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  • 设XXX和YYY相互独立且XXX~N(μ1,σ12)N(\mu_1,\sigma_1^2)N(μ1​,σ12​),YYY~N(μ2,σ22)N(\mu_2,\sigma_2^2)N(μ2​,σ22​),其中σ12\sigma_1^2σ12​和σ22\sigma_2^2σ22​是已知的。来自XXX和YYY的容量分别...

    XXYY相互独立且XX~N(μ1,σ12)N(\mu_1,\sigma_1^2)YY~N(μ2,σ22)N(\mu_2,\sigma_2^2),其中σ12\sigma_1^2σ22\sigma_2^2是已知的。来自XXYY的容量分别为n1n_1n2n_2的样本均值为X\overline{X}Y\overline{Y}。对显著水平α\alpha,检验假设H0:μ1μ2δH_0:\mu_1-\mu_2\geq\delta(或H0:μ1μ2δH_0:\mu_1-\mu_2\leq\delta)。由于检验统计量XYδσ12/n1+σ22/n2\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}~N(0,1)N(0,1),所以,我们可以用函数ztestL或ztestR来计算上述的单侧假设H0H_0
    例1某制造厂声称,其制造的线A的平均张力比线B至少强120N,为证实其说法,在同样情况下测试两种线各50条,线A的平均张力x=867N\overline{x}=867N,线B的平均张力y=778N\overline{y}=778N。假设A线和B线的张力分别服从N(μ1,62.82)N(\mu_1,62.8^2)N(μ2,56.12)N(\mu_2, 56.1^2)。取显著水平α=0.05\alpha=0.05,试检验制造厂家的说法。
    解: 按题意,需对假设
    H0:μ1μ2120,H1:μ1μ2<120H_0:\mu_1-\mu_2\geq120, H_1:\mu_1-\mu_2<120
    作左侧检验,下列代码完成本例计算。

    import numpy as np									#导入numpy
    xmean=867                                       	#样本均值
    ymean=778                                       	#样本均值
    xsigma2=62.8**2                                 	#总体方差
    ysigma2=56.1**2                                 	#总体方差
    delta=120                                       	#总体均值假设值
    n1=50                                           	#样本容量
    n2=50                                           	#样本容量
    alpha=0.05                                      	#显著水平
    Z=(xmean-ymean-delta)/np.sqrt(xsigma2/n1+ysigma2/n2)#检验统计量值
    accept=ztestL(Z,alpha) 								#计算假设的左侧检验
    print('mu1-mu2>=%d is %s'%(delta, accept))
    

    第2~9行按题面设置各项数据。第10行计算检验统计量值xyδσ12/n1+σ22/n2\frac{\overline{x}-\overline{y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}为Z,第11行调用函数ztestL计算左侧检验。运行程序,输出

    mu1-mu2>=120 is False.
    

    表示拒绝假设H0:μ1μ2120H_0:\mu_1-\mu_2\geq120,即厂家所言不实。
    例2用两种方法(A和B)测定冰自-0.72C^{\circ}C转变为0C^{\circ}C的水的融化热(以cal/g计)测得以下数据:
    方法A:79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04,79.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02方法B:80.02,79.94,79.98,79.97,79.97,80.03,79.95,79.97\text{方法A:}79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04,79.97,\\ 80.05,80.03,80.02,80.00,80.02\\ \text{方法B:}80.02,79.94,79.98,79.97,79.97,80.03,79.95,79.97
    设A、B方法测定的数据分别服从N(μ1,0.0242)N(\mu_1, 0.024^2)N(μ2,0.0342)N(\mu_2, 0.034^2)。对α=0.05\alpha=0.05的显著水平,检验假设
    H0:μ1μ20,H1:μ1μ2>0.H_0:\mu_1-\mu_2\leq0, H_1:\mu_1-\mu_2>0.
    解: 下列代码完成本例计算。

    import numpy as np												#导入numpy
    x=np.array([79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04,			#样本数据
                79.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02])
    y=np.array([80.02,79.94,79.98,79.97,79.97,80.03,79.95,79.97])	#样本数据
    xmean=x.mean()													#样本均值
    ymean=y.mean()													#样本均值
    s12=0.024**2													#总体方差
    s22=0.031**2													#总体方差
    n1=x.size														#样本容量
    n2=y.size														#样本容量
    alpha=0.05														#显著水平
    Z=(xmean-ymean)/np.sqrt(s12/n1+s22/n2)							#检验统计量值
    accept=ztestR(Z, alpha)											#右侧检验
    print('mu1-mu<=0 is %s'%accept)
    

