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2020-12-17 18:02:12
/* 俩 正态总体 均值差的检验 in: n1 n2 n1: n2: sigema */ /* x_ -y_ -sigema t= ------------------ Sw sqrt(1/n1+1/n2) (n1-1)Sa_2+(n2-1)Sb_2 Sw= -------------------------- n1+n2-2 */ #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; int main() { int n1, n2; cin >> n1 >> n2; vector<double> v1(n1), v2(n2); for (int i = 0; i < n1; ++i) cin >> v1[i]; for (int i = 0; i < n2; ++i) cin >> v2[i]; double sigema; cin >> sigema; double x_, y_; double pingsumX = 0, pingsumY = 0, sumX = 0, sumY = 0; for (auto x : v1) { sumX += x; pingsumX += x * x; } for (auto x : v2) { sumY += x; pingsumY += x * x; } x_ = (sumX) / n1; y_ = (sumY) / n2; //bug:写成x_了 double Sa_2 = (pingsumX - n1 * x_ * x_) / (n1 - 1); double Sb_2 = (pingsumY - n2 * y_ * y_) / (n2 - 1); double Sw_2 = ((n1 - 1) * Sa_2 + (n2 - 1) * Sb_2) / (n1 + n2 - 2); double Sw = sqrt(Sw_2); double t = (x_ - y_ - sigema) / (Sw * sqrt(1.0 / n1 + 1.0 / n2)); cout << "t=" << t; }
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2020-06-16 18:32:11开篇引例:某健身俱乐部欲根据往年的会员情况,制定2006年的会员发展营销策略。主管经理估计俱乐部会员的平均年龄是35岁,其中25~35岁的会员占总人数的70%。...统计学是通过假设检验的方法来解决上...假设检验
开篇引例:
某健身俱乐部欲根据往年的会员情况,制定2006年的会员发展营销策略。主管经理估计俱乐部会员的平均年龄是35岁,其中25~35岁的会员占总人数的70%。研究人员从2005年
入会的新会员中随机抽取40人,调查得知他们的平均年龄是32岁,其中25~35岁的会员占74%。根据这份调查结果,问主管经理的对会员年龄的估计是否准确?统计学是通过假设检验的方法来解决上述问题的。
假设检验(hypothesis testing)和参数估计(parameter estimation)是统计推断的两个组成部分,它们都是利用样本对总体进行某种推断。
参数估计是用样本统计量估计总体参数的方法,总体参数在估计之前是未知的。
假设检验则是先对的值提出一个假设,然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。假设检验的原理
假设检验(hypothesis testing)也称为显著性检验,是事先作出一个关于总体参数的假设,然后利用样本信息来判断原假设是否合理,即判断样本信息与原假设是否有显著差异,从而决定应接受或否定原假设的统计推断方法。
对总体作出的统计假设进行检验的方法依据是概率论中的“小概率事件实际不可能发生”原理。假设检验的步骤
例题:
某健身俱乐部主管经理估计会员的平均年龄是35岁,研究人员从2005年入会的新会员中随机抽取40人,调查得到他们的年龄数据如下。
试根据调查结果判断主管经理的估计是否准确?1.提出原假设和备择假设
原假设(Null hypothesis)又称零假设,是需要通过样本推断其正确与否的命题,用H0表示。
• 本例中可以提出:H0: m=35;这里m表示总体会员的平均年龄,意味着总体会员的平均年龄与主管经理估计的35岁没有差异。
与原假设对立的假设是备选假设(Alternative hypothesis),用H1表示。
• 在本例中,备选假设意味着“总体会员的平均年龄与主管经理估计的会员平均年龄35岁
有显著差异”,可以表示为H1 : m≠35。
原假设与备选假设互斥,检验结果二者必取其一。原假设
1 陈述需要检验的假设
2 零假设用 H0 表示
3 代表“正常”的情形
4 总是包含等号“=”
5 检验以“假定原假设为真”开始备择假设
1 为原假设的对立情况
2 备择假设用H1表示
3 代表“不能轻易肯定的情况”
4 很少包含等号
2.确定适当的检验统计量
假设检验需要借助样本统计量进行统计推断,称为检验统计量。不同的假设检验问题需要选择不同的检验统计量。
在具体问题中,选择什么统计量,需要考虑的因素有:总体方差已知还是未知,用于进行检验的样本是大样本还是小样本,等等。
3.选取显著性水平,确定接受域和拒绝域
4.计算检验统计量的值
5.作出统计决策
总体均值的假设检验
大样本的情况下总体均值的假设检验
双侧检验的拒绝域
2005年北京市职工平均工资为32808元,标准差为3820元。现在随机抽取200人进行调查,测定2006年样本平均工资为34400元。按照5%的显著性水平判断该市2006年的职工平均工资与2005有无显著差异?
