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  • 马尔可夫链的定义举例和应用

    千次阅读 2020-10-11 12:43:27
    定义 马尔可夫链是满足马尔可夫性质的随机过程。马尔可夫链描述了一种状态序列,其每个状态值取决于前面有限个状态。一阶马尔可夫过程就是下一个状态的的转移只依赖于当前状态。 举例 假设一个集合具有状态S[1-6], ...

    马尔可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模,还可作为信号模型用于熵编码技术,如算法编码。

    定义

    马尔可夫链是满足马尔可夫性质的随机过程。马尔可夫链描述了一种状态序列,其每个状态值取决于前面有限个状态。一阶马尔可夫过程就是下一个状态的的转移只依赖于当前状态。

    举例

    假设一个集合具有状态S[1-6], 每个状态的表示:
    S1 = {AA, AA},
    S2 = {AA, Aa}
    S3 = {AA, aa}
    S4 = {Aa, Aa}
    S5 = {Aa, aa}
    S6 = {aa, aa}.

    每个状态是包含两个元素的集合,通过集合内的元素,可以其他状态,比如S2可以重组为**{AA, Aa}**, {AA, AA}, {Aa, Aa}

    规定状态转移矩阵为:

    State Next(S1) Next(S2) Next(S3) Next(S4) Next(S5) Next(S6)
    Current(S1)  1 0 0 0 0 0
    Current(S2)  1/4 1/2 0 1/4 0 0
    Current(S3)  0 0 0 1 0 0
    Current(S4)  1/16 1/4 1/8 1/4 1/4 1/16
    Current(S5)  0 0 0 1/4 1/2 1/4
    Current(S6)  0 0 0 0 0 1

    上图中,每一行代表的是当前状态的一下一步转移到不同状态的概率。注意一个含有M个状态的一阶过程有M的平方个状态转移。

    基于以上的信息,我们再定义一个当前状态为S3,那么如何预测接下来10步的状态情况?

    应用马尔可夫链

    如果当前状态是 S3, 那么连续的计算10步。

    #!/usr/bin/env python
    
    import numpy as np
    from matplotlib import pyplot
    
    # state transition matrix
    P = np.matrix([[1., 0., 0., 0., 0., 0.],
                   [1./4, 1./2, 0., 1./4, 0., 0.],
                   [0., 0., 0., 1., 0., 0.],
                   [1./16, 1./4, 1./8, 1./4, 1./4, 1./16],
                   [0., 0., 0., 1./4, 1./2, 1./4],
                   [0., 0., 0., 0., 0., 1.]])
    
    # Init state
    v = np.matrix([[0, 0, 1, 0, 0, 0]])
    
    # Get the data
    plot_data = []
    for step in range(5):
        result = v * P**step
        plot_data.append(np.array(result).flatten())
    
    # Convert the data format
    plot_data = np.array(plot_data)
    
    # Create the plot
    pyplot.figure(1)
    pyplot.xlabel('Steps')
    pyplot.ylabel('Probability')
    lines = []
    for i, shape in zip(range(6), ['x', 'h', 'H', 's', '8', 'r+']):
        line, = pyplot.plot(plot_data[:, i], shape, label="S%i" % (i+1))
        lines.append(line)
    pyplot.legend(handles=lines, loc=1)
    pyplot.show()
    
    • 运行:
    pip install numpy matplotlib
    python markov_chain_example.py
    
    • 结果:

    从上图可以注意到:
    第0步S3为1, 其他状态为0。
    第1步,根据状态转移矩阵,S4为1,其他状态为0。
    第2步,根据状态转移矩阵,各状态均有可能。

    结论

    马尔可夫链可以用来生成预测的序列。此外,我们注意到,有下面两个问题:

    矩阵运算

    在代码中,我们注意到,

    result = v * P**step
    

    其中,P**N是对状态转移矩阵P N次方(numpy.linalg.matrix_power)

    为什么状态转移矩阵的列求和不为1

    首先,当前状态为不同状态时,并不能保证下一状态都转移到S1或者某一特定的状态,因此,每列的和应该是0~状态的数量

    Refers

    隐马尔可夫模型(HMM)攻略

    Python Markov Chain Packages

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  • 纳什均衡定义举例、分类

    千次阅读 2020-07-08 10:02:18
    纳什均衡在不同的领域的定义不尽相同,但是中心思想是相同的,即在非合作博弈中,双方为使自己利益最大化,而最终达到的一个均衡状态。在这个状态下,当所有其他人不改变策略,任意一方也不会(没有理由/动力)改变...

