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  • 各样本均数未必等于总体均数 样本均数之间存在差异(可以利用这一点来观察抽样误差的规律) 样本均数分布有规律,基本服从正态分布 样本均数的变异比总体的变异小 随着样本含量的增加,样本均数的便宜范围逐渐缩小 ....
        

    第一节均数的抽样误差与标准误

    1、抽样误差

    由于随机抽样的偶然因素使样本各单位的结构不足以代表总体各单位的结构,而引起抽样指标和全局指标的绝对离差。

    2、样本均数的抽样分布特点

    • 各样本均数未必等于总体均数
    • 样本均数之间存在差异(可以利用这一点来观察抽样误差的规律)
    • 样本均数分布有规律,基本服从正态分布
    • 样本均数的变异比总体的变异小
    • 随着样本含量的增加,样本均数的便宜范围逐渐缩小

    3、均数的标准误

    样本均数的标准误差称为均数的标准误( standard error of mean , SEM )用 σx 表示,说明了各样本均数 X 围绕总体均数 μ 的离散程度,可以用来描述样本均数的抽样误差大小

    4、标准差(Standard Deviation), 标准误差(Standard error),变异系数 (Coefficient of Variance )的区别与联系

    • 标准差(Standard Deviation) ,中文环境中又常称均方差,是离均差平方的算术平均数的平方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据,标准差未必相同。

    • 标准误差(Standard error),也称均方根误差(Root mean squared error)或标准误(Standard Error),标准误差是指在抽样试验(或重复的等精度测量)中,常用到样本平均数的标准差。标准差与标准误差,计算公式类似,但是是两个不同的概念。对一个总体多次抽样,每次样本大小都为n,那么每个样本都有自己的平均值,这些平均值的标准差叫做标准误差。

    • 变异系数(Coefficient of Variance),标准差与平均数的比值称为变异系数,记为C.V。当进行两个或多个资料变异程度的比较时,如果度量单位与平均数相同,可以直接利用标准差来比较。如果单位和(或)平均数不同时,比较其变异程度就不能采用标准差,而需采用标准差与平均数的比值(相对值)来比较。 简单来说就是:在表示离散程度上,标准差并不是全能的,当度量单位或平均数不同时,只能用变异系数了,它也是表示离散程度,是标准差和相应平均数的比值。变异系数可以消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。

    所以,标准差是针对特定的一组数据而言,看数据序列偏离均值的程度;而标准误差则是针对n组数据而言,看每次抽样的效果如何,可以理解为n组数据标准差的标准差。


    第二节 t 分布( t-distribution )

    用于根据小样本来估计呈正态分布且变异数未知的总体的平均值。如果总体变异数已知(例如在样本数量足够多时),则应该用正态分布来估计总体均值。

    22411501-7aa73604c3c881e6.png
    t 分布

    22411501-2392e542230eaa55.png
    t 分布

    1、t 分布特征

    由上图可以看出,t 分布是与自由度 df (或者 v )有关的曲线。以 t = 0 中心对称,自由度越大越接近标准正态分布。


    第三节 总体均数的估计

    参数估计是指用样本统计量来估计总体参数,分为点估计(不考虑抽样误差,直接使用样本参数),区间估计(给出估计参数的范围)

    1、点估计

    无法评价可信度,很少使用

    2、区间估计

    用数轴上的一段距离或一个数据区间,表示总体参数的可能范围。这一段距离或数据区间称为区间估计的置信区间(CI)。

    22411501-38de890ab5441e7b.png
    置信区间

    这里有一个很好的解释,知乎邹日佳

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  • T检验和p-value含义及计算公式

    万次阅读 多人点赞 2018-01-30 14:50:32
    T检验,亦称student t检验(Student's t test),主要用于样本含量较小(例如n正态分布资料。 T检验是用于小样本(样本... 目的:比较样本均数 所代表的未知总体均数μ和已知总体均数μ0。  计算公式:  t

