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  • 样本方差总体方差的无偏估计

    千次阅读 2020-07-30 20:47:55
    总体均值 μ=1N∑xi\mu = \frac{1}{N}\sum x_iμ=N1...样本均值 xˉ=1n∑xi\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_ixˉ=n1​∑xi​, 样本方差 S2=1n−1∑i(xi−xˉ)2S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_i (x_i - \bar{x})^2S2=n−11​∑i

    总体均值 μ=1Nxi\mu = \frac{1}{N}\sum x_i, 总体方差 σ2=1Ni(xiμ)2\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_i (x_i - \mu)^2

    样本均值 xˉ=1nxi\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i, 样本方差 S2=1n1i(xixˉ)2S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_i (x_i - \bar{x})^2


    证明:
    E(S2)=E(1n1i=1n(xixˉ)2)=1n1E(i=1n(xixˉ)2)=1n1E(i=1n(xi22xixˉ+xˉ2))=1n1E(i=1nxi2nxˉ2)=1n1(i=1nE(xi2)nE(xˉ2))=1n1(i=1nE(xi2)nE(xˉ2)) \begin{array}{ll} E(S^2) &= E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \right) \\\\ &=\frac{1}{n-1} E\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \right) \\\\ &= \frac{1}{n-1} E\left(\sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2) \right) \\\\ &= \frac{1}{n-1} E\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2 \right) \\\\ &= \frac{1}{n-1} \left(\sum_{i=1}^n E(x_i^2) - nE(\bar{x}^2) \right) \\\\ &= \frac{1}{n-1} \left(\sum_{i=1}^n E(x_i^2) - nE(\bar{x}^2) \right) \\\\ \end{array}


    E(xi2)=D(xi)+E(xi)2=σ2+μ2 E(x_i^2) = D(x_i) + E(x_i)^2 = \sigma^2 + \mu^2\\ E(xˉ2)=D(xˉ)+E(xˉ)2=σ2n+μ2 E(\bar{x}^2) = D(\bar{x}) + E(\bar{x})^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2\\

    所以
    E(S2)=1n1(i=1nE(xi2)nE(xˉ2))=1n1(n(σ2+μ2)n(σ2n+μ2))=σ2 \begin{array}{ll} E(S^2) &= \frac{1}{n-1} \left(\sum_{i=1}^n E(x_i^2) - nE(\bar{x}^2) \right) \\\\ &= \frac{1}{n-1} \left(n (\sigma^2 + \mu^2) - n(\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2) \right) \\\\ &=\sigma^2 \end{array}
    证毕。

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  • 本博文源于matlab在概率论的应用。学过概率论的小伙伴知道要计算...其中一阶原点矩就是数学期望,而用二阶样本中心距是来计算总体方差的。了解到这些,在matlab编写代码时,对照概率论的书籍,就编写的非常愉快了。

    本博文源于matlab在概率论的应用。学过概率论的小伙伴知道要计算矩估计值需要跟原点矩和中心矩打交道。其中原点矩和中心距在概率论书中都有相应的公式我们会套用即可
    其中一阶原点矩就是数学期望,而用二阶样本中心距是来计算总体的方差的。了解到这些,在matlab编写代码时,对照概率论的书籍,就编写的非常愉快了。

    例子:随机取8只活塞,测得它们的直径(以mm计),求总体均值以及方差的矩估计值:

    这是活塞直径:单位不要忘记mm哦!

    X = [74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,73.998,74.006,74.002];
    

    然后我们采用函数编写的方式,分而治之就行了

    创建mu.m,代码如下:

    function y = mu(X)
    n = length(X);
    s = sum(X);
    y = s / n;
    
    

    这就是传说中的以样本均值代替总体均值

    创建sigma2.m,代码如下:

    function y = sigma2(X)
    Y = X - mu(X);
    Y2 = Y.*Y;
    n = length(X);
    s = sum(Y2);
    y = s/n;
    
    

    这样就是以样本方差代替总体方差的矩估计

    创建main.m,代码如下:

    这个主要处理总体数据流程控制:

    X = [74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,73.998,74.006,74.002];
    mu = mu(X)
    sig = sigma2(X)
    

    运行在matlab代码里,就会有这样的显示效果:
    在这里插入图片描述
    博主采用在线编译(网址如下):
    不要忘记收藏的链接哟!
    最后回答:由此可见,总体均值的矩估计值为74.002,总体方差的矩估计值为6*10^-6.

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  • 总体方差与样本方差

    千次阅读 2017-06-08 19:18:09
    这本是一件很容易的事,但我手算后用Matlab的cov函数验算了一下,发现结果竟然不一样,于是按照协方差公式,一步步验算,终于在求方差这一步发现了问题:用var函数求的方差与手动算的不一样。于是doc var一看: ...

