精华内容
下载资源
问答
  • 物业管理的含义性质.docx
  • KL散度的含义性质

    万次阅读 多人点赞 2018-06-09 14:35:36
    在概率论或信息论中,KL散度( Kullback–Leibler divergence),又称相对熵(relative entropy),是描述两个概率分布P和Q差异的一种方法。它是非对称的,这意味着D(P||Q) ≠ D(Q||P)。特别的,在信息论中,D(P||Q)...

           在概率论或信息论中,KL散度( Kullback–Leibler divergence),又称相对熵(relative entropy),是描述两个概率分布P和Q差异的一种方法。它是非对称的,这意味着D(P||Q) ≠ D(Q||P)。特别的,在信息论中,D(P||Q)表示当用概率分布Q来拟合真实分布P时,产生的信息损耗,其中P表示真实分布,Q表示P的拟合分布。有人将KL散度称为KL距离,但事实上,KL散度并不满足距离的概念,应为:1)KL散度不是对称的;2)KL散度不满足三角不等式。对一个离散随机变量或连续的随机变量的两个概率分布P和Q来说,KL散度的定义分别如下所示。


         KL散度在信息论中有自己明确的物理意义,它是用来度量使用基于Q分布的编码来编码来自P分布的样本平均所需的额外的Bit个数。而其在机器学习领域的物理意义则是用来度量两个函数的相似程度或者相近程度,在泛函分析中也被频繁地用到[2]。在香农信息论中,用基于P的编码去编码来自P的样本,其最优编码平均所需要的比特个数(即这个字符集的熵)为:


    用基于P的编码去编码来自Q的样本,则所需要的比特个数变为:


    于是,我们即可得出P与Q的KL散度


    可以利用Jensen不等式证明P与Q之间的KL散度不小于0:



    参考资料:[1] KL散度的解释,https://baike.so.com/doc/4949446-5170752.html.

                     [2] KL散度与Jensen不等式的理解,https://zhuanlan.zhihu.com/p/28249050.

    展开全文
  • 本文通过在营销功能中使用虚拟现实的许多当前示例说明了VR在营销中的价值,并考察了所提供体验的性质。 它还提供了一个基于位置和交互性来定位VR消费者参与程度的框架。 本文以讨论VR的未来以及许多需要解决的问题...
  • 针对我国煤矿安全事故的统计特征,运用POT-GPD模型对我国2003-2011年煤矿安全事故风险的分布特性进行了统计研究,发现我国煤矿安全事故风险具有厚尾性质:尾部风险的发生概率是幂函数递减的,特大事故的发生概率并不是...
  • 矩阵的特征值与特征向量1 基本定义2 性质3 计算例1例2例34 特征值与特征向量的性质 注意:由于已经过了大学要考线性代数的年纪,关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理 ...

    注意:由于已经过了大学要考线性代数的年纪,关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理

    注意:由于已经过了大学要考线性代数的年纪,关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理

    注意:由于已经过了大学要考线性代数的年纪,关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理

    1 基本定义

    假设 A A A是方阵(基调:就是特征值和特征方程只试用于方阵),对于一个数 λ \lambda λ,存在非零列向量 α \alpha α,使得 A α = λ α A\alpha = \lambda\alpha Aα=λα,则称 λ \lambda λ为方阵的特征值, α \alpha α称为对应于 λ \lambda λ的特征向量

    • λ \lambda λ可以为0,但是特征向量不能为0
    • 特征向量一定是列向量,而且是非零(参考最初矩阵相乘的七字口诀:中间相等,取两头
    • 在说特征向量的时候,要说对应于特征值的。也就是要先有特征值

    根据定义进行推导: λ α − A α = 0 ⇒ ( λ E − A ) α = 0 \lambda\alpha-A\alpha =0 \Rightarrow (\lambda E - A)\alpha = 0 λαAα=0(λEA)α=0,重点来啦,这里的 α \alpha α是非零向量,如果将其换成 x x x,那么就是 ( λ E − A ) x = 0 (\lambda E - A)x= 0 (λEA)x=0,也就变成了求解齐次方程组了,前面的方阵就是方程的系数构成的矩阵,然后知道最终的解是非零的,故最终可以推出方阵的行列式为0

    为了便于理解,这里举个我自己说服自己理解的栗子:

