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  • 本博文源于matlab在概率论的应用。学过概率论的小伙伴知道要计算矩...其中一阶原点矩就是数学期望,而用二阶样本中心距是来计算总体的方差的。了解到这些,在matlab编写代码时,对照概率论的书籍,就编写的非常愉快了。

    本博文源于matlab在概率论的应用。学过概率论的小伙伴知道要计算矩估计值需要跟原点矩和中心矩打交道。其中原点矩和中心距在概率论书中都有相应的公式我们会套用即可
    其中一阶原点矩就是数学期望,而用二阶样本中心距是来计算总体的方差的。了解到这些,在matlab编写代码时,对照概率论的书籍,就编写的非常愉快了。

    例子:随机取8只活塞,测得它们的直径(以mm计),求总体均值以及方差的矩估计值:

    这是活塞直径:单位不要忘记mm哦!

    X = [74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,73.998,74.006,74.002];
    

    然后我们采用函数编写的方式,分而治之就行了

    创建mu.m,代码如下:

    function y = mu(X)
    n = length(X);
    s = sum(X);
    y = s / n;
    
    

    这就是传说中的以样本均值代替总体均值

    创建sigma2.m,代码如下:

    function y = sigma2(X)
    Y = X - mu(X);
    Y2 = Y.*Y;
    n = length(X);
    s = sum(Y2);
    y = s/n;
    
    

    这样就是以样本方差代替总体方差的矩估计

    创建main.m,代码如下:

    这个主要处理总体数据流程控制:

    X = [74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,73.998,74.006,74.002];
    mu = mu(X)
    sig = sigma2(X)
    

    运行在matlab代码里,就会有这样的显示效果:
    在这里插入图片描述
    博主采用在线编译(网址如下):
    不要忘记收藏的链接哟!
    最后回答:由此可见,总体均值的矩估计值为74.002,总体方差的矩估计值为6*10^-6.

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  • 总体方差和样本方差

    千次阅读 2020-01-03 08:57:01
    在统计描述中,方差用来计算每一个变量*...总体方差计算公式:σ2=∑(X−μ)2N\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N}σ2=N∑(X−μ)2​公式中σ2\sigma^2σ2为总体方差,XXX为变量,μ\muμ为总体均值,NNN为总体例数。 ...

    在统计描述中,方差用来计算每一个变量*(观察值)与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零,离均差平方和受样本含量的影响,统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。总体方差计算公式:σ2=(Xμ)2N\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N}公式中σ2\sigma^2为总体方差,XX为变量,μ\mu为总体均值,NN为总体例数。

    在实际工作中,总体均数难以得到时,应用样本统计量代替总体参数,经校正后,样本方差计算公式:S2=(XX)2(n1)S^2=\frac{\sum(X-\overline{X})^2}{(n-1)}公式中S2S^2为样本方差,XX为变量,X\overline{X}为样本均值,nn为样本例数。

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  • 引入方差概念方差计算无偏估计样本方差公式相关参考链接样本方差的自由度是n-1 引入 方差概念 方差是在概率论统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量,用来度量随机变量其数学期望(即均值)之间的偏离...

    引入

    方差概念

    方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量,用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。

    方差计算

    定义:
    DX=E(XEX)2=EX2(EX)2 D X=E(X-E X)^{2}=E X^{2}-(E X)^{2}
    离散型和连续型的随机变量计算公式分别为:
    D(X)={k=1[xkE(X)]2pk,[xkE(X)]2f(x)dx \boldsymbol{D}(\boldsymbol{X})=\left\{\begin{array}{c} {\sum_{k=1}^{\infty}\left[\boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})\right]^{2} p_{k},} \\ {\int_{-\infty}^{\infty}\left[\boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})\right]^{2} f(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{x}} \end{array}\right.
    当给出具体数据进行分析时我们常用到如下两个公式
    总体方差:
    σ2=i=1N(xiμ)2N \sigma^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}}{N}
    样本方差:
    S2=1n1i=1n(xiXˉ)2 S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{X}\right)^{2}

    那么为什么总体方差和样本方差的分母不同呢?

    首先应该明确
    1、在用样本方差公式进行计算时,我们并不知道x的分布情况,也不知道μ\muXˉ\bar{X}是所给样本的平均值,其值并不一定等于μ\mu
    2、总体方差是确定的,是综合所有数据后得到的方差,同理,μ\mu也是由所有数据得到的确数。而Xˉ\bar{X}S2S^{2}是根据部分数据μ\muσ2\sigma^{2}进行估计。
    3、总体方差
    也叫做有偏估计,其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差,除数是N。如果实现已知期望值,比如测水的沸点,那么测量10次,测量值和期望值之间是独立的(期望值不依测量值而改变,随你怎么折腾,温度计坏了也好,看反了也好,总之,期望值应该是100度),那么E『(X-期望)^2』,就有10个自由度。事实上,它等于(X-期望)的方差,减去(X-期望)的平方。” 所以叫做有偏估计,测量结果偏于那个”已知的期望值“。
    样本方差
    无偏估计、无偏方差(unbiased variance)。对于一组随机变量,从中随机抽取N个样本,这组样本的方差就是Xi^2平方和除以N-1。这可以推导出来的。如果现在往水里撒把盐,水的沸点未知了,那我该怎么办? 我只能以样本的平均值,来代替原先那个期望100度。 同样的过程,但原先的(X-期望),被(X-均值)所代替。 设想一下(Xi-均值)的方差,它不在等于Xi的方差, 而是有一个协方差,因为均值中,有一项Xi/n是和Xi相关的,这就是那个"偏"的由来
    样本方差与总体方差的区别

