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  • 两个正态总体均值差的检验(t)
    2020-12-17 18:02:12
    /*
    俩 正态总体 均值差的检验
    in:
        n1 n2 
        n1:
        n2:
        sigema
    */
    
    /*
              x_ -y_ -sigema
        t=    ------------------
              Sw sqrt(1/n1+1/n2)
    
                (n1-1)Sa_2+(n2-1)Sb_2
        Sw=   --------------------------
                     n1+n2-2
    */
    #include <iostream>
    #include <vector>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int n1, n2;
        cin >> n1 >> n2;
        vector<double> v1(n1), v2(n2);
        for (int i = 0; i < n1; ++i)
            cin >> v1[i];
        for (int i = 0; i < n2; ++i)
            cin >> v2[i];
        double sigema;
        cin >> sigema;
    
        double x_, y_;
        double pingsumX = 0, pingsumY = 0, sumX = 0, sumY = 0;
        for (auto x : v1)
        {
            sumX += x;
            pingsumX += x * x;
        }
    
        for (auto x : v2)
        {
            sumY += x;
            pingsumY += x * x;
        }
        x_ = (sumX) / n1;
        y_ = (sumY) / n2; //bug:写成x_了
    
        double Sa_2 = (pingsumX - n1 * x_ * x_) / (n1 - 1);
        double Sb_2 = (pingsumY - n2 * y_ * y_) / (n2 - 1);
    
        double Sw_2 = ((n1 - 1) * Sa_2 + (n2 - 1) * Sb_2) / (n1 + n2 - 2);
        double Sw = sqrt(Sw_2);
        double t = (x_ - y_ - sigema) / (Sw * sqrt(1.0 / n1 + 1.0 / n2));
    
        cout << "t=" << t;
    }
    
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  • 开篇引例:某健身俱乐部欲根据往年的会员情况,制定2006年的会员发展营销策略。主管经理估计俱乐部会员的平均年龄是35岁,其中25~35岁的会员占总人数的70%。...统计学是通过假设检验的方法来解决上...

    开篇引例:
    某健身俱乐部欲根据往年的会员情况,制定2006年的会员发展营销策略。主管经理估计俱乐部会员的平均年龄是35岁,其中25~35岁的会员占总人数的70%。研究人员从2005年
    入会的新会员中随机抽取40人,调查得知他们的平均年龄是32岁,其中25~35岁的会员占74%。根据这份调查结果,问主管经理的对会员年龄的估计是否准确?

    统计学是通过假设检验的方法来解决上述问题的。
    假设检验(hypothesis testing)和参数估计(parameter estimation)是统计推断的两个组成部分,它们都是利用样本对总体进行某种推断。
    参数估计是用样本统计量估计总体参数的方法,总体参数在估计之前是未知的。
    假设检验则是先对的值提出一个假设,然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。

    假设检验的原理

    假设检验(hypothesis testing)也称为显著性检验,是事先作出一个关于总体参数的假设,然后利用样本信息来判断原假设是否合理,即判断样本信息与原假设是否有显著差异,从而决定应接受或否定原假设的统计推断方法。
    对总体作出的统计假设进行检验的方法依据是概率论中的“小概率事件实际不可能发生”原理。

    假设检验的步骤

    在这里插入图片描述
    例题:
    某健身俱乐部主管经理估计会员的平均年龄是35岁,研究人员从2005年入会的新会员中随机抽取40人,调查得到他们的年龄数据如下。
    在这里插入图片描述
    试根据调查结果判断主管经理的估计是否准确?

    1.提出原假设和备择假设
    原假设(Null hypothesis)又称零假设,是需要通过样本推断其正确与否的命题,用H0表示。
    • 本例中可以提出:H0: m=35;这里m表示总体会员的平均年龄,意味着总体会员的平均年龄与主管经理估计的35岁没有差异。
    与原假设对立的假设是备选假设(Alternative hypothesis),用H1表示。
    • 在本例中,备选假设意味着“总体会员的平均年龄与主管经理估计的会员平均年龄35岁
    有显著差异”,可以表示为H1 : m≠35。
    原假设与备选假设互斥,检验结果二者必取其一。

    原假设
    1 陈述需要检验的假设
    2 零假设用 H0 表示
    3 代表“正常”的情形
    4 总是包含等号“=”
    5 检验以“假定原假设为真”开始

    备择假设
    1 为原假设的对立情况
    2 备择假设用H1表示
    3 代表“不能轻易肯定的情况”
    4 很少包含等号
    在这里插入图片描述

