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  • 总体分布是正态分布,且方差已知,则无论样本容量是大是小,样本均值的抽样分布都服从正态分布; 而如果总台的分布是正态分布,抽出的样本为小样本,且方差未知,则样本均值的抽样分布服从t分布。...

    若总体的分布是正态分布,且方差已知,则无论样本容量是大是小,样本均值的抽样分布都服从正态分布;

    而如果总台的分布是正态分布,抽出的样本为小样本,且方差未知,则样本均值的抽样分布服从t分布。

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  • 总体方差和样本方差

    万次阅读 多人点赞 2018-05-09 22:44:37
    讨论了总体方差和样本方差的区别

    我们知道,统计学上方差的计算公式如下:
    σ2=i=1n(xiμ)n \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)}{n}
    这是统计学中方差的定义,已知条件有总体的均值μ\mu,以及总体个数nn,公式的另一种写法为:
    σ2=E[(xμ)2]=(xμ)2p(x)\sigma^2=E[(x-\mu)^2]=\sum{(x-\mu)^2}p(x)
    其中p(x)p(x)xx出现的概率,所以这个公式只对于离散变量有效


    那么,如果总体量很大,不能做到全部采样,那么就需要用样本来估计总体,假设从总体为NN的总数中抽取nn个样本,其中(N>>n)(N>>n),采样值为x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n
    样本均值为:
    xˉ=i=1nxin\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n}
    样本的方差为:
    S2=i=1n(xixˉ)2n S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}
    但是样本的方差和总体的方差是有差别的,计算样本方差的期望值,来估计样本方差和实际方差σ2\sigma^2之间差了多少:
    E[S2]=E[i=1n(xixˉ)2n] E[S^2]=E[\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}]
    =E[1ni=1n((xiμ)(xˉμ))2]=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{((x_i-\mu)-(\bar{x}-\mu))^2}]
    =E[1ni=1n((xiμ)22(xiμ)(xˉμ)+(xˉμ)2)]=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{((x_i-\mu)^2-2(x_i-\mu)(\bar{x}-\mu)+(\bar{x}-\mu)^2)}]
    =E[1ni=1n(xiμ)22n(xˉμ)i=1n(xiμ)+(xˉμ)2]=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)^2}-\frac{2}{n}(\bar{x}-\mu)\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}+(\bar{x}-\mu)^2]
    其中
    i=1n(xiμ)\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}
    =i=1nxii=1nμ=\sum_{i=1}^{n}{x_i}-\sum_{i=1}^{n}{\mu}
    =n(xˉμ)=n(\bar{x}-\mu)
    所以
    =E[1ni=1n(xiμ)22n(xˉμ)i=1n(xiμ)+(xˉμ)2]=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)^2}-\frac{2}{n}(\bar{x}-\mu)\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}+(\bar{x}-\mu)^2]
    =E[1ni=1n(xiμ)22(xˉμ)2+(xˉμ)2]=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)^2}-2(\bar{x}-\mu)^2+(\bar{x}-\mu)^2]
    =σ2E[(xˉμ)2]=\sigma^2-E[(\bar{x}-\mu)^2]
    (这里σ2\sigma^2是因为样本方差的期望值是总体方差)
    E[(xˉμ)2]E[(\bar{x}-\mu)^2]
    =E(xˉE[xˉ])2=E(\bar{x}-E[\bar{x}])^2
    =var(xˉ)=var(\bar{x})
    =1n2var(i=1nxi)=\frac{1}{n^2}var(\sum_{i=1}^{n}{x_i})
    =1n2i=1nvar(xi)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}{var(x_i)}
    =nσ2n2=\frac{n\sigma^2}{n^2}
    =σ2n=\frac{\sigma^2}{n}
    根据上面推导的式子,有以下计算:
    σ2E[(xˉμ)2]\sigma^2-E[(\bar{x}-\mu)^2]
    =σ2σ2n=\sigma^2-\frac{\sigma^2}{n}
    =n1nσ2=\frac{n-1}{n}\sigma^2
    也就是说,样本估计的方差是总体方差的n1n\frac{n-1}{n}倍,即所谓的有偏估计。要转换成无偏估计,只需要乘以倍数就可以了
    nn1S2=nn1i=1n(xixˉ)n=i=1n(xixˉ)n1\frac{n}{n-1}S^2=\frac{n}{n-1}\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})}{n-1}
    这即是所谓的无偏估计