    T检验,亦称student t检验(Student's t test),主要用于样本含量较小(例如n<30),总体标准差σ未知的正态分布资料。

    T检验是用于小样本(样本容量小于30)的两个平均值差异程度的检验方法。它是用T分布理论来推断差异发生的概率,从而判定两个平均数的差异是否显著。

           目的:比较样本均数 所代表的未知总体均数μ和已知总体均数μ0

      计算公式:

      t统计量:t=\frac{|\overline{X}-\mu_0|}{S_{\overline{X}}}=\frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}

         

    即:
    其中
      
    为样本平均数,
      
    为样本标准偏差n为样本数。该统计量t在零假说:μ=μ0为真的条件下服从自由度为n−1的t分布

      自由度:v=n - 1

      适用条件:

      (1) 已知一个总体均数;

      (2) 可得到一个样本均数及该样本标准误;

      (3) 样本来自正态或近似正态总体。


    为什么要t检验或者其他检验呢,是因为 样本参数=总体参数+机会误差+偏差,现在我们手里有样本,可以计算样本参数,但是我们想知道的是总体参数,但是这个样本参数能不能代表总体参数呢?

    排除法,t检验在这里就是用来判断是否是机会误差这个因素造成,通俗点说就是样本得到的参数值可不可能由于是抽取的时候的随机造成的。



    标准正态分布下,约95.5% 样本落在 +/-2 sigma区间内。而p=0.05自身意味着样本统计有95%的信心拒绝原假设。

    同理,+/-3 sigma 占标标准正态区间99.7,约合p=0.01。





    举例:

    1.

    p-value是一种概率:在原假设为真的前提下,出现该样本或比该样本更极端的结果的概率之和。

     

     

    例子:

    我们假设

    H0:出现正面的概率是1/2

    扔硬币20次出现了14次正面.该样本的单边p-value计算如下:

    image

    image

     

    考虑双边检验时候,p-value是单边的二倍,即0.115



    2.
    以单总体t检验为例说明:[2] 
    问题:难产儿出生数n=35,体重均值
      
    =3.42,S =0.40,一般婴儿出生体重μ0=3.30(大规模调查获得),问相同否?
    解:1.建立假设、确定检验水准α
    H0:μ = μ0 (零假设null hypothesis)
    H1:μ ≠ μ0(备择假设alternative hypothesis)
    双侧检验,检验水准:α=0.05
    2.计算检验统计量
    =1.77
    3.查相应界值表,确定P值,下结论。
    查附表1,t0.025 / 34 = 2.032,t < t0.025 / 34,P >0.05,按α=0.05水准,不拒绝H0,两者的差别无统计学意义

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  • 贝叶斯公式整理

    千次阅读 2020-04-30 19:46:07
    1.贝叶斯公式思想 2.事件的贝叶斯公式 3.连续型二维随机变量的贝叶斯公式 4.一般的贝叶斯公式

    0.补充

    事件的乘法公式:(1)P(A)>0,P(AB)=P(A)P(BA)若P(A)>0,则P(AB) = P(A)P(B|A)
    (2)P(A1A2...An1)>0,P(A1A2...An1An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)...P(AnA1A2...An1)(2)若P(A_1A_2...A_{n-1})>0,则P(A_1A_2...A_{n-1}A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})

    全概率公式 :B1,B2,...,BnB1,B2,...,Bni=1nBi=Ω,P(Bi)>0,i=1,2,...,n,A设B_1,B_2,...,B_n是样本空间的一个划分,即B_1,B_2,...,B_n互不相容,且\quad \bigcup_{i=1}^{n}B_i=\Omega,如果P(B_i)>0,i=1,2,...,n,则对任意事件A有:
    P(A)=i=1nP(Bi)P(ABi)P(A) = \sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)
    理解:若A 是一个复杂的事件,可以通过此全概率公式求解。即A发生的概率为A 在不同情况BiB_i下的加权平均和,每一项的权重为对应情况BiB_i发生的概率。
    例子:摸彩模型
    设在n张彩票中有一张奖券,求第二个人摸到奖券的概率是多少?
    解:设第二个人摸到奖券为事件B,直接求事件B不好算。可以考虑不同情况下事件B的概率,然后利用全概率公式求加权和。显然,此事件与前一个人是否摸到奖券有直接关系,设A1A_1为第一个人摸到奖券,A1ˉ\bar{A_1}为第一个人没有摸到奖券,分别计算B 在这两种情况下的概率为:
    P(BA1)=0;P(BA1ˉ)=1n1P(B|A_1)=0 ; P(B|\bar{A_1})= \frac{1}{n-1}