    • 首先是方阵,那么假设就是 3 ∗ 3 3*3 33,也就是三个方程三个未知数,方程的右边等于0
    • 那么方程一定有一个解,就是三个未知数都为0的时候,也就是不管方程的系数取多少,我的未知数都取0,最后计算等式左边和右边都是0
    • 现在出现了非零解,说明啥?
    • 第一反应就是肯定有两个或者三个方程组是等价的(也就是方程的系数成比例)
    • 比如 { x 1 + x 2 + x 3 = 0 5 x 1 + 5 x 2 + 5 x 3 = 0 − x 1 + x 2 + 6 x 3 = 0 \begin{cases} x_{1}+x_{2} + x_{3} =0 \\ 5x_{1}+5x_{2}+5x_{3}=0\\ -x_{1} +x_{2} +6x_{3} =0 \end{cases} x1+x2+x3=05x1+5x2+5x3=0x1+x2+6x3=0
    • 这样的情况下系数对应的行列式就为0了,存在两行数据成比例

    上面就是自己的思维理解过程,不是很严谨,但是特别能说服我自己:齐次方程组存在非零解    ⟺    \iff 系数组成的行列式为0

    所以最终对于上面的化简式子就有了: ( λ E − A ) x = 0 (\lambda E - A)x= 0 (λEA)x=0存在非零解    ⟺    ∣ λ E − A ∣ = 0 \iff |\lambda E - A| =0 λEA=0,其中

    • ( λ E − A ) (\lambda E - A) (λEA)被称为特征矩阵
    • ∣ λ E − A ∣ |\lambda E - A| λEA为特征多项式
    • ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E - A| =0 λEA=0为特征方程
    • x x x就是特征方程的解,也成为特征值或者特征根

    2 性质

    λ \lambda λ A A A的特征值, α \alpha α为对应于 λ \lambda λ的特征向量

    • 1) A α = λ α ⇒ c A α = c λ α ⇒ A ( c α ) = λ ( c α ) A\alpha = \lambda\alpha \Rightarrow cA\alpha = c\lambda\alpha \Rightarrow A(c\alpha) = \lambda (c \alpha) Aα=λαcAα=cλαA(cα)=λ(cα) c α c\alpha cα也是对应于 λ \lambda λ的特征向量,所以一个特征值可以对应多个特征向量,但是一个特征向量只能对应一个特征值,打个比方:特征值是父母,特征向量是儿女,正常情况下一对父母可以有多对儿女,但是对于单个的儿子,女儿来说只能有一对父母。
    • 2)若 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2 λ \lambda λ的特征向量,则 c 1 α 1 + c 2 α 2 c_{1}\alpha_{1}+c_{2}\alpha_{2} c1α1+c2α2也是 λ \lambda λ的特征向量,证明过程:根据公式拆开即可验证

    3 计算

    例1

    A = ( − 1 1 0 − 4 3 0 1 0 2 ) A = \left(\begin{matrix} -1&1&0\\-4&3&0\\1&0&2\end{matrix}\right) A=141130002,求解A的特征值与特征向量

    解:

    λ E − A = ( λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ) − ( − 1 1 0 − 4 3 0 1 0 2 ) = ( λ + 1 − 1 0 4 λ − 3 0 1 0 λ − 2 ) \lambda E-A = \left(\begin{matrix} \lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{matrix}\right)- \left(\begin{matrix} -1&1&0\\-4&3&0\\1&0&2\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \lambda+1&-1&0\\4& \lambda-3&0\\1&0& \lambda-2\end{matrix}\right) λEA=λ000λ000λ141130002=λ+1411λ3000λ2
    提取行列式,问题就在于系数行列式的求解

    ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ + 1 − 1 0 4 λ − 3 0 1 0 λ − 2 ∣ |\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda+1&-1&0\\4& \lambda-3&0\\1&0& \lambda-2\end{vmatrix} λEA=λ+1411λ3000λ2

    求解思路:

    • 1)完全展开,得三次方程,很难解,比如 λ 3 + λ 2 + 1 = 9 \lambda^{3} + \lambda^{2} + 1 =9 λ3+λ2+1=9 。这种方法只能蒙,不建议使用
    • 2)把某行尽量转化为0,然后按照该行进行展开
    • 3)提公因子(最好含 λ \lambda λ
    • 4)相邻两项相同(行、列),行和或者列和相等

