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  • 单正态总体参数的置信区间估计一种有两类:总体均值μ的区间估计、总体方差^2的区间估计;其中,总体均值μ的区间估计又可分为两种:方差^2已知时的均值的区间估计和方差^2未知时的均值的区间估计。(1)方差^2已知是...

    单正态总体参数的置信区间估计一种有两类:总体均值μ的区间估计、总体方差

    math?formula=%5Csigma%20^2的区间估计;其中,总体均值μ的区间估计又可分为两种:方差

    math?formula=%5Csigma%20^2已知时的均值的区间估计和方差

    math?formula=%5Csigma%20^2未知时的均值的区间估计。

    (1)方差

    math?formula=%5Csigma%20^2已知是的均值的区间估计

    在R中没有现成的求已知方差时均值的区间估计的函数,因此我们这里首先就是要用R编程一个函数由来求已知方差时的均值的区间估计;我们将这个函数定义为:z.test

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    我们从中抽取求置信区间的部分,因此可以达到求置信区间的函数:

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    举例:

    假设一个人称自己的体重10次,得到的数据如下:

    175 ,176 ,173,175,174,173,173,176,173,179

    我们想估算一下他的体重到底是多少,假设他的体重服从正态分布;其中,标准差为1.5,我们求置信度为95%的置信区间的水平。

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    通过R语言的求解,可以看到在95%的置信水平下的置信区间为(173.8     175.6),其中用z.test不但可以得到置信区间而且还可以得到其它的运算结果;而用单独的置信区间函数conf.int()只可以得到置信区间。

    (2)方差未知是的均值的区间估计

    对于方差未知的情况下,我们求区间估计可以直接用R语言中的t.test()函数来进行求其置信区间即可。

    举例:如上例,数据如下

    175 ,176 ,173,175,174,173,173,176,173,179

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    (3)方差的区间估计

    对于方差的区间估计,在R中也没有专门求方差的区间估计的函数;因此,我们要用R编写一个求方差的区间估计的函数;我们将函数chisq.var.test( )定义为求区间估计的函数;

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  • 一、置信区间与置信水平在做实验时,即使实验条件再准确,也无法避免随机干扰的影响,所以误差永远存在,无可避免。做科学实验时要测量多次,采取取平均值的方法。在科学实验的测量结果上,总是会加上一个测量范围。...

    一、置信区间与置信水平

    在做实验时,即使实验条件再准确,也无法避免随机干扰的影响,所以误差永远存在,无可避免。做科学实验时要测量多次,采取取平均值的方法。在科学实验的测量结果上,总是会加上一个测量范围。

    统计学核心思想:用样本信息来估计总体信息

    之前我们用样本给出一个精确值来估计总体,这个点估计值是有价值的,但可能存在误差,因为有估计就会有误差,误差不可避免但是可以减少。

    点(精确值)误差 > 区间(范围)误差

    点估计

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    图中横轴是不同样本的平均值从小到大,红色虚线表示要求的总体平均值,假设将抽样的过程重复5次,那么就有了5个样本,可以算出5个样本平均值的点估计,也就是蓝色的点代表总体样本。

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    如果图中有许多蓝色的点,每一个蓝色的点都是对总体平均值的一次点估计,这么多点估计,我们是分辨不出那个点估计更好的,也就是说,我们无法知道估计的准确程度是多少,反过来说,我们是不知道误差范围的,为了解决点估计存在的问题,需要运用区间估计。

    假如想要知道全国男性的平均身高,这只能通过抽样的方法,用样本信息估计出总体信息,从全国成年男性中随机抽取一个样本,这个样本的平均值就是对总体平均值的一次点估计,当有多个样本时具有多个点估计,由于无法判别那个点估计对总体估计的误差范围更小,所以要用区间估计来解决这个问题。

    比如说,全国成年男性的平均身高在165cm~175cm这个区间[165, 175],那么这个区间就叫做置信区间。

    置信区间是统计中一种区间估计的方法。用[a , b]表示样本估计总体平均值误差范围的区间,由于a和b的确切数值取决于我们希望自己对于这个区间包含总体平均值这一结果具有的可信程度,因此这个区间叫做置信区间。

