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  • 样本方差是总体方差的无偏估计
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    2020-07-30 20:47:55

    总体均值 μ = 1 N ∑ x i \mu = \frac{1}{N}\sum x_i μ=N1xi, 总体方差 σ 2 = 1 N ∑ i ( x i − μ ) 2 \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_i (x_i - \mu)^2 σ2=N1i(xiμ)2

    样本均值 x ˉ = 1 n ∑ x i \bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i xˉ=n1xi, 样本方差 S 2 = 1 n − 1 ∑ i ( x i − x ˉ ) 2 S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_i (x_i - \bar{x})^2 S2=n11i(xixˉ)2


    证明:
    E ( S 2 ) = E ( 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 ) = 1 n − 1 E ( ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 ) = 1 n − 1 E ( ∑ i = 1 n ( x i 2 − 2 x i x ˉ + x ˉ 2 ) ) = 1 n − 1 E ( ∑ i = 1 n x i 2 − n x ˉ 2 ) = 1 n − 1 ( ∑ i = 1 n E ( x i 2 ) − n E ( x ˉ 2 ) ) = 1 n − 1 ( ∑ i = 1 n E ( x i 2 ) − n E ( x ˉ 2 ) ) \begin{array}{ll} E(S^2) &= E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \right) \\\\ &=\frac{1}{n-1} E\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \right) \\\\ &= \frac{1}{n-1} E\left(\sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2) \right) \\\\ &= \frac{1}{n-1} E\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2 \right) \\\\ &= \frac{1}{n-1} \left(\sum_{i=1}^n E(x_i^2) - nE(\bar{x}^2) \right) \\\\ &= \frac{1}{n-1} \left(\sum_{i=1}^n E(x_i^2) - nE(\bar{x}^2) \right) \\\\ \end{array} E(S2)=E(n11i=1n(xixˉ)2)=n11E(i=1n(xixˉ)2)=n11E(i=1n(xi22xixˉ+xˉ2))=n11E(i=1nxi2nxˉ2)=n11(i=1nE(xi2)nE(xˉ2))=n11(i=1nE(xi2)nE(xˉ2))


    E ( x i 2 ) = D ( x i ) + E ( x i ) 2 = σ 2 + μ 2 E(x_i^2) = D(x_i) + E(x_i)^2 = \sigma^2 + \mu^2\\ E(xi2)=D(xi)+E(xi)2=σ2+μ2 E ( x ˉ 2 ) = D ( x ˉ ) + E ( x ˉ ) 2 = σ 2 n + μ 2 E(\bar{x}^2) = D(\bar{x}) + E(\bar{x})^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2\\ E(xˉ2)=D(xˉ)+E(xˉ)2=nσ2+μ2

    所以
    E ( S 2 ) = 1 n − 1 ( ∑ i = 1 n E ( x i 2 ) − n E ( x ˉ 2 ) ) = 1 n − 1 ( n ( σ 2 + μ 2 ) − n ( σ 2 n + μ 2 ) ) = σ 2 \begin{array}{ll} E(S^2) &= \frac{1}{n-1} \left(\sum_{i=1}^n E(x_i^2) - nE(\bar{x}^2) \right) \\\\ &= \frac{1}{n-1} \left(n (\sigma^2 + \mu^2) - n(\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2) \right) \\\\ &=\sigma^2 \end{array} E(S2)=n11(i=1nE(xi2)nE(xˉ2))=n11(n(σ2+μ2)n(nσ2+μ2))=σ2
    证毕。

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  • 总体方差和样本方差

    万次阅读 多人点赞 2018-05-09 22:44:37
    讨论了总体方差和样本方差的区别

    我们知道,统计学上方差的计算公式如下:
    σ 2 = ∑ i = 1 n ( x i − μ ) n \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)}{n} σ2=ni=1n(xiμ)
    这是统计学中方差的定义,已知条件有总体的均值 μ \mu μ,以及总体个数 n n n,公式的另一种写法为:
    σ 2 = E [ ( x − μ ) 2 ] = ∑ ( x − μ ) 2 p ( x ) \sigma^2=E[(x-\mu)^2]=\sum{(x-\mu)^2}p(x) σ2=E[(xμ)2]=(xμ)2p(x)
    其中 p ( x ) p(x) p(x) x x x出现的概率,所以这个公式只对于离散变量有效


