(2+2cos\alpha)^2+(2sin\alpha)^2}\sqrt{(1+cos\theta)^2+sin^2\theta}\)

    \(=\cfrac{1}{2}\sqrt{8(1+cos\alpha)}\sqrt{2(1+cos\theta)}=\cfrac{1}{2}\sqrt{8(1-cos\theta)}\sqrt{2(1+cos\theta)}=\cfrac{1}{2}\times 4\sqrt{(1-cos\theta)(1+cos\theta)}=2\sqrt{1-cos^2\theta}=2|sin\theta|\)

    \(\theta=\cfrac{\pi}{2}\)时,\((S_{\Delta OPQ})_{max}=2\)

    【变形方法3】参数方程法,曲线\(C_1\)的参数方程是\(\begin{cases}x=2+2cos\alpha\\y=2sin\alpha\end{cases}(\alpha为参数,\alpha\in (0,2\pi))\),曲线\(C_2\)的参数方程是\(\begin{cases}x=1+cos\theta\\y=2sin\theta\end{cases}(\theta为参数,\theta\in (0,2\pi))\),注意参数的含义,\(\cfrac{\alpha}{2}-\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{\pi}{2}\),即\(\alpha=\pi+\theta\)

    \(\angle POQ=\cfrac{\pi}{2}\)可知,\(k_{OP}k_{OQ}=-1\),即\(\cfrac{2sin\alpha}{2+2cos\alpha}\times \cfrac{sin\theta}{1+cos\theta}=-1\),即\(-sin\alpha sin\theta=(1+cos\alpha)(1+cos\theta)\)

    \(S_{\Delta OPQ}=\cfrac{1}{2}|OP||OQ|=\cfrac{1}{2}\sqrt{(2+2cos\alpha)^2+(2sin\alpha)^2}\sqrt{(1+cos\theta)^2+sin^2\theta}\)

    \(=\cfrac{1}{2}\sqrt{8(1+cos\alpha)}\sqrt{2(1+cos\theta)}=2\sqrt{(1+cos\alpha)(1+cos\theta)}=2\sqrt{-sin\alpha sin\theta}\),又有\(\cfrac{\alpha}{2}-\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{\pi}{2}\),即\(\alpha=\pi+\theta\)

    \(=2\sqrt{sin^2\theta}=2|sin\theta|\)

    \(\theta=\cfrac{\pi}{2}\)时,\((S_{\Delta OPQ})_{max}=2\)

    【法4】尝试使用均值不等式,待有空思考整理。

    设直线\(OP\)的方程为\(y=kx\),由\(\angle POQ=\cfrac{\pi}{2}\)可得,

    直线\(OQ\)的方程为\(y=-\cfrac{1}{k}x\)

    联立\(\begin{cases}(x-2)^2+y^2=4\\y=kx\end{cases}\),解得\(P(\cfrac{4}{1+k^2},\cfrac{4k}{1+k^2} )\)

    联立\(\begin{cases}(x-1)^2+y^2=1\\y=-\cfrac{1}{k}x\end{cases}\),解得$ Q(\cfrac{2k^2}{1+k^2},\cfrac{-2k}{1+k^2} )$,

    \(S_{\Delta POQ}=\cfrac{1}{2}|OP||OQ|=\cfrac{1}{2}\sqrt{(\cfrac{4}{1+k^2})^2+(\cfrac{4k}{1+k^2})^2}\sqrt{(\cfrac{2k^2}{1+k^2})^2+(\cfrac{-2k}{1+k^2})^2}\)

    \(=\cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{16}{1+k^2}}\sqrt{\cfrac{4k^2}{1+k^2}}=\cfrac{4|k|}{1+k^2}=\cfrac{4}{|k|+\frac{1}{|k|}}\leq 2\)

    当且仅当\(|k|=1\)时取到等号。故\((S_{\Delta POQ})_{max}=2\)

    反思:这个解法的优越性体现在只有一个变量\(k\),那么求最值时就好操作些。

    解后反思:

    1、在高中数学中,求某个量(比如面积)的最值时,往往需要先表达出这个量(比如面积)的函数,这样求实际问题的最值就变成了求这个函数模型的最值问题了,这一过程实际就是函数的建模。

    2、法1利用极坐标法,这样表达刻画面积时,就只有两个变量\(\alpha\)\(\theta\),然后利用两个变量的相互关系,再将变量集中为一个变量,就好求解其最大值了。

    3、法2利用参数方程法,在表达刻画面积时,同样只有两个变量\(\alpha\)\(\theta\),然后利用两个变量的相互关系,再将变量集中为一个变量,就好求解其最大值了。法2和法3本质接近。

    4、正确求解本题目,需要深刻理解极坐标方程的含义和参数方程的含义,尤其是法2对参数的含义更不能弄错了。用到了内外角关系和圆心角和圆周角关系。

    5、还有学生想到设\(P(x_1,y_1)\),$ Q(x_2,y_2)$,这样的思路我没有做尝试,不过能看出来此时是四个变量,这样就难得多了,所以碰到这样的题目我们先需要初步筛选思路。

    例4(2017\(\cdot\)全国卷3理科第12题)【函数的零点】

    已知函数\(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)有唯一的零点,则\(a\)的值为【】

    A、\(-\cfrac{1}{2}\) \(\hspace{2cm}\) B、\(\cfrac{1}{3}\) \(\hspace{2cm}\) C、\(\cfrac{1}{2}\) \(\hspace{2cm}\) D、\(1\)