(在本例题中,我们关心的是前后两年职工的平均工资有没有显著的差异,不涉及差异的方向,因此,本题属于双侧检验。检验过程如下:)
(1)提出假设: H0:m=32808;H1:m≠32808;
(2)总体标准差s已知,大样本抽样,故选用Z统计量;
(3)显著性水平a=0.05,由双侧检验,查表可以得出临界值。
判断规则为:若z>1.96或z<-1.96,则拒绝H0;若-1.96≤z≤1.96,则不能拒绝H0。
(4)计算统计量Z 的值
(5)检验判断:由于,落在拒绝域,故拒绝原假设H0。
结论:以5%的显著性水平可以认为该市2006年的职工平均工资比2005年有明显的差异。单侧检验的拒绝域
已知某电子产品的使用寿命服从正态分布,根据历史数据,其平均使用寿命为8000小时,标准差为370小时。现采用新的机器设备进行生产,随机抽取了100个产品进行检测,得到样本均值为7910小时。试问在5%的显著性水平下,新的机器是否合格?
(这是一个左单侧检验问题。抽样的目的是为了检测新机器生产的产品的使用寿命是否达到标准,我们比较关心的是使用寿命的下限,如果新产品的使用寿命与过去相比没有明显降低,则说明所使用的新机器合格;反之,则说明新机器不合格。检验过程如下:)
某乳制品厂生产的一种盒装鲜奶的标准重量是495克。为了检测产品合格率,随机抽取100盒鲜奶,测得产品的平均重量为494克,标准差为6克,试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。
小样本的情况下总体均值的假设检验
沿用上例,对鲜奶产品进行抽样检查,随机抽取10盒产品,测得每盒重量数据如下(单位:克):496、499、481、499、489、492、491、495、494、502。试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。
总体比例的假设检验(单一)
主管经理估计25-35岁的会员占总人数的70%,随机抽取40人,调查得知其中25-35岁的会员占74%。试以5%的显著性水平判断主管经理的估计是否准确?
总体方差的假设检验(单一)
某乳制品厂的一种盒装鲜奶产品的标准重量是495克,现改进生产工艺,要求每盒的误差上下不超过3克。从新生产出的产品中随机抽取15盒进行检查,测得产品的重量误差如下(克)。
试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。
两个总体均值差的假设检验
公式汇总
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概率统计Python计算:双正态总体已知总体方差总体均值差双侧假设的Z检验
2021-06-01 20:27:50设XXX和YYY相互独立且XXX~N(μ1,σ12)N(\mu_1,\...来自XXX和YYY的容量分别为n1n_1n1和n2n_2n2的样本均值为X‾\overline{X}X,Y‾\overline{Y}Y。对显著水平α\alphaα,检验双侧假设H0:μ1−μ2=δH_0:\mu_1-\mu设 X X X和 Y Y Y相互独立且 X X X~ N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1,\sigma_1^2) N(μ1,σ12), Y Y Y~ N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2,\sigma_2^2) N(μ2,σ22),其中 σ 1 2 \sigma_1^2 σ12和 σ 2 2 \sigma_2^2 σ22是已知的。来自 X X X和 Y Y Y的容量分别为 n 1 n_1 n1和 n 2 n_2 n2的样本均值为 X ‾ \overline{X} X, Y ‾ \overline{Y} Y。对显著水平 α \alpha α,检验双侧假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = δ , H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ δ H_0:\mu_1-\mu_2=\delta,H_1:\mu_1-\mu_2\not=\delta H0:μ1−μ2=δ,H1:μ1−μ2=δ。由于检验统计量 X ‾ − Y ‾ − δ σ 1 2 / n 1 + σ 2 2 / n 2 \frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} σ12/n1+σ22/n2X−Y−δ~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),与利用ztestL或ztestR计算已知总体方差计算两总体均值差单侧假设的Z检验相仿,我们可以用函数ztest2计算双侧假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = δ H_0:\mu_1-\mu_2=\delta H0:μ1−μ2=δ的检验。
例1设甲、乙两厂生产同型号的灯泡,其寿命 X X X, Y Y Y分别服从正态分布 N ( μ 1 , σ 1 2 ) , N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_1,\sigma_1^2),\\N(\mu_2, \sigma_2^2) N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),已知它们寿命的标准差分别为84h和96h,现从两厂生产的灯泡中各取60只,测得灯泡的平均寿命甲厂为1295h,乙厂为1230h。在显著水平 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05下,问能否认为两厂生产的灯泡寿命有无显著差别?