    当然,还有一种比较直接的解释,由于是求样本中的方差,所以在求解样本均值时,已经用掉了一个自由度的值,所以求方差时,其实有用的值会少一个。例如在只有一个样本时,这时求样本方差是不能估计总体方差的。
    所以,总体方差和样本方差的区别是在于信息量,总体的信息是完全确定的,即这时求出来的统计参数都是能确定地表征总体的分布信息。但是用样本的信息去估计总体,则不能确定表征总体的分布信息,之间相差了一个自由度。

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  • 总体样本样本的抽样分布

    千次阅读 2020-06-07 21:48:08
    梳理一下 假设检验、卡方检验、t检验、F检验、P值、置信区间、置信水平、AB测等问题。 首先明确几个关于总体和样本的概念及符号: 总体 样本 样本均值

    本文介绍关于总体、样本、样本抽样分布的理解,及2个重要的统计学原理:中心极限定理和大数定理。

    总体:就是一个概率分布。
    样本:从总体中随机抽取的一个子集。其中,样本具有和总体相同的分布,样本之间两两独立。
    抽样分布:对原来的分布总体,以一定样本容量抽取样本值,多次抽取后,样本的统计量(比如均值或方差)形成的分布。
    其中,
    样本容量(大小)/样本量:每个样本里有多少个数据,每一次试验的样本值个数,通常说n个(x1,x2,...,xn)x_1,x_2,...,x_n)
    样本数量(空间):抽样的时候,包含多少个样本,或者说抽多少次。
    抽样分布可以分为两类:
    一类:关于均值的分布:正态分布和t-分布;
    一类:关于方差的分布:卡方分布和F-分布。

    今天先说样本均值的抽样分布,此处涉及中心极限定理
    通俗的说,给定一个任意分布的总体,每次从这些总体中随机抽取 n 个样本值(样本容量),一共抽 m 次(样本数量),然后把这 m 组样本分别求出平均值, 这些平均值(样本均值)的分布接近正态分布。
    其中,
    1、总体本身的分布不要求正态分布;
    2、样本容量n越大,样本均值的分布约趋近于正态分布,标准差越小,即分布越集中。

    所以,样本均值的抽样分布是服从正态分布,即x\overline{x}~N(μ,σ2/n\mu,σ^2/n)

    (参考:网易公开课-可汗学院-统计学
    网站:http://onlinestatbook.com/stat_sim/sampling_dist/index.html)

    通过模拟试验,可以看到有关于样本均值抽样分布的图形化过程,当n取不同值时,抽样分布的形状。
    下图是从视频中截取的示例图,最上面深灰色的是总体分布,中间的是n=5的样本均值抽样分布,最下面是n=25的样本均值抽样分布。
    可以发现抽样发生10000次时,不同样本容量的均值相差不大分别为14.48和14.44,和总体均值近似。但是标准差相差较多,n=5时,sd=4.34;n=25时,st=1.91,即样本容量更大时,分布更集中了。另外n=25时的偏度和峰度都比n=5时更小。
    在这里插入图片描述

    接下来,再看看上述3类分布的均值、方差、标准差常用的基本符号和计算:
    p.s.第一次编辑数学公式,方法参考:https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962

    均值 方差 标准差
    总体(容量N) μ\mu σ2σ^2 σ\sigma
    样本(容量n) x\overline{x} S2S^2 SS
    样本均值的抽样分布(容量n) μx\mu_{\overline{x}} σx2\sigma_{\overline{x}}^{2} σx\sigma_{\overline{x}}

    其中,

    • 均值

      • 总体均值μ=i=1NxiN\mu=\frac { \sum_{i=1}^N{x_i} } {N}

      • 样本均值x=xn=i=1nxin\overline{x}=\overline{x}_n=\frac { \sum_{i=1}^n{x_i }} {n}

      • 大数定理:当n—>∞时,xn\overline{x}_n—>E(X)=μ。即当样本量n足够大的时候,样本均值收敛于总体均值或随机变量期望值,揭示了频率和概率的关系。

      • 样本均值抽样分布的均值μx\mu_{\overline{x}}是总体均值μ的估计,即可以认为:μx=μ\mu_{\overline{x}}=\mu

    • 方差

      • 总体方差σ2=i=1N(xiμ)2Nσ^2=\frac { \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2 } {N}