    纳什均衡

    纳什均衡在不同的领域的定义不尽相同,但是中心思想是相同的,即在非合作博弈中,双方为使自己利益最大化,而最终达到的一个均衡状态。在这个状态下,当所有其他人不改变策略,任意一方也不会(没有理由/动力)改变自己的策略。这时的策略组合也就是纳什均衡。

    下面是百度百科中有关纳什均衡的定义:

    纳什平衡(Nash equilibrium),又称为非合作博弈均衡,是博弈论的一个重要术语,以约翰·纳什命名。在一个博弈过程中,无论对方的策略选择如何,当事人一方都会选择某个确定的策略,则该策略被称作支配性策略。如果任意一位参与者在其他所有参与者的策略确定的情况下,其选择的策略是最优的,那么这个组合就被定义为纳什平衡。
    一个策略组合被称为纳什平衡,当每个博弈者的平衡策略都是为了达到自己期望收益的最大值,与此同时,其他所有博弈者也遵循这样的策略。

    纳什均衡在经济学方面的定义:

    指的是参与人的这样一种策略组合,在该策略组合上,任何参与人单独改变策略都不会得到好处。换句话说,如果在一个策略组合上,当所有其他人都不改变策略时,没有人会改变自己的策略,则该策略组合就是一个纳什均衡。

    纳什均衡在数学方面的定义:

    前提:博弈论也称Game Theory,一场博弈用G表示,Si表示博弈方i的策略,ui表示收益。
    在博弈G={S1,…,Sn:u1,…,un}中,如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策略组合(s1*,…,sn*)中,任一博弈方i的策略si*,都是对其余博弈方策略的组合(s1*,…si-1,si+1,…,sn*)的最佳对策,也即ui(s1*,…si-1,si,si+1,…,snui(s1*,…si-1,sij,si+1,…,sn)对任意sij∈Si都成立,则称(s1*,…,sn*)为G的一个纳什均衡。

    纳什均衡广泛运用在经济学、计算机科学、演化生物学、人工智能、会计学、政策和军事理论等方面。1994年,纳什和其他两位博弈论学家约翰·海萨尼和莱因哈德·泽尔腾共同获得了诺贝尔经济学奖。

    典型示例

    纳什证明了在每个参与者都只有有限种策略选择、并允许混合策略的前提下,纳什均衡一定存在

    1、价格大战

    生产同一样产品的若干厂家会形成一个稳定的状态,在这个状态下各家所卖的产品价格保持基本一致,在这种情况下各方就形成了一个纳什均衡。

    若其中一方打破默契,开始大幅降价,以求薄利多销,获取更大利润,那么其他家便会很快跟进,互相压价。刚开始降价的一方短期内可能会增加销量和利润,但最终的结果是两败俱伤。于是两家公司可以改变原先的利益格局,通过谈判寻求新的利益评估分摊方案,也就是新的纳什均衡

    由此可见,随着次数(博弈性质) 的变化,纳什均衡点也并非唯一

    2、囚徒困境

    假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯,对每一个犯罪嫌疑人,警方给出的政策是:

    1. 如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行,交出了赃物,于是证据确凿,两人都被判有罪。如果另一个犯罪嫌疑人也作了坦白,则两人各被判刑8年
    2. 如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖,则以妨碍公务罪(因已有证据表明其有罪)再加刑2年,共10年,而坦白者有功被减刑8年,立即释放,即0年
    3. 如果两人都抵赖,则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪,但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年