    比如按照最后一列进行展开
    ∣ λ E − A ∣ = ( λ − 2 ) ( − 1 ) 3 + 3 ∣ λ + 1 1 − 4 λ − 3 ∣ = ( λ − 2 ) ( λ − 1 ) ( λ − 1 ) |\lambda E-A| = (\lambda-2)(-1)^{3+3} \begin{vmatrix} \lambda+1&1\\-4& \lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-1) λEA=(λ2)(1)3+3λ+141λ3=(λ2)(λ1)(λ1)

    最终计算出来的 λ 1 = λ 2 = 1 , λ 3 = 2 \lambda_{1}=\lambda_{2}=1,\lambda_{3}=2 λ1=λ2=1,λ3=2(注意重根一定要写出来)

    求解特征值对应的特征方程
    ① 当 λ 1 = λ 2 = 1 \lambda_{1}=\lambda_{2}=1 λ1=λ2=1
    λ 1 E − A = ( 2 − 1 0 4 − 2 0 1 0 − 1 ) \lambda_{1} E-A = \left(\begin{matrix} 2&-1&0\\4& -2&0\\1&0&-1\end{matrix}\right) λ1EA=241120001
    ②当 λ 3 = 2 \lambda_{3}=2 λ3=2
    λ 3 E − A = ( 3 − 1 0 4 − 1 0 1 0 0 ) \lambda_{3} E-A = \left(\begin{matrix} 3&-1&0\\4& -1&0\\1&0&0\end{matrix}\right) λ3EA=341110000

    老师视频里抄错了,就溜了,哈哈哈,接下来进行一个详细的求解例题

    注意: ∣ λ E − A ∣ |\lambda E-A| λEA λ \lambda λ只在对角线上存在;A中所有的元素都取相反数

    例2

    A = ( 1 − 2 2 − 2 − 2 4 2 4 − 2 ) A = \left(\begin{matrix} 1&-2&2\\-2&-2&4\\2&4&-2\end{matrix}\right) A=122224242,求解A的特征值与特征向量

    解:

    ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − 1 2 − 2 2 λ + 2 − 4 − 2 − 4 λ + 2 ∣ = ∣ λ − 1 2 − 2 2 λ + 2 − 4 0 λ − 2 λ − 2 ∣ = ( λ − 2 ) ( λ − 2 ) ( λ + 7 ) |\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda-1&2&-2\\2& \lambda+2&-4\\-2&-4& \lambda+2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda-1&2&-2\\2& \lambda+2&-4\\0&\lambda-2& \lambda-2\end{vmatrix} = ( \lambda-2)( \lambda-2)( \lambda+7) λEA=λ1222λ+2424λ+2=λ1202λ+2λ224λ2=(λ2)(λ2)(λ+7)

    最终计算出来的 λ 1 = λ 2 = 2 , λ 3 = − 7 \lambda_{1}=\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=-7 λ1=λ2=2,λ3=7(注意重根一定要写出来)

    规范化的求解步骤:
    λ 3 = − 7 \lambda_{3}=-7 λ3=7时,对于 λ E − A \lambda E-A λEA矩阵,直接将上面计算行列式的第一步的结果拿来带入 λ 3 \lambda_{3} λ3的值,只做初等行变换,化为行简化阶梯型,解出同解方程组
    λ 3 E − A = ( − 8 2 − 2 2 − 5 − 4 − 2 − 4 − 5 ) = ( 1 0 − 0.5 0 1 1 0 0 0 ) ⇒ { x 1 = − 0.5 x 3 x 2 = − x 3 \lambda_{3} E-A = \left(\begin{matrix} -8&2&-2\\2&-5&-4\\-2&-4&-5\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1&0&-0.5\\0&1&1\\0&0&0\end{matrix}\right) \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=-0.5 x_{3} \\ x_{2}=- x_{3} \end{cases} λ3EA=822254245=1000100.510{x1=0.5x3x2=x3

    解出: x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = − 2 x_{1} = 1,x_{2}=2,x_{3}=-2 x1=1,x2=2,x3=2,所以对应的特征向量就为: c 1 ( 1 2 2 ) c_{1}\left(\begin{matrix} 1\\2\\2\end{matrix}\right) c1122,其中 c 1 ≠ 0 c_{1}\not =0 c1=0