    那么,如果总体量很大,不能做到全部采样,那么就需要用样本来估计总体,假设从总体为 N N N的总数中抽取 n n n个样本,其中 ( N > > n ) (N>>n) (N>>n),采样值为 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn
    样本均值为:
    x ˉ = ∑ i = 1 n x i n \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n} xˉ=ni=1nxi
    样本的方差为:
    S 2 = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 n S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n} S2=ni=1n(xixˉ)2
    但是样本的方差和总体的方差是有差别的,计算样本方差的期望值,来估计样本方差和实际方差 σ 2 \sigma^2 σ2之间差了多少:
    E [ S 2 ] = E [ ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 n ] E[S^2]=E[\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}] E[S2]=E[ni=1n(xixˉ)2]
    = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) − ( x ˉ − μ ) ) 2 ] =E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{((x_i-\mu)-(\bar{x}-\mu))^2}] =E[n1i=1n((xiμ)(xˉμ))2]
    = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 − 2 ( x i − μ ) ( x ˉ − μ ) + ( x ˉ − μ ) 2 ) ] =E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{((x_i-\mu)^2-2(x_i-\mu)(\bar{x}-\mu)+(\bar{x}-\mu)^2)}] =E[n1i=1n((xiμ)22(xiμ)(xˉμ)+(xˉμ)2)]
    = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 − 2 n ( x ˉ − μ ) ∑ i = 1 n ( x i − μ ) + ( x ˉ − μ ) 2 ] =E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)^2}-\frac{2}{n}(\bar{x}-\mu)\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}+(\bar{x}-\mu)^2] =E[n1i=1n(xiμ)2n2(xˉμ)i=1n(xiμ)+(xˉμ)2]
    其中
    ∑ i = 1 n ( x i − μ ) \sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)} i=1n(xiμ)
    = ∑ i = 1 n x i − ∑ i = 1 n μ =\sum_{i=1}^{n}{x_i}-\sum_{i=1}^{n}{\mu} =i=1nxii=1nμ
    = n ( x ˉ − μ ) =n(\bar{x}-\mu) =n(xˉμ)
    所以
    = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 − 2 n ( x ˉ − μ ) ∑ i = 1 n ( x i − μ ) + ( x ˉ − μ ) 2 ] =E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)^2}-\frac{2}{n}(\bar{x}-\mu)\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}+(\bar{x}-\mu)^2] =E[n1i=1n(xiμ)2n2(xˉμ)i=1n(xiμ)+(xˉμ)2]
    = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 − 2 ( x ˉ − μ ) 2 + ( x ˉ − μ ) 2 ] =E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)^2}-2(\bar{x}-\mu)^2+(\bar{x}-\mu)^2] =E[n1i=1n(xiμ)22(xˉμ)2+(xˉμ)2]
    = σ 2 − E [ ( x ˉ − μ ) 2 ] =\sigma^2-E[(\bar{x}-\mu)^2] =σ2E[(xˉμ)2]
    (这里 σ 2 \sigma^2 σ2是因为样本方差的期望值是总体方差)
    E [ ( x ˉ − μ ) 2 ] E[(\bar{x}-\mu)^2] E[(xˉμ)2]
    = E ( x ˉ − E [ x ˉ ] ) 2 =E(\bar{x}-E[\bar{x}])^2 =E(xˉE[xˉ])2
    = v a r ( x ˉ ) =var(\bar{x}) =var(xˉ)
    = 1 n 2 v a r ( ∑ i = 1 n x i ) =\frac{1}{n^2}var(\sum_{i=1}^{n}{x_i}) =n21var(i=1nxi)
    = 1 n 2 ∑ i = 1 n v a r ( x i ) =\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}{var(x_i)} =n21i=1nvar(xi)
    = n σ 2 n 2 =\frac{n\sigma^2}{n^2} =n2nσ2
    = σ 2 n =\frac{\sigma^2}{n} =nσ2
    根据上面推导的式子,有以下计算:
    σ 2 − E [ ( x ˉ − μ ) 2 ] \sigma^2-E[(\bar{x}-\mu)^2] σ2E[(xˉμ)2]
    = σ 2 − σ 2 n =\sigma^2-\frac{\sigma^2}{n} =σ2nσ2
    = n − 1 n σ 2 =\frac{n-1}{n}\sigma^2 =nn1σ2
    也就是说,样本估计的方差是总体方差的 n − 1 n \frac{n-1}{n} nn1倍,即所谓的有偏估计。要转换成无偏估计,只需要乘以倍数就可以了
    n n − 1 S 2 = n n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) n = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) n − 1 \frac{n}{n-1}S^2=\frac{n}{n-1}\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})}{n-1} n1nS2=n1nni=1n(xixˉ)=n1i=1n(xixˉ)
    这即是所谓的无偏估计