    在这里插入图片描述

    两人的选择见下表:表中的数字表示A,B各自的判刑结果。博弈论分析中一般都用这样的表来表示。
    在这里插入图片描述

    可以看出,对于两个嫌疑人最好的选择是两人都不承认罪行,这样两人都只判刑1年。但是两个嫌疑人是隔离的,在这个前提下,每个嫌疑人都会选择对自己利益最大化的选择,他们都会考虑:如果我抵赖,对方坦白了,那么我会判刑10年,但是对方却不需要坐牢;如果我坦白了,对方抵赖,那么我无需坐牢;就算两人都坦白,两人都坐牢8年,也比10年要少。综合以上几种情况考虑,不管他坦白与否,对我而言都是坦白了划算。两个人都会动这样的脑筋,最终两人都会选择坦白,即两人都被判8年。
    这里表中的(-8,-8)即为一个纳什均衡。

    3、智猪博弈

    猪圈里有两头猪,一头大猪,一头小猪。猪圈的一边有个踏板,每踩一下踏板,在远离踏板的猪圈的另一边的投食口就会落下少量的食物。如果有一只猪去踩踏板,另一只猪就有机会抢先吃到另一边落下的食物。存在以下情况:

    1. 当小猪踩动踏板时,大猪会在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的食物;
    2. 若是大猪踩动了踏板,则还有机会在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽,争吃到另一半残羹

    那么,两只猪各会采取什么策略?答案是:小猪将选择“搭便车”策略,也就是舒舒服服地等在食槽边;而大猪则为一点残羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之间。

    原因何在?因为,小猪踩踏板将一无所获,不踩踏板反而能吃上食物。对小猪而言,无论大猪是否踩动踏板,不踩踏板总是好的选择。反观大猪,已明知小猪是不会去踩动踏板的,自己亲自去踩踏板总比不踩强吧,所以只好亲力亲为了。

    “智猪博弈”的结论似乎是,在一个双方公平、公正、合理和共享竞争环境中,有时占优势的一方最终得到的结果却有悖于他的初始理性。或者说,谁先去踩这个踏板,就会造福全体,但多劳却并不一定多得。这种情况在现实中比比皆是。

    4、饿狮博弈

    假设有A、B、C、D、E、F六只狮子(强弱从左到右依次排序)和一只绵羊。假设狮子A吃掉绵羊后就会打盹午睡,这时比A稍弱的狮子B就会趁机吃掉狮子A,接着B也会午睡,然后狮子C就会吃掉狮子B,以此类推。那么问题来了,狮子A敢不敢吃绵羊?

    为简化说明,我们先给出此题的解法。该题须采用逆向分析法,也就是从最弱的狮子F开始分析,依次前推。假设狮子E睡着了,狮子F敢不敢吃掉狮子E?答案是肯定的,因为在狮子F的后面已没有其它狮子,所以狮子F可以放心地吃掉午睡中的狮子E。

    继续前推,既然狮子E睡着会被狮子F吃掉,那么狮子E必然不敢吃在他前面睡着的狮子D。狮子D认为E不会吃它,所以会选择吃掉前面的C狮子……。

    推理过程如下图:
    在这里插入图片描述
    但是,如果我们在狮子F的后面增加了一只狮子G,总数变成7只,用逆向分析法按照上题步骤再推一次,很容易得出结论:狮子G吃,狮子F不吃,E吃,D不吃,C吃,B不吃,A吃。这次的答案变成了狮子A敢吃掉绵羊。
    在这里插入图片描述
    对比两次博弈我们发现,狮子A敢不敢吃绵羊取决于狮子总数的奇偶性,总数为奇数时,A敢吃掉绵羊;总数为偶数时,A则不敢吃。因此,总数为奇数和总数为偶数的狮群博弈结果形成了两个稳定的纳什均衡点

    5、硬币正反

    你正在图书馆枯坐,一位陌生美女主动过来和你搭讪,并要求和你一起玩个数学游戏。美女提议:“让我们各自亮出硬币的一面,或正或反。如果我们都是正面,那么我给你3元,如果我们都是反面,我给你1元,剩下的情况你给我2元就可以了。”那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢?(不要因为是美女就玩啊喂(#`O′)

    用表格展示更加直观:
    在这里插入图片描述

    每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡,一种是纯策略纳什均衡,也就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面),使得每人都赚得最多或亏得最少;或者是混合策略纳什均衡,而在这个游戏中,便应该采用混合策略纳什均衡。

    (题外话)纳什均衡分类具体见百度百科:

    纳什平衡可以分成两类:“纯战略纳什平衡”“混合战略纳什平衡”
    要说明纯战略纳什平衡和混合战略纳什平衡,要先说明纯战略和混合战略
    所谓纯战略是提供给玩家要如何进行赛局的一个完整的定义。特别地是,纯战略决定在任何一种情况下要做的移动。战略集合是由玩家能够施行的纯战略所组成的集合。
    而混合战略是对每个纯战略分配一个机率而形成的战略。混合战略允许玩家随机选择一个纯战略。混合战略博弈均衡中要用概率计算,因为每一种策略都是随机的,达到某一概率时,可以实现支付最优。因为机率是连续的,所以即使战略集合是有限的,也会有无限多个混合战略。
    当然,严格来说,每个纯战略都是一个“退化”的混合战略,某一特定纯战略的机率为1,其他的则为0。
    故“纯战略纳什平衡”,即参与之中的所有玩家都玩纯战略;而相应的“混合战略纳什平衡”,之中至少有一位玩家玩混合战略。并不是每个赛局都会有纯战略纳什平衡,例如“钱币问题"就只有混合战略纳什平衡,而没有纯战略纳什平衡。不过,还是有许多赛局有纯战略纳什平衡(如协调赛局,囚徒困境和猎鹿赛局)。甚至,有些赛局能同时有纯战略和混合战略平衡。

    按我们平时正常想是:两面都一样(或正或反)概率为 1/4+1/4,则其数学期望1/4 * 3 + 1/4 * 1 = 1 ,而一正一反的数学期望也是1/2 * 2 = 1。这看起来貌似是公平的,实际则不然。问题就在于硬币的正反是人为选择的,而上述公平的情况仅在抛硬币时发生。

    依据混合策略,假设我们出正面的概率是x,反面的概率是1-x,美女出正面的概率是y,反面的概率是1-y。为了使利益最大化,应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等(不然在这个游戏中,对方可以改变正反面出现的概率让我们的期望收入减少),由此列出方程就是:
    3x + (-2)* (1-x) = -2x + 1* ( 1-x )
    (对手出正面我的收益 = 对手出反面我的收益)

    解方程得x=3/8。同样,美女的收益,列方程:
    -3y + 2* ( 1-y)= 2y+ (-1) * ( 1-y)

    解得y也等于3/8,则美女的期望收益是:
    2(1-y)x+2y(1-x)-3yx-(1-y)(1-x) = 1/8元
    我的期望收益是:
    -2(1-y)x-2y(1-x)+3yx+(1-y)(1-x) = -1/8元

    这告诉我们,在双方都采取最优策略的情况下,平均每次美女赢1/8元,而我们则亏1/8元。

    也即只要美女采取了(3/8,5/8)这个方案,不论你再采用什么方案,都是不能改变局面的。如果全部出正面,每次的期望收益是 (3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元;如果全部出反面,每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。比如你用完全随机(1/2,1/2)策略,收益是1/2(3/8 * 3 + 5/8 * (-20)) + 1/2(3/8 * (-2) + 5/8 * 1) = -1/8;实际上,不论你用什么策略,你的收益都是-1/8,也就是说,随便玩一种策略,你都是在纳什均衡状态中的,所以,这个把戏你随便怎么玩,都是亏的

    除上述示例外,纳什均衡也可以用到选举,群体之间的利益冲突,潜在战争爆发前的僵局,议会中的法案争执等情况。

    参考资料

    [1] 百度百科:约翰·纳什
    [2] 百度百科:纳什均衡
    [3] 部分定义与示例出自Bin的专栏blog.csdn.net/xbinworld

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  • 在非数论的领域,积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。  在数论中的积性函数:对于正整数n的一个算术函数 f(n),若f(1)=1,且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b),在数论上就称它为积性函数。 若对于...
    
