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  • 总体回归模型的定义
    2021-04-12 20:54:52

    许栩原创专栏《从入门到高手:线性回归分析详解》第9章:总体回归、置信度、置信区间及其计算方法。

    多元回归方程求解后,我们分别确认了回归方程的精度和进行了回归方程的显著性验证,接下来,我们需要计算置信区间。

    置信区间是回归分析的一个重要概念,但是,将回归分析应用到需求预测,并不强求引入置信区间,也就是说,用回归分析做需求预测时,可以不进行置信区间的计算,而直接进行后续的预测步骤。所以,从这一点来说,大家可以跳过本章,直接进入第10章,用线性回归分析进行预测。

    不过,我们做回归分析,非常有必要懂得相关置信区间的概念、逻辑和计算方法。所以,本章,我还是对此做些基础的介绍,主要内容如下。(本专栏总目录如下图。)

    1、总体回归。

    2、置信度与置信区间。

    3、置信区间的计算。

    一、总体回归。

    要了解置信区间,我们需要先了解回归分析的另一个概念,总体回归。

    我们先看总体,请看下图。

    回归火锅店的这一组数据中,气温为6℃,没有折扣(即折扣为1)这种情况有3天,分别是1月8日、12日和16日。但是,这仅仅是14天的数据,如果将数据放大,那么,以前肯定也有“气温为6℃,没有折扣”这种情况,以后(即需要预测的未来)也同样会存在这种情况。我们可将“气温为6℃,没有折扣”这种情况认为是一个总体,而1月8日、12日和16日是从这个总体中抽出的三个个体。

    总体回归表明的是因变量y的平均状态随自变量x变化的规律。

    回归分析认为,气温为x1℃,折扣为x2的业绩服从平均值A1x1 A2x2 B、标准差为σ的正态分布。(这个原理比较复杂,这里就不展开,大家可以理解为这是回归分析的规定。)

    我们将y=A1x1 A2x2 B称为总体回归。

    我们可以这么简单的理解总体回归:我们所做的回归分析是在已知的部分数据的基础上进行的,我们所做的其实是样本回归;而总体回归是未知的,是对全部数据所进行的回归分析。

    因为总体是未知的,我们进行回归分析(样本回归),事实上就是用样本回归去估算总体回归。

    二、置信度与置信区间。

    上一章我有提到过置信度,置信度可以粗暴的理解为对回归模型运行结果有把握的程度。

    但要真正的理解置信度,就要先理解置信区间。

    置信区间(Confidence interval)是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。【引自百科定义】

    因数据极为庞大,不管是回归分析,还是统计本身,我们都不可能去统计和分析全部数据,统计学上一般采取的做法是,用样本去估计总体,也就是用局部去估计全部。因为样本、局部毕竟是总体中的一部分,所以,用样本估算的总体数据存在一定不可靠性,但是,用样本估算的总体数据又在真正的数据一定的范围之内,这个一定的范围之内就是置信区间。

    举个例子,天气预报,气象台发布气温时,一般播报多少度到多少度之间,比如明天气温20℃~30℃之间,这个20℃~30℃之间,就是置信区间。

    但是,这个20℃~30℃的置信区间有多大的可信度呢?有多大的把握呢?一般用百分比来表示,比如明天气温有90%的可能在20℃~30℃之间,这个可信度,这个把握度,这个90%,就是置信度。

    需要强调的一点是,置信度并不是在求出置信区间后判断出来的。实际上,置信度是在求解置信区间之前,同分析者自己“决定”的,即不同的的置信度,会带来不同的置信区间。。

    通常情况下,95%是最常采用的置信度。置信度不是越高越好

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    个人Stata学习笔记,代码源文件来自陈强老师教材。由于markdown文件上传丢失格式,部分公式显示可能存在一定问题,不过会typora语法的应该可以很容易看明白。另外也附上了一些截图

    为直观理解总体回归函数(PRF)与样本回归函数的关系(SRF),使用蒙特卡罗法进行模拟。所谓“蒙特卡罗法”(Monte Carlo Methods,MC),是通过计算机模拟,从总体抽取大量随机样本的计算方法。

