开篇引例：
某健身俱乐部欲根据往年的会员情况，制定2006年的会员发展营销策略。主管经理估计俱乐部会员的平均年龄是35岁，其中25～35岁的会员占总人数的70%。研究人员从2005年
入会的新会员中随机抽取40人，调查得知他们的平均年龄是32岁，其中25～35岁的会员占74%。根据这份调查结果，问主管经理的对会员年龄的估计是否准确？

统计学是通过假设检验的方法来解决上述问题的。
假设检验（hypothesis testing）和参数估计（parameter estimation）是统计推断的两个组成部分，它们都是利用样本对总体进行某种推断。
参数估计是用样本统计量估计总体参数的方法，总体参数在估计之前是未知的。
假设检验则是先对的值提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。

假设检验的原理

假设检验（hypothesis testing）也称为显著性检验，是事先作出一个关于总体参数的假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定应接受或否定原假设的统计推断方法。
对总体作出的统计假设进行检验的方法依据是概率论中的“小概率事件实际不可能发生”原理。

假设检验的步骤

例题：
某健身俱乐部主管经理估计会员的平均年龄是35岁，研究人员从2005年入会的新会员中随机抽取40人，调查得到他们的年龄数据如下。

试根据调查结果判断主管经理的估计是否准确？

1.提出原假设和备择假设
原假设（Null hypothesis）又称零假设，是需要通过样本推断其正确与否的命题，用H₀表示。
• 本例中可以提出：H₀: m=35；这里m表示总体会员的平均年龄，意味着总体会员的平均年龄与主管经理估计的35岁没有差异。
与原假设对立的假设是备选假设（Alternative hypothesis），用H₁表示。
• 在本例中，备选假设意味着“总体会员的平均年龄与主管经理估计的会员平均年龄35岁
有显著差异”，可以表示为H₁ : m≠35。
原假设与备选假设互斥，检验结果二者必取其一。

原假设
1 陈述需要检验的假设
2 零假设用 H₀ 表示
3 代表“正常”的情形
4 总是包含等号“=”
5 检验以“假定原假设为真”开始

备择假设
1 为原假设的对立情况
2 备择假设用H₁表示
3 代表“不能轻易肯定的情况”
4 很少包含等号

2.确定适当的检验统计量
假设检验需要借助样本统计量进行统计推断，称为检验统计量。不同的假设检验问题需要选择不同的检验统计量。
在具体问题中，选择什么统计量，需要考虑的因素有：总体方差已知还是未知，用于进行检验的样本是大样本还是小样本，等等。

3.选取显著性水平，确定接受域和拒绝域

4.计算检验统计量的值

5.作出统计决策

总体均值的假设检验

大样本的情况下总体均值的假设检验

双侧检验的拒绝域

2005年北京市职工平均工资为32808元，标准差为3820元。现在随机抽取200人进行调查，测定2006年样本平均工资为34400元。按照5%的显著性水平判断该市2006年的职工平均工资与2005有无显著差异？
（在本例题中，我们关心的是前后两年职工的平均工资有没有显著的差异，不涉及差异的方向，因此，本题属于双侧检验。检验过程如下：）
（1）提出假设： H0:m=32808；H1:m≠32808；
（2）总体标准差s已知，大样本抽样，故选用Z统计量；
（3）显著性水平a=0.05，由双侧检验，查表可以得出临界值。
判断规则为：若z>1.96或z<-1.96，则拒绝H0；若-1.96≤z≤1.96，则不能拒绝H0。
（4）计算统计量Z 的值

（5）检验判断：由于 ，落在拒绝域，故拒绝原假设H0。
结论：以5%的显著性水平可以认为该市2006年的职工平均工资比2005年有明显的差异。

单侧检验的拒绝域

已知某电子产品的使用寿命服从正态分布，根据历史数据，其平均使用寿命为8000小时，标准差为370小时。现采用新的机器设备进行生产，随机抽取了100个产品进行检测，得到样本均值为7910小时。试问在5%的显著性水平下，新的机器是否合格？
（这是一个左单侧检验问题。抽样的目的是为了检测新机器生产的产品的使用寿命是否达到标准，我们比较关心的是使用寿命的下限，如果新产品的使用寿命与过去相比没有明显降低，则说明所使用的新机器合格；反之，则说明新机器不合格。检验过程如下：）

