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  • 概率统计Python计算:双正态总体已知总体方差总体均值差单侧假设的Z检验
    2021-06-01 15:21:10

    X X X Y Y Y相互独立且 X X X~ N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1,\sigma_1^2) N(μ1,σ12) Y Y Y~ N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2,\sigma_2^2) N(μ2,σ22),其中 σ 1 2 \sigma_1^2 σ12 σ 2 2 \sigma_2^2 σ22是已知的。来自 X X X Y Y Y的容量分别为 n 1 n_1 n1 n 2 n_2 n2的样本均值为 X ‾ \overline{X} X Y ‾ \overline{Y} Y。对显著水平 α \alpha α,检验假设 H 0 : μ 1 − μ 2 ≥ δ H_0:\mu_1-\mu_2\geq\delta H0:μ1μ2δ(或 H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ δ H_0:\mu_1-\mu_2\leq\delta H0:μ1μ2δ)。由于检验统计量 X ‾ − Y ‾ − δ σ 1 2 / n 1 + σ 2 2 / n 2 \frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} σ12/n1+σ22/n2 XYδ~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),所以,我们可以用函数ztestL或ztestR来计算上述的单侧假设 H 0 H_0 H0
    例1某制造厂声称,其制造的线A的平均张力比线B至少强120N,为证实其说法,在同样情况下测试两种线各50条,线A的平均张力 x ‾ = 867 N \overline{x}=867N x=867N,线B的平均张力 y ‾ = 778 N \overline{y}=778N y=778N。假设A线和B线的张力分别服从 N ( μ 1 , 62. 8 2 ) N(\mu_1,62.8^2) N(μ1,62.82) N ( μ 2 , 56. 1 2 ) N(\mu_2, 56.1^2) N(μ2,56.12)。取显著水平 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05,试检验制造厂家的说法。
    解: 按题意,需对假设
    H 0 : μ 1 − μ 2 ≥ 120 , H 1 : μ 1 − μ 2 < 120 H_0:\mu_1-\mu_2\geq120, H_1:\mu_1-\mu_2<120 H0:μ1μ2120,H1:μ1μ2<120
    作左侧检验,下列代码完成本例计算。

    import numpy as np									#导入numpy
    xmean=867                                       	#样本均值
    ymean=778                                       	#样本均值
    xsigma2=62.8**2                                 	#总体方差
    ysigma2=56.1**2                                 	#总体方差
    delta=120                                       	#总体均值假设值
    n1=50                                           	#样本容量
    n2=50                                           	#样本容量
    alpha=0.05                                      	#显著水平
    Z=(xmean-ymean-delta)/np.sqrt(xsigma2/n1+ysigma2/n2)#检验统计量值
    accept=ztestL(Z,alpha) 								#计算假设的左侧检验
    print('mu1-mu2>=%d is %s'%(delta, accept))
    

    第2~9行按题面设置各项数据。第10行计算检验统计量值 x ‾ − y ‾ − δ σ 1 2 / n 1 + σ 2 2 / n 2 \frac{\overline{x}-\overline{y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} σ12/n1+σ22/n2 xyδ为Z,第11行调用函数ztestL计算左侧检验。运行程序,输出

    mu1-mu2>=120 is False.
    

    表示拒绝假设 H 0 : μ 1 − μ 2 ≥ 120 H_0:\mu_1-\mu_2\geq120 H0:μ1μ2120,即厂家所言不实。
    例2用两种方法(A和B)测定冰自-0.72 ∘ C ^{\circ}C C转变为0 ∘ C ^{\circ}C C的水的融化热(以cal/g计)测得以下数据:
    方法A: 79.98 , 80.04 , 80.02 , 80.04 , 80.03 , 80.03 , 80.04 , 79.97 , 80.05 , 80.03 , 80.02 , 80.00 , 80.02 方法B: 80.02 , 79.94 , 79.98 , 79.97 , 79.97 , 80.03 , 79.95 , 79.97 \text{方法A:}79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04,79.97,\\ 80.05,80.03,80.02,80.00,80.02\\ \text{方法B:}80.02,79.94,79.98,79.97,79.97,80.03,79.95,79.97 方法A79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04,79.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02方法B80.02,79.94,79.98,79.97,79.97,80.03,79.95,79.97
    设A、B方法测定的数据分别服从 N ( μ 1 , 0.02 4 2 ) N(\mu_1, 0.024^2) N(μ1,0.0242) N ( μ 2 , 0.03 4 2 ) N(\mu_2, 0.034^2) N(μ2,0.0342)。对 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05的显著水平,检验假设
    H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ 0 , H 1 : μ 1 − μ 2 > 0. H_0:\mu_1-\mu_2\leq0, H_1:\mu_1-\mu_2>0. H0:μ1μ20,H1:μ1μ2>0.
    解: 下列代码完成本例计算。