    由全概率公式可得:P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A1ˉ)P(BA1ˉ)=n1n1n1=1nP(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(\bar{A_1})P(B|\bar{A_1})=\frac{n-1}{n} \frac{1}{n-1}=\frac{1}{n}
    第二个人与第一个人抽到奖券的概率是一样的,但前提是第二个人不知道第一个人的抽奖结果。同理,在后一个人不知道前一个人的抽奖结果时,第3、4、…、n个人抽到奖券的概率均为1n.\frac{1}{n}.
    但是在后一个人知道前一个人的抽奖结果时,相应的每个人抽到奖券的概率也就变了。

    1.贝叶斯公式思想

    从上述的摸彩问题可以看出,我们知道的信息多少直接决定我们所求事件的概率的大小。
    贝叶斯学派认为:一件事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念,称为主观概率。主观概率的确定可以根据自己的经验或者是别人的经验确定。例如:对于某项有风险的投资,某个专家认为成功的可能性为60%,而这个专家的估计往往是偏保守型的,我们可以修正为成功的概率为70%。

    在真实世界里,我们所做的往往是根据事发后的现象,和某种先验信息结合,去估计事物的可能性,这正是贝叶斯的思路。

    2.事件的贝叶斯公式

    P(BA)=P(AB)P(B)P(AB)P(B)+P(ABˉ)P(Bˉ)P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}

    先用乘法公式再用全概率公式可证明。
    理解:B是“因”或是“先”,故我们求P(B|A) 是违背了真实的事件发生的先后顺序,所有必须转化为P(A|B)来求。知道了事件A的信息后,我们可用P(B|A)去修正事件B的无条件概率P(B)。

    更一般的,多个事件的贝叶斯公式为:
    P(BiA)=P(Bi)P(ABi)j=1nP(Bj)P(ABj)P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j)P(A|B_j) }

    3.连续型二维随机变量的贝叶斯公式

    p(xy)=p(yx)pX(x)p(yx)pX(x)dxp(x|y)=\frac{p(y|x) p_{X} (x)}{\int_{- \infty}^{\infty} p(y|x)p_{X}(x) dx }

    4.贝叶斯公式估计分布中的未知参数

    在统计推断中,贝叶斯学派用三种信息去估计未知参数,分别问:总体信息、样本信息和先验信息。与经典学派不同的是,除了使用总体信息和样本信息,贝叶斯统计还注意使用先验信息的收集、挖掘和加工,使他数量化,形成先验分布,用于统计推断中去。
    π(θX)=p(Xθ)π(θ)Θp(Xθ)π(θ)dθ=h(X,θ)Θh(X,θ)dθ\pi(\theta|X) = \frac{p(X|\theta) \pi(\theta)}{\int_{\Theta}^{} p(X|\theta) \pi(\theta) d\theta } = \frac{h(X,\theta)}{\int_{\Theta}^{} h(X,\theta) d \theta}
    其中,X=(x1,x2,...,xn)X=(x_1,x_2,...,x_n)为样本
    π(θ)θπ(θX)π(θ)\pi(\theta)为\theta 的先验分布,\pi(\theta|X)是有了总体、样本和先验信息之后,对\pi(\theta)作的修正。
    使用后验分布π(θX)θθ\pi(\theta|X)的均值作为\theta 的点估计,称为\theta的贝叶斯估计或后验期望估计。
    即:θ^B=E(θX)\hat{\theta}_B = E(\theta|X)

    参考文献:
    【1】茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004,3.
    【2】知乎的一篇文章:怎么简单理解贝叶斯公式?