    我们先讨论一个样本时:
    (此段引自 link.)
    对于样本方差来说,假如从总体中只取一个样本,即n=1,那么样本方差公式的分子分母都为0——方差完全不确定。这很好理解,因为样本方差是用来估 计总体中个体之间的变化大小,只拿到一个个体,当然完全看不出变化大小。反之,如果公式的分母不是n-1而是n,计算出的方差就是0——这是不合理的,因 为不能只看到一个个体就断定总体的个体之间变化大小为0。

    对于总体方差来说,假如总体中只有一个个体,即N=1,那么方差,即个体的变化,当然是0。如果分母是N-1,总体方差为0/0,即不确定,却是不合理的——总体方差不存在不确定的情况。

    以上可帮助理解两式的正确性,关于样本方差的理论推导如下:
    首先回顾一下无偏估计

    无偏估计

    无偏估计是用样本统计量来估计总体参数时的一种无偏推断。估计量的数学期望等于被估计参数的真实值,则称此此估计量为被估计参数的无偏估计,即具有无偏性,是一种用于评价估计量优良性的准则。无偏估计的意义是:在多次重复下,它们的平均数接近所估计的参数真值。
    估计总体平均值μ时,若以样本平均值ξ’为估计量,则可算得ξ’的数学期望E(ξ’)=μ,这说明ξ’是总体平均值μ的无偏估计。

    介绍无偏估计的意义就是,我们计算的样本方差,希望它是总体方差的一个无偏估计

    样本方差公式

    假如样本方差公式为如下形式
    S2=1ni=1n(xiXˉ)2 S^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{X}\right)^{2}
    此时我们可以判断一下它是否为总体方差的一个无偏估计,即判断E(S2)E\left(S^{2}\right)是否为σ2\sigma^{2}

    E[S2]=E[1ni=1n(XiXˉ)2]=E[1ni=1n((Xiμ)(Xˉμ))2]=E[1ni=1n((Xiμ)22(Xˉμ)(Xiμ)+(Xˉμ)2)]=E[1ni=1n(Xiμ)22n(Xˉμ)i=1n(Xiμ)+1n(Xˉμ)2i=1n1]=E[1ni=1n(Xiμ)22n(Xˉμ)i=1n(Xiμ)+(Xˉμ)2]=E[1ni=1n(Xiμ)22n(Xˉμ)i=1n(Xiμ)+(Xˉμ)2] \begin{aligned} \mathrm{E}\left[S^{2}\right] &=\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\left(X_{i}-\mu\right)-(\bar{X}-\mu)\right)^{2}\right] \\ &=\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-2(\bar{X}-\mu)\left(X_{i}-\mu\right)+(\bar{X}-\mu)^{2}\right)\right] \\ &=\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-\frac{2}{n}(\bar{X}-\mu) \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)+\frac{1}{n}(\bar{X}-\mu)^{2} \sum_{i=1}^{n} 1\right] \\ &=\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-\frac{2}{n}(\bar{X}-\mu) \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)+(\bar{X}-\mu)^{2}\right] \\ &=\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-\frac{2}{n}(\bar{X}-\mu) \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)+(\bar{X}-\mu)^{2}\right] \end{aligned}

    其中i=1n(Xiμ)\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)=i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_{i}i=1nμ\sum_{i=1}^{n} \mu=i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_{i}–nμ\mu=nXˉ\bar{X}–nμ\mu
    E[S2]=E[1ni=1n(Xiμ)22n(Xˉμ)i=1n(Xiμ)+(Xˉμ)2]=E[1ni=1n(Xiμ)22n(Xˉμ)n(Xˉμ)+(Xˉμ)2]=E[1ni=1n(Xiμ)22(Xˉμ)2+(Xˉμ)2]=E[1ni=1n(Xiμ)2]E[(Xˉμ)2]=σ2E[(Xˉμ)2] \begin{aligned} \mathrm{E}\left[S^{2}\right] &=\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-\frac{2}{n}(\bar{X}-\mu) \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)+(\bar{X}-\mu)^{2}\right] \\ &=\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-\frac{2}{n}(\bar{X}-\mu) \cdot n \cdot(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^{2}\right] \\ &=\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-2(\bar{X}-\mu)^{2}+(\bar{X}-\mu)^{2}\right] \\ &=\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\right]-\mathrm{E}\left[(\bar{X}-\mu)^{2}\right] \\ &=\sigma^{2}-\mathrm{E}\left[(\bar{X}-\mu)^{2}\right] \end{aligned}
    其中
    E[(Xˉμ)2]=1nσ2 \mathrm{E}\left[(\bar{X}-\mu)^{2}\right]=\frac{1}{n} \sigma^{2}
    故:
    E[1ni=1n(XiXˉ)2]=σ21nσ2=n1nσ2 E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=\sigma^{2}-\frac{1}{n} \sigma^{2}=\frac{n-1}{n} \sigma^{2}
    但我们要得到总体方差的一个无偏估计
    nn1E[1ni=1n(XiXˉ)2]=E[1n1i=1n(XiXˉ)2]=σ2 \frac{n}{n-1} E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=E\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=\sigma^{2}
    所以样本方差的分母为n–1而不是n。