    2~11行按题面设置个数据项,第12行计算检验统计量值xyσ12/n1+σ22/n2\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}为Z(注意,此处δ\delta为0),第13行调用ztestR对假设H0:μ1μ20H_0:\mu_1-\mu_2\leq0作右侧检验。运行程序,输出

    mu1-mu<=0 is False
    

    表示拒绝假设H0:μ1μ20H_0:\mu_1-\mu_2\leq0,即认为方法A比方法B测得的融化热要大。
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  • 设XXX和YYY相互独立且XXX~N(μ1,σ12)N(\mu_1,\sigma_1^2)N(μ1​,σ12​),YYY~N(μ2,σ22)N(\mu_2,\sigma_2^2)N(μ2​,σ22​),其中σ12\sigma_1^2σ12​和σ22\sigma_2^2σ22​是已知的。来自XXX和YYY的容量分别...

    XXYY相互独立且XX~N(μ1,σ12)N(\mu_1,\sigma_1^2)YY~N(μ2,σ22)N(\mu_2,\sigma_2^2),其中σ12\sigma_1^2σ22\sigma_2^2是已知的。来自XXYY的容量分别为n1n_1n2n_2的样本均值为X\overline{X}Y\overline{Y}。对显著水平α\alpha,检验双侧假设H0:μ1μ2=δ,H1:μ1μ2δH_0:\mu_1-\mu_2=\delta,H_1:\mu_1-\mu_2\not=\delta。由于检验统计量XYδσ12/n1+σ22/n2\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}~N(0,1)N(0,1),与利用ztestL或ztestR计算已知总体方差计算两总体均值差单侧假设的Z检验相仿,我们可以用函数ztest2计算双侧假设H0:μ1μ2=δH_0:\mu_1-\mu_2=\delta的检验。
    例1设甲、乙两厂生产同型号的灯泡,其寿命XXYY分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22)N(\mu_1,\sigma_1^2),\\N(\mu_2, \sigma_2^2),已知它们寿命的标准差分别为84h和96h,现从两厂生产的灯泡中各取60只,测得灯泡的平均寿命甲厂为1295h,乙厂为1230h。在显著水平α=0.05\alpha=0.05下,问能否认为两厂生产的灯泡寿命有无显著差别?
    解: 按题意,需对假设
    H0:μ1μ2=0,H1:μ1μ20H_0:\mu_1-\mu_2=0, H_1:\mu_1-\mu_2\not=0
    作显著水平为α=0.05\alpha=0.05的双侧检验。下列代码完成本例计算。

    import numpy as np								#导入numpy
    xmean=1295										#样本均值
    ymean=1230										#样本均值
    xsigma2=84**2									#总体方差
    ysigma2=96**2									#总体方差
    n1=60											#样本容量
    n2=60											#样本容量
    alpha=0.05										#显著水平
    Z=(xmean-ymean)/np.sqrt(xsigma2/n1+ysigma2/n2)	#检验统计量值
    accept=ztest2(Z, alpha)							#双侧假设Z检验
    print('mu1-mu2=0 is %s.'%accept)
    

    第2~8行按题面设置各项数据,第9行计算检验统计量值XYδσ12/n1+σ22/n2\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}为Z(注意,此时δ=0\delta=0),第10行调用函数ztest2检验双侧假设H0:μ1μ2=0H_0:\mu_1-\mu_2=0。运行程序,输出

    mu1-mu2=0 is False.
    

    表示拒绝假设H0:μ1μ2=0H_0:\mu_1-\mu_2=0,即两厂生产的灯泡寿命有显著差别。
    例2 全市高三学生进行数学毕业会考,随机抽取10名男生和8名女生的会考成绩如下:
    男生:65,72,89,56,79,63,92,48,75,81女生:78,69,65,61,54,87,51,67\text{男生:}65,72,89,56,79,63,92,48,75,81\\ \text{女生:}78,69,65,61,54,87,51,67
    若男生的会考成绩XX~N(μ1,102)N(\mu_1, 10^2),女生的会考成绩YY~N(μ2,9.52)N(\mu_2,9.5^2),试问男生和女生的平均成绩是否相同(α=0.05\alpha=0.05)?
    解: 按题意,需对双侧假设
    H0:μ1μ2=0,H1:μ1μ20H_0:\mu_1-\mu_2=0, H_1:\mu_1-\mu_2\not=0
    作Z检验。下列代码完成本例计算。