    【法1】:分离常数法,本题目就不适宜使用此法;

    \(f(x)=0\)得到\(a(e^{x-1}+e^{-x+1})=-x^2+2x\)

    分离得到\(a=\cfrac{-x^2+2x}{e^{x-1}+e^{-x+1}}=h(x)\)

    你应该能感觉到函数\(h(x)\)若要用导数分析其单调性,

    那会是相当的难,故分离参数的思路一般在这个题目中,就自然舍弃了。

    【法2】:由题目可知方程\(f(x)=0\)仅有一解,即\(a(e^{x-1}+e^{-x+1})=-x^2+2x\)仅有一解,

    即函数\(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)与函数\(y=-x^2+2x\)的图像仅有一个交点。参考图像

    具体用手工怎么作图呢,函数\(y=-x^2+2x\)的图像大家应该会的,故重点说函数\(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)的图像做法。

    令函数\(g(x)=y=e^x+\cfrac{1}{e^x}=e^x+e^{-x}\),则是偶函数,\(g(0)=2\)

    \(x\ge 0\)时,\(g'(x)=e^x-e^{-x}\)\(g'(x)\)单调递增,

    \(g'(x)\ge g'(0)=0\),则函数\(g(x)\)\([0,+\infty)\)上单调递增,又由偶函数可知,在\((-\infty,0]\)上单调递减,

    这样我们就做出了函数\(g(x)=e^x+\cfrac{1}{e^x}\)的图像,然后将其向右平移一个单位,得到\(y=e^{x-1}+e^{-x+1}\)的图像,

    前边的系数\(a\)的作用有两个,其一控制张角大小,其二控制函数最低点的位置,

    就像函数\(y=a|x|\)中的\(a\)的作用一样的,所以我们就能用手工做出函数\(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)的图像,

    要使得函数\(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)与函数\(y=-x^2+2x\)的图像仅有一个交点,

    就需要函数\(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)的最小值\(a(e^{1-1}+e^{-1+1})=2a\)和函数\(y=-x^2+2x\)的最大值\(-1^2+2\times1=1\)相等,

    \(2a=1\),解得\(a=\cfrac{1}{2}\)

    【法3】:构造函数法+函数的性质法;

    函数\(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})=(x-1)^2+a[e^{x-1}+e^{-(x-1)}]-1\)

    \(t=x-1\),则\(g(t)=f(x-1)=t^2+a(e^t+e^{-t})-1\)

    由于\(g(-t)=t^2+a(e^t+e^{-t})-1=g(t)\),故\(g(t)\)为偶函数,

    由于函数\(f(x)\)有唯一零点,则函数\(g(t)\)也有唯一零点,

    又函数\(g(t)\)是偶函数,即函数\(g(t)\)\(t\)轴仅有一个交点,则\(g(0)=0\)

    代入得到\(2a-1=0\),即\(a=\cfrac{1}{2}\)

    【法4】:函数\(f(x)=0\Leftrightarrow\) \(a(e^{x-1}+e^{-(x-1)})=-x^2+2x\)

    \(e^{x-1}+e^{-(x-1)}\ge 2\sqrt{e^{x-1}\cdot e^{-(x-1)}}=2\),当且仅当\(x=1\)时取到等号;

    \(-x^2+2x=-(x-1)^2+1\leq 1\)

    \(a>0\)时,\(a(e^{x-1}+e^{-(x-1)})\ge 2a\)

    要使\(f(x)\)仅有一个零点,则必有\(2a=1\),解得\(a=\cfrac{1}{2}\)

    \(a<0\),则函数\(f(x)\)的零点不唯一,

    综上,\(a=\cfrac{1}{2}\);选C.

    【法5】由\(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)

    得到\(f(2-x)=(2-x)^2-2(2-x)+a(e^{2-x-1}+e^{-(2-x)+1})=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)

    所以\(f(2-x)=f(x)\),故\(x=1\)是函数\(f(x)\)图像的对称轴。

    由题意可知,函数\(f(x)\)有唯一的零点,

    故只能是\(x=1\)

    \(f(1)=1^2-2\times1+a(e^{1-1}+e^{-1+1})=0\)

    解得\(a=\cfrac{1}{2}\),故选C.

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    【法6】我们一般这样转化,由函数\(f(x)\)有唯一的零点,

    得到方程\(x^2-2x=-a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)有唯一解,注意到方程的右端,

    我们可以和对勾函数做以联系,令\(x-1=t\),则\(x=t+1\)

    故原方程就转化为\((t+1)^2-2(t+1)=-a(e^t+e^{-t})\),为了便于做出图像,

    还需要再代换,令\(e^t=x\),则\(x>0\)\(t=lnx\)

    这样方程就又转化为\(ln^2x-1=-a(x+\cfrac{1}{x})\)

    在同一个坐标系中,分别做出函数\(y=ln^2x-1\)\(y=-a(x+\cfrac{1}{x})\)的图像,

    由图像可知对勾函数前面的系数必须满足\(-a=-\cfrac{1}{2}\)

    \(a=\cfrac{1}{2}\),故选C.