    

    在非数论的领域,积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。  

    在数论中的积性函数:对于正整数n的一个算术函数 f(n),若f(1)=1,且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b),在数论上就称它为积性函数。

    若对于某积性函数 f(n),就算a, b不互质,也有f(ab)=f(a)f(b),则称它为完全积性的。[1]

    s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

    s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

    再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

    这在数论中叫积性函数,当gcd(a,b)=1 s(a*b)=s(a)*s(b);

    如果p是素数

    s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1) (1)

    hdu1452 Happy 2004

    计算因子和 s(2004^X) mod 29 ,

    2004=2^2 *3 *167

    2004^X=4^X * 3^X *167^X

    s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(167^X)))

    167%29=22

    s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(22^X)))

    a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1) //根据1

    b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2 //根据1

    c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21 //根据1

    %运算法则 1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p)

    %运算法则 2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p) 除法的

    s(2004^X)=2^(2X+1)-1* (3^(X+1)-1)/2  *(22^(X+1)-1)/21

    (a*b)/c %M= a%M* b%M  * inv(c)

    c*inv(c)=1 %M    模为1的所有数  invc)为最小可以被c整除的

    inv(2)=15,  inv(21)=18    2*15=1 mod 29, 18*21=1 mod 29

    s(2004^X)=((2^(2X+1)-1* (3^(X+1)-1)/2  *(22^(X+1)-1)/21mod 29

             =((2^(2X+1)-1* (3^(X+1)-1)*15 *(22^(X+1)-1)*18mod29

    b^(-1) b的逆元素(%p)即上面的inv

    2的逆元素是15  ,因为2*15=30 % 29=1 % 29

    21的逆元素是18  ,因为21*18=378% 29 =1 % 29

    因此

    a=powi(2,2*x+1,29)-1% 29;

    b=(powi(3,x+1,29)-1)*15 % 29;

    c=(powi(22,x+1,29)-1)*18 % 29;

    ans=a*b% 29*c % 29;

     

    #include <iostream>  
    #include <cstdio>  
    #include <cmath>  
      
    using namespace std;  
      
    int _pow( int a, int n )  
    {  
        int b = 1;  
        while( n > 1 )  
            if( n % 2 == 0 )  
            {  
                a = ( a * a ) % 29;  
                n /= 2;  
            }  
            else  
            {  
                b = b * a % 29;  
                n--;  
            }  
            return a * b % 29;  
    }  
    int main()  
    {  
        int X;  
        int a, b, c;  
        while( scanf("%d",&X), X )  
        {  
            a = _pow( 2, 2 * X + 1 );  
            b = _pow( 3, ( X + 1 ) );  
            c = _pow( 22, ( X + 1 ) );  
            printf("%d\n",( a - 1 ) * (( b - 1 ) * 15) * ( c - 1 ) * 18 % 29) ; 
        }  
        return 0;  
    }
    


     

    性质1

      积性函数的值完全由质数的幂决定,这和算术基本定理有关。

    即是说,若将n表示成质因子分解式

    则有

    性质2

          f为积性函数且有

           f为完全积性函数。

    积性

      φ(n) 欧拉函数,计算与n互质的正整数之数目

      μ(n) 莫比乌斯函数,关于非平方数的质因子数目

      gcd(n,k)-最大公因子,当k固定的情况

      d(n) n的正因子数目

      σ(n) n的所有正因子之和

      σk(n)-因子函数,n的所有正因子的k之和,当中k可为任何复数

      1(n) -不变的函数,定义为 1(n) = 1 (完全积性)

      Id(n)-单位函数,定义为 Id(n) = n(完全积性)

      Idk(n)-幂函数,对于任何复数、实数k,定义为Idk(n) = n^k(完全积性)

      ε(n) -定义为:若n = 1ε(n)=1;若 n > 1ε(n)=0。别称为对于狄利克雷卷积的乘法单位(完全积性)

      λ(n) -刘维尔函数,关于能整除n的质因子的数目

      γ(n),定义为γ(n)=(-1)^ω(n),在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目

    另外,所有狄利克雷特征均是完全积性的[1]

    非积性

      ·曼戈尔特函数:当n是质数p的整数幂,Λ(n)=ln(p),否则Λ(n)=0

      不大于正整数n的质数的数目π(n)

      整数拆分的数目P(n):一个整数能表示成正整数之和的方法的数目[2]

    展开全文
  • 1、列是同质的 2、不同的列属性必须有不同的属性名 3、列的次序无所谓,可以任意交换 4、任意两个元组不能完全相同 ...6、不允许“表中套表”,即分量必须取原子值,每一个分量必须是不可分的数据项 ......