    λ 1 = λ 2 = 2 \lambda_{1}=\lambda_{2}=2 λ1=λ2=2
    λ 1 E − A = ( 1 2 − 2 2 4 − 4 − 2 − 4 4 ) = ( 1 2 − 2 0 0 0 0 0 0 ) ⇒ x 1 = − 2 x 2 + 2 x 3 \lambda_{1} E-A = \left(\begin{matrix} 1&2&-2\\2&4&-4\\-2&-4&4\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1&2&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) \Rightarrow x_{1}=-2 x_{2}+2x_{3} λ1EA=122244244=100200200x1=2x2+2x3

    此时取 x 2 , x 3 x_{2},x_{3} x2,x3分别为 ( 1 0 ) \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) (10) ( 0 1 ) \left(\begin{matrix} 0\\1\end{matrix}\right) (01),计算出特征向量为 c 2 ( − 2 1 0 ) + c 3 ( 2 0 1 ) c_{2}\left(\begin{matrix} -2\\1\\0\end{matrix}\right)+c_{3}\left(\begin{matrix} 2\\0\\1\end{matrix}\right) c2210+c3201,其中 c 2 , c 3 c_{2},c_{3} c2,c3不能同时为0

    例3

    A = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) A = \left(\begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) A=000000000,求解A的特征值与特征向量

    解:
    ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ∣ = λ 3 = 0 ⇒ λ = 0 |\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda&0&0\\0& \lambda&0\\0&0& \lambda\end{vmatrix} = \lambda^{3}=0 \Rightarrow \lambda = 0 λEA=λ000λ000λ=λ3=0λ=0

    然后将 λ \lambda λ带入,求出对应的矩阵
    λ E − A = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \lambda E-A = \left(\begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) λEA=000000000

    那么问题就来了,化为行简化阶梯型,其中有1的放在在左边,其余的放在右边,所以这里的 x 1 , x 2 , x 3 x_{1},x_{2},x_{3} x1,x2,x3都是自由未知量,按照特征向量的定义,必须是要非零的列向量,所以最终的结果为 c 1 ( 1 0 0 ) + c 2 ( 0 1 0 ) + c 3 ( 0 0 1 ) c_{1}\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+c_{2}\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)+c_{3}\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right) c1100+c2010+c3001,其中 c 1 , c 2 , c 3 c_{1},c_{2},c_{3} c1,c2,c3不能同时为0

    4 特征值与特征向量的性质

    性质:

    • 1) A A A A T A^{T} AT有相同的特征值,但是特征向量不一定相同
      证明: ∣ λ E − A T ∣ = ∣ λ E T − A T ∣ = ∣ ( λ E − A ) T ∣ = ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E-A^{T}| = |\lambda E^{T}-A^{T}|=|(\lambda E - A)^{T}|=|\lambda E-A|=0 λEAT=λETAT=(λEA)T=λEA=0
    • 2)若 ∑ ∣ a i j < 1 , i = 1 , 2 , . . . , n ∣ \sum|a_{ij}<1,i=1,2,...,n| aij<1,i=1,2,...,n ∑ ∣ a i j ∣ < 1 , j = 1 , 2 , . . . , n \sum|a_{ij}|<1,j=1,2,...,n aij<1,j=1,2,...,n,则 ∣ λ k ∣ < 1 |\lambda_{k}| < 1 λk<1
    • 3)若方阵的n个特征值为 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} λ1,λ2,...,λn,则有① ∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} =\sum_{i=1}^{n}a_{ii} i=1nλi=i=1naii,也就是所有的特征值之和就为矩阵对角线元素之和;② λ 1 , λ 2 , . . . , λ n = ∣ A ∣ \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}=|A| λ1,λ2,...,λn=A
    • 4)互不相同的特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} λ1,λ2,...,λn对应的特征向量 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n} α1,α2,...,αn线性无关
    • 5)对4)进行补充,如果每个特征向量有多对特征值,那么这些特征向量也是线性无关的
    • 6)k重特征根,对应的线性无关的特征向量的个数小于等于k

    其它性质:

    • 1) k λ k\lambda kλ k A kA kA的特征值
    • 2) λ 2 \lambda^{2} λ2 A 2 A^{2} A2的特征值, λ k \lambda^{k} λk A k A^{k} Ak的特征值
      比如2是 A A A的特征值, A 5 + 6 A 2 + A + 3 E A^{5} + 6A^{2} +A + 3E A5+6A2+A+3E的特征值为 A 5 + 6 ∗ 2 2 + 2 + 3 A^{5} + 6*2^{2} +2 + 3 A5+622+2+3,注意对应的 A A A换成特征值,单位阵改成1即可
    • 3) 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1 A − 1 A^{-1} A1的特征值; 1 λ ∣ A ∣ \frac{1}{\lambda}|A| λ1A A ∗ A* A的特征值
    展开全文
  • 中国经济的增长结构:原因及含义——兼论经济的增长性质及金融危机之下的增长前景,谢作诗,李善杰,在持续高速增长的同时,中国经济呈现出低消费、高储蓄、高投资、高外贸依存度以及增长显著依靠投资和出口拉动的...
  • 一、常见的关系的性质 、 二、关系的性质示例 、 三、关系运算性质





    一、常见的关系的性质



    在 自然数集 N = { 0 , 1 , 2 , ⋯   } N=\{ 0, 1,2, \cdots \} N={0,1,2,} 上 , 如下关系的性质 :



    1. 小于等于关系 :


    小于等于关系 :

    符号化描述 : ≤ = { < x , y > ∣ x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ x ≤ y } \leq = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x \leq y \} ={<x,y>xNyNxy}

    关系性质 : 自反 , 反对称 , 传递



    2. 大于等于关系 :


    大于等于关系 :

    符号化描述 : ≥ = { < x , y > ∣ x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ x ≥ y } \geq = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x \geq y \} ={<x,y>xNyNxy}

    关系性质 : 自反 , 反对称 , 传递



    3. 小于关系 :


    小于关系 :

    符号化描述 : < = { < x , y > ∣ x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ x < y } < = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x < y \} <={<x,y>xNyNx<y}

    关系性质 : 反自反 , 反对称 , 传递



    4. 大于关系 :


    大于关系 :

    符号化描述 : > = { < x , y > ∣ x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ x > y } > = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x > y \} >={<x,y>xNyNx>y}

    关系性质 : 反自反 , 反对称 , 传递



    5. 整除关系 :


    整除关系 :

    符号化描述 : ∣ = { < x , y > ∣ x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ x ∣ y } | = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x | y \} ={<x,y>xNyNxy}

    关系性质 : 反对称 , 传递


    x ∣ y x|y xy 中的 ∣ | 符号是整除的意思 , x x x 整除 y y y ;

    • x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分子) , y y y 是被除数 (分母) ; y x \dfrac{y}{x} xy

    • y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分子) , y y y 是被除数 (分母) ; y x \dfrac{y}{x} xy

    • 整除关系中 , 一定要注意 , 只能非 0 0 0 整除 0 0 0 , 0 0 0 不能整除非 0 0 0 , 即 0 0 0 只能作被除数 , 不能作除数 ;

    参考 : 【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型 | 空关系 | 恒等关系 | 全域关系 | 整除关系 | 大小关系 ) 三、 整除关系



    6. 恒等关系 :


    恒等关系 :

    符号化描述 : I N = { < x , y > ∣ x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ x = y } I_N = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x = y \} IN={<x,y>xNyNx=y}

    关系性质 : 自反 , 对称 , 反对称 , 传递



    7. 全域关系 :


    全域关系 :

    符号化描述 : E N = { < x , y > ∣ x ∈ N ∧ y ∈ N } = N × N E_N = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \} = N \times N EN={<x,y>xNyN}=N×N

    关系性质 : 自反 , 对称 , 传递



    自反 , 反对称的关系 , 称为偏序关系 ;





    二、关系的性质示例



    关系图关系判定 :

    • ① 自反 : 关系图中所有顶点 都有环 ;
    • ② 反自反 : 关系图中所有顶点 都没有环 ;
    • ③ 对称 : 两个顶点之间 有 0 0 0 个或 2 2 2 个有向边 ;
    • ④ 反对称 : 两个顶点之间 有 0 0 0 个或 1 1 1 个有向边 ;
    • ⑤ 传递 : 前提 a → b , b → c a \to b , b\to c ab,bc 不成立 默认传递 , 前提 a → b , b → c a \to b , b\to c ab,bc 成立 必须满足 a → c a \to c ac 存在 ;


    1. R 1 = { < a , a > , < a , b > , < b , c > , < a , c > } R_1 = \{ <a, a> , <a, b> , <b , c> , <a,c> \} R1={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>} :