    例5(2017凤翔中学高三理科数学第二次月考第21题)【已知单调性求参数范围】

    已知函数\(f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1\)

    (1) 讨论函数\(f(x)\)的单调性。

    分析:先求定义域得\((0,+\infty)\),求导得到\(f'(x)=\cfrac{a+1}{x}+2ax=\cfrac{2ax^2+a+1}{x}\)

    然后只考虑分子函数\(g(x)=2ax^2+a+1\)的图像,

    先考虑\(a=0\),在考虑函数\(g(x)\)图像恒在\(x\)轴上方,恒在\(x\)轴下方,以及\(x\)轴上方下方都有图像的情形,

    自然就得到了分类的标准有\(a=0\)\(a>0\)\(a+1\leq 0\),以及\(-1<a<0\),在解答时做一综合就行了。

    解:当\(a\ge 0\)时,\(g(x)>0\)恒成立,则\(f'(x)=\cfrac{2ax^2+a+1}{x}>0\),故\(f(x)\)\((0,+\infty)\)上单调递增;

    \(a\leq -1\)时,\(g(x)\leq 0\)恒成立,则则\(f'(x)=\cfrac{2ax^2+a+1}{x}<0\),故\(f(x)\)\((0,+\infty)\)上单调递减;

    \(-1<a<0\)时,令\(f'(x)=0\),解得\(x=\sqrt{-\cfrac{a+1}{2a}}=x_0\),即\(x\in(0,x_0)\)时,\(f'(x)>0\)

    \(f(x)\)\((0,x_0)\)上单调递增;\(x\in(x_0,+\infty)\)时,\(f'(x)<0\),故\(f(x)\)\((x_0,+\infty)\)上单调递减;

    (2)设\(a<-1\),若对任意\(x_1,x_2\in(0,+\infty)\),恒有\(|f(x_1)-f(x_2)|\ge 4|x_1-x_2|\),求\(a\)的取值范围。

    不妨设\(x_1\leq x_2\),由(1)可知,\(a<-1\)\(f(x)\)\((0,+\infty)\)单调递减,

    从而对任意\(x_1,x_2\in(0,+\infty)\),恒有\(|f(x_1)-f(x_2)|\ge 4|x_1-x_2|\)

    可以等价转化为\(f(x_1)-f(x_2)\ge 4(x_2-x_1)\)

    即任意\(x_1,x_2\in(0,+\infty)\),恒有\(f(x_1)+4(x_1)\ge f(x_2)+4x_2\),【到此,构造函数就有了依托】

    \(g(x)=f(x)+4x\),则\(x_1\leq x_2\)\(g(x_1)\ge g(x_2)\)原命题等价于函数\(g(x)\)\((0,+\infty)\)上单调递减。

    \(g'(x)=\cfrac{a+1}{x}+2ax+4=\cfrac{2ax^2+4x+a+1}{x}\leq 0\)\((0,+\infty)\)上恒成立。接下来的思路就比较多了:

    思路1:分离参数得到,\(a\leq \cfrac{-4x-1}{2x^2+1}=\cfrac{(2x-1)^2-4x^2-2}{2x^2+1}=\cfrac{(2x-1)^2}{2x^2+1}-2\),故\(a\leq -2\)

    思路2:只关注导函数\(g'(x)\)的分子,令\(h(x)=2ax^2+4x+a+1\),则转化为\(h(x)\leq 0\)\((0,+\infty)\)上恒成立,

    分离参数得到,\(a\leq (\cfrac{-4x-1}{2x^2+1})_{min}\)

    \(\phi(x)=\cfrac{-4x-1}{2x^2+1}\)

    解得\(\phi'(x)=\cfrac{-4(2x^2+1)-(-4x-1)\cdot 4x}{(2x^2+1)^2}=\cfrac{8x^2+4x-4}{(2x^2+1)^2}=\cfrac{4(2x-1)(x+1)}{(2x^2+1)^2}\)

    \(x\in(0,\cfrac{1}{2})\)时,\(\phi'(x)<0\)\(\phi(x)\)单调递减,\(x\in(\cfrac{1}{2},+\infty)\)时,\(\phi'(x)>0\)\(\phi(x)\)单调递增,

    \(\phi(x)_{min}=\phi(\cfrac{1}{2})=-2\),故\(a\leq -2\)

    思路3:只关注导函数\(g'(x)\)的分子,令\(h(x)=2ax^2+4x+a+1\)

    则转化为\(h(x)\leq 0\)\((0,+\infty)\)上恒成立,利用二次函数求解。

    \(\begin{cases}h(0)\leq 0\\x=-\cfrac{4}{2\times 2a}<0\\ \Delta >0\end{cases}\)或者\(\Delta \leq 0\)

    解得\(a\leq -2或a\ge 1\),又\(a<-1\),故\(a\leq -2\)

    思路4:接思路1,分离参数得到,\(a\leq \cfrac{-4x-1}{2x^2+1}\)

    求函数\(\phi(x)=\cfrac{-4x-1}{2x^2+1}\)的最小值,还可以用代换法,

    \(-4x-1=t<-1\),则\(\phi(x)=\cfrac{t}{\cfrac{(t+1)^2}{8}+1}=\cfrac{8t}{t^2+2t+9}=\cfrac{8}{t+\cfrac{9}{t}+2}\ge \cfrac{8}{-2\sqrt{9}+2}=-2\)

    \(a\leq -2\)

    例6【三角函数求值中的给值求值类】

    已知\(tan\alpha=\cfrac{1}{2}\),求\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)的值。

    【法1】:方程组法,由\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}}\\{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\)

