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  • 概率论第五章——总体与样本

    千次阅读 2020-02-06 21:41:21
    样本——从总体X中抽取的待考察的个体称为样本样本中个体的数量n称为样本总量,容量为n的样本常纪委X1,X2···Xn.样本一旦经过考查,得到的事n个具体的数(x1,x2···xn)称为样本的依次观...

    概念

    总体——研究对象的全体元素构成及集合

    个体——组成总体的每一个元素
    在进行理论研究室,我们将研究的数量指标视为随机变量X(或随机向量X=(x1,x2···xk)),因此,
    总体就是一组随机变量。

    样本——从总体X中抽取的待考察的个体称为样本,样本中个体的数量n称为样本总量,容量为n的样本常纪委X1,X2···Xn.样本一旦经过考查,得到的事n个具体的数(x1,x2···xn)称为样本的依次观察值,简称样本值。

    样本空间——样本所有可能取值的集合。

    最常用的一种抽样方法叫做简单随机抽样,要求样本满足一下特点

    1.代表性,样本中的每个X与所考查的总体具有相同的分布。
    2. 独立性,样本X1,X2···是相互独立的。
    

    简单随机抽样的性质

    1. 若总体X的分布函数为F(x),则样本X1,X2···的联合分布函数为

    F 总 ( x 1 , x 2 ⋅ ⋅ ⋅ x n ) = ∏ i = 1 n F ( x i ) F_总(x_1,x_2···x_n)= \prod_{i=1}^{n}F(x_i) Fx1,x2xn=i=1nF(xi)
    2. 若总体X的密度函数为F(x),则样本X1,X2···的联合密度函数为
    f 总 ( x 1 , x 2 ⋅ ⋅ ⋅ x n ) = ∏ i = 1 n f ( x i ) f_总(x_1,x_2···x_n)= \prod_{i=1}^{n}f(x_i) fx1,x2xn=i=1nf(xi)

    统计量

    定义:设X1,X2···Xn是来自总体的一个样本,T(x1,x2···xn)是样本的函数,且T(x1,x2···xn)不依赖于任何未知参数,则称函数T(x1,x2···xn)为一个统计量。

    例题

    设 x 1 , x 2 ⋅ ⋅ ⋅ x n 是 正 态 分 布 总 体 X ∼ N ( μ , σ 2 ) 的 一 个 样 本 , 其 中 参 数 μ , σ 2 未 知 , 那 么 T 1 = ∑ i = 1 n X i , T 2 = ∑ i = 1 n X i 2 , 是 统 计 量 但 , T 3 = ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 不 是 统 计 量 , 因 为 含 有 未 知 的 参 数 。 设x_1,x_2···x_n是正态分布总体X\sim N(\mu,\sigma^2)的\\ 一个样本,其中参数\mu,\sigma^2未知,那么\\ T_1=\sum_{i=1}^{n}X_i,T_2=\sum_{i=1}^{n}X_i^{2},是统计量\\ 但,T_3=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2不是统计量,因为含有未知的参数。 x1x2xnXN(μ,σ2)μσ2T1=i=1nXi,T2=i=1nXi2,T3=i=1nXiμ2

    常用的统计量

    对于一维总体X,常用的统计量有
    ( 1 ) 样 本 均 值 x ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i ( 2 ) 样 本 方 差 S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ( 3 ) 样 本 标 准 差 S = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ( 4 ) 样 本 k 阶 矩 A k = 1 n ∑ i = 1 n x i k ( 5 ) 样 本 k 阶 中 心 矩 B k = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − x ˉ ) k (1) 样本均值 \qquad \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\ (2) 样本方差 \qquad S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\\ (3) 样本标准差 \qquad S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2} \\ (4) 样本k阶矩 \qquad A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^k\\ (5)样本k阶中心矩\qquad B_k = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar x)^k\\ (1)xˉ=n1i=1nXi(2)S2=n11i=1n(XiXˉ)2(3)S=n11i=1n(XiXˉ)2 (4)kAk=n1i=1nxik(5)kBk=n11i=1n(Xixˉ)k

    对于二维总体(X,Y)常用的统计量有
    ( 7 ) 样 本 协 方 差 S x y 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) ( Y i − Y ˉ ) ( 8 ) 样 本 相 关 系 数 ρ x y = ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) ( Y i − Y ˉ ) ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ∑ i = 1 n ( Y i − Y ˉ ) 2 (7) 样本协方差 \qquad S_{xy}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i - \bar Y)\\ (8) 样本相关系数 \qquad \rho_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar Y)^2}} (7)Sxy2=n11i=1n(XiXˉ)(YiYˉ)(8)ρxy=i=1n(XiXˉ)2 i=1n(YiYˉ)2 i=1n(XiXˉ)(YiYˉ)

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  • 样本方差与总体方差

    万次阅读 2019-10-24 11:13:07
    样本方差与总体方差 对一个数据集的描述有很多方式,其中数据的集中趋势、离散程度、偏态峰态都是可以客观的体现一个数据集的形态。 在数据集的离散程度上,方差和标准差是实际应用较多的特征值。在理解样本方差...