    1.预备知识:

    随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布,记为N(μ,σ^2)

    2.举例:

    考虑如下数据生成过程(DGP)或总体回归模型:

    解释变量x_i ~ N(3, 2^2 ),扰动项\epsilon_i ~ N(0, 3^2 ),样本容量为n=30。 从N(3, 2^2 )随机抽取30 个解释变量xi的观测值,并从N(0, 3^2 )随机抽取30 个扰动项\epsilon _i的观测值。 根据总体回归模型(4.39)计算相应的被解释变量yi。 把yi对xi进行回归,得到样本回归函数(SRF),并与总体回归函数(PRF)进行比较。

    由于样本容量仅为 30,故存在一定的抽样误差。斜率的真实值为 2,而样本估计值为2.36;截距项的真实值为1,而样本估计值为-1.64,符号相反(但不显著)。

    如使用不同的随机数种子再次抽样,将得到不同的SRF;而PRF始终不变

    3.代码

    clear 
    #删除内存中已有数据
    set obs 30
    # (确定随机抽样的样本容量为30)
    #数理统计里的"obs"是observation的缩写。observation指的是观测值或实测值,与其对应的是统计模型(例如线性模型)的预测值(predicted value)。
     set seed 10101
    #(指定随机抽样的“种子”为10101;命令“set seed 10101”用来确定随机数的初始值(称为“种子”,可任意设置,此处设为10101),以便再次模拟时得到完全一样的结果。`
    gen x = rnormal(3,4)
    #(得到服从N(3, 2^2 )分布的随机样本,记为x);在分析的过程中,有些变量并没有在数据中提供,需要我们用原始数据或者回归的结果构造。常用的命令是 “gen” 和 “egen” 。
    # rnormal命令如下
    gen e = rnormal(0,9)
    #(得到服从N(0, 3^2 )分布的随机样本,记为e)
    gen y = 1 + 2*x + e
    #(计算被解释变量y)
    reg y x
    #(把y 对x 进行OLS 回归)
    #ols 全称ordinary least squares(普通最小二乘法),是回归分析(regression analysis)最根本的一个形式,对模型条件要求最少,也就是使散点图上的所有观测值到回归直线距离的平方和最小。
    twoway function PRF=1+2*x,range(-5 15) ||scatter y x || lfit y x,lpattern(dash)
    # 把总体回归函数、散点图与样本回归函数画在一起;选择项“range(-5 15)”用于指定画图的横轴范围介于-5 与15 之间;默认为0 与1 之间,即range(0 1)
    #选择项“lpattern(dash)”表示画虚线,默认画实线
    #实线为总体回归函数(PRF);而虚线为样本回归线(SRF),即被解释变量的拟合值。SRF 似乎比较接近于PRF
    ​

    4.debug过程

    输入twoway function PRF=1+2*x,range(-5 15) ||scatter y x || lfit y x,lpattern(dash)

    返回错误代码198,并显示option 15 not allowed

    查阅错误代码文件,可能存在范围无效、无效文件名、无效名称、选项不允许等错误

    去除range(-5,15)后

    发现返回错误代码111,查询错误代码,错误类型为没有正确定义变量,返回检查发现大小写出错

    修改,重试运行,运行成功

    对照百度查阅资料,可能给定范围不合适

    尝试多次代换范围,发现仍然无法成功运行,回过头继续检查源代码,发现,范围给定格式错误

    正确形式应当为(-5 15);我们错误的添加了一个,

    修改完毕后,成功运行

    4.附件

    rnormal(m,s)

    Domain m: c(mindouble)to c(maxdouble)

    Domain s: 0 to c(maxdouble)

    Range: c(mindouble)to c(maxdouble)

    Description: returns normal(m,s)(Gaussian)random variates,where m is the mean and s is the standard deviation.(返回正态(m, s)(高斯)随机变量,其中m是平均值, s是标准差)

    展开全文
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  • 四、回归分析之线性回归模型构建

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    回归分析 线性回归 1.线性回归:y=β0+β1x1+ϵ,β0截距,β1斜率y = \beta_0 + \beta_1x_1 +\epsilon , \beta_0截距, \beta_1斜率y=β0​+β1​x1​+ϵ,β0​截距,β1​斜率 2 线性回归的估计 残差:点到线的...