    1、列是同质的

     

    2、不同的列属性必须有不同的属性名

     

    3、列的次序无所谓,可以任意交换

     

    4、任意两个元组不能完全相同

     

    5、行的次序无所谓,可以任意交换

     

    6、不允许“表中套表”,即分量必须取原子值,每一个分量必须是不可分的数据项

    展开全文
  • 数列极限定义的具体解释(举例)–十分易懂 自己看书没彻底明白,百度了几个还不错的解释。直接上图吧! 这里重点看举例 这个解释很好理解了。 2.下面的另一种解释指出了N是项数并配图例。 如果朋友们还有更好...
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  • 欧几里得空间——定义&基本性质

    千次阅读 2019-06-06 21:53:36
    设V是实数域R上一线性空间,在V上定义了一个二元实函数,称为内积,记作它具有以下性质: 1) 2) 3) 4)当且仅当时 这里是V中任意的向量,k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间。 在欧几里得空间的...
  • 正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

    万次阅读 多人点赞 2018-01-24 12:21:12
    定义:AA是n阶方阵,如果对任何非零向量xx,都有xTAx>0x^TAx> 0,其中xTx^T 表示xx的转置,就称AA正定矩阵。 性质: 正定矩阵的行列式恒为正; 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同; 两个正定矩阵的和是正定...
  • 数据结构学习笔记11————二叉树的定义性质及储存 内容1.二叉树的定义 2.二叉树的性质 3.二叉树的存储
  • 马尔科夫性质/无后效性 马尔科夫决策过程(Markov Decision Process),动态规划(Dynamic Programming)的基础都是马尔科夫性质/无后效性。简言之,** 未来与过去无关,只和现在有关 ** 即: P(Xn+1∣X0,...,Xn)...
  • 文章目录1、计算几何是研究什么的?2、计算几何理论中(或凸集中)过两点的一条直线的...6、什么是“凸函数”定义?什么是Hessen矩阵? 如何判别一个函数是凸函数?f(x)=x^3 函数是凸函数吗?7、什么是“凸规划”...
  • 定积分概念与性质

    千次阅读 2020-03-05 11:16:18
    一、定积分问题举例 1.1、曲面梯形面积 1.2、变速直线运动的路程 二、定积分定义 三、定积分的近似计算(计算机) 矩形法 梯形法 抛物线法(辛普森法) 四、定积分性质 4.0、补充 4.1、性质1 4.2、性质2: 积分可...
  • 二叉树的性质 性质1 证明(归纳法) 性质2 性质3 性质4 举例 证明 性质5 举例 示意图 二叉树的存储结构 顺序存储结构 类型定义 缺点 链式存储结构 二叉链表 类型定义 三叉链表 二叉树的性质: ...
  • 举例讲解JAVA中的堆和栈

    千次阅读 2014-05-03 22:20:56
    (4)由于String类的immutable性质, 当String变量需要经常变换其值时,应该考虑使用StringBuffer类 ,以提高程序效率。     补充: 栈(stack):是一个先进后出的数据结构,通常用于保存方法(函数...
  • 鸽笼问题举例

    千次阅读 2010-09-27 10:11:00
    现在大头针>三角形,看似乎满足原理,但这里是一个笼子,所以,这里又引出一点要注意的,就是一个笼子来解决鸽笼问题是没有意义的,大家从鸽笼原理的定义是可以分析出来的。那么我们应该如何划分,显然这题目是要划...
  • SVD的应用举例与矩阵求伪逆

    千次阅读 热门讨论 2009-08-18 19:12:00
    逆矩阵性质的结果,于是人们便提出了“伪逆”的构想。这个构想的出发点是基于下面这张图,一个变换T(或者一个矩阵A)的值域V可以分解成相互垂直的两个部分,即V = N(A) ⊕ N(A) ⊥ 。一个变换T是可逆的 if and ...
  • 虚函数的应用举例

    2015-04-13 22:20:28
    使用动态指针就是为了表达一种动态调用的性质即当前指针指向哪个对象,就调用那个对象对应类的成员函数。那要怎么来解决的,这时虚函数就体现出了它的作用: #include #include class Graph { protected: double...
  • 凸优化的使用方面和定义