    import numpy as np#导入numpy
    x=np.array([65, 72, 89, 56, 79, 63, 92, 48, 75, 81])#样本数据
    y=np.array([78, 69, 65, 61, 54, 87, 51, 67])		#样本数据
    xmean=x.mean()										#样本均值
    ymean=y.mean()										#样本均值
    xsigma2=10**2										#总体方差
    ysigma2=9.5**2										#总体方差
    n1=x.size											#样本容量
    n2=y.size											#样本容量
    alpha=0.05											#显著水平
    Z=(xmean-ymean)/np.sqrt(xsigma2/n1+ysigma2/n2)		#检验统计量值
    accept=ztest2(Z, alpha)								#双侧假设Z检验
    print('mu1-mu2=0 is %s.'%accept)
    

    第11行计算检验统计量值XYδσ12/n1+σ22/n2\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}为Z(注意,此时δ=0\delta=0),第12行调用函数ztest2检验双侧假设H0:μ1μ2=0H_0:\mu_1-\mu_2=0。运行程序,输出

    mu1-mu2=0 is True.
    

    表示接受假设H0:μ1μ2=0H_0:\mu_1-\mu_2=0,即男女生的平均成相同。
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  • 小样本,总体为正态分布,总体方差已知,z检验 小样本,总体为正态分布,总体方差未知,用样本方差代替总体方差,t检验 小样本,总体不服从正态分布,将样本量增加到30以上 总体方差检验 总体服从正态分布...

    假设检验

    1.一个总体参数的检验

    总体均值的检验(大样本情况下,样本均值的抽样分布近似服从正态分布)

    1. 大样本,总体方差已知,z检验
    2. 大样本,总体方差未知,用样本方差代替总体方差,z检验
    3. 小样本,总体为正态分布,总体方差已知,z检验
    4. 小样本,总体为正态分布,总体方差未知,用样本方差代替总体方差,t检验
    5. 小样本,总体不服从正态分布,将样本量增加到30以上

    总体方差检验

    1. 总体服从正态分布,样本量无论大小,使用卡方检验

    2.两个总体参数的检验

    两个总体均值之差的检验

    1. 独立大样本的检验,方差已知,z检验
    2. 独立大样本的检验,方差未知,样本方差代替总体方差,z检验
    3. 独立小样本的检验,需要假定总体正态分布,方差已知,z检验
    4. 独立小样本的检验,需要假定总体正态分布,方差未知但相等,样本方差代替总体方差,t检验
    5. 独立小样本的检验,需要假定总体正态分布,方差未知且不等,t检验

    两个总体方差比的检验

    1. 样本方差的比值检验,与1相比较,F检验

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  • “如要检验学生平均每月的饮料消费额是否大于等于60元,每户居民平均固定电话费是否小于等于100元等,此类问题的检验均为单侧检验。” 解答: 另外, 第一次使用ZTEST函数,比较新鲜,补充...

    如要检验学生平均每月的饮料消费额是否大于等于60元,每户居民平均固定电话费是否小于等于100元等,此类问题的检验均为单侧检验。


    解答:



    另外,


    第一次使用ZTEST函数,比较新鲜,补充说明一下。

    “For a supplied hypothesized sample mean and a supplied set of values, the Excel Ztest function calculates the one-tailed probability value of the Z-Test.
    I.e. the function returns the probability that the supplied hypothesized sample mean is greater than the mean of the supplied data values.
    The syntax of the Ztest function is:
    ZTEST( array, x, [sigma] )
    where the function arguments are:
    array-The set of values against which the hypothesized sample mean is to be tested.
    x-The hypothesized sample mean.
    [sigma]-An optional argument that represents the population standard deviation, if this is known.
    If omitted, the calculation uses the sample standard deviation.”


    感觉能看懂了,不错!


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  • “两样本总体均值之差的假设检验也是经常需要面对的问题,如需要检验经过培训后打字员的打字平均速度是否显著提高,需要检验两个营业部日平均销售额是否显著不同等。”
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空空如也

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总体方差已知的均值检验