    当然,还有一种比较直接的解释,由于是求样本中的方差,所以在求解样本均值时,已经用掉了一个自由度的值,所以求方差时,其实有用的值会少一个。例如在只有一个样本时,这时求样本方差是不能估计总体方差的。
    所以,总体方差和样本方差的区别是在于信息量,总体的信息是完全确定的,即这时求出来的统计参数都是能确定地表征总体的分布信息。但是用样本的信息去估计总体,则不能确定表征总体的分布信息,之间相差了一个自由度。

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  • 本短文介绍了总体、样本、总体方差、样本方差、抽样方差和标准误等概念以及它们之间的一些关系。因为一些外文材料的翻译不善以及老师课堂教学中的不重视,我身边仍有许多人将它们混淆。本短文的参考资料主要包括...

    本短文介绍了总体、样本、总体方差、样本方差、抽样方差和标准误等概念以及它们之间的一些关系。因为一些外文材料的翻译不善以及老师课堂教学中的不重视,我身边仍有许多人将它们混淆。

    本短文的参考资料主要包括Angrist和Pischke的《Mastering `metrics》以及Wooldridge的《Introductory Econometrics (Fifth edition)》。

    1 总体方差和样本方差

    总体和样本

    首先提一下“总体(population)”“样本(sample)”两个概念。总体包含我们研究的目标群体中所有的个体的数据,比如所有2008年的海归科学家的年龄;样本仅包含总体中一部分个体的数据,假设2008年的海归科学家总共10万人,我们费了大劲找到了1万人,这1万人的年龄就是刚才那个总体的一个样本。当然,总体和样本是相对的概念,如果某人研究时觉得1万个数据还是太多不好搞,从中随机抽了100个数据,这时候那1万个数据就成了总体了。

    虽说样本和总体是相对的概念,但在大多数情况下,我们都会谦虚地认为我们手里的数据只是一个样本,是通过对总体进行抽样而获得的,或者说我们的研究问题总是使得直接研究总体是不可行的。人们把关于总体的统计量叫做“总体XX(population xxx)”,把关于样本的统计量叫做“样本XX(sample xxx)”

    我们用Y来表示刚才提到的2008年的海归科学家的年龄这个随机变量(random variable)。注意,“随机变量”得名是因为它取的值们由随机试验产生,并不直接因为它自己是随机的,这里面有细微的差别。

    总体方差与样本方差

    这里我们区分两种方差,“总体方差(population variance)”

    “样本方差(sample variance)”
    。简单来说,总体方差
    就是对整个总体运用方差计算方法得到的结果:

    其中

    表示这个总体里面所有数据的平均值,即
    “总体均值(population mean)”。总体均值也叫 数学期望,后者记作E( Y)。 N表示总体里数据的个数。 N可以为正无穷,表示这个总体是无穷的。

    但对于一个具体的样本,它的样本方差

    该怎么算,取决于它的用途。因为总体方差在现实中很难获得,所以人们经常用样本方差来估计总体方差,比如在构建某些统计量的时候。这时候为了保证估计的无偏性(unbiasedness,以后详解),样本方差的计算公式就是:

    其中

    (读作
    Y bar)表示这个样本里所有数据的平均值,即 “样本均值(sample mean)”n表示 样本容量,也就是这个样本里数据的个数。注意分母并不是 n而是 n-1但是如果仅仅希望用它来展示这个样本内数据的离散程度,那么样本方差在这里就没必要除以n-1了,除以n就好了。

    方差的算术平方根叫做“标准差(standard deviation)”,“deviation”有“偏离”的意思,指的是对平均值的偏离。当然,标准差同样分为“总体标准差(population standard deviation)”

    “样本标准差(sample standard deviation)”