    回归分析

    一、线性回归

    • 1.线性回归: y = β 0 + β 1 x 1 + ϵ , β 0 截 距 , β 1 斜 率 y = \beta_0 + \beta_1x_1 +\epsilon , \beta_0截距, \beta_1斜率 y=β0+β1x1+ϵ,β0β1
      在这里插入图片描述
    • 2 线性回归的估计
      残差:点到线的竖直距离
      残差平方和:
      L = ∑ ( y i − y ^ ) 2 = ∑ ( y i − ( β 0 + β 1 x 1 ) ) 2 L = \sum{(y_i - \hat{y})^2} = \sum{(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_1))^2} L=(yiy^)2=(yi(β0+β1x1))2
      在这里插入图片描述
      残差平方和越小越好。即线距离每个点的竖直距离平方相加最小。
    import matplotlib.pyplot as plt
    import os
    import numpy as np
    import pandas as pd
    import statsmodels.api as sm
    from statsmodels.formula.api import ols
    
    os.chdir(r"E:脚本\7linearmodel")
    raw = pd.read_csv(r'creditcard_exp.csv', skipinitialspace=True)
    raw.head()
    

    在这里插入图片描述

    exp = raw[raw['avg_exp'].notnull()].copy().iloc[:, 2:].drop('age2',axis=1)
    
    exp_new = raw[raw['avg_exp'].isnull()].copy().iloc[:, 2:].drop('age2',axis=1)
    
    exp.describe(include='all')
    

    在这里插入图片描述

    • 散点图:看收入与支出的关系
    exp.plot('Income','avg_exp',kind='scatter')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    • 相关系数
    exp[['Income', 'avg_exp', 'Age', 'dist_home_val']].corr(method='pearson')
    

    在这里插入图片描述

    • 评价模型的拟合优度的为 R 2 R^2 R2在这里插入图片描述
      :不能被模型所解释的:SSE;能被模型所解释的:SSM

    • 3 线性回归

    #调用ols
    lm_s = ols('avg_exp ~ Income', data=exp).fit()
    lm_s.summary()#简单线性回归的模型完成
    
    # 结果中 先看β1的P值,即P>|t|; 显著了β1才有意义,不显著的话β1在模型中是没有意义的
    
    # Omnibus及其后半部分:是对残差的检验
    

    在这里插入图片描述
    解:

    1. β1:x每增加一个单位,y增加97.7个单位。
      先看β1的p值,显著β1才有意义
    2. R-squared:是描述模型优劣的,越高越好(最小为0,最小为1)
    3. Adj. R-squared:是选择模型用的,只有多个模型对比才能有意义,单个模型没有意义;AIC、BIC和Adj. R-squared用处一样
    4. F-statistic、Prob (F-statistic):方差分析
    • 4 检验模型系数是否有意义:单样本T检验
      1.提出假设:原假设(β1 = 0)、备择假设(β1 ≠ 0)。如上图可知,β1的P值为0.000,是显著的。
      2.多元的情况下,看总体的显著性检验,即F-statistics
      3.模型之后产生预测
      3.1 单样本(有值)进行预测在这里插入图片描述
    #上述简单线性回归的预测
    lm_s.predict(exp)   #对exp的值进行预测,如1217为实际值,1825为预测值,608为残差
    #残差:实际值-预测值
    lm_s.resid
    #预测值和残差
    pd.DataFrame([lm_s.predict(exp),lm_s.resid],index=['predict','resid']).T.head()
    

    在这里插入图片描述
    3.2 单样本(没有值)进行预测

    exp_new = raw[raw['avg_exp'].isnull()].copy().iloc[:, 2:].drop('age2',axis=1)
    exp_new
    

    在这里插入图片描述

    #对没有值的数据进行预测,exp_new值为nan
    lm_s.predict(exp_new)[:5]
    