    2.确定适当的检验统计量
    假设检验需要借助样本统计量进行统计推断,称为检验统计量。不同的假设检验问题需要选择不同的检验统计量。
    在具体问题中,选择什么统计量,需要考虑的因素有:总体方差已知还是未知,用于进行检验的样本是大样本还是小样本,等等。
    在这里插入图片描述
    3.选取显著性水平,确定接受域和拒绝域
    在这里插入图片描述
    4.计算检验统计量的值
    在这里插入图片描述
    5.作出统计决策
    在这里插入图片描述

    总体均值的假设检验

    大样本的情况下总体均值的假设检验

    在这里插入图片描述

    双侧检验的拒绝域

    2005年北京市职工平均工资为32808元,标准差为3820元。现在随机抽取200人进行调查,测定2006年样本平均工资为34400元。按照5%的显著性水平判断该市2006年的职工平均工资与2005有无显著差异?
    (在本例题中,我们关心的是前后两年职工的平均工资有没有显著的差异,不涉及差异的方向,因此,本题属于双侧检验。检验过程如下:)
    (1)提出假设: H0:m=32808;H1:m≠32808;
    (2)总体标准差s已知,大样本抽样,故选用Z统计量;
    (3)显著性水平a=0.05,由双侧检验,查表可以得出临界值。
    判断规则为:若z>1.96或z<-1.96,则拒绝H0;若-1.96≤z≤1.96,则不能拒绝H0。
    (4)计算统计量Z 的值
    在这里插入图片描述
    (5)检验判断:由于在这里插入图片描述 ,落在拒绝域,故拒绝原假设H0。
    结论:以5%的显著性水平可以认为该市2006年的职工平均工资比2005年有明显的差异。

    单侧检验的拒绝域

    已知某电子产品的使用寿命服从正态分布,根据历史数据,其平均使用寿命为8000小时,标准差为370小时。现采用新的机器设备进行生产,随机抽取了100个产品进行检测,得到样本均值为7910小时。试问在5%的显著性水平下,新的机器是否合格?
    (这是一个左单侧检验问题。抽样的目的是为了检测新机器生产的产品的使用寿命是否达到标准,我们比较关心的是使用寿命的下限,如果新产品的使用寿命与过去相比没有明显降低,则说明所使用的新机器合格;反之,则说明新机器不合格。检验过程如下:)
    在这里插入图片描述
    某乳制品厂生产的一种盒装鲜奶的标准重量是495克。为了检测产品合格率,随机抽取100盒鲜奶,测得产品的平均重量为494克,标准差为6克,试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。
    在这里插入图片描述

    小样本的情况下总体均值的假设检验

    在这里插入图片描述
    沿用上例,对鲜奶产品进行抽样检查,随机抽取10盒产品,测得每盒重量数据如下(单位:克):496、499、481、499、489、492、491、495、494、502。试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。
    在这里插入图片描述

    总体比例的假设检验(单一)

    在这里插入图片描述
    主管经理估计25-35岁的会员占总人数的70%,随机抽取40人,调查得知其中25-35岁的会员占74%。试以5%的显著性水平判断主管经理的估计是否准确?
    在这里插入图片描述

    总体方差的假设检验(单一)

    在这里插入图片描述
    某乳制品厂的一种盒装鲜奶产品的标准重量是495克,现改进生产工艺,要求每盒的误差上下不超过3克。从新生产出的产品中随机抽取15盒进行检查,测得产品的重量误差如下(克)。
    在这里插入图片描述
    试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。
    在这里插入图片描述

    两个总体均值差的假设检验

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    公式汇总

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 设XXX和YYY相互独立且XXX~N(μ1,σ12)N(\mu_1,\...来自XXX和YYY的容量分别为n1n_1n1​和n2n_2n2​的样本均值为X‾\overline{X}X,Y‾\overline{Y}Y。对显著水平α\alphaα,检验双侧假设H0:μ1−μ2=δH_0:\mu_1-\mu