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  • 方差分析公式

    万次阅读 2014-11-08 15:58:50
    方差分析(analysis of variance,简写为ANOV或ANOVA)可用于两个或两个以上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本;各样本来自正态分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和...

    方差分析(analysis of variance,简写为ANOV或ANOVA)可用于两个或两个以上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本;各样本来自正态分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分,然后再作分析。常用的设计有完全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。

    一、完全随机设计的多个样本均数的比较

    又称单因素方差分析。把总变异分解为组间(处理间)变异和组内变异(误差)两部分。目的是推断k个样本所分别代表的μ1,μ2,……μk是否相等,以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6.

    表19-6 完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式

     

    变异来源 离均差平方和SS 自由度v 均方MS F
    ΣX2-C* N-1    
    组间(处理组间)  
      
    k-1 SS组间/v组间 MS组间/MS组间
    组内(误差) SS-SS组间 N-k SS组内/v组内

     

    *C=(ΣX)2/N=Σni,k为处理组数

    表19-7 F值、P值与统计结论

     

    α F值 P值 统计结论
    0.05 <F0.05(v1.V2) >0.05 不拒绝H0,差别无统计学意义
    0.05 ≥F0.05(v1.V2) ≤0.05 拒绝H0,接受H1,差别有统计学意义
    0.01 ≥F0.01(v1.V2) ≤0.01 拒绝H0,接受H1,差别有高度统计学意义

     

    方差分析计算的统计量为F,按表19-7所示关系作判断。

    例19.9 某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8,问不同季节氯化物含量有无差别?

    表19-8 某湖水不同季节氯化物含量(mg/L)

     

     
    Xij
    22.6 19.1 18.9 19.0
    22.8 22.8 13.6 16.9
    21.0 24.5 17.2 17.6
    16.9 18.0 15.1 14.8
    20.0 15.2 16.6 13.1
    21.9 18.4 14.2 16.9
    21.5 20.1 16.7 16.2
    21.2 21.2 19.6 14.8
    ΣXij 
    j
    167.9 159.3 131.9 129.3 588.4(ΣX)
    ni 8 8 8 8 32(N)
    Xi 20.99 19.91 16.49 16.16  
    ΣX2ijj   
    3548.51
     
    3231.95
     
    2206.27
     
    2114.11
    11100.84(ΣX2

     

    H0:湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等,即μ1=μ2=μ3=μ4

    H1:四个总体均数不等或不全相等

    α=0.05

    先作表19-8下半部分的基础计算。

    C= (Σx)2/N=(588.4)2/32=10819.205

    SS总=Σx2-C=11100.84-10819.205=281.635

    V总=N-1=31

    方差分析公式

    V组间=k-1=4-1=3

    SS组内=SS总-SS组间=281.635-141.107=140.465

    V组内=N-k=32-4=28

    MS组间=SS组间/v组间=141.107/3=47.057

    MS组内=SS组内/v组内=140.465/28=5.017

    F=MS组间/MS组内=47.057/5.017=9.380

    以v1(即组间自由度)=3,v2(即组内自由度)=28查附表19-2,F界值表,得F0.05(3,28)=2.95,F0.01(3,28)=4.57.本例算得的F=9.380>F0.01(3,28),P<0.01,按α=0.05检验水准拒绝H0,接受H1,可认为湖水不同季节的氯化物含量不等或不全相等。必要时可进一步和两两比较的q检验,以确定是否任两总体均数间不等。

    资料分析时,常把上述计算结果列入方差分析表内,如表19-9.