    在这里插入图片描述

    二、多元线性回归

    • 步骤:
      • 构建模型
      • 模型筛选:一般用多种方法筛选
        • 两两变量相关性检验
        • 逐步法进行变量筛选
          • 向前法
          • 向后法
          • 逐步法

    1建模-对多个X进行建模

    #定义模型之后拟合模型
    lm_m = ols('avg_exp ~ Age+ Income + dist_home_val + dist_avg_income',data=exp).fit()
    lm_m.summary()#输出拟合结果
    

    在这里插入图片描述
    :根据样本量,显著度α应为0.1,结果可知有两个模型p值>0.1,结果不显著,需要进行模型筛选。

    三、回归模型做变量筛选

    1.向前逐步法

    向前法: 首先第一个变量进入回归方程,并进行F检验和T检验,计算残差平方和,记为S1,如果通过检验,则该变量保留,引入第二个变量,重新构建一个新的估计方程,并进行F检验和T检验,同时计算残差平方和,记为S2。从直观上看,增加一个新的变量后,回归平方和应该增大,残差平方和相应应该减少,即S2小于等于S1,即S1-S2的值是第二个变量的偏回归平方和,直观地说,如果该值明显偏大,则说明第二个变量对因变量有显著影响,反之则没有显著影响。

    1.1步骤

    一、每个解释变量(x)分别对被解释变量(y)做模型,以某一个标准【P值最小的、R^2最高的、F值最小的、AIC最小的或BIC最小的】选择最好的变量放进去,完成了 y = β k x k y= \beta_kx_k y=βkxk模型。
    二、在给定了第一个变量之后,令残差 ϵ 1 = y − β k x k \epsilon_1=y - \beta_kx_k ϵ1=yβkxk与剩下的x做回归,按照第一步骤的标准选择最好的变量
    三、得到第二步的残差 ϵ 2 = y − β k x k − β j x j \epsilon_2=y - \beta_kx_k - \beta_jx_j ϵ2=yβkxkβjxj与其他的剩下的x做回归,步骤同上
    四、设定一个截止的阈值,例如P值不能大于5%,则当引入新变量时,每一个都大于5%时,自动停止操作。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    1.2 代码

    #向前回归法
    '''
    data:数据
    response:y
    '''
    def forward_select(data, response):
        remaining = set(data.columns)
        remaining.remove(response)
        selected = []
        current_score, best_new_score = float('inf'), float('inf')
        while remaining:
            aic_with_candidates=[]
            for candidate in remaining:
                formula = "{} ~ {}".format(
                    response,' + '.join(selected + [candidate]))
                #标准选择的AIC
                aic = ols(formula=formula, data=data).fit().aic
                aic_with_candidates.append((aic, candidate))
            aic_with_candidates.sort(reverse=True)
            best_new_score, best_candidate=aic_with_candidates.pop()
            if current_score > best_new_score: 
                remaining.remove(best_candidate)
                selected.append(best_candidate)
                current_score = best_new_score
                print ('aic is {},continuing!'.format(current_score))
            else:        
                print ('forward selection over!')
                break
                
        formula = "{} ~ {} ".format(response,' + '.join(selected))
        print('final formula is {}'.format(formula))
        model = ols(formula=formula, data=data).fit()
        return(model)
    
    #自动筛选出好的模型
    data_for_select = exp[['avg_exp', 'Income', 'Age', 'dist_home_val', 
                           'dist_avg_income']]
    lm_m = forward_select(data=data_for_select, response='avg_exp')
    print(lm_m.rsquared)
    

    在这里插入图片描述
    结果可知,设定的是AIC为标准,输出可以看出AIC在逐渐减小,在减小到一定程度就不再继续减小。最后的找出的最好模型是dist_avg_income + Income + dist_home_val 三个变量。这三个变量构成的线性回归效果是最好的,对应的R^2值是0.541151292841195

    通过向前法模型筛选找出最好的模型
    lm_m.summary()
    