    X X X Y Y Y相互独立且 X X X~ N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1,\sigma_1^2) N(μ1,σ12) Y Y Y~ N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2,\sigma_2^2) N(μ2,σ22),其中 σ 1 2 \sigma_1^2 σ12 σ 2 2 \sigma_2^2 σ22是已知的。来自 X X X Y Y Y的容量分别为 n 1 n_1 n1 n 2 n_2 n2的样本均值为 X ‾ \overline{X} X Y ‾ \overline{Y} Y。对显著水平 α \alpha α,检验双侧假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = δ , H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ δ H_0:\mu_1-\mu_2=\delta,H_1:\mu_1-\mu_2\not=\delta H0:μ1μ2=δ,H1:μ1μ2=δ。由于检验统计量 X ‾ − Y ‾ − δ σ 1 2 / n 1 + σ 2 2 / n 2 \frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} σ12/n1+σ22/n2 XYδ~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),与利用ztestL或ztestR计算已知总体方差计算两总体均值差单侧假设的Z检验相仿,我们可以用函数ztest2计算双侧假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = δ H_0:\mu_1-\mu_2=\delta H0:μ1μ2=δ的检验。
    例1设甲、乙两厂生产同型号的灯泡,其寿命 X X X Y Y Y分别服从正态分布 N ( μ 1 , σ 1 2 ) , N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_1,\sigma_1^2),\\N(\mu_2, \sigma_2^2) N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),已知它们寿命的标准差分别为84h和96h,现从两厂生产的灯泡中各取60只,测得灯泡的平均寿命甲厂为1295h,乙厂为1230h。在显著水平 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05下,问能否认为两厂生产的灯泡寿命有无显著差别?
    解: 按题意,需对假设
    H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 , H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0, H_1:\mu_1-\mu_2\not=0 H0:μ1μ2=0,H1:μ1μ2=0
    作显著水平为 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05的双侧检验。下列代码完成本例计算。

    import numpy as np								#导入numpy
    xmean=1295										#样本均值
    ymean=1230										#样本均值
    xsigma2=84**2									#总体方差
    ysigma2=96**2									#总体方差
    n1=60											#样本容量
    n2=60											#样本容量
    alpha=0.05										#显著水平
    Z=(xmean-ymean)/np.sqrt(xsigma2/n1+ysigma2/n2)	#检验统计量值
    accept=ztest2(Z, alpha)							#双侧假设Z检验
    print('mu1-mu2=0 is %s.'%accept)
    

    第2~8行按题面设置各项数据,第9行计算检验统计量值 X ‾ − Y ‾ − δ σ 1 2 / n 1 + σ 2 2 / n 2 \frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} σ12/n1+σ22/n2 XYδ为Z(注意,此时 δ = 0 \delta=0 δ=0),第10行调用函数ztest2检验双侧假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0:μ1μ2=0。运行程序,输出

    mu1-mu2=0 is False.
    

    表示拒绝假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0:μ1μ2=0,即两厂生产的灯泡寿命有显著差别。
    例2 全市高三学生进行数学毕业会考,随机抽取10名男生和8名女生的会考成绩如下:
    男生: 65 , 72 , 89 , 56 , 79 , 63 , 92 , 48 , 75 , 81 女生: 78 , 69 , 65 , 61 , 54 , 87 , 51 , 67 \text{男生:}65,72,89,56,79,63,92,48,75,81\\ \text{女生:}78,69,65,61,54,87,51,67 男生:65,72,89,56,79,63,92,48,75,81女生:78,69,65,61,54,87,51,67
    若男生的会考成绩 X X X~ N ( μ 1 , 1 0 2 ) N(\mu_1, 10^2) N(μ1,102),女生的会考成绩 Y Y Y~ N ( μ 2 , 9. 5 2 ) N(\mu_2,9.5^2) N(μ2,9.52),试问男生和女生的平均成绩是否相同( α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05)?
    解: 按题意,需对双侧假设
    H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 , H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0, H_1:\mu_1-\mu_2\not=0 H0:μ1μ2=0,H1:μ1μ2=0
    作Z检验。下列代码完成本例计算。

    import numpy as np#导入numpy
    x=np.array([65, 72, 89, 56, 79, 63, 92, 48, 75, 81])#样本数据
    y=np.array([78, 69, 65, 61, 54, 87, 51, 67])		#样本数据
    xmean=x.mean()										#样本均值
    ymean=y.mean()										#样本均值
    xsigma2=10**2										#总体方差
    ysigma2=9.5**2										#总体方差
    n1=x.size											#样本容量
    n2=y.size											#样本容量
    alpha=0.05											#显著水平
    Z=(xmean-ymean)/np.sqrt(xsigma2/n1+ysigma2/n2)		#检验统计量值
    accept=ztest2(Z, alpha)								#双侧假设Z检验
    print('mu1-mu2=0 is %s.'%accept)
    

    第11行计算检验统计量值 X ‾ − Y ‾ − δ σ 1 2 / n 1 + σ 2 2 / n 2 \frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} σ12/n1+σ22/n2 XYδ为Z(注意,此时 δ = 0 \delta=0 δ=0),第12行调用函数ztest2检验双侧假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0:μ1μ2=0。运行程序,输出

    mu1-mu2=0 is True.
    