    绘制上述关系的关系图 : 反对称 , 传递
    在这里插入图片描述

    自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

    对称/反对称 : 顶点之间都是 1 1 1 条有向边 , 顶点之间只有 0 / 1 0/1 0/1 条边 , 是 反对称 的 ;

    传递 : a → b , b → c a\to b, b \to c ab,bc 成立 , a → c a \to c ac 存在 , 传递性 成立 ;



    2. R 2 = { < a , a > , < a , b > , < b , c > , < c , a > } R_2 = \{ <a, a> , <a, b> , <b , c> , <c,a> \} R2={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<c,a>} :


    绘制上述关系的关系图 : 反对称

    在这里插入图片描述

    自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

    对称/反对称 : 顶点之间都是 1 1 1 条有向边 , 顶点之间只有 0 / 1 0/1 0/1 条边 , 是 反对称 的 ;

    传递 : a → b , b → c a\to b, b \to c ab,bc 成立 , a → c a \to c ac 不存在 , 传递性 不成立 ;



    3. R 3 = { < a , a > , < b , b > , < a , b > , < b , a > , < c , c > } R_3 = \{ <a, a> , <b, b> , <a,b> , <b,a> , <c,c> \} R3={<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>,<c,c>} :


    绘制上述关系的关系图 : 自反 , 对称 , 传递

    在这里插入图片描述

    自反/反自反 : 所有顶点都有环 , 自反性 成立 ;

    对称/反对称 : 顶点之间都是 0 0 0 2 2 2 条有向边 , 顶点之间只有 0 / 2 0/2 0/2 条边 , 是 对称 的 ;

    传递 : 传递性 成立 ;

    • 前提 a → b , b → a a \to b , b\to a ab,ba , 对应存在 a → a a \to a aa
    • 前提 b → a , a → b b \to a , a\to b ba,ab , 对应存在 b → b b \to b bb


    4. R 4 = { < a , a > , < a , b > , < b , a > , < c , c > } R_4 = \{ <a, a> , <a,b> , <b,a> , <c,c> \} R4={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,c>} :


    绘制上述关系的关系图 : 对称

    在这里插入图片描述

    自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

    对称/反对称 : 顶点之间都是 0 0 0 2 2 2 条有向边 , 顶点之间只有 0 / 2 0/2 0/2 条边 , 是 对称 的 ;

    传递 : 传递性 不成立 ;

    • 前提 a → b , b → a a \to b , b\to a ab,ba , 对应存在 a → a a \to a aa
    • 前提 b → a , a → b b \to a , a\to b ba,ab , 不存在对应的 b → b b \to b bb , 这里传递性不成立 ;


    5. R 5 = { < a , a > , < a , b > , < b , b > , < c , c > } R_5 = \{ <a, a> , <a,b> , <b,b> , <c,c> \} R5={<a,a>,<a,b>,<b,b>,<c,c>} :


    绘制上述关系的关系图 : 自反 , 反对称 , 传递

    在这里插入图片描述

    自反/反自反 : 所有顶点都有环 , 自反性 成立 ;

    对称/反对称 : 顶点之间都是 0 0 0 1 1 1 条有向边 , 顶点之间只有 0 / 1 0/1 0/1 条边 , 是 反对称 的 ;

    传递 : 前提不成立 , 传递性 成立 ;



    6. R 6 = { < a , a > , < b , a > , < b , c > , < a , a > } R_6 = \{ <a, a> , <b,a> , <b,c> , <a,a> \} R6={<a,a>,<b,a>,<b,c>,<a,a>} :


    绘制上述关系的关系图 : 没有任何关系

    在这里插入图片描述

    自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

    对称/反对称 : 顶点之间都是 1 1 1 2 2 2 条有向边 , 顶点之间只有 0 / 1 0/1 0/1 条边是反对称 , 顶点之间只有 0 / 2 0/2 0/2 条边是对称 , 上述对称/反对称都不成立 ;

    传递 : 前提 a → b , b → c a \to b , b \to c ab,bc , 不存在对应的 a → c a \to c ac , 这里传递性不成立 ;





    三、关系运算性质



    讨论问题 : 指定性质的关系 之间进行运算 , 其结果的性质 ; 如 自反的两个关系 进行逆序合成运算 , 结果扔是自反的 ;

