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  • 【无标题】Stata总体回归函数与样本回归函数:蒙特卡罗模拟
    2022-05-07 11:07:20

    个人Stata学习笔记,代码源文件来自陈强老师教材。由于markdown文件上传丢失格式,部分公式显示可能存在一定问题,不过会typora语法的应该可以很容易看明白。另外也附上了一些截图

    为直观理解总体回归函数(PRF)与样本回归函数的关系(SRF),使用蒙特卡罗法进行模拟。所谓“蒙特卡罗法”(Monte Carlo Methods,MC),是通过计算机模拟,从总体抽取大量随机样本的计算方法。

    1.预备知识:

    随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布,记为N(μ,σ^2)

    2.举例:

    考虑如下数据生成过程(DGP)或总体回归模型:

    解释变量x_i ~ N(3, 2^2 ),扰动项\epsilon_i ~ N(0, 3^2 ),样本容量为n=30。 从N(3, 2^2 )随机抽取30 个解释变量xi的观测值,并从N(0, 3^2 )随机抽取30 个扰动项\epsilon _i的观测值。 根据总体回归模型(4.39)计算相应的被解释变量yi。 把yi对xi进行回归,得到样本回归函数(SRF),并与总体回归函数(PRF)进行比较。

    由于样本容量仅为 30,故存在一定的抽样误差。斜率的真实值为 2,而样本估计值为2.36;截距项的真实值为1,而样本估计值为-1.64,符号相反(但不显著)。

    如使用不同的随机数种子再次抽样,将得到不同的SRF;而PRF始终不变

    3.代码

    clear 
    #删除内存中已有数据
    set obs 30
    # (确定随机抽样的样本容量为30)
    #数理统计里的"obs"是observation的缩写。observation指的是观测值或实测值,与其对应的是统计模型(例如线性模型)的预测值(predicted value)。
     set seed 10101
    #(指定随机抽样的“种子”为10101;命令“set seed 10101”用来确定随机数的初始值(称为“种子”,可任意设置,此处设为10101),以便再次模拟时得到完全一样的结果。`
    gen x = rnormal(3,4)
    #(得到服从N(3, 2^2 )分布的随机样本,记为x);在分析的过程中,有些变量并没有在数据中提供,需要我们用原始数据或者回归的结果构造。常用的命令是 “gen” 和 “egen” 。
    # rnormal命令如下
    gen e = rnormal(0,9)
    #(得到服从N(0, 3^2 )分布的随机样本,记为e)
    gen y = 1 + 2*x + e
    #(计算被解释变量y)
    reg y x
    #(把y 对x 进行OLS 回归)
    #ols 全称ordinary least squares(普通最小二乘法),是回归分析(regression analysis)最根本的一个形式,对模型条件要求最少,也就是使散点图上的所有观测值到回归直线距离的平方和最小。
    twoway function PRF=1+2*x,range(-5 15) ||scatter y x || lfit y x,lpattern(dash)
    # 把总体回归函数、散点图与样本回归函数画在一起;选择项“range(-5 15)”用于指定画图的横轴范围介于-5 与15 之间;默认为0 与1 之间,即range(0 1)
    #选择项“lpattern(dash)”表示画虚线,默认画实线
    #实线为总体回归函数(PRF);而虚线为样本回归线(SRF),即被解释变量的拟合值。SRF 似乎比较接近于PRF
    ​

    4.debug过程

    输入twoway function PRF=1+2*x,range(-5 15) ||scatter y x || lfit y x,lpattern(dash)

    返回错误代码198,并显示option 15 not allowed

    查阅错误代码文件,可能存在范围无效、无效文件名、无效名称、选项不允许等错误

    去除range(-5,15)后

    发现返回错误代码111,查询错误代码,错误类型为没有正确定义变量,返回检查发现大小写出错

    修改,重试运行,运行成功

    对照百度查阅资料,可能给定范围不合适

    尝试多次代换范围,发现仍然无法成功运行,回过头继续检查源代码,发现,范围给定格式错误

    正确形式应当为(-5 15);我们错误的添加了一个,

    修改完毕后,成功运行

    4.附件

    rnormal(m,s)

    Domain m: c(mindouble)to c(maxdouble)

    Domain s: 0 to c(maxdouble)

    Range: c(mindouble)to c(maxdouble)

    Description: returns normal(m,s)(Gaussian)random variates,where m is the mean and s is the standard deviation.(返回正态(m, s)(高斯)随机变量,其中m是平均值, s是标准差)

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    17003056_UlhJ.png
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    17003056_G1OG.png

    • 说明
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    c、总体回归函数中截距系数和斜率系数,未知,待解
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    17003056_wT8y.png
    • 引入随机扰动项的原因 
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    b、作为无法取得数据的已知影响因素的代表
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    17003056_5014.png
     
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    b、 17003056_zu4Y.png 和  17003056_9hun.png 是确定的常数,未知;  17003056_37Dy.png 和  17003056_B38a.png 是随机变量
    c、随机扰动项 ui 不能直接观测到;残差 ei可以求出
    17003056_kkAG.png