    表示接受假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0:μ1μ2=0,即男女生的平均成相同。
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  • 写在前面,最近在看假设检验的相关内容,为加深理解,一时兴起随便写的,欢迎指正。...一个总体均值检验 def mean_test1(x,u,s,n,sig=1,alf=0.05,alternative="tow"): #统计量计算 #样本均值x、期望值u、总体

    写在前面,最近在看假设检验的相关内容,为加深理解,一时兴起随便写的,欢迎指正。

    • python统计函数库scipy.stats分布中常见的函数
      -在这里插入图片描述
    • 主要公式——摘自《统计学(第6版)学习指导书 贾俊平》在这里插入图片描述
    • 导入包
    from scipy import stats as ss
    import numpy as np
    
    • 一个总体均值的检验
    def mean_test1(x,u,s,n,sig=1,alf=0.05,alternative="tow"):
        #统计量计算
        #样本均值x、期望值u、总体方差s、样本量n、总体方差是否已知
        statsM = abs((x-u)/(s/n**(1/2)))
        #是否双侧检验
        if alternative=="tow":
            alf = alf/2
        #临界值计算
        if 0< n < 30 and sig==0:
            a = abs(ss.t.isf(alf,n-1))
            p = ss.t.sf(statsM,n-1)
        elif n<=0:
            print("n的输入有误")
        else:
            a = abs(ss.norm.isf(alf))
            p = ss.norm.sf(statsM)
        #结果
        
        if statsM > a:
            print("统计量的绝对值{} >临界值{},拒绝原假设".format(statsM,a))
        else:
            print("统计量的绝对值{} <临界值{},不能拒绝原假设".format(statsM,a))
        
        print("P值为",p)
    

    统计学(第6版)贾俊平 例题:
    在这里插入图片描述

    mean_test1(960,1000,200,100,alternative="less")
    

    运行结果:
    统计量的绝对值2.0 >临界值1.6448536269514729,拒绝原假设
    P值为 0.022750131948179195

    • 一个总体比例的检验
    def pro_test1(p,u,n,alf=0.05,alternative="tow"):
        #统计量计算
        #样本比例p、期望值u、样本量n
        statsP = abs((p-u)/((u*(1-u)/n)**(1/2)))
        #是否双侧检验
        if alternative=="tow":
            alf = alf/2
        #临界值计算
        a = abs(ss.norm.isf(alf))
        #结果
        
        if statsP > a:
            print("统计量的绝对值{} >临界值{},拒绝原假设".format(statsP,a))
        else:
            print("统计量的绝对值{} <临界值{},不能拒绝原假设".format(statsP,a))
            
        print("P值为",ss.norm.sf(statsP))
    

    统计学(第6版)贾俊平 例题:
    在这里插入图片描述

    pro_test1(0.1425,0.147,400)
    

    运行结果:
    统计量的绝对值0.25416124340864343 <临界值1.9599639845400545,不能拒绝原假设
    P值为 0.39968549545509435

    • 一个总体方差的检验
    def vari_test1(s,u,n,alf=0.05,alternative="greater"):
        #统计量计算
        #样本方差s、期望值u、样本量n
        statsV = (n-1)*s/u
        #左单侧
        if alternative=="less":
            a = ss.chi2.ppf(alf,n-1)
        #右单侧
        elif alternative=="greater":
            a = ss.chi2.isf(alf,n-1)
        #结果
        
        if statsV > a:
            print("统计量{} >临界值{},拒绝原假设".format(statsV,a))
        else:
            print("统计量{} <临界值{},不能拒绝原假设".format(statsV,a))
            
        print("P值为",ss.norm.sf(statsV))
    

    例题:
    在这里插入图片描述

    vari_test1(0.866,1,25)
    

    运行结果:
    统计量20.784 <临界值36.415028501807306,不能拒绝原假设
    P值为 3.0204844445890953e-96

    展开全文
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  • 多元正态分布的均值向量的检验及R实现

    万次阅读 多人点赞 2018-05-05 21:59:35
    ppp维正态总体NP(μ,∑)NP(μ,∑)N_P(\mu,\sum)的均值...1.∑∑\sum已知时单个总体均值向量的检验: 具体步骤: 作统计假设:H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\neq \mu_0 计算样...
  • (注:实际业务中,“总体分布为正态分布”这一论断有待检验检验的方法也有很多种,最简单的方法就是画QQ图或者经验分布函数图初步观察判断,后续可以做W检验等等) 如果X服从于N(μ,σ2)X服从于N(\mu,\sigma^2)X...
  • “通常,总体的方差是无法获知的,此时可以用能计算出的样本的标准差s来代替未知的总体的标准差σ,但此时新的统计量不再服从正态分布,而是服从自由度为n-1的t分布” 解答:
  • 简介检验某个变量的总体均值和指定值是否存在显著性差异,统计的前提是样本的总体服从正态分布。此检验对偏离正态性也是相当稳健的。置信区间正态总体、方差未知、小样本情况下 如果总体服从正态分布,无论样本...
  • 均值的比较检验