    下图中表格的含义是 : 如 第二列 “自反”第三列 “ R 1 ∪ R 2 R_1 \cup R_2 R1R2 , 交叉的表格位置 , 代表 关系 R 1 R_1 R1 与关系 R 2 R_2 R2 是自反的 , 其有序对交集是否是自反的 , 如果是 1 1 1 , 说明是自反的 , 如果没有值 , 说明不是自反的 ;


    自反反自反对称反对称传递
    R 1 − 1 , R 2 − 1 R_1^{-1}, R_2^{-1} R11,R21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    R 1 ∪ R 2 − 1 R_1 \cup R_2^{-1} R1R21 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    R 1 ∩ R 2 R_1 \cap R_2 R1R2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    R 1 ∘ R 2 , R 2 ∘ R 1 R_1 \circ R_2 , R_2 \circ R_1 R1R2,R2R1 1 1 1
    R 1 − R 2 , R 2 − R 1 R_1 - R_2 , R_2 - R_1 R1R2,R2R1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    ∼ R 1 , ∼ R 2 \sim R_1, \sim R_2 R1,R2 1 1 1
    展开全文
  • 上和与下和的性质

    2020-08-20 11:12:20
    上和与下和的性质上和与下和性质1性质2性质3性质4性质含义性质5性质6 上和与下和 性质1 性质2 性质3 性质4 性质含义 性质5 这个可由性质4直接得出 性质6

    上和与下和

    在这里插入图片描述

    性质1

    在这里插入图片描述

    性质2

    在这里插入图片描述

    性质3

    在这里插入图片描述

    性质4

    在这里插入图片描述

    性质的含义

    在这里插入图片描述

    性质5


    这个可由性质4直接得出

    性质6

    在这里插入图片描述

    展开全文
  •  但是,在带有完全归纳公理的算术中,我们也可以在系统内部,仅用形式工具来证明出与有限算术的含义定理相应的形式定理。例如,我们可以在公理算术中证明以下定理: |-- 0x=0 & y0=0。  这一定理是和我们...
  • m序列产生原理及其性质

    万次阅读 多人点赞 2019-05-06 21:21:24
    m序列产生原理及其性质 一、m序列的简介 1、m序列是最长线性移位寄存器序列的简称。顾名思义,m序列是由多级移位寄存器或其延迟元件通过线性反馈产生的最长的码序列。在二进制移位寄存器中,若n为移位寄存器的级数...
  • 算法的性质

    2018-09-23 15:07:00
    一个算法是对一种计算过程的一个严格描述,人们i通常认为的算法具有以下性质:  有穷性(算法描述的有穷性):一个算法的的描述由有限多条指令或语句构成。也就是说,算法必须能用有限长的描述说清楚。  能行性...
  • 一、确知信号的类型 确知信号指在定义域内的任意时刻...确知信号在频域中的性质,由其各个频率分量的分布表示。它和信号的占用频带宽度以及信号的抗噪声能力有密切的关系。信号的频率特性有四种:功率信号的频谱、...
  • 正态分布及其性质

    万次阅读 多人点赞 2015-08-20 13:43:41
    正态分布也称为高斯分布。客观世界中很多变量都服从或近似服从正态分布,且正态分布具有很好的数学性质,所以正态分布也是人们研究最多的分布之一。本文对正态分布的性质做归纳总结,方便日后查找。
  • 旋转矩阵是一个酉矩阵,所以有下列性质: 所以在张正友标定法中,利用上述性质得出下面公式:
  • 企业的性质:诺奖得主科斯经典原文翻译及解读1

    千次阅读 热门讨论 2010-10-12 11:38:00
    罗纳德·哈里·科斯,著名经济学家,...科斯在其1937年发表的文章《企业的性质》一文中,首次创造性地提出了“交易费用”的概念,该篇文章也成为新制度经济学的开山之作。本系列文章是对《企业的性质》一文的翻译和解读
  • 各个域名后缀含义

    万次阅读 2017-05-29 15:51:31
     很多人在注册域名的时候不明白域名后缀的含义,在这里就介绍两种最为常用的域名,介绍下他们的区别以及适用的范围。需要先查询是否被注册,我们经常去的就是西部数据和万网,查询并注册未被注册的域名,一般无论是...
  • 性质检验(Property Testing)但是计算机算法理论中非常重要的领域,性质检验本身是一个非常笼统的概念,确切地说,性质检验包括对图性质(二分性、连通性、团的性质、割的性质),离散函数性质(单调性、线性性、...
  • 企业的性质:诺奖得主科斯经典原文翻译及解读2