    解得\(sin^2\alpha=\cfrac{1}{5}\)\(cos^2\alpha=\cfrac{4}{5}\)

    代入得到\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=-\cfrac{3}{5}\)

    【法2】:齐次式法,\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)=sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

    \(=-cos2\alpha=-\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{3}{5}\)

    【法3】:由\(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}\),引入比例因子,可设\(sin\alpha=k\)\(cos\alpha=2k(k\neq 0)\)

    \(k^2+(2k)^2=1\),可得\(k^2=\cfrac{1}{5}\),故\(k^4=\cfrac{1}{25}\)

    \(sin^4\alpha-cos^4\alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-\cfrac{3}{5}\)

    例7【2019届理科数学周末训练1第22题】

    已知直线\(l\)的极坐标方程为\(\rho sin(\theta-\cfrac{\pi}{3})=0\),以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为\(x\)轴的正半轴,建立平面直角坐标系,

    曲线\(C\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=2cos\alpha}\\{y=2+2sin\alpha}\end{array}\right.(\alpha为参数)\)课件

    (1)求直线\(l\)被曲线\(C\)截得的弦长|OA|。

    分析:可以从以下四个角度思考,

    ①利用两点间的距离公式;

    【法1】直线\(l\)的普通方程为\(y=\sqrt{3}x\),圆\(C\)的普通方程为\(x^2+(y-2)^2=2^2\)

    联立消掉\(y\),得到\(x^2-\sqrt{3}x=0\)

    解得,\(\left\{\begin{array}{l}{x_1=0}\\{y_1=0}\end{array}\right.\),或\(\left\{\begin{array}{l}{x_2=\sqrt{3}}\\{y_2=3}\end{array}\right.\)

    由两点间距离公式得到\(|OA|=2\sqrt{3}\)

    ②直线和圆相交求弦长的几何方法;

    【法2】直线为\(\sqrt{3}x-y=0\),圆心为\((0,2)\)

    则圆心到直线的距离为\(d=\cfrac{|0-2|}{2}=1\),又半径为\(2\)

    故半弦长为\(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\),则弦长\(|OA|=2\sqrt{3}\)

    ③直线的参数方程法;

    【法3】由于直线的普通方程为\(y=\sqrt{3}x\),经过点\((0,0)\)

    斜率\(k=tan\theta=\sqrt{3}\)

    直线\(l\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=0+\cfrac{1}{2}t}\\{y=0+\cfrac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.(t为参数)\)

    将其代入圆的普通方程\(x^2+(y-2)^2=2^2\)

    整理得到\(t^2-2\sqrt{3}t=0\)

    解得\(t_1=0\)\(t_2=2\sqrt{3}\)

    则弦长\(|OA|=|t_1-t_2|=2\sqrt{3}\)

    ④极坐标法;

    【法4】直线的极坐标方程为\(\theta=\cfrac{\pi}{3}\)

    圆的极坐标方程为\(\rho=4sin\theta\)

    二者联立,得到\(\rho=4sin\cfrac{\pi}{3}=2\sqrt{3}\)

    即所求弦长\(|OA|=2\sqrt{3}\)

    (2)从极点做曲线\(C\)的弦,求弦的中点\(M\)轨迹的极坐标方程。

    分析:可以从以下三个角度思考:

    ①利用平面直角坐标系下的中点公式;

    【法1】在平面直角坐标系中,设过坐标原点的直线和圆相交于点\(P(x_0,y_0)\),则所得弦的中点坐标为\(M(x,y)\)

    \(\left\{\begin{array}{l}{2x=x_0}\\{2y=y_0}\end{array}\right.\),又点\(P(x_0,y_0)\)在圆\(x^2+(y-2)^2=2^2\)上,

    代入整理得到普通方程为\(x^2+(y-1)^2=1\)

    即其极坐标方程为\(\rho=2sin\theta\)

    其中\(\alpha\in(0,\pi)\),而不是\(\alpha\in[0,\pi)\),以保证弦的存在。

    ②利用圆的参数方程;

    由于圆上任意一动点\(P\)的坐标\(P(2cos\theta,2+2sin\theta)\),则弦的中点\(M(cos\theta,1+sin\theta)\)

    即点\(M\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=cos\theta}\\{y=1+sin\theta}\end{array}\right.(\theta为参数)\)

    消去参数\(\theta\),得到普通方程为\(x^2+(y-1)^2=1\)

    即其极坐标方程为\(\rho=2sin\theta\)

    其中\(\alpha\in(0,\pi)\),而不是\(\alpha\in[0,\pi)\),以保证弦的存在。

    ③利用极坐标法;

    【法3】曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4sin\theta\)

    过极点的直线的极坐标方程为\(\theta=\alpha\)

    设直线和曲线\(C\)的交点的极坐标为\((\rho_1,\alpha)\)

    则弦的中点\(M\)的极坐标为\((\rho,\alpha)\)

    由题目可知,\(\rho_1=2\rho\),代入曲线\(C\)的极坐标方程为\(2\rho=4sin\alpha\)

    得到\(\rho=2sin\alpha\),其中\(\alpha\in(0,\pi)\)

    故弦的中点\(M\)轨迹的极坐标方程为\(\rho=2sin\alpha\),其中\(\alpha\in(0,\pi)\)

    说明:由于弦的中点要存在,则必须保证\(\rho\neq 0\),即原来的\(\alpha\in[0,\pi)\),必须变为\(\alpha\in(0,\pi)\)