    在EXCEL里,方差和标准差都分别有总体版本和样本版本,其中样本版本的分母就是数据的个数减1,请根据需求谨慎使用。

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    2 抽样方差和标准误

    被衍生出的随机变量—样本均值

    刚才提到,Y的样本均值(sample mean)被记为

    ,也就是在变量符号上加一个横线。因为每从
    Y的总体里进行一次随机抽样就能得到一个
    ,所以根据定义,
    自己也是一个随机变量了,它也拥有了总体、样本等等。这里可能有点抽象,它的总体是什么?是给定样本容量
    n,所有可能的样本的平均值的集合。

    的总体方差被称为
    “抽样方差(sampling variance)”,请注意与样本方差(sample variance)区分。
    的总体标准差被称为
    “标准误(standard error)”,也记作

    标准误是个很重要的统计量,它存在是因为我们认为自己手头的数据只是一个样本而非总体。所以在建立了数学模型并用手头的数据估计出变量系数后,通常我们会问自己一个问题:如果用很多不同的样本估计同样的系数,估计值的变化会有多大?能度量这个变化性的统计量就是标准误。

    如果标准误太大(这个“大”当然是相对于系数的取值而说的,同时和样本容量也有点关系),考虑到我们真正感兴趣的是总体的情况,那么刚才用这个样本估计出的系数就没有任何参考价值,这个系数就“不显著”。

    我们手上毕竟只有一个样本,它只有一个平均值,怎么计算

    的总体方差和总体标准差呢?下文将说明
    的计算方法,它们表示的其实是“潜在的”变化性。

    抽样方差和总体方差的关系

    显然,Y

    这两个随机变量的关系异常紧密,它们各自的总体方差,即
    Y的总体方差
    和抽样方差
    有着这样的关系:

    其中n

    对应的样本容量。推导过程已略去,但是请注意,推导的过程隐含了一个假设,即总体是无穷的(所以不要问如果样本容量和总体一样大怎么办)。在现实中人们更喜欢用两边的算术平方根,即:

    其中SE即为“Standard Error”的缩写,直译过来就是“标准误”。为什么叫做“误(error)”呢?可以简单地这样理解:标准误是

    的总体标准差,如果这个标准差越大,
    的分布就越离散,我们用它来估计
    Y的总体均值
    的时候可能的误差就越大。直观地看,当样本容量
    n逼近无穷大时,根据大数定律,
    会逼近
    Y的总体均值,那么标准误就应该趋近于0。显然,计算公式告诉我们结果的确是这样的。

    之前说过,总体标准差

    在现实中很难获得,于是我们会用
    来替代上式中的

    当然,这里的样本标准差

    是总体标准差
    的估计量,计算
    的时候分母是
    而不是根号下的

    3 小结

    1)人们把关于总体的统计量叫做“总体XX(population xxx)”,把关于样本的统计量叫做“样本XX(sample xxx)”

    2)为了使样本方差成为总体方差的无偏估计量,样本方差计算时的分母并不是样本容量n而是n-1。但如果单纯想研究样本里数据的离散程度,分母就不用减1了。

    3)因为每进行一次抽样就能得到一个样本均值

    ,所以
    同样是一个随机变量。这个新随机变量的总体方差叫做
    “抽样方差(sampling variance)”,这个新随机变量的总体标准差叫做 “标准误(standard error)”。现实中的抽样方差和标准误含义可能更丰富,但都与抽样(sampling)有关。
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    1、结论

    1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 n1i=1n(XiXˉ)2有偏估计

    1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 n11i=1n(XiXˉ)2无偏估计
    \\

    2、期望已知,方差未知

    随机变量 X X X的均值已知为 μ {\mu} μ,总体方差 σ 2 {\sigma^2} σ2未知。根据方差的定义,可知:
    σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( X i − μ ) 2 {\sigma^2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(X_i-\mu)^2 σ2=N1i=1N(Xiμ)2
    其中 N N N是总体个数,从总体中抽样 n n n个样本,对于不同的抽样结果,计算出的样本方差不等,但样本方差的期望等于总体方差,故有:
    σ 2 = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 ] (1) \sigma^2=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2]\tag1 σ2=E[n1i=1n(Xiμ)2](1)