    转载于:https://my.oschina.net/u/1785519/blog/1511502

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    logistic回归模型是一种线性生成模型。本文将介绍logistic回归模型相关的知识,为了更好地理解模型的决策边界函数,本文同时分析了多元变量的协方差对概率分布的影响。

    本文脉络:logistic回归模型的含义

    logistic模型的决策边界函数分析

    logistic模型的参数最优化

    logistic回归模型与感知机模型的比较

    总结

    logistic回归模型的含义

    我们把分类模型分成两个阶段,推断阶段和决策阶段,推断阶段对联合概率分布建模,然后归一化,得到后验概率。决策阶段确定每个新输入x的类别。

    我们用推断阶段的方法来推导logistic回归模型,首先对类条件概率密度

    equation?tex=p%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC_%7Bk%7D%29 和类先验概率分布

    equation?tex=p%28C_%7Bk%7D%29 建模,然后通过贝叶斯定理计算后验概率密度。

    考虑二分类的情形,类别C1的后验概率密度;

    equation?tex=P%28C1%7C%5Coverrightarrow%7Bx%7D%29+%3D+%5Cfrac%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC1%29P%28C1%29%7D%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%29%7D

    equation?tex=P%28C1%7C%5Coverrightarrow%7Bx%7D%29+%3D+%5Cfrac%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC1%29P%28C1%29%7D%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC1%29P%28C1%29%2BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC2%29P%28C2%29%7D

    equation?tex=P%28C1%7C%5Coverrightarrow%7Bx%7D%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC2%29P%28C2%29%7D+%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC1%29P%28C1%29%7D+%7D

    equation?tex=ln%5Cfrac%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC1%29P%28C1%29%7D%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC2%29P%28C2%29%7D+%3D+%5Calpha

    则:

    equation?tex=P%28C1%7C%5Coverrightarrow%7Bx%7D%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Be%5E%7B-%5Calpha%7D%7D+%3D+%5Csigma%28%5Calpha%29

    式中的

    equation?tex=%5Csigma%28%5Calpha%29 就是logistic函数

    因此,logistic回归的值等于输入变量为x的条件下类别为C1的概率

    equation?tex=P%28C1%7C%5Coverrightarrow%7Bx%7D%29

    equation?tex=%5Csigma%28%5Calpha%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Be%5E%7B-a%7D%7D

    equation?tex=%5Calpha+%3D+ln%5Cfrac%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC1%29P%28C1%29%7D%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%7CC2%29P%28C2%29%7D

    equation?tex=a+%3D+ln%5Cfrac%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%2CC1%29%7D%7BP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%2CC2%29%7D

    (1) 当

    equation?tex=a+%5Cge+0%E6%97%B6%2CP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%2CC1%29+%5Cge+P%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%2CC2%29%2CP%28C1%7C%5Coverrightarrow%7Bx%7D%29%5Cge+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D 分类结果为C1

    (2) 当

    equation?tex=a+%3C+0+%E6%97%B6%2CP%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%2CC1%29+%3C+P%28%5Coverrightarrow%7Bx%7D%2CC2%29%2CP%28C1%7C%5Coverrightarrow%7Bx%7D%29%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D 分类结果为C2

    结论:logistic回归值表示所属类的后验概率,无论是二分类还是多分类,分类结果都是后验概率最大所对应的类。

    logistic的决策边界函数分析

    决策边界函数,简而言之,就是函数的两侧是不同的分类结果。

    可定性的分析协方差的三种情况与分布图的关系。

    (a) 图表示正常的协方差矩阵的高斯分布图。

    (b) 图表示协方差矩阵是对角矩阵的高斯分布图。

    (c) 图表示协方差矩阵是对角矩阵且对角元素都相等的高斯分布图。

    logistic的决策边界函数分析

    logistic曲线如下图,红色直线(a=0)表示决策边界函数:

    假设类条件概率密度是高斯分布,即P(x|Ck),然后求解后验概率的表达式,即P(Ck|x)。我们知道,logistic回归值就是所求的后验概率。

    假设类条件概率密度的协方差相同,类条件概率密度为:

    equation?tex=p%28x%7CC_%7Bk%7D%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%282+%5CPi%29%5E%7B%5Cfrac%7BD%7D%7B2%7D%7D%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7C%5Csum%7C%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7D+exp%7B+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28x+-+%5Cmu_%7Bk%7D%29%5E%7BT%7D+%5Csum%5E%7B-1%7D%7D+%28x-%5Cmu_%7Bk%7D%29

    由上面的推导公式得后验概率为:

    equation?tex=P%28C_%7Bk%7D%7Cx%29+%3D+%5Csigma%28w_%7Bk%7D%5E%7BT%7Dx+%2B+w_%7Bk0%7D%29

    其中:

    equation?tex=w_%7Bk%7D+%3D+%5Csum%5E%7B-1%7D+%5Cmu_%7Bk%7D

    equation?tex=w_%7Bk0%7D+%3D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cmu_%7Bk%7D%5E%7BT%7D%5Csum%5E%7B-1%7D%5Cmu_%7Bk%7D+%2B+ln+p%28C_%7Bk%7D%29