    例8

    在平面内有\(n(n\in N*)\)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,求\(f(1)\)\(f(2)\)\(f(3)\)\(f(4)\)\(f(5)\)的值;并总结\(f(n)\)的表达式。

    法1:二阶等差数列+累加法,

    解析:由题意知,则\(f(1)=2\)\(f(2)=4\)\(f(3)=7\)\(f(4)=11\)\(f(5)=16\)

    \(f(2)-f(1)=4-2=2\)

    \(f(3)-f(2)=7-4=3\)

    \(f(4)-f(3)=11-7=4\)

    \(f(5)-f(4)=16-11=5\)

    $\cdots $,

    \(f(n)-f(n-1)=n\)

    因此,当\(n\ge 2\)时,由累加法可知,

    \(f(n)-f(1)=2+3+\cdots+n=\cfrac{(n+2)(n-1)}{2}\)

    \(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)

    \(n=1\)时,\(f(1)=2\),也满足上式,故

    \(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)

    在平面内有\(n(n\in N*)\)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明:这\(n\)条直线把平面分成\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)个平面区域。

    法2:用数学归纳法证明,

    ①当\(n=1\)时,由几何常识可知,一条直线将平面分成两个部分即\(f(1)=2\),又\(f(1)=\cfrac{1^2+1+2}{2}=1\),即\(n=1\)时命题成立。

    ②假设当当\(n=k(k\ge 1,k\in N^*)\)时命题成立,即\(k\)条直线将平面分成的部分数为\(f(k)=\cfrac{k^2+k+2}{2}\)

    那么当\(n=k+1\)时,由于新添加的第\(k+1\)条直线和以前的\(k\)条直线两两相交且不共点,此时新增加平面区域个数为\(k+1\)个,

    \(f(k+1)=f(k)+k+1=\cfrac{k^2+k+2}{2}+k+1\)

    \(=\cfrac{k^2+k+2+2(k+1)}{2}=\cfrac{(k^2+2k+1)+(k+1)+2}{2}\)

    \(=\cfrac{(k+1)^2+(k+1)+2}{2}\)

    即当\(n=k+1\)时,命题也成立。

    综上所述,\(n\in N^*\)时,\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)

    \(n\)条直线把平面分成\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)个平面区域。

    • 难点突破:本题目中的难点就是新添加了第\(k+1\)条直线后,平面区域也新增加了\(k+1\)个,

    思路1:用不完全归纳法突破,比如直线条数由\(1\Rightarrow 2\)时,增加的区域个数为\(2\)个,由\(2\Rightarrow 3\)时,增加的区域个数为\(3\)个,由\(3\Rightarrow 4\)时,增加的区域个数为\(4\)个,\(\cdots\),则由\(n\Rightarrow n+1\)时,增加的区域个数为\(n+1\)个。

    思路2:借助图形突破。

    例9设抛物线\(C:y^2=3x\)的焦点,过F且倾斜角为\(30^{\circ}\)的直线交C于A,B两点,则\(|AB|\)等于()

    A、\(\cfrac{\sqrt{30}}{3}\) \(\hspace{2cm}\) B、6 \(\hspace{2cm}\) C、12 \(\hspace{2cm}\) D、 \(7\sqrt{3}\)

    法1、常规方法,利用两点间距离公式,由于\(2p=3\),则\(\cfrac{p}{2}=\cfrac{3}{4}\),故焦点\(F(\cfrac{3}{4},0)\)

    则直线\(AB\)的方程为\(y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})\)

    联立直线\(AB\)的方程\(y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})\)和抛物线\(C:y^2=3x\)

    \(y\)得到\(16x^2-24\times7x+9=0\),设点\(A(x_1,y_1)\),点\(B(x_2,y_2)\)

    \(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)

    \(x_1x_2=\cfrac{9}{16}\),故\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=12\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    法2、利用直线\(AB\)的参数方程的参数的几何意义,直线\(AB\)的参数方程为\(\begin{cases}x=\cfrac{3}{4}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}t\\y=0+\cfrac{1}{2}t\end{cases}(t为参数)\)

    代入\(y^2=3x\)中,得到\(t^2-6\sqrt{3}t-9=0\)

    \(|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt{36\times3-4\times(-9)}=12\)

    法3:利用抛物线的第二定义可知,

    \(|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x_1+\cfrac{p}{2}+x_2+\cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p\)

    故由法1中,得到\(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)

    \(p=\cfrac{3}{2}\),即\(|AB|=x_1+x_2+p=12\)

    法4:利用抛物线的焦点弦长公式:\(|AB|=\cfrac{2p}{sin^2\alpha}\)

    \(|AB|=\cfrac{2\times \cfrac{3}{2}}{(\cfrac{1}{2})^2}=12\)

    • 引申:抛物线的焦点弦长公式\(|AB|=\cfrac{2p}{sin^2\alpha}\)的推导:

    992978-20171106200949216-649635271.png

    当直线的斜率不存在时,即直线的倾斜角\(\theta=90^{\circ}\)时,\(x_1=x_2=\cfrac{p}{2}\)\(y_1=p\)\(y_2=-p\)

    \(|AB|=|y_1-y_2|=2p=\cfrac{2p}{sin^290^{\circ}}=\cfrac{2p}{sin^2\alpha}\)