    表19-9 例19.9资料的方差分析表

     

    变异来源 SS v MS F P
    组间 141.170 3 47.057 9.38 <0.01
    组内 140.465 28 5.017    
    281.635 31      

     

    二、随机区组(配伍组)设计的多个样本均数比较

    又称两因素方差分析。把总变异分解为处理间变异、区组间变异及误差三部分。除推断k个样本所代表的总体均数,μ1,μ2,……μk是否相等外,还要推断b个区组所代表的总体均数是否相等。也就是说,除比较多个处理的差别有无统计学意义外,还要比较区组间的差别有无统计学意义。该设计考虑了个体变异对处理的影响,故可提高检验效率。

    表19-10随机区组设计的多个样本均数比较的方差分析公式

     

    变异来源 离均差平方和SS 自由度v 均方MS F
    ΣX2-C N-1    
    处理间 k-1 SS处理/v处理 MS处理/MS误差
    区组间 b-1 SS区组/v区组 MS区组MS误差
    误差 SS-SS处理-SS区组 V-v处理-v区组 SS误差/v误差  

     

    C、k、N的意义同表19-6,b为区组数

    例19.10为研究酵解作用对血糖浓度的影响,从8名健康人中抽血并制成血滤液。每个受试者的血滤液被分成4份,再随机地把4份血滤液分别放置0,45,90,135分钟,测定其血溏浓度(表19-11),试问放置不同时间的血糖浓度有无差别?

    处理间:

    H0:四个不同时间血糖浓度的总体均数相等,即μ1=μ2=μ3=μ4

    表19-11 血滤放置不同时间的血糖浓度(mmol/L)

     

     
    区组号
    放置时间(分) 受试者小计 
    ΣXij
    j
    0 45 90 135
    1 5.27 5.27 4.94 4.61 20.09
    2 5.27 5.22 4.88 4.66 20.03
    3 5.88 5.83 5.38 5.00 22.09
    4 5.44 5.38 5.27 5.00 21.09
    5 5.66 5.44 5.38 4.88 21.36
    6 6.22 6.22 5.61 5.22 23.27
    7 5.83 5.72 5.38 4.88 21.81
    8 5.27 5.11 5.00 4.44 19.82
    ΣXij 
    j
    44.84 44.19 41.84 38.69 169.56(ΣX)
    Ni 8 8 8 8 32(N)
    Xi 5.6050 5.5238 5.2300 4.8363  
    ΣX2ij 
    j
    252.1996 245.0671 219.2962 187.5585 904.1214(ΣX2

     

    H1:四个总体均数不等或不全相等

    α=0.05

    区组间:

    H0:八个区组的总体均数相等,即μ1=μ2=……μ8

    H1:八个区组的总体均数不等或不全相等

    α=0.05

    先作表19-11下半部分和右侧一栏的基本计算。

    C=(ΣX)2/N=(169.56)2/32=898.45605

    SS总=ΣX2-C=904.1214-898.45605=5.66535

    V总=N-1=32-1=31

    方差分析公式

    V处理=k-1=4-1=3

    方差分析公式

    V区组=b-1=8-1=7

    SS误差=SS总-SS处理-SS区组=5.66535-2.90438-2.49800=0.26297

    V误差=(k-1)(b-1)=3×7=21

    MS处理=SS处理/v处理=2.90438/3=0.9681

    MS区组=SS区组/v区组=2.49800/7=0.3569

    MS误差=SS误差/v误差=0.26297/21=0.0125

    F处理=MS处理/MS误差=0.9681/0.0125=77.448

    F区组=MS区组/MS误差=0.3569/0.0125=28.552

    推断处理间的差别,按v1=3,v2=21查F界值表,得F0.005(3,21)=3.07,F0.01(3,21)=4.87,P<0.01;推断区组间的差别,按v1=7,v2=21查F界值表,得F0.05(7,21)=2.49,F0.01(7,21)=3.64,P<0.01.按α=0.05检验水准皆拒绝H0,接受H1,可认为放置时间长短会影响血糖浓度且不同受试者的血糖浓度亦有差别。但尚不能认为任两个不同放置时间的血糖浓度总体均数皆有差别,必要时可进一步作两两比较的q检验。

    表19-12 例19.10资料的方差分析表

     

