本博文源于《商务统计》，旨在研究两个独立样本情况下两个总体均值之差的区间估计。
实验起源及引例
很多传言说，男生的数学成绩要比女生的数学成绩要好，如果要用数学的理论如何做阐述呢？

我们假定：男生是一个总体，女生是一个总体。要观测的是他/她们的数学成绩.

如果假定：他们之间数学成绩存在差异，那么差异到底是多少呢？我们两个总体的均值之差刻画他们的差异。如果男生或者女生这个总体太大，也就是人数过多，我们往往抽取一部分人去测试然后推断，这就是样本
实验类型分类


第一类：总体方差已知


第二类：总体方差未知

假定方差相等
假定方差不等



类别1：总体方差已知
总体方差已知，我们可以直接套用统计学里的公式，



类似于点估计中区间估计一样，



Z在统计学中就是一个一般统计量，

X把：样本1均值
Y把：样本2均值
σ1^2：总体1的方差
σ2^2：总体2的方差
n1：样本1的容量
n2：杨奔2的容量

类别2：总体方差未知
总体方差未知，但方差相等


t(α/2)是一个t统计量
Sp是一个样本方差的算术平均值
X把和Y把:样本1，2的均值
n1,n2:样本的容量

为了方便我们用一个例子学会套用一下
例子：工人组装产品


通过题目中会发现，题目已经告诉你方差相等，因此只需要根据公式进行带入，确定各个参数，我们便可计算出真正答案！
题目解决

算出样本1的样本均值与方差
算出样本2的样本均值与方差
计算两样本方差的算术平均值
套用公式，完美收官





害怕大家水印看不到具体，第一个水印遮住是n1+n2-2，第二个水印遮住的是两个12

总体方差未知，但方差不等
不等的情况下，t的自由度要经过计算确定，这也是有公式的。


例子：工人组装产品，方差不相等


在解决题目的时候会发现，一切步骤跟方差未知的情况下一样，只不过就是在于求自由度上遇到了难点。

求出样本1，2的均值与方差
根据公式求出t的自由度
带入公式计算，收获喜悦


总结
在学习计算题目的时候，会发现两类，一种是总体方差已经知道的情况下进行计算，另一种总体方差未知的情况下进行计算，实验中往往总体方差未知，总体方差未知的时候，我们可以先运用两个总体方差之间的是否具有差异的F检验，如果两个方差相等那么我们可以运用博文中的S统计量继续计算，如果检验后不等那么就使用t自由度来计算。一句话概括：两个总体方差未知时，先两个总体方差检验，然后再均值之差的检验

本博文源于matlab在概率论的应用。学过概率论的小伙伴知道要计算矩估计值需要跟原点矩和中心矩打交道。其中原点矩和中心距在概率论书中都有相应的公式我们会套用即可

其中一阶原点矩就是数学期望，而用二阶样本中心距是来计算总体的方差的。了解到这些，在matlab编写代码时，对照概率论的书籍，就编写的非常愉快了。
例子：随机取8只活塞，测得它们的直径(以mm计),求总体均值以及方差的矩估计值:
这是活塞直径：单位不要忘记mm哦！
X = [74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,73.998,74.006,74.002];

然后我们采用函数编写的方式，分而治之就行了
创建mu.m,代码如下：
function y = mu(X)
n = length(X);
s = sum(X);
y = s / n;


这就是传说中的以样本均值代替总体均值
创建sigma2.m,代码如下：
function y = sigma2(X)
Y = X - mu(X);
Y2 = Y.*Y;
n = length(X);
s = sum(Y2);
y = s/n;


这样就是以样本方差代替总体方差的矩估计
创建main.m，代码如下：
这个主要处理总体数据流程控制：
X = [74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,73.998,74.006,74.002];
mu = mu(X)
sig = sigma2(X)

运行在matlab代码里，就会有这样的显示效果：



博主采用在线编译（网址如下）：

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最后回答：由此可见，总体均值的矩估计值为74.002,总体方差的矩估计值为6*10^-6.