    千次阅读 2018-09-04 15:43:38
    通过均值检验,可以推断样本的与总体或者两个总体之间的差异 均值检验问题的提出 在统计分析中常常采用抽样的方法进行研究,即随机的从总体中抽取一定数量的样本进行分析来推断总体的特征。其实我们都知道这样是...
  • # 方法1 lst_1 = pd.Series([28.3,30.1,29,37.6,32.1,28.8,36,37.2,38.5,34.4,28,30]) # 方法2 lst_2 = pd.Series([27.6,22.2,31,33.8,20,30.2,26.5,31.7]) 假定两个总体的方差不相等,试以95%的置信水平建立两种...
  • 统计推断(statistical inference):从总体中随机抽取一个或多个样本,通过样本信息了解总体特征。 由于存在个体差异,样本均数的值往往不太可能恰好等于总体均数,因此通过样本推断总体会有误差。 抽样误差...
  • 统计学 假设检验 总体比例与总体方差的检验 总体比例的检验 使用的数据类型 单个总体的比率检验 大样本 方法总结 案例 分析 希望今年超过去年 总体方差的检验 方法总结 案例 解析
  • 总体参数的假设检验 R

    千次阅读 2020-12-06 17:58:50
    2.1根据一个样本对其总体均值大小进行检验 单尾检验 双尾检验【如果一个单尾检验问题用了双尾检验,p值就比单尾检验时大了一倍】 2.2根据来自两个总体的独立样本对其总体均值检验 w=read.table('drug.txt',header=...
  • 当样本很小时 X ¯ ¯ ¯ \overline{X} 服从T分布 T ~ t(v) 样本的数量为n时,v = n-1 T = ( X ¯ ¯ ¯ \overline{X} - μ)/(s/ n √ \sqrt{n} ) ...其中μ是整体均值,s是样本标准差
  • 正态总体方差的检验

    千次阅读 2020-03-30 17:32:35
    1.单个正态总体方差的卡方检验 python实现: #备择假设sigma2>0.016 from scipy import stats def ka2(n,s2,sigma2): k_value=(n-1)*s2/sigma2 p_value=1-stats.chi2.cdf(k_value,n-1) return p_value ka2...
  • 总体均值检验(大样本情况下,样本均值的抽样分布近似服从正态分布) 大样本,总体方差已知,z检验 大样本,总体方差未知,用样本方差代替总体方差,z检验 小样本,总体为正态分布,总体方差已知,z检验 小...
  • 【更新8】正态分布均值的假设检验

    千次阅读 2021-01-27 23:05:17
    (3)用已知的样本数据带入统计量的公式,得到一个检验值; (4)给定置信水平来得到一个接受域的区间,看检验值是否落在接受域中,或者用检验值和区间的临界值进行比较,来判断是否接受原假设(或者计算该检验值对应...
  • 两个总体参数的检验

    千次阅读 2017-07-03 12:16:00
    两个总体均值之差的检验  1、 , 已知 当两个总体均服从正态分布或虽然两个总体的分布形式未知,但抽自两个总体的样本量均较大,且两个总体的方差 , 已知时,可以证明,由两个独立样本算...
  • 一、t检验的概念 以 t 分布(未知)为基础的一类比较均数的假设检验方法,t 分布的发现使得小样本统计推断成为可能。 二、t 检验的应用条件 随机样本; 来自正态分布总体(小样本时); 两独立样本比较时,要求两...
  • 正态分布均值的假设检验 假设检验的步骤. 本章内容可以看对应pdf,有2个例题不错. 假设检验可以通过 也可以通过p值判断. 例2:
  • 第八章 假设检验 一个总体参数的检验 总体均值检验 (z或t检验) 双侧检验 H0:μ=μ0没有显著差别H1:μ≠μ0有显著差别 H_0: \mu = \mu_0 \qquad 没有显著差别 \\ H_1: \mu \ne \mu_0 \qquad\quad 有显著差别 H0...

空空如也

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总体均值的检验公式