    3、期望未知,方差未知

    但实际情况下,总体的均值并不易得知,非常直接的想法就是用样本均值代替总体均值,那么替代后(1)式是否仍然成立呢?做如下推导:
    E [ 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ] = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( ( X i − μ ) − ( X ˉ − μ ) ) 2 ] = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( ( X i − μ ) 2 − 2 ( X i − μ ) ( X ˉ − μ ) + ( X ˉ − μ ) 2 ) ] = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 − 2 ( X ˉ − μ ) n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) + ( X ˉ − μ ) 2 n ∑ i = 1 n 1 ] = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 − 2 ( X ˉ − μ ) 2 + ( X ˉ − μ ) 2 ] = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 ] − E [ ( X ˉ − μ ) 2 ] = σ 2 − E [ ( X ˉ − μ ) 2 ] = σ 2 − 1 n σ 2 \begin{aligned} E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2]&=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((X_i-\mu)-(\bar{X}-\mu))^2]\\ &=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((X_i-\mu)^2-2(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2)]\\ &=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-\frac{2(\bar{X}-\mu)}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)+\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{n}\sum_{i=1}^{n}1]\\ &=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-2(\bar{X}-\mu)^2+(\bar{X}-\mu)^2]\\ &=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2]-E[(\bar{X}-\mu)^2]\\ &=\sigma^2-E[(\bar{X}-\mu)^2]\\ &=\sigma^2-\frac{1}{n}\sigma^2 \end{aligned} E[n1i=1n(XiXˉ)2]=E[n1i=1n((Xiμ)(Xˉμ))2]=E[n1i=1n((Xiμ)22(Xiμ)(Xˉμ)+(Xˉμ)2)]=E[n1i=1n(Xiμ)2n2(Xˉμ)i=1n(Xiμ)+n(Xˉμ)2i=1n1]=E[n1i=1n(Xiμ)22(Xˉμ)2+(Xˉμ)2]=E[n1i=1n(Xiμ)2]E[(Xˉμ)2]=σ2E[(Xˉμ)2]=σ2n1σ2
    过程中,第四个等号替换是因为:
    X ˉ − μ = 1 n ∑ i = 1 n X i − 1 n ∑ i = 1 n μ = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) \bar{X}-\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu) Xˉμ=n1i=1nXin1i=1nμ=n1i=1n(Xiμ)
    倒数第二个等号是将式(1)代入;

    最后一个等号是因为根据期望性质: E ( X ˉ ) = E ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i ) = 1 n ∑ i = 1 n μ = μ E(\bar{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mu=\mu E(Xˉ)=E(n1i=1nXi)=n1i=1nE(Xi)=n1i=1nμ=μ,可得:

    E [ ( X ˉ − μ ) 2 ] = E [ ( X ˉ − E ( X ˉ ) ) 2 ] = D ( X ˉ ) = D ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = 1 n 2 D ( ∑ i = 1 n X i ) = 1 n 2 ∑ i = 1 n D ( X i ) = 1 n 2 ⋅ n ⋅ σ 2 = 1 n σ 2 \begin{aligned} E[(\bar{X}-\mu)^2]&=E[(\bar{X}-E(\bar{X}))^2]\\ &=D(\bar{X})\\ &=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i)\\ &=\frac{1}{n^2}D(\sum_{i=1}^nX_i)\\ &=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nD(X_i)\\ &=\frac{1}{n^2}·n·\sigma^2\\ &=\frac{1}{n}\sigma^2 \end{aligned} E[(Xˉμ)2]=E[(XˉE(Xˉ))2]=D(Xˉ)=D(n1i=1nXi)=n21D(i=1nXi)=n21i=1nD(Xi)=n21nσ2=n1σ2
    因此,
    E ( S 2 ) = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ] = σ 2 − 1 n σ 2 = n − 1 n σ 2 \begin{aligned} E(S^2)&=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2]\\ &=\sigma^2-\frac{1}{n}\sigma^2\\ &=\frac{n-1}{n}\sigma^2 \end{aligned} E(S2)=E[n1i=1n(XiXˉ)2]=σ2n1σ2=nn1σ2
    进一步简单变形可得:
    σ 2 = n n − 1 E [ 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ] = E [ 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ] \begin{aligned} \sigma^2&=\frac{n}{n-1}E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2]\\ &=E[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2]\\ \end{aligned} σ2=n1nE[n1i=1n(XiXˉ)2]=E[n11i=1n(XiXˉ)2]
    因此,令样本方差 S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 S2=n11i=1n(XiXˉ)2,这样其期望才是总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2 的无偏估计