解: 按题意,需对假设
H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 , H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0, H_1:\mu_1-\mu_2\not=0 H0:μ1−μ2=0,H1:μ1−μ2=0
作显著水平为 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05的双侧检验。下列代码完成本例计算。import numpy as np #导入numpy xmean=1295 #样本均值 ymean=1230 #样本均值 xsigma2=84**2 #总体方差 ysigma2=96**2 #总体方差 n1=60 #样本容量 n2=60 #样本容量 alpha=0.05 #显著水平 Z=(xmean-ymean)/np.sqrt(xsigma2/n1+ysigma2/n2) #检验统计量值 accept=ztest2(Z, alpha) #双侧假设Z检验 print('mu1-mu2=0 is %s.'%accept)
第2~8行按题面设置各项数据,第9行计算检验统计量值 X ‾ − Y ‾ − δ σ 1 2 / n 1 + σ 2 2 / n 2 \frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} σ12/n1+σ22/n2X−Y−δ为Z(注意,此时 δ = 0 \delta=0 δ=0),第10行调用函数ztest2检验双侧假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0:μ1−μ2=0。运行程序,输出
mu1-mu2=0 is False.
表示拒绝假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0:μ1−μ2=0,即两厂生产的灯泡寿命有显著差别。
例2 全市高三学生进行数学毕业会考,随机抽取10名男生和8名女生的会考成绩如下:
男生: 65 , 72 , 89 , 56 , 79 , 63 , 92 , 48 , 75 , 81 女生: 78 , 69 , 65 , 61 , 54 , 87 , 51 , 67 \text{男生:}65,72,89,56,79,63,92,48,75,81\\ \text{女生:}78,69,65,61,54,87,51,67 男生:65,72,89,56,79,63,92,48,75,81女生:78,69,65,61,54,87,51,67
若男生的会考成绩 X X X~ N ( μ 1 , 1 0 2 ) N(\mu_1, 10^2) N(μ1,102),女生的会考成绩 Y Y Y~ N ( μ 2 , 9. 5 2 ) N(\mu_2,9.5^2) N(μ2,9.52),试问男生和女生的平均成绩是否相同( α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05)?
解: 按题意,需对双侧假设
H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 , H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0, H_1:\mu_1-\mu_2\not=0 H0:μ1−μ2=0,H1:μ1−μ2=0
作Z检验。下列代码完成本例计算。import numpy as np#导入numpy x=np.array([65, 72, 89, 56, 79, 63, 92, 48, 75, 81])#样本数据 y=np.array([78, 69, 65, 61, 54, 87, 51, 67]) #样本数据 xmean=x.mean() #样本均值 ymean=y.mean() #样本均值 xsigma2=10**2 #总体方差 ysigma2=9.5**2 #总体方差 n1=x.size #样本容量 n2=y.size #样本容量 alpha=0.05 #显著水平 Z=(xmean-ymean)/np.sqrt(xsigma2/n1+ysigma2/n2) #检验统计量值 accept=ztest2(Z, alpha) #双侧假设Z检验 print('mu1-mu2=0 is %s.'%accept)
第11行计算检验统计量值 X ‾ − Y ‾ − δ σ 1 2 / n 1 + σ 2 2 / n 2 \frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} σ12/n1+σ22/n2X−Y−δ为Z(注意,此时 δ = 0 \delta=0 δ=0),第12行调用函数ztest2检验双侧假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0:μ1−μ2=0。运行程序,输出
mu1-mu2=0 is True.