西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作 西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作 正态分布数据 置信区间  * * 一、总体均值的区间估计  (一)总体方差未知   例：为研究某种汽车轮胎的磨损情况，随机选取16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止。记录所行驶的里程(以公里计)如下：  * * 41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400     假设汽车轮胎的行驶里程服从正态分布，均值、方差未知。试求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。  孝感学院生命科学技术学院生物统计学课程组制作 * * 孝感学院生命科学技术学院生物统计学课程组制作 步骤： 1.在单元格A1中输入“样本数据”，在单元格B4中输入“指标名称”，在单元格C4中输入“指标数值”，并在单元格A2：A17中输入样本数据。  2.在单元格B5中输入“样本容量”，在单元格C5中输入“16”。 3.计算样本平均行驶里程。在单元格B6中输入“样本均值”，在单元格C6中输入公式：“=AVERAGE(A2，A17)”，回车后得到的结果为41116.875。 4.计算样本标准差。在单元格B7中输入“样本标准差”，在单元格C7中输入公式：“＝STDEV(A2，A17)”，回车后得到的结果为1346.842771。 5.计算抽样平均误差。在单元格B8中输入“抽样平均误差”，在单元格C8中输入公式：“＝C7/SQRT(C5)” ，回车后得到的结果为336.7106928。 * * 孝感学院生命科学技术学院生物统计学课程组制作 6.在单元格B9中输入“置信度”，在单元格C9中输入“0.95”。 7.在单元格B10中输入“自由度”，在单元格C10中输入“15”。 8.在单元格B11中输入“t分布的双侧分位数”，在单元格C11中输入公式：“ ＝TINV(1-C9，C10)”，回车后得到α＝0.05的t分布的双侧分位数t＝2.1315。     9.计算允许误差。在单元格B12中输入“允许误差”，在单元格C12中输入公式：“＝C11*C8”，回车后得到的结果为717.6822943。     10.计算置信区间下限。在单元格B13中输入“置信下限”，在单元格C13中输入置信区间下限公式：“＝C6－C12”，回车后得到的结果为40399.19271。  * * 孝感学院生命科学技术学院生物统计学课程组制作   11.计算置信区间上限。在单元格B14中输入“置信上限”，在单元格C14中输入置信区间上限公式：“＝C6＋C12”，回车后得到的结果为41834.55729。 结果如下图所示： * * 孝感学院生命科学技术学院生物统计学课程组制作 (二)总体方差已知  仍以上例为例，假设汽车轮胎的行驶里程服从正态总体，方差为10002，试求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。  1 、2、3同上例。 4.在单元格B7中输入“标准差”，在单元格C7中输入“1000”。 5.计算抽样平均误差。在单元格B8中输入“抽样平均误差”，在单元格C8中输入公式：“＝C7/SQRT(C5)” ，回车后得到的结果为250。 6.在单元格B9中输入“置信度”，在单元格C9中输入“0.95”。 7. 在单元格B10中输入“自由度”，在单元格C10中输入“15”。 8. 在单元格B11中输入“标准正态分布的双侧分位数”，在单元格C11中输入公式：“＝NORMSINV(0.975)”，回车后得到α＝0.05的标准正态分布的双侧分位数Z0.05/2=1.96。 * * 孝感学院生命科学技术学院生物统计学课程组制作 9.计算允许误差。在单元格B12中输入“允许误差”，在单元格C12中输入公式：“＝C11*C8”，回车后得到的结果为490。 10.计算置信区间下限。在单元格B13中输入“置信下限”，在单元格C13中输入置信区间下限公式：“＝C6－C12”，回车后得到的结果为40626.875。 11.计算置信区间上限。在单元格B14中输入“置信上限”，在单元格C14中输入置信区间上限公式：“＝C6＋C12，回车后得到的结果为41606.875。 结果如下图所示：  * * 孝感学院生命科学技术学院生物统计学课程组制作 * * 孝感学院生命科学技术学院生物统计学课程组制作 二、总体方差的区间估计(μ未知)  例：假设从加工的同一批产品中任意抽取20件，测得它们的平均长度为12厘米，方差为0.0023平方厘米，求总体方差的置信度为95%的置信区间。          为构造区间估计的工作表，我们应在工作表的A列输入计算指标，B列输入计算公式，C列输入计算结果。  * * 孝感学院生命科学技术

摘要：过程能力也称工序能力，是指过程加工方面满足加工质量的能力，它是衡量过程加工内在一致性的，最稳态下的最小波动。

过程能力概述

    过程能力也称工序能力，是指过程加工方面满足加工质量的能力，它是衡量过程加工内在一致性的，最稳态下的最小波动。当过程处于稳态时，产品的质量特性值有99.73%散布在区间[μ-3σ，μ+3σ]，（其中μ为产品特性值的总体均值，σ为产品特性值总体标准差）也即几乎全部产品特性值都落在6σ的范围内﹔因此，通常用6σ表示过程能力，它的值越小越好。

过程能力指数Cp的定义及计算

过程能力指数Cp是表征过程固有的波动状态，即技朮水平。它是在过程的平均值μ与目标值M重合的情形，如下图所示：


过程处于统计控制状态时，过程能力指数Cp可用下式表示：

Cp = (USL-LSL)/6σ

而规格中心为M=(USL+LSL)/2，因此σ越小，过程能力指数越大，表明加工质量越高，但这时对设备及操作人员的要求也高，加工成本越大，所以对Cp值的选择应该根据技朮与经济的综合分析来决定。一般要求过程能力指数Cp≧1，但根据6Sigma过程能力要求Cp ≧2，即在短期内的过程能力指数Cp ≧2。

例：某车床加工轴的规格为50±0.01mm，在某段时间内测得σ =0.0025，求车床加工的过程能力指数。 

Cp = (USL-LSL)/6σ

   =0.02/ (6*0.0025)

   =1.33

过程能力指数Cpk的定义及计算

上面我们讨论了Cp，即过程输出的平均值与目标值重合的情形，事实上目标值与平均值重合情形较为少见；因此，引进一个偏移度K的概述，即过程平均值μ与目标值M的偏离过程，如下图所示： 


K=|M-μ|/(T/2) = 2|M-μ|/T (其中T=USL-LSL)

Cpk= (1-K)*Cp= (1-2|M-μ|/T)*T/6σ

   =T/6σ-|M-μ|/3σ
从公式可知： 

Cpk=Cp-|M-μ|/3σ，即Cp-Cpk=|M-μ|/3σ

尽量使Cp=Cpk，|M-μ|/3σ是我们的改善机会。

例：某车床加工轴的规格为50±0.01mm，在某段时间内测得平均值μ=49.995，σ=0.0025，求车床加工的过程能力指数。 

Cpk =T/6σ- |M-μ|/3σ

    =0.02/ (6*0.0025)-|50-49.995|/ (3*0.0025)

    =1.33-0.667

    =0.676

    以上介绍了Ca与Cpk的计算公式等内容，在这也推荐一款工序能力CPK计算工具给大家（免费的），方便大家平时在做过程能力指数分析时用：


过程能力指数CPK免费下载地址：http://www.gztaiyou.com/QC/CPK.html

转载：https://blog.csdn.net/u011981242/article/details/49304121?locationNum=12&fps=1