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  • 总体样本与样本均值X拔的一个重要公式推导
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    2020-11-23 11:10:49

    设总体 X X X ~ N ( μ , σ 2 ) N(μ, σ^2) N(μ,σ2)， X 1 ， X 2 ， … … ， X n X_1，X_2，……，X_n X1​，X2​，……，Xn​是来自总体的样本，样本均值为 X ‾ \overline{X} X，其中 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i X=n1​∑i=1n​Xi​则：
    E [ ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ] = E ( ∑ i = 1 n X i 2 − n X ‾ 2 ) = ( n − 1 ) σ 2 E \left[ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \right]=E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\overline{X}^2)=(n-1)σ^2 E[i=1∑n​(Xi​−X)2]=E(i=1∑n​Xi2​−nX2)=(n−1)σ2
    证明：
          E [ ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ] E \left[ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \right] E[∑i=1n​(Xi​−X)2]

    = E [ ∑ i = 1 n ( X i 2 − 2 X i X ‾ + X ‾ 2 ) ] =E \left[ \sum_{i=1}^{n}(X_i^2-2X_i\overline{X}+\overline{X}^2) \right] =E[∑i=1n​(Xi2​−2Xi​X+X2)]

    = E [ ∑ i = 1 n X i 2 − 2 X ‾ ∑ i = 1 n X i + ∑ i = 1 n X ‾ 2 ] =E \left[ \sum_{i=1}^{n}X_i^2-2\overline{X} \sum_{i=1}^nX_i+ \sum_{i=1}^n\overline{X}^2 \right] =E[∑i=1n​Xi2​−2X∑i=1n​Xi​+∑i=1n​X2]

    ∵ X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i ， X \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i，X X=n1​∑i=1n​Xi​，X ~ N ( μ , σ 2 ) N(μ,σ^2) N(μ,σ2)
     
    ∴ ∑ i = 1 n X i = n X ‾ ， X i \sum_{i=1}^nX_i=n\overline{X}，X_i ∑i=1n​Xi​=nX，Xi​ ~ N ( μ , σ 2 ) ， i = 1 、 2 、 . . . 、 n N(μ,σ^2)，i=1、2、...、n N(μ,σ2)，i=1、2、...、n
     
    ∴ E X i = μ ， D X i = σ 2 , E X ‾ = 1 n E ∑ i = 1 n X i = μ , D X ‾ = 1 n 2 D ∑ i = 1 n X i = σ 2 n EX_i=μ，DX_i=σ^2, E\overline{X}=\frac{1}{n}E\sum_{i=1}^{n}X_i=μ,D\overline{X}=\frac{1}{n^2}D\sum_{i=1}^{n}X_i=\frac{σ^2}{n} EXi​=μ，DXi​=σ2,EX=n1​E∑i=1n​Xi​=μ,DX=n21​D∑i=1n​Xi​=nσ2​
     
    ∴上式 = E ( ∑ i = 1 n X i 2 − 2 n X ‾ 2 + n X ‾ 2 ) =E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2) =E(∑i=1n​Xi2​−2nX2+nX2)

    = E ( ∑ i = 1 n X i 2 − n X ‾ 2 ) =E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\overline{X}^2) =E(∑i=1n​Xi2​−nX2)

    = ∑ i = 1 n E X i 2 − n E X ‾ 2 =\sum_{i=1}^{n}EX_i^2-nE\overline{X}^2 =∑i=1n​EXi2​−nEX2

    = ∑ i = 1 n ( D X i + E 2 X i ) − n ( D X ‾ + E 2 X ‾ ) =\sum_{i=1}^{n}(DX_i+E^2X_i)-n(D\overline{X}+E^2\overline{X}) =∑i=1n​(DXi​+E2Xi​)−n(DX+E2X)

    = n ( σ + μ 2 ) − n ( σ 2 n + μ 2 ) =n(σ+μ^2)-n(\frac{σ^2}{n}+μ^2) =n(σ+μ2)−n(nσ2​+μ2)

    = ( n − 1 ) σ 2 =(n-1)σ^2 =(n−1)σ2

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    目录

    一、总体和样本

    二、集中趋势分析

    2.1 均值

    2.1.1 样本均值

    2.1.2 总体均值

    2.2 众数，中位数

    三、离散趋势分析

    3.1 总体方差

    3.2 样本方差

    3.3 标准差

    一、总体和样本

    比如要计算全国男性的平均身高，但是全部调查是不现实的，所有要采取抽样调查，随机抽取一部分男性的身高，全国男性身高就是总体，被抽取的部分男性就是样本。

    由于我们要计算全国男性的平均身高，所以就要计算均值，根据样本均值去推断总体均值，总体均值：μ，样本均值x拔，均值的计算方法都是一样的，用所有数据加起来的值/数据个数