    当直线的斜率存在时,即\(k=tan\theta\),焦点弦方程是\(y=k(x-\cfrac{p}{2})\),代入抛物线方程得到\(k^2x^2-(k^2p+2p)x+\cfrac{k^2p^2}{4}=0\)

    利用韦达定理可知\(x_1+x_2=\cfrac{k^2p+2p}{k^2}\),由抛物线的定义

    \(|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+p=\cfrac{k^2p+2p}{k^2}+p=\cfrac{2p(k^2+1)}{k^2}\)

    \(=2p\times\cfrac{tan^2\theta+1}{tan^2\theta}=2p\times\cfrac{sin^2\theta+cos^2\theta}{sin^2\theta}=\cfrac{2p}{sin^2\theta}\)

    例10【向量的模的运算】已知\(|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,<\vec{a},\vec{b}>=60^{\circ}\),求\(|\vec{a}+2\vec{b}|\)

    法1:基向量法,

    \(|\vec{a}+2\vec{b}|^2=\vec{a}^2+4\vec{b}^2+2\times 2\times \vec{a}\cdot \vec{b}\)

    \(=|\vec{a}|^2+4|\vec{b}|^2+4|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos60^{\circ}\)

    \(=1+16+4\times 1\times 2\times cos60^{\circ}=21\)

    \(|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{21}\)

    法2:建立坐标系,利用向量坐标法构造向量三角形法,

    992978-20190212200455308-1620957232.jpg

    建立如图所示的坐标系,则可知\(\vec{a}=(1,0)\)\(\vec{b}=(1,\sqrt{3})\)

    \(\vec{a}+2\vec{b}=(1,0)+2(1,\sqrt{3})=(3,2\sqrt{3})\)

    \(|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{3^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{21}\)

    法3:构造向量三角形法,利用余弦定理求解。

    992978-20190212200502480-1251977877.jpg

    由图可知,\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)\(\overrightarrow{OD}=2\vec{b}\),做向量三角形\(\triangle OAB\)

    则在\(\triangle OAB\)中,\(|OA|=|\vec{a}|=1\)\(|AB|=|2\vec{b}|=4\)\(|OB|=|\vec{a}+2\vec{b}|\)\(\angle OAB=120^{\circ}\)

    由余弦定理可知,\(|OB|^2=1^2+4^2-2\times 1\times 4\times cos120^{\circ}=21\)

    \(|\vec{a}+2\vec{b}|=|OB|=\sqrt{21}\)

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  • 【原】直线\(y=x\)上的动点为\(P\),函数\(y=lnx\)上的动点是\(Q\),求\(|PQ|\)的最小值。 【变式】直线\(y=x\)上的点为\(P(x,y)\),函数\(y=lnx\)上的点是\(Q(m,n)\),求\(\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}\)的最小值。 ...

    案例01

    【原题】直线\(y=x\)上的动点为\(P\),函数\(y=lnx\)上的动点是\(Q\),求\(|PQ|\)的最小值。

    【变式】直线\(y=x\)上的点为\(P(x,y)\),函数\(y=lnx\)上的点是\(Q(m,n)\),求\(\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}\)的最小值。

    992978-20180918165310218-459699105.png

    分析:采用平行线法,

    设和直线\(y=x\)平行且和函数\(y=lnx\)相切的直线为\(y=x+m\)

    切点为\(P_0(x_0,y_0)\),则有

    \(\begin{cases} y_0=x_{0}+ m \\ y_0=lnx_0 \\ f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}=1\end{cases}\)

    从而解得\(x_0=1,y_0=0,m=-1\)

    所以所求的点点距的最小值,就转化为切点\(P_0(1,0)\)到直线\(x-y=0\)的点线距,

    \(d=\cfrac{|1-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)

    或者两条直线\(y=x,y=x-1\)的线线距\(d=\cfrac{|1-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)课件地址

    案例02

    【原题】已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 \([1,5]\)上能成立,求参数\(a\)的取值范围。

    【变式1】已知不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上有解,求参数\(a\)的取值范围。

    【变式2】已知不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上解集不是空集,求参数\(a\)的取值范围。

    【变式3】已知不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上至少有一个解,求参数\(a\)的取值范围。

    【变式4】已知命题\(p\):对任意\(x\in [1,5]\),不等式\(x^2 +ax-2< 0\)在区间 [1,5]无实数解,是假命题,求参数\(a\)的取值范围。

    【法1】:分离参数,得到\(a≥\cfrac{2}{x}-x\)在区间\([1,5]\)上能成立,

    转化为求新函数\(\cfrac{2}{x}-x\)\([1,5]\)上的最小值。

    \(g(x)=\cfrac{2}{x}-x,g(x)=\cfrac{2}{x}-x\)在区间 \([1,5]\)上单调递减,

    所以\(g(x)_{min}=g(5)=-\cfrac{23}{5}\),所以\(a≥-\cfrac{23}{5}\)

    \(a\)的取值范围是\([-\cfrac{23}{5},+\infty)\)

    【法2】:转化为求\(x\in [1,5]\)上的\(f(x)_{max}\ge 0\)

    对称轴是\(x=-a\),针对\(x=-a\)和给定区间的位置关系分类讨论即可,较繁琐,

    ①当\(-a\leq 1\)时,即\(a\ge -1\)时,\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递增,

    \(f(x)_{max}=f(5)=5a+23\ge 0\),即\(a\ge -\cfrac{23}{5}\)