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  • 样本方差与总体方差

    万次阅读 2019-10-24 11:13:07
    样本方差与总体方差 对一个数据集的描述有很多方式,其中数据的集中趋势、离散程度、偏态与峰态都是可以客观的体现一个数据集的形态。 在数据集的离散程度上,方差和标准差是实际应用较多的特征值。在理解样本方差...
  • 对正态总体下方差σ2 的三类常用估计量在无偏性、有效性、一致性等准则下进行了分析与比较,以便在实际应用中较准确选取估计量 。
  • 统计学基础之样本方差和总体方差

    万次阅读 多人点赞 2020-03-14 00:17:36
    统计学基础之样本方差与总体方差 文章目录统计学基础之样本方差与总体方差1. 方差(variance)的定义2. 样本方差3. 总体方差公式的有偏性证明4. 样本方差公式分母为n-1的推导 参考资料:...
  • 总体方差与样本方差

    千次阅读 2019-03-05 17:35:11
    总体方差 = 总体均值 = 样本均值 = 样本方差(无偏估计) =
  • 在概率论与数理统计中 <p style="text-align:center"><img alt="" src="https://img-ask.csdnimg.cn/upload/1623382576541.jpg" /></p>  </p>
  • 来一点废话,帮助大家理解概率的精髓: 1) 只要谈估计,那就是告诉你一种方法,利用这个方法可以管中规豹似的获取某个统计量(这个统计量很可能限于人力物力...是总体方差 的无偏估计量。 其中是样本均值,...
  • 总体样本方差的无偏估计样本方差什么除以n-1 ...
  • 总体方差比估计.xlsx

    2013-07-26 10:01:34
    总体方差比估计,用excel 表格轻松计算。总体方差比估计
  • 1.样本方差 #样本方差,考虑自由度 def f_sigma(x): # 通过Python定义一个计算变量波动率的函数 # x:代表变量的样本值,可以用列表的数据结构输入 n = len(x) u_mean = sum(x)/n #计算变量样本值的均值 z = ...
  • 统计学之方差分析

    2021-01-07 06:17:35
    方差分析是用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。方差分析中,由于各种因素的影响,研究所得的数据呈现波动状,这种波动可以分为组间波动和组内波动两种情况。 食物1 食物2 食物3 3 5 5 2 3 6 1 ...
  • 总体方差的检验和推断 需求: 实际需求:某些实际问题中,需要对方差有严格的控制,如药品。所以需要对方差进行检验 比较方法的稳定性,即多样本的方差比较 方差相等是其他检验的前提条件,所以需要方差检验 点...
  • 总体方差】和【样本方差】是不同的概念,在计算【方差】的时候需要明确你要计算的是什么方差,同样,在用Excel进行手工验算的时候,也要注意公式
  • 统计学 参数估计 总体方差的估计 1.概述 2.卡方分布图像 因为分布的图稥是不对称的,所以我们需要两个分位点 3.例题 解 先求得 a/2 和1-a/2 两个分位点的值,带入
  • 正态总体方差的检验

    千次阅读 2020-03-30 17:32:35
    1.单个正态总体方差的卡方检验 python实现: #备择假设sigma2>0.016 from scipy import stats def ka2(n,s2,sigma2): k_value=(n-1)*s2/sigma2 p_value=1-stats.chi2.cdf(k_value,n-1) return p_value ka2...
  • 假设:样本X1,...,Xn1X_1,...,X_{n_1}X1​,...,Xn1​​来自总体X∼N(μ1,σ12)X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)X∼N(μ1​,σ12​),样本Y1,...,Yn2Y_1,...,Y_{n_2}Y1​,...,Yn2​​来自总体Y∼N(μ1,σ22)Y\sim N(\mu_1,\...
  • 有了这些知识基础之后,我们会知道样本方差之所以要除以(n-1)是因为这样的方差估计量才是关于总体方差的无偏估计量。这个公式是通过修正下面的方差计算公式而来的:     修正过程为:   我们看到...

空空如也

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总体方差是什么

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