某乳制品厂生产的一种盒装鲜奶的标准重量是495克。为了检测产品合格率，随机抽取100盒鲜奶，测得产品的平均重量为494克，标准差为6克，试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。

小样本的情况下总体均值的假设检验

沿用上例，对鲜奶产品进行抽样检查，随机抽取10盒产品，测得每盒重量数据如下（单位：克）：496、499、481、499、489、492、491、495、494、502。试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。

总体比例的假设检验（单一）

主管经理估计25-35岁的会员占总人数的70%，随机抽取40人，调查得知其中25-35岁的会员占74%。试以5%的显著性水平判断主管经理的估计是否准确？

总体方差的假设检验（单一）

某乳制品厂的一种盒装鲜奶产品的标准重量是495克，现改进生产工艺，要求每盒的误差上下不超过3克。从新生产出的产品中随机抽取15盒进行检查，测得产品的重量误差如下（克）。

试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。

两个总体均值差的假设检验

公式汇总

设$X$和$Y$相互独立且$X$~$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y$~$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，其中${\sigma }_1^2$和${\sigma }_2^2$是已知的。来自$X$和$Y$的容量分别为$n_1$和$n_2$的样本均值为$\overline{X}$，$\overline{Y}$。对显著水平$\alpha$，检验双侧假设$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=\delta ,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne \delta$。由于检验统计量$\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta }{\sqrt{{\sigma }_1^2/n_1+{\sigma }_2^2/n_2}}$~$N(0,1)$，与利用ztestL或ztestR计算已知总体方差计算两总体均值差单侧假设的Z检验相仿，我们可以用函数ztest2计算双侧假设$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=\delta$的检验。
例1设甲、乙两厂生产同型号的灯泡，其寿命$X$，$Y$分别服从正态分布$$\begin{gathered} N({\mu }_1,{\sigma }_1^2), \\ N({\mu }_2,{\sigma }_2^2) \end{gathered}$$，已知它们寿命的标准差分别为84h和96h，现从两厂生产的灯泡中各取60只，测得灯泡的平均寿命甲厂为1295h，乙厂为1230h。在显著水平$\alpha =0.05$下，问能否认为两厂生产的灯泡寿命有无显著差别？
解： 按题意，需对假设
$$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=0,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne 0$$
作显著水平为$\alpha =0.05$的双侧检验。下列代码完成本例计算。

import numpy as np								#导入numpy
xmean=1295										#样本均值
ymean=1230										#样本均值
xsigma2=84**2									#总体方差
ysigma2=96**2									#总体方差
n1=60											#样本容量
n2=60											#样本容量
alpha=0.05										#显著水平
Z=(xmean-ymean)/np.sqrt(xsigma2/n1+ysigma2/n2)	#检验统计量值
accept=ztest2(Z, alpha)							#双侧假设Z检验
print('mu1-mu2=0 is %s.'%accept)

第2~8行按题面设置各项数据，第9行计算检验统计量值$\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta }{\sqrt{{\sigma }_1^2/n_1+{\sigma }_2^2/n_2}}$为Z（注意，此时$\delta =0$），第10行调用函数ztest2检验双侧假设$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=0$。运行程序，输出

mu1-mu2=0 is False.

表示拒绝假设$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=0$，即两厂生产的灯泡寿命有显著差别。
例2 全市高三学生进行数学毕业会考，随机抽取10名男生和8名女生的会考成绩如下：
$$\begin{gathered} \text{男生：}65,72,89,56,79,63,92,48,75,81 \\ \text{女生：}78,69,65,61,54,87,51,67 \end{gathered}$$
若男生的会考成绩$X$~$N({\mu }_1,10^2)$，女生的会考成绩$Y$~$N({\mu }_2,9.5^2)$，试问男生和女生的平均成绩是否相同（$\alpha =0.05$）？
解： 按题意，需对双侧假设
$$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=0,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne 0$$
作Z检验。下列代码完成本例计算。

import numpy as np#导入numpy
x=np.array([65, 72, 89, 56, 79, 63, 92, 48, 75, 81])#样本数据
y=np.array([78, 69, 65, 61, 54, 87, 51, 67])		#样本数据
xmean=x.mean()										#样本均值
ymean=y.mean()										#样本均值
xsigma2=10**2										#总体方差
ysigma2=9.5**2										#总体方差
n1=x.size											#样本容量
n2=y.size											#样本容量
alpha=0.05											#显著水平
Z=(xmean-ymean)/np.sqrt(xsigma2/n1+ysigma2/n2)		#检验统计量值
accept=ztest2(Z, alpha)								#双侧假设Z检验
print('mu1-mu2=0 is %s.'%accept)

