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2020-11-23 11:10:49
设总体 X X X ~ N ( μ , σ 2 ) N(μ, σ^2) N(μ,σ2), X 1 , X 2 , … … , X n X_1,X_2,……,X_n X1,X2,……,Xn是来自总体的样本,样本均值为 X ‾ \overline{X} X,其中 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i X=n1∑i=1nXi则:
E [ ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ] = E ( ∑ i = 1 n X i 2 − n X ‾ 2 ) = ( n − 1 ) σ 2 E \left[ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \right]=E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\overline{X}^2)=(n-1)σ^2 E[i=1∑n(Xi−X)2]=E(i=1∑nXi2−nX2)=(n−1)σ2
证明:
E [ ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ] E \left[ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \right] E[∑i=1n(Xi−X)2]= E [ ∑ i = 1 n ( X i 2 − 2 X i X ‾ + X ‾ 2 ) ] =E \left[ \sum_{i=1}^{n}(X_i^2-2X_i\overline{X}+\overline{X}^2) \right] =E[∑i=1n(Xi2−2XiX+X2)]
= E [ ∑ i = 1 n X i 2 − 2 X ‾ ∑ i = 1 n X i + ∑ i = 1 n X ‾ 2 ] =E \left[ \sum_{i=1}^{n}X_i^2-2\overline{X} \sum_{i=1}^nX_i+ \sum_{i=1}^n\overline{X}^2 \right] =E[∑i=1nXi2−2X∑i=1nXi+∑i=1nX2]
∵ X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i , X \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,X X=n1∑i=1nXi,X ~ N ( μ , σ 2 ) N(μ,σ^2) N(μ,σ2)
∴ ∑ i = 1 n X i = n X ‾ , X i \sum_{i=1}^nX_i=n\overline{X},X_i ∑i=1nXi=nX,Xi ~ N ( μ , σ 2 ) , i = 1 、 2 、 . . . 、 n N(μ,σ^2),i=1、2、...、n N(μ,σ2),i=1、2、...、n
∴ E X i = μ , D X i = σ 2 , E X ‾ = 1 n E ∑ i = 1 n X i = μ , D X ‾ = 1 n 2 D ∑ i = 1 n X i = σ 2 n EX_i=μ,DX_i=σ^2, E\overline{X}=\frac{1}{n}E\sum_{i=1}^{n}X_i=μ,D\overline{X}=\frac{1}{n^2}D\sum_{i=1}^{n}X_i=\frac{σ^2}{n} EXi=μ,DXi=σ2,EX=n1E∑i=1nXi=μ,DX=n21D∑i=1nXi=nσ2
∴上式 = E ( ∑ i = 1 n X i 2 − 2 n X ‾ 2 + n X ‾ 2 ) =E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2) =E(∑i=1nXi2−2nX2+nX2)= E ( ∑ i = 1 n X i 2 − n X ‾ 2 ) =E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\overline{X}^2) =E(∑i=1nXi2−nX2)
= ∑ i = 1 n E X i 2 − n E X ‾ 2 =\sum_{i=1}^{n}EX_i^2-nE\overline{X}^2 =∑i=1nEXi2−nEX2
= ∑ i = 1 n ( D X i + E 2 X i ) − n ( D X ‾ + E 2 X ‾ ) =\sum_{i=1}^{n}(DX_i+E^2X_i)-n(D\overline{X}+E^2\overline{X}) =∑i=1n(DXi+E2Xi)−n(DX+E2X)
= n ( σ + μ 2 ) − n ( σ 2 n + μ 2 ) =n(σ+μ^2)-n(\frac{σ^2}{n}+μ^2) =n(σ+μ2)−n(nσ2+μ2)
= ( n − 1 ) σ 2 =(n-1)σ^2 =(n−1)σ2
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一、总体和样本
比如要计算全国男性的平均身高,但是全部调查是不现实的,所有要采取抽样调查,随机抽取一部分男性的身高,全国男性身高就是总体,被抽取的部分男性就是样本。
由于我们要计算全国男性的平均身高,所以就要计算均值,根据样本均值去推断总体均值,总体均值:μ,样本均值x拔,均值的计算方法都是一样的,用所有数据加起来的值/数据个数
二、集中趋势分析
2.1 均值
2.1.1 样本均值
:x拔=
(∑是求和,i=1的意思是从1开始,n的意思是一直加到n:X₁+X₂+……Xn)
2.1.2 总体均值
:μ=
2.2 众数,中位数
但是如果想知道数据离均值的远近程度,就要用到离散趋势分析
三、离散趋势分析
3.1 总体方差
例:
一组数据:2,2,3,3,总体均值为2.5
另一组数据:0,0,5,5,均值为2.5
但是第一组数据明显更集中于均值,而另一组相对分散,离均值较远
所以衡量方式就是方差
这个公式意义就是用每一个数据减去总体均值去计算差值(数据到均值的距离),平方的作用在于让差值为正,再除以数据个数 。
通过计算得出,第一组数据的方差时0.25,第二组数据的方差是6.25
3.2 样本方差
通常来说,当总体均值离样本均值距离比较小(值接近)时,可以用样本方差去估计总体方差,但是当数据的总体均值和样本均值差距较大,得到的结果就会有很大的偏差,就不能用样本均值去估计总体均值。
所以这时使用公式(这才是样本方差公式)(无偏样本方差)
3.3 标准差
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单总体均值的估计
1.综述
总体均值的估计分为以下两种情况
- 总体方差已知的情况
- 总体方差未知的情况
首先对但总体均值的方差估计做一个简单的概括,各个情况已在下表中列出
后文将详细介绍各个情况下的方法
并且介绍样本容量的估计方法2.参数估计
首先了解一下两种参数估计的方法
- 点估计
- 区间估计
2.1点估计
2.1.1点估计的方法
- 矩估计法
- 最大似然法
- 顺序统计量法
- 最小二乘法
2.1.2缺点
没有给出估计值接近总体参数程度的信息
2.2区间估计
为了解决点估计的缺点,我们得出了区间估计的概念如下:
下面便来介绍总体均值的估计,也就是总体均值的区间估计3.总体均值的估计
3.1总体均值的区间估计:方差已知
3.1.1前提条件
3.1.2统计量
3.1.3置信区间
3.1.4案例
3.1.5已知结论
3.1.6解答
如果题目未加说明,则a = 0.05
3.2总体均值的区间估计:方差未知
3.2.1方差未知,大样本
可以用样本的S近似替代总体的标准差
假定条件
总体方差
置信区间
案例
解答
3.2方差未知,小样本
使用t分布
假定条件
t分布统计量
假设总体服从正态分布
置信区间
案例
解答
3.3 样本容量的估计
在上述介绍的几种方法中,公式的计算建立在已知样本容量的前提下
但是因为容量越大,成本也越大,所以我们需要进行一个折中,这就是为什么需要样本容量估计在方差已知的情况下,我们知道置信区间的计算方法如下
我们自行假设置信区间的半径最大值是E,那么就可以推导出n的取值范围
在实际当中,总体方差可能是未知的,所以可以采取如下方法来估计总体的方差,进而计算出n的取值
n与各个参数的关系
实际案例
解答
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