    今天在计算一类数据的协方差时遇到个问题。数据如下:
    x1=(0,0,0)’
    x2=(1,0,0)’
    x3=(1,0,1)’
    x4=(1,1,0)’
    这本是一件很容易的事,但我手算后用Matlab的cov函数验算了一下,发现结果竟然不一样,于是按照协方差公式,一步步验算,终于在求方差这一步发现了问题:用var函数求的方差与手动算的不一样。于是doc var一看:

    这里写图片描述

    从画线处可以看到,当样本数为N时,matlab默认用N-1来归一化,以此来作为总体方差的无偏估计。那么问题就来了,总体方差与我们平时计算所用的方差(样本方差)有什么区别?
    显然,若总体确定,总体的方差应该是确定的,但有时候总体一般很难得到,我们只能得到总体中的一些样本,从这些样本中求的方差叫做样本方差,我们就是要通过计算样本方差去估计总体方差。但是他们的计算方法有区别。对于样本方差来说,计算方法应该是这样:

    s2=1n1i=1n(xim)2

    其中m是样本均值。实际上,样本方差是对总体方差的一个无偏估计。
    这就解释了为什么手算的协方差与Matlab算的不同,因为cov函数里面也是这样:

    这里写图片描述

    将var(x)改为var(x,1)就和我手算的结果一样了。

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  • 样本总体方差有偏估计和无偏估计的理解

    千次阅读 多人点赞 2019-06-22 15:47:34
    学习概统的时候大家应该都知道有偏估计是 ...有一个重要的假设,就是随机选取的样本总体样本同分布,它的意思就是说他们的统计特性是完全一样的,即他们的期望值一样,他们的方差值也是一样的: ...

     

    学习概统的时候大家应该都知道有偏估计是

    如果把x的均值换成确定的值u那么就是无偏的,原因后面说明

    无偏估计是

    是关于方差的无偏估计,那么为什么一个是/(n-1),为什么一个是/n呢

    首先我们清楚几个公式,

    D(x)=

    E(x)=

    有一个重要的假设,就是随机选取的样本X_{i}与总体样本同分布,它的意思就是说他们的统计特性是完全一样的,即他们的期望值一样,他们的方差值也是一样的:

    E(X_{i})=E(X)=\mu

    D(X_{i})=D(X)=\sigma ^{2}

    由于每个样本的选取是随机的,因此可以假设X_{1},X_{2},...,X_{n}不相关(意味着协方差为0,即Cov(X_{i},X{j})=0,i\neq j),根据方差性质就有:

    D(X_{i}+X_{j})=D(X_{i})+D(X_{j})+2Cov(X_{i},X_{j})=D(X_{i})+D(X_{j})=2\sigma ^{2}

    方差的基本公式:

    D(X)=E(X^2)-E^2(X)

    这个公式比较重要,注意我们估计的均值的方差不为0,说明他本身不是一个确定的值,是有一定的波动范围的,并且由于我们不能完全估计所有的样本来得到均值,选取的是一部分的样本,所以方差是比总的方差小。

    无偏估计的一个定义是:估计量的数学期望等于被估计参数的真实值,则称此此估计量为被估计参数的无偏估计,即具有无偏性,是一种用于评价估计量优良性的准则。无偏估计的意义是:在多次重复下,它们的平均数接近所估计的参数真值。

    我们可以通过下面的对方差求均值来看她的均值

    E(S^{2})=E(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2})=\frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^{n}X_{i}^2-n \bar{X}^{2})

    =\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^2)-nE(\bar{X}^{2}) )

    =\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}[D(X_{i})+E^2(X_{i})]-n[D(\bar{X})+E^{2}(\bar{X}) ])

    =\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}[\sigma ^2+\mu^2]-n[\frac{1}{n}\sigma ^2+\mu^{2} ])=\sigma ^2

    这个推导的关键在于,样本的均值并不等于实际的均值,他有一定的波动,(如果是实际的均值u,那么结果就是无偏的),当用样本的均值代替实际的均值u的时候,实际的方差的均值也会受到样本均值的方差的影响,从而偏离实际方差,所以要修正就要/n-1。所以他称为无偏估计。