    千次阅读 2017-03-20 18:20:19
    1.动机和目的  人在面临选择的时候重视希望自己能够做出“最好”的选择,如果把它抽象成一个数学问题,那么“最好的选择”就是这个...那时因为凸优化问题具有很好的性质——局部最优就是全局最优,这一特性让我们能
  • Bezier曲线及其性质

    千次阅读 2020-08-10 21:29:59
    目录Bezier曲线与曲面[1] Bezier曲线的背景[2] Bezier曲线[3] Bezier曲线详细定义[4] Bezier曲线举例[5] Bernstein 基函数性质[6] 贝塞尔曲线的性质[7] Bezier曲线的生成[8] Bezier曲线的拼接[9] Bezier曲线的升阶与...
  • 当所有整数均为负整数是定义其最大子段和为0,一次定义,所求的最优质值为:max{0、max子段和}。     (二) 算法描述 动态规划法的基本思想: 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。...
  • 简述算法和程序的区别并举例说明

    千次阅读 2020-02-13 20:38:31
    (1)两者定义不同。算法是对特定问题求解步骤的描述,它是有限序列指令。而程序是实现预期目的而进行操作的一系列语句和指令。 说通俗一些算法是解决一个问题的思路,程序,是解决这些问题所具体好写的代码。算法...
  • Comzyh ,计算机专业在读 126 人赞同 看到 @林木然 的答案,用Mathematica 做了下试验,效果没有有这么好。 首先输入图像 做离散傅里叶变换: data = ImageData[ColorSeparate[image][[1]]]...ListDe
  • 行列式及其性质

    万次阅读 多人点赞 2014-07-10 11:41:08
    这篇文章主要介绍行列式的10个性质性质1:单位矩阵的行列式为1 性质2:如果交换矩阵的两行,则行列式的符号要取反。从这个性质我们可得出置换矩阵的行列式总是为1或-1,这取决于行交换的次数,行交换奇数次则为...
  • 对卷积的定义和意义的通俗解释

    万次阅读 多人点赞 2019-03-31 10:17:49
    教科书上通常会给出定义,给出很多性质,也会用实例和图形进行解释,但究竟为什么要这么设计,这么计算,背后的意义是什么,往往语焉不详。作为一个学物理出身的人,一个公式倘若倘若给不出结合实际的直观的通俗的...
  • 利用weka和clementine数据挖掘举例

    千次阅读 2016-03-10 20:23:33
    是一种训练机器学习的算法,可以用于解决分类和回归问题,它是一种二类分类模型,其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器,其学习策略便是间隔最大化,最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。...
  • 面向对象的一些概念及举例说明

    千次阅读 2015-10-06 20:51:50
     (5)属性:指类中所定义的数据,它是对客观世界实体所具有的性质的抽象。类的每个实例都有自己的特有属性值。  【例如Circle类中定义的代表圆心坐标、半径、颜色等数据成员就是圆的属性】  (6)封装:...
  • 抽象数据类型的定义

    千次阅读 2016-03-14 19:59:21
    数据类型:是一组性质相同的值的集合及定义在此集合上的一些操作。 按照取值的不同,数据类型可以分为两类: 1.原子类型:不可以再分解的基本类型,例如整形,浮点型,字符型等。 2.结构类型:由若干个类型组合而...
  • 1.枚举的技术定义: [性质] [修饰符] enum 标识符 [:基类型] {枚举列表}; 2.常用举例:(用逗号隔开) [csharp] view plaincopyprint? enum Temperatures { SMALL, LARGE = 5 }...
  • 软件项目计划如何编写举例

    千次阅读 2006-07-19 11:20:00
     说明:项目计划书必须在相应阶段对项目目标、阶段目标和各项任务进行精确的定义,就是要在相应阶段进一步进行项目目标的细化工作;特别是在概要设计完成,详细设计或编码实现开始之前应该对下一阶段的目标任务进行...
  • 邻接矩阵的定义和例子

    万次阅读 多人点赞 2018-04-07 21:41:52
    根据图的定义可知,图的逻辑结构分为两部分:V和E的集合。因此,用一个一维数组存放图中所有顶点数据;用一个二维数组存放顶点间关系(边或弧)的数据,称这个二维数组为邻接矩阵。邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无...

空空如也

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性质定义举例