    相关参考链接

    link1为什么样本方差(sample variance)的分母是 n-1?.
    其中还包含用S2=1ni=1n(Xiμ)2S^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}来近似σ2\sigma^{2}等详细步骤。
    在这里插入图片描述
    link2彻底理解样本方差为何除以n-1.

    样本方差的自由度是n-1

    参看自由度(为什么样本方差自由度是n-1)

    其中讨论了离差平方和 SS=(xixˉ)2S S=\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}
    总体方差D(x)=SSnD(x)=\frac{S S}{n},样本方差D(x)=SSn1D(x)=\frac{S S}{n-1}

    生动举例解释为什么样本方差自由度为n-1

    展开全文
  • 均值 现在使用实际的2400亿个细胞计算均值,也就是总体均值(Population Mean) 估计均值(Estimated Mean):...方差标准差,代表数据是如何在总体均值周围分布的,计算总体方差的公式: x-μ, 代表从每个数据

    一、均值

    现在,假设已经拿到在实际的肝脏中大约 2400 亿个细胞的X基因表达值。

    我们接下来,要计算总体均值与估计总体均值。
    mark

    现在使用实际的2400亿个细胞计算均值,也就是总体均值(Population Mean)

    mark

    mark

    从总体中抽样 5 个样本,计算估计均值(Estimated Mean):

    mark

    统计学中,用符号x-bar (mark) 来表示估计均值,也叫样本均值(Sample Mean)

    使用希腊符号μ来表示总体均值(Population Mean)

    可以从上图看到,样本均值与总体均值不同,但是随着测量越来越多的数据,x-bar会越来越接近μ。

    二、方差、标准差

    mark

    方差和标准差,代表数据是如何在总体均值周围分布的,计算总体方差的公式:

    mark

    • x-μ, 代表从每个数据 x 中减去总体均值 μ。
    • x-μ 取平方,为了保证每个差异非负
    • 将每个样本的差异 (x-μ)^2,求和,
    • 除以样本数,为的是平均化平方后的差异

    利用公式去计算,实际数据中的总体方差:

    mark

    因为每个数据都是经过平方的,所以方差的单位是X基因表达量的平方。

    但是X轴上的单位并没有平方,所以在X轴上不能绘制方差。

    为了解决这个问题,我们只要对每一项平方根就行:

    mark

    也就得到了总体标准差,很容易得到它的值:

    mark

    好,现在我们就可以利用均值和标准差来绘制正态分布曲线了:

    总体方差和标准差来决定曲线的宽度,反应数据如何分布在总体均值周围

    mark

    但是,在实验中,我们不可能去一一测量2400亿个细胞,总体数据几乎不可能拿到。

    所以,我们几乎不计算总体均值,总体方差,总体标准差。

    我们一般是用小样本来估计总体均值,方差,标准差。

    但是,我们在做实验的时候,看到的只是一堆数据,比如这样:

    mark

    我们可以很轻松的获得数据的均值

    mark

    但是,难受的是,我们根本看不到曲线或者总体均值

    mark

    这个时候就需要估计总体均值,

    mark

    给出计算公式:

    mark

    • x-mark,代表从每个结果 x 中减去总体均值mark

    • n-1 是为了弥补我们计算的样本平均值而不是总体平均值的差异,否则会一直低估总体均值的方差。

      为什么要除以 n-1?

      这是因为实验数据和样本平均值之间的差异,往往小于数据和总体均值之间的差异。mark

      反应在曲线上:

      mark

      mark值会在μ的左右来回摆动,随着数据量的增多,无限接近μ

    根据数据计算估计总体方差和标准差

    mark

    现在有了这些参数就可以画曲线了:

    mark

    与开始利用2400亿总体数据绘制的曲线比对下,可以发现我们实验与真实分布离的并不远:

    mark

    到目前为止,我们利用5个实验数据完成了估计总体数据,而且结果还不错,这样节省我我们大量的经历和时间。

    三、总结

    • 如果我们有一个群体的所有数据,就可以直接计算总体均值。
    • 当没有群体全部数据时,可以利用部分样本数据使用相同的公式来估计总体均值。
    • 同样的,我们有一个群体的所有数据,就可以直接计算总体方差和标准差。
    • 当没有群体全部数据时,就不能用总体方差和标准差的公式了,这时候需要考虑用 n-1 去抵消样本平均值为总体均值说产生的差异。

    致谢:

    https://www.youtube.com/channel/UCtYLUTtgS3k1Fg4y5tAhLbw

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总体均值和样本均值计算公式