    由后验概率

    equation?tex=%28P%28C_%7Bk%7D%7Cx%29%29 的表达式可知,当类条件的协方差矩阵相等时,决策边界函数是随x线性变化的直线。

    结论:如下图,若两类的条件概率密度的协方差相同时(如C1和C2的协方差相同),则决策边界函数是直线;若两类的条件概率密度的协方差不相同时(如C1和C3,C2和C3),则决策边界函数是曲线。判断协方差矩阵是否相同可以根据分布图形形状是否相同来判断,如C1和C2的协方差相同,C3和C1、C2的协方差不相同。

    假设类条件概率密度符合高斯分布且具有相同的协方差矩阵,则决策边界函数是一条直线;若类条件概率密度符合更一般的指数分布且缩放参数s相同,决策边界函数仍然是一条直线。

    logistic模型的参数最优化

    logistic模型损失函数

    logistic回归模型的含义是后验概率分布,因此可以从概率的角度去设计损失函数。

    考虑两分类情况,假设有N个训练样本,logistic模型是

    equation?tex=h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29%EF%BC%8Ch_%7B%5Ctheta%7D%28x%29 表示后验概率y=1的概率,则

    equation?tex=1-h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29 表示y=0的概率,变量

    equation?tex=y_%7Bi%7D 取值1或0,且分别代表模型

    equation?tex=h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29%E5%92%8C1-h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29

    因此,似然函数

    equation?tex=L%28%5Ctheta%29%3A

    equation?tex=L%28%5Ctheta%29+%3D+%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%28h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29%5E%7By_%7Bi%7D%7D%29%281-h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29%5E%7By_%7Bi%7D%7D%29

    损失函数

    equation?tex=J%28%5Ctheta%29%EF%BC%9A

    equation?tex=J%28%5Ctheta%29+%3D+-L%28%5Ctheta%29

    equation?tex=J%28%5Ctheta%29+%3D+-%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%28h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29%5E%7By_%7Bi%7D%7D%29%281-h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29%5E%7By_%7Bi%7D%7D%29

    logistic模型的参数最优化

    损失函数最小化等价于模型参数的最优化,如下图:

    equation?tex=J%28%5Ctheta%29+%3D+-%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%28h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29%5E%7By_%7Bi%7D%7D%29%281-h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29%5E%7By_%7Bi%7D%7D%29

    equation?tex=%28J%28%5Ctheta%29%29min+%3D+ln+%28J%28%5Ctheta%29%29min

    equation?tex=ln+%28J%28%5Ctheta%29%29+%3D+-%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D+%28y_%7Bi%7Dln+%28h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29%29+%2B+%281-y_%7Bi%7D%29ln+%281-h_%7B%5Ctheta%7D%28x%29%29%29

    利用梯度下降法求最优解,学习速率

    equation?tex=%5Calpha+ :

    equation?tex=%5Ctheta+%3D+%5Ctheta+-+%5Calpha+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BJ%28%5Ctheta%29%7D%7D%7B%5Cpartial%7B%5Ctheta%7D%7D

    具体求法本文不介绍,只给出算法的思想。

    为了避免过拟合问题,则在原来的损失函数增加正则项,然后利用梯度下降法求最优解,这里也不展开。

    logistic模型与感知机模型的比较

    logistic模型与感知机模型的相同点

    由上面的分析可知,假设类条件概率分布的协方差相同,则logistic模型的决策边界函数是随x线性变化的直线,因此,感知机模型与logistic模型的分类策略一样,即决策边界函数是一样的。如下图:

    感知机模型:当点落在直线上方,y>0,则分类结果为C1;反之为C2。

    logistic模型:当点落在上方,y>0,则后验概率P(C1|X)>0.5,分类结果为C1;反之为C2。

    考虑到对输入变量x进行非线性变换

    equation?tex=%5Ctheta%28x%29 ,感知机和logistic模型的分类策略仍一样,决策边界函数相同,如下图:

    感知机模型:当点落在圆外,y>0,则分类结果为C1;反之为C2。

    logistic模型:当点落在圆外,y>0,则后验概率P(C1|X)>0.5,分类结果为C1;反之为C2。

    logistic模型与感知机模型的异同点

    (1) logistic回归模型限制值的范围在0~1,感知机模型对值范围没有限制,因此logistic模型相比感知机模型,对异常点有更强的鲁棒性。如下图,当有异常数据时,logistic模型要好于感知机模型。

    (2) 感知机模型用误分类点到超平面的距离衡量损失函数,而logistic模型则从概率角度去衡量损失函数。

    总结

    logistic回归的含义是后验概率分布,用概率的角度去设计似然函数,logistic模型相比于感知机模型对异常数据具有更好的鲁棒性。

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    3、假设检验

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    4、预测

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    5、评估

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    6、误差

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    7、决定系数

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    8、一元线性回归方程

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空空如也

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