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  • 2019-01-01 16:06:11

    若总体的分布是正态分布,且方差已知,则无论样本容量是大是小,样本均值的抽样分布都服从正态分布;

    而如果总台的分布是正态分布,抽出的样本为小样本,且方差未知,则样本均值的抽样分布服从t分布。

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  • 总体样本样本的抽样分布

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    梳理一下 假设检验、卡方检验、t检验、F检验、P值、置信区间、置信水平、AB测等问题。 首先明确几个关于总体和样本的概念及符号: 总体 样本 样本均值

    本文介绍关于总体、样本、样本抽样分布的理解,及2个重要的统计学原理:中心极限定理和大数定理。

    总体:就是一个概率分布。
    样本:从总体中随机抽取的一个子集。其中,样本具有和总体相同的分布,样本之间两两独立。
    抽样分布:对原来的分布总体,以一定样本容量抽取样本值,多次抽取后,样本的统计量(比如均值或方差)形成的分布。
    其中,
    样本容量(大小)/样本量:每个样本里有多少个数据,每一次试验的样本值个数,通常说n个( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x_1,x_2,...,x_n) x1,x2,...,xn)
    样本数量(空间):抽样的时候,包含多少个样本,或者说抽多少次。
    抽样分布可以分为两类:
    一类:关于均值的分布:正态分布和t-分布;
    一类:关于方差的分布:卡方分布和F-分布。

    今天先说样本均值的抽样分布,此处涉及中心极限定理
    通俗的说,给定一个任意分布的总体,每次从这些总体中随机抽取 n 个样本值(样本容量),一共抽 m 次(样本数量),然后把这 m 组样本分别求出平均值, 这些平均值(样本均值)的分布接近正态分布。
    其中,
    1、总体本身的分布不要求正态分布;
    2、样本容量n越大,样本均值的分布约趋近于正态分布,标准差越小,即分布越集中。

    所以,样本均值的抽样分布是服从正态分布,即 x ‾ \overline{x} x~N( μ , σ 2 / n \mu,σ^2/n μ,σ2/n)

    (参考:网易公开课-可汗学院-统计学
    网站:http://onlinestatbook.com/stat_sim/sampling_dist/index.html)

    通过模拟试验,可以看到有关于样本均值抽样分布的图形化过程,当n取不同值时,抽样分布的形状。
    下图是从视频中截取的示例图,最上面深灰色的是总体分布,中间的是n=5的样本均值抽样分布,最下面是n=25的样本均值抽样分布。
    可以发现抽样发生10000次时,不同样本容量的均值相差不大分别为14.48和14.44,和总体均值近似。但是标准差相差较多,n=5时,sd=4.34;n=25时,st=1.91,即样本容量更大时,分布更集中了。另外n=25时的偏度和峰度都比n=5时更小。
    在这里插入图片描述

    接下来,再看看上述3类分布的均值、方差、标准差常用的基本符号和计算:
    p.s.第一次编辑数学公式,方法参考:https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962

    均值方差标准差
    总体(容量N) μ \mu μ σ 2 σ^2 σ2 σ \sigma σ
    样本(容量n) x ‾ \overline{x} x S 2 S^2 S2 S S S
    样本均值的抽样分布(容量n) μ x ‾ \mu_{\overline{x}} μx σ x ‾ 2 \sigma_{\overline{x}}^{2} σx2 σ x ‾ \sigma_{\overline{x}} σx

    其中,

    • 均值

      • 总体均值 μ = ∑ i = 1 N x i N \mu=\frac { \sum_{i=1}^N{x_i} } {N} μ=Ni=1Nxi

      • 样本均值 x ‾ = x ‾ n = ∑ i = 1 n x i n \overline{x}=\overline{x}_n=\frac { \sum_{i=1}^n{x_i }} {n} x=xn=ni=1nxi

      • 大数定理:当n—>∞时, x ‾ n \overline{x}_n xn—>E(X)=μ。即当样本量n足够大的时候,样本均值收敛于总体均值或随机变量期望值,揭示了频率和概率的关系。

      • 样本均值抽样分布的均值 μ x ‾ \mu_{\overline{x}} μx是总体均值μ的估计,即可以认为: μ x ‾ = μ \mu_{\overline{x}}=\mu μx=μ

    • 方差

      • 总体方差 σ 2 = ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 N σ^2=\frac { \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2 } {N} σ2=Ni=1N(xiμ)2