    import numpy as np												#导入numpy
    x=np.array([79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04,			#样本数据
                79.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02])
    y=np.array([80.02,79.94,79.98,79.97,79.97,80.03,79.95,79.97])	#样本数据
    xmean=x.mean()													#样本均值
    ymean=y.mean()													#样本均值
    s12=0.024**2													#总体方差
    s22=0.031**2													#总体方差
    n1=x.size														#样本容量
    n2=y.size														#样本容量
    alpha=0.05														#显著水平
    Z=(xmean-ymean)/np.sqrt(s12/n1+s22/n2)							#检验统计量值
    accept=ztestR(Z, alpha)											#右侧检验
    print('mu1-mu<=0 is %s'%accept)
    

    2~11行按题面设置个数据项,第12行计算检验统计量值 x ‾ − y ‾ σ 1 2 / n 1 + σ 2 2 / n 2 \frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} σ12/n1+σ22/n2 xy为Z(注意,此处 δ \delta δ为0),第13行调用ztestR对假设 H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ 0 H_0:\mu_1-\mu_2\leq0 H0:μ1μ20作右侧检验。运行程序,输出

    mu1-mu<=0 is False
    

    表示拒绝假设 H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ 0 H_0:\mu_1-\mu_2\leq0 H0:μ1μ20,即认为方法A比方法B测得的融化热要大。
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    2386590bbc2e857b8a56ba5009f02cf3.png

    作者:徐涛,19年应届毕业生,专注于珊瑚礁研究,喜欢用R各种清洗数据。

    知乎:

    https://www.zhihu.com/people/parkson-19/posts

    前言

    T检验,亦称student t检验(Student's t test),主要用于样本含量较小(例如n < 30),总体标准差σ未知的正态分布。T检验是用t分布理论来推论差异发生的概率,从而比较两个平均数的差异是否显著。

    1.适用条件

    已知一个总体均数;可得到一个样本均数及该样本标准差;样本来自正态或近似正态总体。

    备注:若是单独样本T检验,必须给出一个标准值或总体均值,同时,提供一组定量的观测结果,应用t检验的前提条件是该组资料必须服从正态分布;若是配对样本T检验,每对数据的差值必须服从正态分布;若是独立样本T检验,个体之前相互独立,两组资料均取自正态分布的总体,并满足方差齐性。之所以需要这些前提条件,是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布,而t检验正是以t分布作为其理论依据的检验方法。后面的方差分析,其独立样本T检验的前提条件是相同的,即正态性额方差齐性。(参考:t检验和方差分析的前提条件及应用误区_百度文库(链接见文末)说的非常详细)

    2.分类

    单总T检验(单独样本T检验),双总T检验(一是独立样本T检验,另一是配对样本T检验)

    备注:单独样本T检核与独立样本T检验的区别。单独样本T检验(One-Samples T Test)用于进行样本所在总体均数与已知总体均数的比较,独立样本T检验(Independent-Samples T Test)用于进行两样本均数的比较。

    3.R实例
      1—————————#单样本T检验#——————————————  2#某鱼塘水的含氧量多年平均值为4.5mg/L,现在该鱼塘设10点采集水样,测定水中含氧量(单位:mg/L)分别为:  3#4.33,4.62,3.89,4.14,4.78,4.64,4.52,4.55,4.48,4.26,问该次抽样的水中含氧量与多年平均值是否有显著差异?  4Sites4.33,
    参考

    [1]顾志峰,叶乃好,石耀华.实用生物统计学[M].北京:科学出版社,2012年.

    [2]t检验和方差分析的前提条件及应用误区_百度文库

    https://wenku.baidu.com/view/c3f1e06b5727a5e9846a6117.html

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    本文参考:(1). abtest-数据分析-假设检验基础

    abtest-数据分析-假设检验基础 - 云+社区 - 腾讯云​cloud.tencent.com

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