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  • 样本均值和样本方差  首先对于样本$x_1...x_n$来说,他们的均值为与方差分别为:  $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i$  $s^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$  要...
  • “参数估计(parameter estimation)是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。人们常常需要根据手中的数据,分析或推断数据反映的本质规律。即根据样本数据如何选择统计量去推断总体的分布或...
  • 样本均值为X‾=1n∑i=1nXi\overline{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_iX=n1​i=1∑n​Xi​,样本方差为S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2S2=n−11​i=1∑n​...
  • 很多同学会很奇怪一个问题,那就是为什么样本的二阶中心m2=1n∑i=1n(Xi−X‾)2m_2=\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2m2​=n1​∑i=1n​(Xi​−X)2和样本方差S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2S^2 = \...
  • 取分母n-1,可使样本方差的期望等于总体方差,即这种定义的样本方差总体方差的无偏估计。 这样看,x1,x2,...xn是n个可以自由变化的样本,互不影响。 而x1-xbar, x2-xbar,...xn-xbar是否也是n个自由变化的呢?不是...
  • 关于用matlab求样本均值方差以及k阶原点的matlab程序关于用matlab求样本均值和方差以及matlab程序1n1. 样本均值,公式xX,(其中X为样本)。程序如下: ,i,1infunction y=sample_average(x);x=input('输入x的值:');y=...
  • 要看你是什么目的,如果目的就是要求这些数据的方差(即把这组数据看做总体),那就用总体方差,如果是为了用样本方差估计总体方差,那就用样本方差计算。 标准差(SD): 标准差是方差的开方,也是...
  • 020 Г函数在正态分布数学期望及方差公式推导的应用;矩估计量、最大似然估计量习题;评价标准之无偏性
  • 关于用matlab 求样本均值和方差以及matlab 程序1. 样本均值,公式11n i i x X n==∑(其中X 为样本)。程序如下: function y=sample_average(x);x=input('输入x 的值:');y=mean(x);disp('样本的均值为:'),disp(y); ...
  • 具体思路(一般是求一阶原点矩和一阶中心矩即期望与方差)根据总体的分布以及概率函数,计算出总体的数学期望与方差,得到总体矩的函数用样本矩的函数取替换总体矩的函数。题目一-基础概念题:矩估计的定义矩估计的...
  • 从定义开始,一文看懂无偏估计方差为什么是n-1

    万次阅读 多人点赞 2017-10-18 15:11:26
    什么叫无偏估计?为什么方差的定义里写的是1/n,但又说无偏估计是1/(n-1)?本文本着一切都从定义开始的原则,推导无偏估计方差
  • 有关概率论基础的5个推导,样本方差用的是(n-1)!
  • 样本方差的无偏估计与(n-1)的由来 一、无偏估计 所谓总体参数估计量的无偏性指的是,基于不同的样本,使用该估计量可算出多个估计值,但它们的平均值等于被估参数的真值。  在某些场合下,无...
  • 问题所在: 用到的样本方差公式: 推导过程 最后结果:
  • 矩估计样本的统计量样本的矩思考矩估计矩估计的结论例题 样本的统计量 样本的矩 思考 矩估计 矩估计的结论 用样本的期望代替总体的期望,用样本的(伪)方差代替总体方差。 例题 权限&免责&交流...
  • 矩估计和最大似然估计关系

    万次阅读 2017-03-22 11:57:12
    矩估计法, 也称“矩法估计”,就是利用样本矩来估计总体中相应的参数。首先推导涉及感兴趣的参数的总体矩( 即所考虑的随机变量的幂的期望值)的方程。然后取出一个样本并从这个样本估计总体矩。接着使用样本矩...
  • 目录 矩估计量 无偏性-估计量的评选标准 ...B2不是总体方差D(X)的无偏估计.,样本方差S方是DX的无偏估计量 一致估计量 与此相对,无偏性和有效性的概念是对固定的样本而言,不需要样本容...
  • 在某些科学著作中,一旦从感兴趣的人群中收集数据,通常很难了解数据以无组织方式呈现时的... 这是得出 X 的总体方差的无偏估计量。 Y = VAR(X,1) 通过 N 进行归一化并产生样本关于其均值的二阶。 VAR(X,0) 与 VAR(X)
  • 矩估计

    千次阅读 2013-03-25 11:14:44
    因此可以通过样本矩估计总体矩,而总体矩中包含未知参数,可以通过求解方程组的方法来求解未知参数。 样本的k阶原点总体k阶原点的无偏估计,而中心一般不是无偏的,有时可以通过一些参数修正为无偏估计。...
  • 就是用样本统计量去估计总体的参数,如用样本均值 x⃗\vec xx 去估计总体均值 μ ,用样本比例 p 估计总体比例 π ,样本方差 s2s^2s2 估计总体方差 δ2δ^2δ2 . 现在我们将总体参数笼统的称为 θ ,而用于估计总体参数...

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总体方差的矩估计是样本方差