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    有五个样本,样本的总体平均值是上图中的蓝色点,对样本的总体平均值使用某种方法,构造一个置信区间,则5个样本的平均值就有五个置信区间,也就是图中黄色和红色的横线,哪一根横线更好呢,我们任然不知道,但是和点估计相比,因为这次是按照95%的置信水平构造出的区间估计,那么我们可以相信,图中除了红色那根线,没有包含总体平均值之外,其他线都包含了总体平均值。这个结论的相信程度有多大呢?也就是说,如果有100个样本,可以构造出100个这样的区间,其中大约有95个区间会包含总体平均值。这也解释了什么是置信水平。

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    置信水平是指包含总体平均值的概率是多大,例如:95%的置信水平表示,如果有100个样本,可以构造出100个这样的区间,有95%的可能性包含总体平均值。所以说,如果只做一次抽样,那么这个样本包含总体平均值的概率也是95%。

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    二、大样本计算置信区间的四个步骤

    1. 确定要求解的问题

    用样本信息估计总体信息

    2. 求样本的平均值和标准误差

    当样本大小大于30时抽样分布符合中心极限定理,也就是抽样分布是正态分布的

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    总体标准差不知道,但可以用样本标准差来估计总体标准差,标准误差其实也是标准差,只不过标准误差的计算对象是所有的“样本平均值”,标准误差是用来衡量所有的“样本平均值”的波动大小

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    3. 确定置信水平

    置信水平取多大,完全取决于具体情况,以及对区间中包含总体平均值这一说法有多大信心。

    置信水平越高,区间越宽,置信区间包含总体平均值的概率也就越大。常用的置信水平为95%。

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    根据中心极限定理,不管总体服从什么分布,任意一个样本的平均值都会围绕在总体平均值周围呈现正态分布,所以图中中间位置的红色竖线就是总体平均值,根据正态分布的经验法则,有95%的样本平均值会落在两个标准误差之内。

    4. 求置信区间上下限的值

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    上图中上下限ba是根据总体平均值对称分布的,可以根据求a从而来求b,上图的距离平均值的几个标准误差就是几个标准分,只要求出a对应的标准分是多少就可以了,用z来表示标准分,那么如何求z的值呢?

    下图是求z的值的方法

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    根据中心极限定理,样本平均值约等于总体平均值。根据上图就可以求出ab了

    置信区间公式中的z是指其绝对值|z| ,公式修正如下:

    a=总体平均值- |z|* 标准误差

    b=总体平均值+ |z|* 标准误差

    大样本计算置信区间的总结

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    置信区间公式中的z是指其绝对值|z| ,公式修正如下:

    a=总体平均值- |z|* 标准误差

    b=总体平均值+ |z|* 标准误差

    三、小样本计算置信区间的四个步骤

    当样本大小小于30时,抽样分布符合t分布,t分布很像正态分布,曲线较为扁平,有两条突出的尾巴

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    上图中的n指的是样本大小,df指的是自由度

    小样本的置信区间与大样本的置信区间只有一点不同,也就是第三步所查询的表格不同

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    置信区间公式中的t是指其绝对值|t| ,公式修正如下:

    a=总体平均值- |t|* 标准误差

    b=总体平均值+ |t|* 标准误差

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    自由度是指,可选的样本大小中,减去最后一次没有选择可选的只剩下1个样本的数量多少。

    如:有四种水果,每天选择吃完一种,到第四天时,只有唯一的一种水果可吃了,此时没有其他选择了,这时自由度为3。

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  • 首先从以下四个方面来阐述并求解出实际问题中所要求的置信区间。一、概率思维实际生活的任意问题都不可能...二、置信区间点估计量:由样本数据得出,是对总体参数的估计。我们通过选取的样本对总体的平均值进行估计...