    在这里插入图片描述
    结果可知:存在不显著的模型(p>0.1),AIC算法是贪婪算法,只求AIC最小的模型,不能保证每个模型都是显著的。经过模型筛选之后,可以删除变量。

    2 向后法

    向后法:同向前回归法正好相反,首先,所有的X变量一次性进入模型进行F检验和T检验,然后逐个删除不显著的变量,删除的原则是根据其偏回归平方和的大小决定去留。如果偏回归平方和很大则保留,反之则删除。
    在这里插入图片描述

    3 逐步法

    逐步法:综合向前和向后回归法的特点,变量一个个进入方程,在引入变量时需要利用偏回归平方和进行检验,当显著时才加入该变量,当方程加入了该变量后,又要对原有的老变量重新用偏回归平方和进行检验,一旦某变量变得不显著时要删除该变量,如此下去,直到老变量均不可删除,新变量也无法加入为止。

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  • 一、生存分析基本概念1、事件(Event)指研究中规定的生存研究的终点,在研究开始之前就已经制定好。根据研究性质的不同,事件可以是患者的死亡、疾病的复发、仪器的故障,也可以是下岗工人的再就业等等。2、生存时间...

    一、生存分析基本概念

    1、事件(Event)

    指研究中规定的生存研究的终点,在研究开始之前就已经制定好。根据研究性质的不同,事件可以是患者的死亡、疾病的复发、仪器的故障,也可以是下岗工人的再就业等等。

    2、生存时间(Survival time)

    指从某一起点到事件发生所经过的时间。生存是一个广义的概念,不仅仅指医学中的存活,也可以是机器出故障前的正常运行时间,或者下岗工人再就业前的待业时间等等。有的时候甚至不是通用意义上的时间,比如汽车在出故障前的行驶里程,也可以作为生存时间来考虑。

    3、删失(Sensoring)

    指由于所关心的事件没有被观测到或者无法观测到,以至于生存时间无法记录的情况。常由两种情况导致:(1)失访;(2)在研究终止时,所关心的事件还未发生。

    4、生存率 (survival rate, survival

    function)

    指观察对象经历t个单位时段后仍存活的可能性。生存率通常随时间t的变化而变化,是时间t 的函数,故又称生存函数,生存率实质是累积生存概率。

    二、生存分析的方法

    1、生存分析的主要目的是估计生存函数,常用的方法有Kaplan-Meier法和寿命表法。对于分组数据,在不考虑其他混杂因素的情况下,可以用这两种方法对生存函数进行组间比较。

    2、如果考虑其他影响生存时间分布的因素,可以使用Cox回归模型(也叫比例风险模型),利用数学模型拟合生存分布与影响因子之间的关系,评价影响因子对生存函数分布的影响程度。这里的前提是影响因素的作用不随时间改变,如果不满足这个条件,则应使用含有时间依存协变量的Cox回归模型。

    下面用一个例子来说明SPSS中Cox回归模型的操作方法。

    例题

    要研究胰腺癌术中放疗对患者生存时间的影响,收集了下面所示的数据:

    thread-14687622-1-1.html

    操作步骤:

    SPSS变量视图

    thread-14687622-1-1.html

    菜单选择:

    thread-14687622-1-1.html

    点击进入Cox主对话框,如下,将time选入“时间”框,将代表删失的censor变量选入“状态”框,其余分析变量选入“协变量”框。其余操作要对”定义事件“、“分类”、“绘图“和”选项“分别设置。

    thread-14687622-1-1.html

    点击“状态”框下方的“定义事件”,将事件发生的标志设为值0,即0代表事件发生。

    thread-14687622-1-1.html

    在主对话框中点击“分类”按钮,进入如下的对话框,将所有分类变量选入右边框中。

    thread-14687622-1-1.html

    在主对话框中点击“绘图”按钮,进入如下的对话框,选择绘图的类型,这里只选择“生存函数”。单线(F)只能放分类协变量,由于我们关心的主要变量是trt(是否放疗),所以将trt选入“单线”框中,绘制生存曲线。