      • 样本方差Sn2=i=1n(xix)2nS_{n}^2=\frac { \sum_{i=1}^n(x_i - {\overline{x}})^2 } {n}
        因为n<N,抽到的样本会比总体相对更集中,波动更小一些,即样本方差S2S^2通常会比总体方差σ2σ^2小,所以需要对样本方差进行了修正。

      • 修正后的样本方差(无偏方差)Sn12=i=1n(xix)2n1S_{n-1}^2=\frac { \sum_{i=1}^n(x_i - {\overline{x}})^2 } {{n-1} }

      • 如果知道总体均值μμ,那么就不用(n-1)进行无偏估计,可以直接写成:Sn2=i=1n(xiμ)2nS_{n}^2=\frac { \sum_{i=1}^n(x_i - \mu)^2 } {n}

      • 样本均值抽样分布的方差(均值方差)
        这里区分总体方差已知和总体方差未知2种情况:
        总体方差σ2σ^2已知:σx2=σ2n\sigma_{\overline{x}}^{2}=\frac {σ^2 } {n}
        总体方差σ2σ^2未知,则用样本方差S2S^2来估计:
        σx2=σ2nS2n\sigma_{\overline{x}}^{2}=\frac {σ^2 } {n}≈\frac {S^2 } {n}

    当样本容量n>30时,可以认为,样本方差SS可以比较好的估计总体方差σ\sigma,根据中心极限定理,认为样本均值的抽样分布符合正态分布;
    n<30时,样本方差SS和总体方差σ\sigma相差比较大,认为符合t分布。

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  • 正态总体样本均值与样本方差的分布相关定理
  • 总体分布已知(如总体为正态分布),根据样本数据对总体分布的统计参数进行推断。 先由测得的样本数据计算检验统计量,若计算的统计量值落入约定显著性水平a 时的拒绝域内,说明被检参数之间在所约定的显著性水平...
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  • 样本分布

    千次阅读 2020-02-28 08:54:09
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  • 总体方差和样本方差大小值的比较

    万次阅读 2018-05-13 15:33:33
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  • 样本方差的抽样分布 χ2(n) ...,均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布),则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方∑ξi∧2构成一新的随机变量,其分布规律称为χ2(n)分布(chi-square ...
  • 总体和个体,样本和样本

    千次阅读 2019-01-18 17:09:41
    (1)试验全部可能的观察值称为总体。(注意:例如研究200个学生的身高,那么总体就是这200个同学,容量为200。并不是指身高值去除重复后的集合。) (2)总体中的每个观察值称为个体。(即200个学生,每一个人都是...
  • 【概率/数理统计】简单随机样本,抽样分布;卡方分布,T分布,F分布,正态总体样本均值与样本方差分布;Γ函数(伽马函数/tao函数)
  • 样本服从正态分布,证明样本容量n乘样本方差与总体方差之比服从卡方分布x^2(n) 正态分布的n阶中心矩参见: http://www.doc88.com/p-334742692198.html 转载于:...
  • 总体样本方差的无偏估计样本方差为什么除以n-1

    万次阅读 多人点赞 2018-08-01 15:02:22
    1)基本概念 我们先从最基本的一些概念入手。...应该把样本和总体样本一样进行抽象化理解,因此样本也存在期望方差。 这里有一个重要的假设,就是随机选取的样本总体样本分布,它的意思...
  • 高斯分布样本方差的无偏估计

    千次阅读 2018-12-21 17:05:51
     高斯分布又称正态分布,是大自然中最常见的一种数据分布方式,在机器学习的各类算法中,经常要遇到随机数的生成,我们通常采用高斯分布来进行随机数的初始化。下面是高斯分布的概率密度函数:   其中是高斯分布...
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  • 样本均值的抽样分布One of the most important concepts discussed in the context of inferential data analysis is the idea of sampling distributions. Understanding sampling distributions helps us better ...
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  • 【统计学】从样本总体

    千次阅读 2018-10-22 14:38:56
    总体和样本均值的符号:  n = 样本容量  u = 总体均值  x = 样本均值  σ = 总体标准差  s = 样本标准差   样本均值分布的特征:对于任何样本均值的分布: 样本容量越大,样本均值的分布越接近正态分布 ...

空空如也

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总体分布和样本分布的联系