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    首先从以下四个方面来阐述并求解出实际问题中所要求的置信区间。

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    一、概率思维

    实际生活的任意问题都不可能说误差不存在,因为面对一件事情,或者问题时,有时候并不能穷尽所有数据,一般都是通过抽样,对样本进行统计计算对总体进行估计。概率思维,即面对现实生活中的问题时,针对不同概率问题能立马联想到相应的概率知识点。

    二、置信区间

    点估计量:由样本数据得出,是对总体参数的估计。我们通过选取的样本对总体的平均值进行估计,点估计的计算过程是得到一个精确的值,但是当选取的样本不同所得到相同参数的点估计值不同,如果想要知道所求出的只能在多大范围上评估问题准确性,这时候需要对所需估计总体平均值给出一个估计区间范围,即下面所要介绍的置信区间。

    置信区间:估计总体统计量的方法,但是置信区间考虑了问题的不确定性,它表达的是一个误差范围,是对总体统计量给出一个区间估计,即统计学中的置信区间。

    置信水平:置信水平表示希望对置信区间包含总体统计量这一说法有多大把握。例如,我们希望总体平均值的置信水平为95%,这表示总体均值处于置信区间中的概率为0.95。

    置信区间的求解步骤:

    1、根据要解决的实际问题选取要为之构建置信区间的统计量

    2、求出所选统计量的抽样分布。

    比如,要求出总体均值的抽样分布,我们需要知道均值

    的期望和方差,对于置信区间的简单求解,我们只需知道样本均值和标准误差。,所以第二步可以简化为求解
    样本均值标准误差。

    这里对标准差和标准误差进行一个解释:

    标注差(standard deviation):是计算数据偏离其均值的波动程度;

    标准误差(standard error):其实质也是标准差,但是又有差别,它是用来衡量我们用样本统计量去估计相应总体参数时的一种估计精度。样本统计量本身就是随机变量,每一次抽样,因为样本之间有差异性所以计算出一个不同的样本统计量值。理论上来讲,从既定的总体中按照既定的样本规模n,穷尽所有可能抽出的样本(不妨假设为NN),根据这些样本可以计算出NN个样本统计量值,把这些统计量值分组绘成直方图(X轴为分组的统计量数值,Y轴为落在某一分组区间内的频率),则这个直方图就反应了样本统计量的分布情况(即抽样分布)。既然是分布,当然就有均值和方差。如果所有可能的样本统计量值的平均值就是总体均值,这就是无偏估计。如果所有可能的样本统计量值的方差在所有用于估计总体参数的统计量里最小,这就是有效估计。因此,抽样分布的标准差(也就是标准误差)越小,则用样本统计量去估计总体参数时,精度就越高。standard error反映的是用样本统计量去估计总体参数的时候,可能发生的平均“差错”。

    例如:如果总体平均值是160,抽样误差是5,就是说用抽得的样本平均数去推断总体平均数时,平均差错可能在5左右;如果抽样误差是3,精度当然就比5要高啦。不同的总体、不同的样本规模,这个精度当然是不同的。如果总体的变异本身很小(也就是总体标准差小),样本规模越大,这种情况下精度当然就高啦。另外,根据大数定律,当样本规模大到一定程度的时候,不管总体是什么分布,样本平均数都会近似服从正态分布,这就为计算抽样误差(标准误差)提供了理论依据。

    标准误差的求解方法:

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    3、决定置信水平

    置信水平的选取:关键在于让区间尽可能窄,但又要足够宽。

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    4、求出置信区间的上下限

    我们可以利用简化的方法,知道总体统计量服从什么分布,然后知道相应条件,代入公式即可求出:

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    对上面置信区间的翻译就是:置信区间上限=样本平均值-c乘以标准误差,

    置信区间下限=样本平均值+C乘以标准误差

    C的取值:

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    总结如下:

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    注:z和C表示相同意义。

    以上都是针对样本数量较大(>30)是求解执行区间的做法,当样本数量比较小的时候,样本均值是符合t分布。

    t分布是由自由度来定义的,他只有一个参数,df=n-1,df为自由度,n为样本大小

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    当样本平均值抽样分布符合t分布时,求解置信区间的步骤和抽样分布符合正态分布大方法相同,只是第3步求解求解误差范围时略有不同。

    t分布的标准分的算是如下:

    其中:

    是总体均值,
    的标准差,也即为均值标准误差。

    当求解小样本计算置信区间时,计算步骤也分为四步

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    t值求解:利用t分布概率表

    通过t分布概率表求解

    的概率,先从t表格中的第一列找到所对应的自由度df,在查找第一行的P值,两者重合的地方就是所要找的T的值

    如下,当样本大小为8时,则自由度为7

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    这样就找到了t分布下的T值,从而可以确定置信区间

    自由度:自由度是指在不影响给定限制条件的情况下,可以自由变换信息的数量。
    可以将自由度看做估算其他信息时可有的独立信息数量。

    总结:

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  • 置信区间在概率统计中“误差”是一个非常重要的概念,如何理解误差呢?其实误差就是我们在进行统计测量活动中哪些偶然因素干扰从而造成测量的数据并不是真实精确的数据,往往会存在或多或少的偏差,这种偏离真实值的...

    置信区间

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    在概率统计中“误差”是一个非常重要的概念,如何理解误差呢?其实误差就是我们在进行统计测量活动中哪些偶然因素干扰从而造成测量的数据并不是真实精确的数据,往往会存在或多或少的偏差,这种偏离真实值的数值就称为误差。所以误差范围通常也是我们需要仔细去研究理解的。其实误差范围在统计概率中可以称之为置信区间。

    P1

    误差思维&置信区间

    下面让我们进一步来理解置信区间,首先我们先看一什么是点估计。首先从总体中选取一个样本(一个样本中包含多个数据),然后计算该样本的平均值,并将平均值作为一个点画在坐标平面上,这样的一个点就称为点估计。

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    当样本数量为5时候,如下图所示:

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    我们看到图中有很多蓝色的点,每一个蓝色点就是对总体平均值的点估计,点估计看着分布有点乱,我们是不知道哪个点估计是可以真实反映出总体的平均值的。所以误差范围也不知道。为了解决点估计中存在这个问题,我们引入区间估计这个概念来获取总体平均值,这里区间估计就称为置信区间。下面图片是采用95%置信水平来构造这个区间估计如下:

    现在五个样本平均值采用某种方法构造置信区间,五个置信区间就是带点和线的东西。

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    我们可以从上图看到,红色那个线是没有接触到总体平均值的,其他黄色的都接触到了总体平均值了。那么假如我们构造了100个置信区间,其中大约95个区间会接触到总体平均值,也就是包含了整体平均值,置信水平就是置信区间包含整体平均值的概率是多大,95%的置信水平在构造区间内,有95%的可能性你会相信会选到一个包含整体平均值。

    P2

    大小样本置信区间的计算

    大样本

    一般来说,当n>=30,属于大样本,符合正态分布:使用 z统计量 (z-statistic)来计算;置信区间=样本平均值+- z*标准误差;其中标准误差:SE计算方法。

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    计算置信区间:

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    小样本

    样本量n<30,属于小样本,属于t分布:使用t 统计量 (t-statistic);自由度:df=n-1 在不影响给定限制的条件下,可以自由变化大信息数量。或者说是在估算其他信息时,拥有独立信息的数量。t分布分为单侧和双侧。

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    根据自由度与单双侧,查找t值;

    计算置信区间:

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    P3

    总结

    误差思维:只有用估计就会有误差

    置信区间:Confidence Level 衡量误差范围

    置信水平:Confidence Interval

    区间包含总 体平均值的概率

    大样本如何计算置信水平:正态分布 z统计量

    小样本如何计算置信水平:t分布 t统计量

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    文稿|王玥欢

    排版|王玥欢

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  • 置信区间

    千次阅读 2018-11-06 17:22:44
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空空如也

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总体均值置信区间