    又由于\(a\ge -1\),求交集得到\(a\ge -1\)

    ②当\(1<-a<5\)时,即\(-5<a<-1\)时,\(f(x)\)在区间\([1,5]\)有减有增无单调性,

    \(f(x)_{max}=max{f(1),f(5)}\)

    \(f(1)=a-1\)\(f(5)=5a+23\)

    \(f(5)-f(1)=4a+24\in [4,20]\),即\(f(5)>f(1)\)

    \(f(x)_{max}=f(5)=5a+23\ge 0\),即\(a\ge -\cfrac{23}{5}\)

    求交集得到,\(-\cfrac{23}{5}\leq a<-1\)

    ③当\(-a\ge 5\)时,即\(a\leq -5\)时,\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递减,

    \(f(x)_{max}=f(1)=a-1\ge 0\),即\(a\ge 1\)

    求交集得到\(a\in \varnothing\)

    综上所述,得到\(a\in [-\cfrac{23}{5},+\infty)\)

    \(a\)的取值范围是\([-\cfrac{23}{5},+\infty)\)

    【法3】:转化为不等式\(f(x)=x^2 +ax-2≥0\)在区间 \([1,5]\)上有解,

    解法基本同于法2,

    ①当\(-a\leq 1\)时,必须\(f(5)\ge 0\),解得\(a\ge -1\)

    ②当\(1<-a<5\)时,必须\(f(5)\ge 0\),解得\(-\cfrac{23}{5}\leq a<-1\)

    ③当\(-a\ge 5\)时,必须\(f(1)\ge 0\),解得\(a\in \varnothing\)

    综上所述,得到\(a\in [-\cfrac{23}{5},+\infty)\)

    案例03

    【源题】若\((2m+1)^{\cfrac{1}{2}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{2}}\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:由于上述不等式依托的函数是\(y=x^{\frac{1}{2}}\),在定义域\([0,+\infty)\)上单调递增,

    故有\(\left\{\begin{array}{l}{2m+1\ge 0①}\\{m^2+m-1\ge 0②}\\{2m+1>m^2+m-1③}\end{array}\right.\)

    解得\(\left\{\begin{array}{l}{m\ge -\cfrac{1}{2}①}\\{m\ge\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}或m\leq \cfrac{-\sqrt{5}-1}{2}②}\\{-1<m<2③}\end{array}\right.\)

    求交集得到,\(\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\leq m<2\)。故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    【变式1】【无奇偶性】若\((2m+1)^{\cfrac{1}{4}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{4}}\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:求解过程同上,故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    【变式2】【无奇偶性】若\((2m+1)^{\cfrac{1}{2n}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{2n}}(n\in N^{*})\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:求解过程同上,故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    【变式3】【抽象函数】若函数\(f(x)\)的定义域为\([0,+\infty)\),且满足对任意的\(x_1,x_2\in [0,+\infty)\),都有\(\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0(x_1\neq x_2)\),且满足\(f(2m+1)>f(m^2+m-1)\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:求解过程同上,故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    案例04

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  • Java逻辑思维训练题

    万次阅读 热门讨论 2018-04-21 21:48:32
    长时间写代码,思维容易固化,有时候需要换换脑子,我这边整理了几个有趣的逻辑思维训练小问题,以供大家休息时看看。 两柱香问题 题目:有两柱不均匀的香,每柱香燃烧完需要1个小时,问:怎样用两柱香切出一个15...

    长时间写代码,思维容易固化,有时候需要换换脑子,我这边整理了几个有趣的逻辑思维训练小问题,以供大家休息时看看。

    两柱香问题

    题目:有两柱不均匀的香,每柱香燃烧完需要1个小时,问:怎样用两柱香切出一个15分钟的时间段?这个题的重点就是怎么切。

    灯管问题

    在房里有三盏灯,房外有三个开关,在房外看不见房内的情况,你只能进门一次,你用什么方法来区分那个开关控制那一盏灯?

    两位盲人问题

    他们都各自买了两对黑袜和两对白袜,八对袜了的布质、大小完全相同,而每对袜了都有一张商标纸连着。两位盲人不小心将八对袜了混在一起。 他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢?

    果冻问题

    你有一桶果冻,其中有黄色,绿色,红色三种,闭上眼睛,同时抓取两个果冻。抓取多少个就可以确定你肯定有两个同一颜色的果冻?

    喝啤酒问题

    假如每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒,某人买了10瓶啤酒,那么他最多可以喝到多少瓶啤酒?

    三人住旅馆

    有三个人去住旅馆,住三间房,每一间房元,于是他们一共付给老板30,第二天,老板觉得三间房只需要元就够了于是叫小弟退回5给三位客人,谁知小弟贪心,只退回每人,自己偷偷拿了2,这样一来便等于那三位客人每人各花了九元,于是三个人一共花了,再加上小弟独吞了不2,总共是。可是当初他们三个人一共付出30那么还有$1呢?