    二、集中趋势分析

    2.1 均值

    2.1.1 样本均值

    ：x拔=（∑是求和，i=1的意思是从1开始，n的意思是一直加到n：X₁+X₂+……Xn）

    2.1.2 总体均值

    ：μ=

    2.2 众数，中位数

    但是如果想知道数据离均值的远近程度，就要用到离散趋势分析

    三、离散趋势分析

    3.1 总体方差

    例：

    一组数据：2，2，3，3，总体均值为2.5

    另一组数据：0，0，5，5，均值为2.5

    但是第一组数据明显更集中于均值，而另一组相对分散，离均值较远

    所以衡量方式就是方差

    这个公式意义就是用每一个数据减去总体均值去计算差值（数据到均值的距离），平方的作用在于让差值为正，再除以数据个数 。

    通过计算得出，第一组数据的方差时0.25，第二组数据的方差是6.25

    3.2 样本方差

     通常来说，当总体均值离样本均值距离比较小（值接近）时，可以用样本方差去估计总体方差，但是当数据的总体均值和样本均值差距较大，得到的结果就会有很大的偏差，就不能用样本均值去估计总体均值。

    所以这时使用公式（这才是样本方差公式）（无偏样本方差）

    3.3 标准差

    标准差就是方差的平方根，为什么要使用标准差，因为标准差的单位更好，方差的单位是平方，而标准差的单位和数据的单位是一样的

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    统计学 参数估计

    单总体均值的估计

    1.综述

    总体均值的估计分为以下两种情况

    • 总体方差已知的情况
    • 总体方差未知的情况

    首先对但总体均值的方差估计做一个简单的概括,各个情况已在下表中列出
    在这里插入图片描述
    后文将详细介绍各个情况下的方法
    并且介绍样本容量的估计方法

    2.参数估计

    首先了解一下两种参数估计的方法

    • 点估计
    • 区间估计

    2.1点估计

    在这里插入图片描述

    2.1.1点估计的方法

    • 矩估计法
    • 最大似然法
    • 顺序统计量法
    • 最小二乘法

    2.1.2缺点

    没有给出估计值接近总体参数程度的信息

    2.2区间估计

    为了解决点估计的缺点,我们得出了区间估计的概念如下:
    在这里插入图片描述
    下面便来介绍总体均值的估计,也就是总体均值的区间估计

    3.总体均值的估计

    3.1总体均值的区间估计:方差已知

    3.1.1前提条件

    在这里插入图片描述

    3.1.2统计量

    在这里插入图片描述

    3.1.3置信区间

    在这里插入图片描述

    3.1.4案例

    在这里插入图片描述

    3.1.5已知结论

    在这里插入图片描述

    3.1.6解答

    如果题目未加说明,则a = 0.05
    在这里插入图片描述

    3.2总体均值的区间估计:方差未知

    3.2.1方差未知,大样本

    可以用样本的S近似替代总体的标准差

    假定条件

    在这里插入图片描述

    总体方差

    在这里插入图片描述

    置信区间

    在这里插入图片描述

    案例

    在这里插入图片描述

    解答

    在这里插入图片描述

    3.2方差未知,小样本

    使用t分布

    假定条件

    在这里插入图片描述

    t分布统计量

    假设总体服从正态分布
    在这里插入图片描述

    置信区间

    在这里插入图片描述

    案例

    在这里插入图片描述

    解答

    在这里插入图片描述

    3.3 样本容量的估计

    在上述介绍的几种方法中,公式的计算建立在已知样本容量的前提下

    在这里插入图片描述
    但是因为容量越大,成本也越大,所以我们需要进行一个折中,这就是为什么需要样本容量估计

    在方差已知的情况下,我们知道置信区间的计算方法如下
    在这里插入图片描述
    我们自行假设置信区间的半径最大值是E,那么就可以推导出n的取值范围
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在实际当中,总体方差可能是未知的,所以可以采取如下方法来估计总体的方差,进而计算出n的取值
    在这里插入图片描述
    n与各个参数的关系
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    实际案例

    在这里插入图片描述

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总体均值的计算公式

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