    变异来源 SS v MS F P
    处理间 2.90438 3 0.9681 77.448 <0.01
    区组间 2.49800 7 0.3569 28.552 <0.01
    误差 0.26297 21 0.0125    
    5.66538 31      

     

    三、多个样本均数间的两两比较的q检验

    经方差分析后,若按α=0.05检验水准不拒绝H0,通常就不再作进一步分析;若按α=0.05甚至α=0.01检验水准拒绝H0,且需了解任两个总体均数间是否都存在差别,可进一步作多个样本均数间的两两比较。两两比较的方法较多,在此仅介绍较常用的q检验(Newman-Keuls法)

    方差分析公式

    方差分析公式 (各组ni相等)公式(19.14)

    方差分析公式 (各组ni不等)公式(19.15)

    式中,xA-xB为两两对比中,任两个对比组A、B的样本均数之差;sxA-xB为两样本均数差的标准误;ni为各处理组的样本含量;nA,nB分别为A、B两对比组的样本含量;MS误差为单因素方差分析中的组内均方(MS组内)或两因素方差分析中的误差均方(MS误差)。

    计算的统计量为q,按表19-13所示关系作判断。

    例19.11 对例19.9资料作两两比较

    H0:任两个季节的湖水氯化物含量的总体均数相等,即μA=μB

    H1:任两总体均数不等,即μA≠μB

    表19-13 |q| 值、P值与统计结论

     

    α |q| P值 统计结论
    0.05 <q0.05(v.a) >0.05 不拒绝H0,差别无统计学意义
    0.05 ≥q0.05(v.a) ≤0.05 拒绝H0。接受H1,差别有统计学意义
    0.01 ≥q0.01(v.a) ≤0.01 拒绝H0,接受H1,差别有高度统计学意义

     

    α= 0.05

    1.将四个样本的均数由大到小排列编秩,注明处理组。

     

    xi 167.9 159.3 131.9 129.3
    处理组
    秩次 1 2 3 4

     

    2.计算 sxA-xB本例各处理组的样本含量n1相等,按式(19,14)计算两均数差的标准误。已知MS组内=5.017,n=8

    方差分析公式 3.列两两比较的q检验计算表(表19-14)

    表19-14 两两比较的q检验计算表

     

    A与B 
    (1)
    x-x (2) 组数,a
    (3)
    q值 
    (4)=(2)/0.7919
    q0.05(v.a)
    (5)
    q0.01(v.a)
    (6)
    P值 
    (7)
    (1)与(4) 38.6 4 48.744 3.85 4.80 <0.01
    (1)与(3) 36.0 3 45.460 3.49 4.45 <0.01
    (1)与(2) 8.6 2 10.860 2.89 3.89 <0.01
    (2)与(4) 30.0 3 37.884 3.49 4.45 <0.01
    (2)与(3) 27.4 2 34.600 2.89 3.89 <0.01
    (2)与(4) 2.6 2 3.283 2.89 3.89 <0.05

     

    表中第(1)栏为各对比组,如第一行1与4,指A为第1组,B为第4组。第(2)栏为两对比组均数之差,如第一行为X1与X4之差,余类推。第(3)栏为四个样本均数按大小排列时,A、B两对比组范围内所包含的组数a,如第一“1与4”范围内包含4个组,故a=4.第(4)栏是按式(19.13)计算的统计量q值,式中的分母0.7919是按式(19.14)计算出来的SXA-XB.第(5)、(6)栏是根据误差自由度v与组数a查附表19-3q界值表所得的q界值,本例v误差=28,因q界值表中自由度一栏无28,可用近似值30或用内插法得出q界值,本例用近似值30查表,当a=4时,q0.05(30,4)=3.85,q0.01(30,4)=4.80 ,余类推。第(7)栏是按表19-13判定的。

    4.结论由表19-14可见,除秋季与冬季为P<0.05外,其它任两对比组皆为P<0.01,按α=0.05检验水准均拒绝H0,接受H1,可认为不同季节的湖水氯化物含量皆不同,春季氯化物含量最高,冬季含量最低。

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