    thread-14687622-1-1.html

    在主对话框中点击“选项”按钮,进入如下的对话框,设置如下,输出RR的95%置信区间。回到主界面,点击“确定”输出结果。

    thread-14687622-1-1.html

    主要结果输出:

    thread-14687622-1-1.html

    这是对拟合模型的检验,原假设是“所有影响因素的偏回归系数均为0”,这里可以看出P=0.032<0.05拒绝原假设,认为有偏回归系数不为零的因素,值得进一步分析,也说明此时模型拟合的最好。

    thread-14687622-1-1.html

    这是多元回归结果,第二列B为偏回归系数,最后三列为OR值及其置信区间。由P值可以看出,在0.05的显著水平下,只有trt有统计学差异,OR为2.265。即有无术中放疗对患者生存时间有影响。

    thread-14687622-1-1.html

    这是总体的生存函数,即累积生存率函数。这是在控制了其他变量后,有无放疗组的生存函数对比,可以看出,术中放疗患者的生存情况优于不放疗的患者。数据分析师培训

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  • 用Excel做回归分析

    千次阅读 2020-12-19 04:21:38
    本节知识点:Excel数据分析工具库—回归线性回归和非线性回归简单线性回归和多重线性回归逻辑斯蒂回归一、什么是回归分析(Regression)1、定义确定两种或两种以上变量间相关关系的一种统计分析方法。通过数据间相关性...
  • 用Excel做回归分析的详细步骤

    千次阅读 2020-12-19 04:21:39
    清楚了回归分析的目的后,下面我们以回归分析预测法的步骤来说明什么是回归分析法:回归分析是对具有因果关系的影响因素(自变量)和预测对象(因变量)所进行的数理统计分析处理。只有当变量与因变量确实存在某种关系时...
  • 一元线性回归及Excel回归分析

    万次阅读 2019-06-08 19:26:54
    一元线性回归可以说是数据分析中非常简单的一个知识点,有一点点统计、分析、建模经验的人都知道这个分析的含义,也会用各种工具来做这个分析。这里面想把这个分析背后的细节讲讲清楚,也就是后面的数学原理。 什么...
  • 相关分析定义 相关分析(correlation analysis),相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系,并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度,是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。 相关...
  • 逻辑回归算法模型

    千次阅读 2022-03-23 21:21:33
    一篇搞定逻辑回归算法模型
  • 本文主要介绍:Excel数据分析工具库—回归线性回归和非线性回归简单线性回归和多重线性回归逻辑斯蒂回归一、什么是回归分析(Regression)1、定义确定两种或两种以上变量间相关关系的一种统计分析方法。通过数据间...
  • (2)根据因变量和自变量之间的关系,初步设定回归模型; (3)求解合理的回归系数; (4)进行相关性检验,确定相关系数; (5)利用模型对因变量作出预测或解释,并计算预测值的置信区间。 一元线性回归分析 (一...
  • 在如今机器学习、数据科学、人工智能热潮下,回归分析似乎成了家喻户晓的东西。实际上回归分析自Galton爵士提出以及Pearson和Fisher的理论的加持,经过一百多年的发展,早已成了发现客观规律的有力武器。回归分析的...
  • 我们选择[Bike Sharing数据]...最后我们使用CrossValidator, ParamGridBuilder对每个回归器进行参数调整来找到最佳超参数。同时,在文章末尾,我们还对模型性能调优提出了几点建议。............
  • 本文利用Python使用多元线性回归与随机森林算法预测笔记本新品的发售价
  • 回归分析

    2020-07-14 18:19:48
    3.1.1一元回归模型 一元一次回归主要使用公式计算,掌握公式以及写出代码即可 也可以使用系统提供代码解决,与多项式回归类似,不再赘述 3.1.2一元多项式回归 (1)多项式拟合 [p,S,mu]=polyfit(x,y,n) p为...
  • 一、生存分析基本概念1、事件(Event)指研究中规定的生存研究的终点,在研究开始之前就已经制定好。根据研究性质的不同,事件可以是患者的死亡、疾病的复发、仪器的故障,也可以是下岗工人的再就业等等。2、生存时间...

空空如也

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总体回归模型的定义

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