    样本方差与总体方差

    对一个数据集的描述有很多方式,其中数据的集中趋势、离散程度、偏态与峰态都是可以客观的体现一个数据集的形态。

    在数据集的离散程度上,方差和标准差是实际应用较多的特征值。在理解样本方差和总体方差的公式上有了疑惑,于是将公式拿出来推导一下。(总体和样本的概念想提一下,对于一个西瓜而言,包含的所有西瓜子就是一个总体;对半切开之后,其中的一瓣的所有西瓜子就是一个样本。)

    总体方差公式:
    总体方差公式
    样本方差公式:

    在这里插入图片描述
    可见样本的方差公式分母为 n-1,而总体的方差公式分母为 N;分母的差异也源于分子中样本平均值(x ba)与总体平均值(mu)的差异。下面我们就来推导一下:
    在这里插入图片描述除非样本平均值与总体平均值相等,否则样本的方差值是小于总体的方差值。为了使我们只有样本的情况下得出无偏估计方差,将样本方差公式的分母修正为 n-1(样本的自由度),至于为什么这样修正,等我再需要了解的时候再补充。

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  • 本文对抽样分布的概念、无偏差和最小偏差等性质,以及中心极限定理和样本比例的抽样分布进行总结。2 抽样分布基本概念 参数(parameter):参数是对总体的...总体参数样本统计量 均值μ\mux¯\bar{x} 中位数η\etam

    本文对抽样分布的概念、无偏差和最小偏差等性质,以及中心极限定理和样本比例的抽样分布进行总结。

    2 抽样分布基本概念

    参数(parameter):参数是对总体的数值描述,因为是总体,所以值经常是未知的。
    样本统计量(sample statistics):样本的数值描述,利用样本计算而来。

    常见的参数和样本统计量如下表所示。

    总体参数样本统计量
    均值 μ x¯
    中位数 η m
    方差σ2 s2
    标注差 σ s
    二项比率p p^

    抽样分布(sampling distribution):统计量的概率分布,根据n个测量值的样本计算得到。

    2 抽样分布的性质

    性质一:无偏性

    无偏估计(unbisaed estimate):样本统计量的抽样分布均值和要估计的总体参数相等,就认为这个统计量是参数的无偏估计。
    有偏估计(biased estimate):抽样分布的均值和要顾及的参数不相等,就认为这个统计量是参数的有偏估计。

    性质二:最小方差

    如果两组统计量的抽样分部都无偏,我们更加倾向选择标注差最小的,抽样分部的标准差也被成为统计量的标准误(standard error of the statistic)

    3 样本均值的抽样分布和中心极限定理

    3.1 x¯ 的抽样分部的性质:

    x¯ 的抽样分布的性质:
    1.抽样分部的均值等于抽样总体的均值,即 μx¯=E(x¯)=μ
    2.抽样分部的标准差等于:
    σx¯=σn 。(标准差 σx¯ 一般被称为均值的标准误(standard error of the mean)
    3.正态分布的抽样分布:如果从一个服从正态分布的总体中选取一个有n个观测值的随机样本,那么 x¯ 的抽样分布也是一个正态分布。

    3.2 中心极限定理

    从一个均值为 μ 、标准差为 σ 的总体中选取一个有 n 个观测值的随机样本。那么当n足够大时, x¯ 的抽样分布将近似服从均值 μx¯=μ 、标准差 σx¯=σ/n 的正态分布。并且样本量越大,对 x¯ 的抽样分布的正太近似越好。

    4 样本比例的抽样分布

    和样本均值是总体均值的良好估计一样,样本比例(记为 p^ ),是总体比例 p 的良好估计。和样本均值的抽样分布有着类似的性质。

    p^的抽样分布性质:
    1. 抽样分布的均值等于二项比例 p ,也就是E(p^)=p。因此, p^p 的无偏估计。
    2. 抽样分布的标准差等于 p(1p)/n ,即 σp^=p(1p)/n
    对于大样本,抽样分布近似于正太。

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  • 总体和个体,样本样本

    千次阅读 多人点赞 2019-01-18 17:09:41
    (1)试验全部可能的观察值称为总体。(注意:例如研究200个学生的身高,那么总体就是这200个同学,容量为200。并不是指身高值去除重复后的集合。) (2)总体中的每个观察值称为个体。(即200个学生,每一个人都是...

    综上:

    (1)试验全部可能的观察值称为总体。注意:例如研究200个学生的身高,那么总体就是这200个同学,容量为200。并不是指身高值去除重复后的集合。

    (2)总体中的每个观察值称为个体。(即200个学生,每一个人都是一个个体。)

    (3)一个总体对应一个随机变量X。(注意:虽然总体有200个学生,因为有的同学身高相等,所以身高取值可能只有20个。随机变量X可以看成是用来表示这20个身高值的。)

    (4)抽出的部分个体称为样本。(样本\subseteq总体)(注:如果是放回抽样,可能存在一个个体被重复抽到)

    (5)对总体X进行n次试验,每一次试验用随机变量Xn表示,n表示第n次随机试验,第一次试验用X1表示,第二次用X2表示,以此类推。

    (6)虽然每次Xn只能取到一个值,但是取值范围和X的取值范围是相同的,所以Xn和X服从同一个分布。

    (7)因为X1,X2,X3......Xn进行n次试验互不影响,所以是相互独立的。

    (8)X1,X2,X3...Xn合到一起称为一个样本。(大写字母表示)

    (9)x1, x2, x3......xn合到一起称为样本值。(小写字母表示)

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  • 总体样本样本的抽样分布

    千次阅读 2020-06-07 21:48:08
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  • 概率 + 统计 样本及抽样分布(六)

    千次阅读 2020-07-13 00:04:12
    总体样本
  • 总体方差和样本方差

    万次阅读 多人点赞 2018-05-09 22:44:37
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空空如也

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总体与样本概率关系