      • 样本方差 S n 2 = ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 n S_{n}^2=\frac { \sum_{i=1}^n(x_i - {\overline{x}})^2 } {n} Sn2=ni=1n(xix)2
        因为n<N,抽到的样本会比总体相对更集中,波动更小一些,即样本方差 S 2 S^2 S2通常会比总体方差 σ 2 σ^2 σ2小,所以需要对样本方差进行了修正。

      • 修正后的样本方差(无偏方差) S n − 1 2 = ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 n − 1 S_{n-1}^2=\frac { \sum_{i=1}^n(x_i - {\overline{x}})^2 } {{n-1} } Sn12=n1i=1n(xix)2

      • 如果知道总体均值 μ μ μ,那么就不用(n-1)进行无偏估计,可以直接写成: S n 2 = ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 n S_{n}^2=\frac { \sum_{i=1}^n(x_i - \mu)^2 } {n} Sn2=ni=1n(xiμ)2

      • 样本均值抽样分布的方差(均值方差)
        这里区分总体方差已知和总体方差未知2种情况:
        总体方差 σ 2 σ^2 σ2已知: σ x ‾ 2 = σ 2 n \sigma_{\overline{x}}^{2}=\frac {σ^2 } {n} σx2=nσ2
        总体方差 σ 2 σ^2 σ2未知,则用样本方差 S 2 S^2 S2来估计:
        σ x ‾ 2 = σ 2 n ≈ S 2 n \sigma_{\overline{x}}^{2}=\frac {σ^2 } {n}≈\frac {S^2 } {n} σx2=nσ2nS2

    当样本容量n>30时,可以认为,样本方差 S S S可以比较好的估计总体方差 σ \sigma σ,根据中心极限定理,认为样本均值的抽样分布符合正态分布;
    n<30时,样本方差 S S S和总体方差 σ \sigma σ相差比较大,认为符合t分布。

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    小知识

    • 总体 X X X,均值方差存在,分别为 μ , σ 2 \mu,\sigma^2 μ,σ2
    • X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn是来自 X X X的一个样本
    • X ‾ , S 2 \overline{X},S^2 X,S2是样本均值和方差
    • 于是有 E ( X ‾ ) = μ , E ( S 2 ) = σ 2 E(\overline{X})=\mu,E(S^2)=\sigma^2 E(X)=μ,E(S2)=σ2 D ( X ‾ ) = σ 2 n D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}n D(X)=nσ2
    • 也就是说,样本均值和样本方差的期望=总体
    • 对于正态分布来说,只要确定①服从正态分布②已知期望和方差 ⇒ \Rightarrow 确定分布
      • X ∼ N ( μ , σ 2 ) ⇒ X ‾ 服 从 正 态 分 布 X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow\overline{X}服从正态分布 XN(μ,σ2)X

    定理1

    • X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn是来自 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) XN(μ,σ2)的一个样本
    • X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}n) XN(μ,nσ2)

    定理2

    • X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn是来自 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) XN(μ,σ2)的一个样本
    • ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1) σ2(n1)S2χ2(n1)
    • X ‾ 与 S 2 \overline{X}与S^2 XS2相互独立

    定理3

    • X ‾ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) S/n Xμt(n1)

    证明:

    • X ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) σ/n XμN(0,1)
    • ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1) σ2(n1)S2χ2(n1)

    定理4

    • X 1 , . . . , X n 1 ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y 1 , . . . , Y n 2 ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) X_1,...,X_{n_1}\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y_1,...,Y_{n_2}\sim N(\mu_2,\sigma_2^2) X1,...,Xn1N(μ1,σ12),Y1,...,Yn2N(μ2,σ22)
    • ( X 1 , . . . , X n 1 ) 与 ( Y 1 , . . . , Y n 2 ) (X_1,...,X_{n_1})与(Y_1,...,Y_{n_2}) (X1,...,Xn1)(Y1,...,Yn2)相互独立
    • S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1) σ12/σ22S12/S22F(n11,n21)
    • σ 1 = σ 2 = σ \sigma_1=\sigma_2=\sigma σ1=σ2=σ时, ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) S w 1 n 1 + 1 n 2 ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 ) \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{S_{w} \sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}} \sim t\left(n_{1}+n_{2}-2\right) Swn11+n21 (XY)(μ1μ2)t(n1+n22) S w 2 = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 − 2 , S w = S w 2 S_{w}^{2}=\frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}, \quad S_{w}=\sqrt{S_{w}^{2}} Sw2=n1+n22(n11)S12+(n21)S22,Sw=Sw2
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总体分布和样本分布的联系

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