第11行计算检验统计量值$\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta }{\sqrt{{\sigma }_1^2/n_1+{\sigma }_2^2/n_2}}$为Z（注意，此时$\delta =0$），第12行调用函数ztest2检验双侧假设$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=0$。运行程序，输出

mu1-mu2=0 is True.

表示接受假设$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=0$，即男女生的平均成相同。
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写在前面，最近在看假设检验的相关内容，为加深理解，一时兴起随便写的，欢迎指正。

• python统计函数库scipy.stats分布中常见的函数
  -
• 主要公式——摘自《统计学（第6版）学习指导书 贾俊平》
• 导入包

from scipy import stats as ss
import numpy as np

• 一个总体均值的检验

def mean_test1(x,u,s,n,sig=1,alf=0.05,alternative="tow"):
    #统计量计算
    #样本均值x、期望值u、总体方差s、样本量n、总体方差是否已知
    statsM = abs((x-u)/(s/n**(1/2)))
    #是否双侧检验
    if alternative=="tow":
        alf = alf/2
    #临界值计算
    if 0< n < 30 and sig==0:
        a = abs(ss.t.isf(alf,n-1))
        p = ss.t.sf(statsM,n-1)
    elif n<=0:
        print("n的输入有误")
    else:
        a = abs(ss.norm.isf(alf))
        p = ss.norm.sf(statsM)
    #结果
    
    if statsM > a:
        print("统计量的绝对值{} >临界值{},拒绝原假设".format(statsM,a))
    else:
        print("统计量的绝对值{} <临界值{},不能拒绝原假设".format(statsM,a))
    
    print("P值为",p)

统计学（第6版）贾俊平 例题：

mean_test1(960,1000,200,100,alternative="less")

运行结果：
统计量的绝对值2.0 >临界值1.6448536269514729,拒绝原假设
P值为 0.022750131948179195

• 一个总体比例的检验

def pro_test1(p,u,n,alf=0.05,alternative="tow"):
    #统计量计算
    #样本比例p、期望值u、样本量n
    statsP = abs((p-u)/((u*(1-u)/n)**(1/2)))
    #是否双侧检验
    if alternative=="tow":
        alf = alf/2
    #临界值计算
    a = abs(ss.norm.isf(alf))
    #结果
    
    if statsP > a:
        print("统计量的绝对值{} >临界值{},拒绝原假设".format(statsP,a))
    else:
        print("统计量的绝对值{} <临界值{},不能拒绝原假设".format(statsP,a))
        
    print("P值为",ss.norm.sf(statsP))

统计学（第6版）贾俊平 例题：

pro_test1(0.1425,0.147,400)

运行结果：
统计量的绝对值0.25416124340864343 <临界值1.9599639845400545,不能拒绝原假设
P值为 0.39968549545509435

• 一个总体方差的检验

def vari_test1(s,u,n,alf=0.05,alternative="greater"):
    #统计量计算
    #样本方差s、期望值u、样本量n
    statsV = (n-1)*s/u
    #左单侧
    if alternative=="less":
        a = ss.chi2.ppf(alf,n-1)
    #右单侧
    elif alternative=="greater":
        a = ss.chi2.isf(alf,n-1)
    #结果
    
    if statsV > a:
        print("统计量{} >临界值{},拒绝原假设".format(statsV,a))
    else:
        print("统计量{} <临界值{},不能拒绝原假设".format(statsV,a))
        
    print("P值为",ss.norm.sf(statsV))

例题：

vari_test1(0.866,1,25)

运行结果：
统计量20.784 <临界值36.415028501807306,不能拒绝原假设
P值为 3.0204844445890953e-96