    三筐苹果问题

    有三筐水果,一筐装的全是苹果,第二筐装的全是橘子,第三筐是橘子与苹果混在一起。筐上的标签都是骗人的,(就是说筐上的标签都是错的)你的任务是拿出其中一筐,从里面只拿一只水果,然后正确写出三筐水果的标签。

    猴子吃香蕉问题

    一个小猴子边上有100 根香蕉,它要走过50 米才能到家,每次它最多搬50 根香蕉,每走1 米就要吃掉一根,请问它最多能把多少根香蕉搬到家里。

    两人玩游戏,在脑门上贴数字(正整数>=1),只看见对方的,看不见自己的,而且两人的数字相差1,以下是两人的对话:

    A:我不知道 
    B:我也不知道 
    A:我知道了 
    B:我也知道了 
    问A头上的字是多少?B头上的字是多少() 
    A A是4,B是3 
    B A是3,B是2 
    C A是2,B是1 
    D A是1,B是2

    参考答案: 
    1、将甲香的一头点着,将乙香的两头点着,当乙香燃烧完时,说明已经过了半个小时,同时也说明甲香也正好燃烧了一半,此时,将甲香的另一头点着,从此时起到甲香完全烧完,正好15分钟。

    2、打开一盏灯10分钟,关掉,打开第二盏,进去看看哪盏亮,摸摸哪盏热,热的是第一个打开的开关开的,亮的是第二个开关开的,另一个就是第三个。

    3、每一对分开,一人拿一只,因为袜子不分左右脚的;

    4、2次4个!

    5、喝完10瓶后用9个空瓶换来3瓶啤酒(喝完后有4个空瓶)喝完这三瓶又可以换到1瓶啤酒(喝完后有2个空瓶),这时他有2个空酒瓶,如果他能向老板先借一个空酒瓶,就凑够了3个空瓶可以换到一瓶啤酒,把这瓶喝完后将空瓶还给老板就可以了。 
    所以他最多可以喝10+3+1+1=15瓶

    6、他们所消费的27元里已经包括小弟贪污的2元了,再加退还的3元=30元。这种题一定不要乱了阵脚,根据一条思路做:这30元现在的分布是:老板拿25元,伙计拿2元,三人各拿1元,正好!

    7、从标着“混合”标签的筐里拿一只水果,就可以知道另外两筐装的是什么水果了。

    分析:从混合的拿出一个来,如果是苹果,而贴苹果的筐里有可能是橘子和混合,如果是混合,说明贴橘子的筐里是橘子,不成立(因为前提说了,每个标签都是错的)。所以贴苹果的筐里是橘子,则贴橘子的筐里是混合。

    8、设小猴从0 走到50, 到A 点时候他可以直接抱香蕉回家了, 可是到A 点时候他至少消耗了3A 的香蕉( 到A, 回0, 到A), 一个限制就是小猴只能抱50 只香蕉, 那么在A 点小猴最多49 只香蕉.100-3A=49, 所以A=17. 这样折腾完到家的时候香蕉剩100-3A-(50-A)=50-2A=16.

    9、答案B:

    【解析】引理1:如果A看到B的头上是1,则A马上可以断定,自己头上的数是2(因为条件给定了数字是正整数且>=1)。 
    引理2:如果A看到B的头上是2,并且B说“我不知道”,则A马上可以断定:自己头上的数是3.因为A根据B是2可以推断自己是1或者3:如果自己是1,根据引理1,B应该说“我会知道”。把引理2中的A和B对调,就是选项中的B,并且A在听到B第一次说“我不知道”后的推理情况。 
    细致考察“A是3,B是2”这种情况: 
    第一次, A看到2,无法判断自己是1还是3,只好说不知道; 
    第二次, B看到3,无法判断自己是2还是4,只好说不知道; 
    第三次, A得知了“B不知道”,因此B看到的一定不是1(根据引理1),所以断定了自己是3; 
    第四次,B得知了“A知道”,因此A如果看到4是无法断定自己是几,因此,A一定是看到了自己头上是2.

    A选项中,满足前三个对话,但第四次“B:我也知道了”是无法得出的,因为B无法判断自己是3还是5。 
    C选项中,A第一次说“我知道”。 
    D选项中,A说了“我不知道”后,B在第二次一定说“我知道”。

     

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  • java训练思维题

    2020-10-14 14:45:41
    1.计算字符串最后一个单词的长度,单词以空格隔开。 import java.util.*; public class Main{ public static void main(String[] args){ Scanner sc = new Scanner(System.in); String str = sc.nextLine();...

    1.计算字符串最后一个单词的长度,单词以空格隔开。

    import java.util.*;
     
    public class Main{
        public static void main(String[] args){
            Scanner sc = new Scanner(System.in);
            String str = sc.nextLine();
             String[] word = str.split(" ");
            int length = word.length;
            int len = word[length - 1].length();
            System.out.println(len);
    }
    }
    

    2.写出一个程序,接受一个由字母和数字组成的字符串,和一个字符,然后输出输入字符串中含有该字符的个数。不区分大小写。

    import java.util.*;
    
    public class Main{
         public static void main(String[] args) {
            System.out.println("请输入一行字符串");
            Scanner sc = new Scanner(System.in);
            String str = sc.nextLine().toLowerCase();
            System.out.println("请输入一个字符");
            Scanner sc1 = new Scanner(System.in);
            char s = sc1.nextLine().toLowerCase().charAt(0);
    
            int count = getLength(str,s);
            System.out.println("含有该字符的个数:\t"+count);
             
             
             
             
     }
        public static int getLength(String str,char c) {
            int count = 0;
            if (str != null && str.length() > 0) {
                for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
                    if (c == str.charAt(i)) {
                        count++;
                    }
                }
            } else {
                count = 0;
            }
            return count;
        }
    }
    
    
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思维拓展训练题