表示接受假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0:μ1−μ2=0,即男女生的平均成相同。
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Python实现一个总体的均值、比例、方差检验
2022-03-09 15:08:41写在前面,最近在看假设检验的相关内容,为加深理解,一时兴起随便写的,欢迎指正。...一个总体均值的检验 def mean_test1(x,u,s,n,sig=1,alf=0.05,alternative="tow"): #统计量计算 #样本均值x、期望值u、总体写在前面,最近在看假设检验的相关内容,为加深理解,一时兴起随便写的,欢迎指正。
- python统计函数库scipy.stats分布中常见的函数
- - 主要公式——摘自《统计学(第6版)学习指导书 贾俊平》
- 导入包
from scipy import stats as ss import numpy as np
- 一个总体均值的检验
def mean_test1(x,u,s,n,sig=1,alf=0.05,alternative="tow"): #统计量计算 #样本均值x、期望值u、总体方差s、样本量n、总体方差是否已知 statsM = abs((x-u)/(s/n**(1/2))) #是否双侧检验 if alternative=="tow": alf = alf/2 #临界值计算 if 0< n < 30 and sig==0: a = abs(ss.t.isf(alf,n-1)) p = ss.t.sf(statsM,n-1) elif n<=0: print("n的输入有误") else: a = abs(ss.norm.isf(alf)) p = ss.norm.sf(statsM) #结果 if statsM > a: print("统计量的绝对值{} >临界值{},拒绝原假设".format(statsM,a)) else: print("统计量的绝对值{} <临界值{},不能拒绝原假设".format(statsM,a)) print("P值为",p)
统计学(第6版)贾俊平 例题:
mean_test1(960,1000,200,100,alternative="less")
运行结果:
统计量的绝对值2.0 >临界值1.6448536269514729,拒绝原假设
P值为 0.022750131948179195- 一个总体比例的检验
def pro_test1(p,u,n,alf=0.05,alternative="tow"): #统计量计算 #样本比例p、期望值u、样本量n statsP = abs((p-u)/((u*(1-u)/n)**(1/2))) #是否双侧检验 if alternative=="tow": alf = alf/2 #临界值计算 a = abs(ss.norm.isf(alf)) #结果 if statsP > a: print("统计量的绝对值{} >临界值{},拒绝原假设".format(statsP,a)) else: print("统计量的绝对值{} <临界值{},不能拒绝原假设".format(statsP,a)) print("P值为",ss.norm.sf(statsP))
统计学(第6版)贾俊平 例题:
pro_test1(0.1425,0.147,400)
运行结果:
统计量的绝对值0.25416124340864343 <临界值1.9599639845400545,不能拒绝原假设
P值为 0.39968549545509435- 一个总体方差的检验
def vari_test1(s,u,n,alf=0.05,alternative="greater"): #统计量计算 #样本方差s、期望值u、样本量n statsV = (n-1)*s/u #左单侧 if alternative=="less": a = ss.chi2.ppf(alf,n-1) #右单侧 elif alternative=="greater": a = ss.chi2.isf(alf,n-1) #结果 if statsV > a: print("统计量{} >临界值{},拒绝原假设".format(statsV,a)) else: print("统计量{} <临界值{},不能拒绝原假设".format(statsV,a)) print("P值为",ss.norm.sf(statsV))
例题:
vari_test1(0.866,1,25)
运行结果:
统计量20.784 <临界值36.415028501807306,不能拒绝原假设
P值为 3.0204844445890953e-96 - python统计函数库scipy.stats分布中常见的函数
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2021-01-27 23:05:17(3)用已知的样本数据带入统计量的公式,得到一个检验值; (4)给定置信水平来得到一个接受域的区间,看检验值是否落在接受域中,或者用检验值和区间的临界值进行比较,来判断是否接受原假设(或者计算该检验值对应... -
两个总体参数的检验
2017-07-03 12:16:00两个总体均值之差的检验 1、 , 已知 当两个总体均服从正态分布或虽然两个总体的分布形式未知,但抽自两个总体的样本量均较大,且两个总体的方差 , 已知时,可以证明,由两个独立样本算... -
统计推断——假设检验——t 检验(总体的标准差未知)
2019-12-29 22:47:09一、t检验的概念 以 t 分布(未知)为基础的一类比较均数的假设检验方法,t 分布的发现使得小样本统计推断成为可能。 二、t 检验的应用条件 随机样本; 来自正态分布总体(小样本时); 两独立样本比较时,要求两... -
数学建模--正态分布均值的假设检验
2020-07-08 15:37:38正态分布均值的假设检验 假设检验的步骤. 本章内容可以看对应pdf,有2个例题不错. 假设检验可以通过 也可以通过p值判断. 例2: -
【统计学笔记】各种假设检验的假设的建立和各统计量公式总结
2020-12-30 18:57:36第八章 假设检验 一个总体参数的检验 总体均值的检验 (z或t检验) 双侧检验 H0:μ=μ0没有显著差别H1:μ≠μ0有显著差别 H_0: \mu = \mu_0 \qquad 没有显著差别 \\ H_1: \mu \ne \mu_0 \qquad\quad 有显著差别 H0...