    千次阅读 热门讨论 2009-08-03 11:01:00
    罗纳德·哈里·科斯,著名经济学家,...科斯在其1937年发表的文章《企业的性质》一文中,首次创造性地提出了“交易费用”的概念,该篇文章也成为新制度经济学的开山之作。本系列文章是对《企业的性质》一文的翻译和解读
  • 同余的性质

    千次阅读 2017-05-24 08:38:07
    同余运算及其基本性质  100除以7的余数是2,意思就是说把100个东西七个七个分成一组的话最后还剩2个。余数有一个严格的定义:假如被除数是a,除数是b(假设它们均为正整数),那么我们总能够找到一个小于b的...
  • 我们讨论了典型场的... 我们解释了跟踪解决方案的含义,以及在什么意义上结果取决于初始条件。 根据跟踪解的定义,我们简单地解释wϕ和Ωϕ之间存在一般关系,该关系与跟踪解的初始条件无关。 一个更通用的跟踪定理w
  • 研究了在近亲繁殖下一对等位基因群体的基因库信息熵和基因型信息熵,并讨论了在世代交替中基因型信息熵的性质、配子间的互信息性质及其与近交系数的关系,并定义了配子间的近交关联信息系数。结果表明,应用信息论...
  • 罗纳德·哈里·科斯,著名经济学家,...科斯在其1937年发表的文章《企业的性质》一文中,首次创造性地提出了“交易费用”的概念,该篇文章也成为新制度经济学的开山之作。本系列文章是对《企业的性质》一文的翻译和解读
  • rdkit 分子性质描述符(Descriptors)

    千次阅读 2020-06-29 20:54:29
    文章目录一、引入所需库二、性质描述符计算三、原子对性质的贡献可视化 分子性质也被称为描述符。 RDKit中内置了大量的分子描述符的计算方法, 这些方法主要位于rdkit.Chem.Descriptors <..._ 也有些常用的性质在...
  • 然后,我们公开了用于计算满足二阶运算的上下近似含义(满足阶数性质)的公式。 最后,我们揭示了满足阶数性质的上逼近严格左(右)-合算左(右)任意˅-分布左(右)半规范与下逼近右任意˄-分布含义之间的关系。
  • 研究了复等位基因平衡群体熵的性质,并与基因多样度D、相对信息多样度S′(A)、相对纯合度信息多样度S′J(A)、相对杂合度信息多样度S′H(A)及多态信息含量PIC进行了比较研究。结果表明,在表征基因变异与遗传变异上,...
  • 求和符号的定义和性质

    千次阅读 多人点赞 2020-08-30 21:21:29
    在数学中经常遇到多项式求和的问题, 为了表述的方便, 引入了求和符号来简化表述的方法, 并且这样的的表述方法非常普遍, 因此了解求和符号∑\sum∑及其运算性质就非常重要. 看下面的和式: a1+a2+...+ana_1+a_2+...+a_...
  • 取模定义及性质

    千次阅读 2017-08-05 11:21:40
    ** 一、取模运算定义 ...给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 : ...其中 k、r 是整数,且 0 ≤ r ,则称 k 为 n 除以 p ... 另外各个环境下%运算符的含义不同,比如c/c++,java 为取余,而python则为取模
  • 函数的准周期性质的概念由Harald Bohr在1921年提出,它的大致含义是,函数在每个垂直线上都(近似)周期地接近于我们想要的值,该值在任意点属于到那条线和一个有界域Ω。 他证明了普通Dirichlet级数定义的函数在其...
  • 取模运算的性质

    千次阅读 2015-06-13 21:34:48
    另外各个环境下%运算符的含义不同,比如c/c++,java 为取余,即结果的符号和a一致!? 取模基本性质: 若p|(a-b),则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7) 理解:减去相同余数,剩下的整除? (a ...
  • 随机事件和概率及概率的性质

    千次阅读 2020-04-18 17:33:30
    本文主要讲解随机事件的概念,事件间的关系和运算;随机事件的概率定义,概率的性质

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 64,317
精华内容 25,726
关键字:

性质的含义