特别专题：计算样本方差时为什么是除以(n-1)？
对于初学者，上面这个问题可能会感到十分困扰，计算平均数难道不应该直接除以样本量n吗，怎么好好地偏要除以(n-1)?实难理解。负责任的老师讲到这里一般会给你抛出一个叫“自由度”的概念，说因为“计算过程中，我们用样本均数代替总体均数，所以自由度要损失1，因此就是(n-1)”。然后就继续往下讲了，你懂了吗？肯定不懂。
今天我就带着大家一步一步搞懂这其中的道理，期待能帮你解惑！
如果听过我们“丁点帮你”公众号的《SPSS软件应用与统计思维》课的同学可能会觉得：怎么讲的这么基础啊？那些还用讲吗？是的，我们这套课程就是完全强调基础的一门课。因为我们发现，往往理解的难处实际在于基础知识的似是而非，在很简单地地方犯糊涂。比如，方差这个概念，看着很简单，实则有一些很重要的内容稍不留神就被忽略。
首先，我们要知道，方差分为总体方差和样本方差(这一点如果没有区分，你是弄不懂为什么除以(n-1)这个问题的)。接着，如何计算方差？不就是用每一个数减去均数，再平方，然后加和求平均吗？说着很简单，但你知道这里的均数是指什么均数吗？答案是“总体均数”，对，是“总体均数”！也就是说，如果总体均数已知，你求样本方差的时候是除以n的，而不是除以(n-1)，计算公式如下：
注：上式S的平方代表样本方差；Xi 代表样本值，μ代表总体均值，n代表样本量。
但是，现实生活中，我们往往不清楚一个总体的总体均数，而是通过抽取样本，计算样本均数，然后用样本均数来代替总体均数，所以样本方差的计算就变为：
仔细比较这两个公式，就会发现，以前老师讲的确实没错，当把总体均数变为样本均数时，除以n就变成除以(n-1)了。所以，看到这里，你至少明白，变化的原因实际上就在于总体和样本的区别。关于总体和样本，不太明白的同学可以去看看我们第三讲“统计学核心思维与统计描述”的讲解。
我们都知道，统计学重要的研究内容之一是“用样本推测总体”。具体而言，就是用样本均数和样本标准差来估计总体均数和总体标准差，而这里的估计有一个很重要的原则就是“无偏”。所谓“无偏”，就是说，样本值应该是围绕总体值上下波动的，它不能总在总体值的上面，或者总在总体值下面。这里我们需要明确，对于一个特定的总体，其总体均数和总体标准差是恒定不变的。但是，从总体中我们可以进行无数次抽样，每次抽样便获得一个特定的样本，然后计算出特定的样本均数和样本标准差。所以，只要抽样一次，样本值就可能变化一次。因此，样本值是变化的。用一个变化的量去估计一个恒定的量，首要原则就是“无偏”。换言之，如果我们知道某一个变化的量如果总是小于这个恒定的量，那么这个变化量就不是一个无偏估计。
比如，数学上可以证明：
上面不等式恒成立。注意，左边是样本均数，右边是总体均数。所以，我们知道，当用样本均数代替总体均数后，上面左边的式子总是小于右边的式子。因此，如果我们采取左式计算样本方差，那它就不是总体方差的“无偏”估计了，而是总小于总体方差。可现实中我们无法计算右式(总体均数μ未知)，那该怎么办呢？于是，人们就想，既然左式总会低估，那有没有什么办法把它调整一下呢？唯一的办法就是从分母下手，将它的分母调小，这个值不就变大了吗？因而把除数n变小是可取的。问题是变多少呢？你说变成(n-1)，那为啥(n-2)就不行？看到这里，我们不得不佩服统计学家们的智慧：通过数学公式推到，他们找到如下定量关系：
把上式稍作调整，我们便可以得到：
仔细看看，上面左右等式就是我们开篇提出的样本方差的计算方法。右边是是减去的总体均数，即理想情况下，知道总体均数的计算方法；它等于左边运用样本均数的求法，就是这么神奇！由此，样本均数之所以要除以(n-1)实际上是通过数学公式推导出来的，而不是拍脑袋决定的。而引入自由度的概念，某种程度是为数学推导的结论增添了实际含义。
以上便是样本方差(n-1)的大致缘由，简单起见，文章略去了具体的数学推导过程，而是重点通过“总体”与“样本”的区别以及“无偏估计”的原则给大家梳理了其中的逻辑，希望能增进你的理解。
对文中数据推导感兴趣的同学可阅览(本文有参考)：

总体方差与样本方差：
样本方差与总体方差计算差别在于分母是样本数n-1。很多的解释关于自由度：自由度，这里暂集中理清楚总体方差和总体样本的关系，先不扯自由度。
关于样本方差的推导，如果我们认为方差样本形如总体样本：
因为
所以（1）式中第二项和第三项减去后
原式
然后第一项在中心极限中就是总体方差的无偏估计，而第二项当等于0时，全式就是总体方差了。但是很可惜，因为这个平方导致这个数的期望大于0。这意味着，如果能够事先预知总体样本，然后代入公式后，就不用再除以1/(n+1)而是1/n了。
所以我们知道现在为什么是有偏估计了，如果还不理解，我们可以通过图来理解理解。
现在有总体包含X1,X2,X3，第一条坐标系是指总体样本以及总体均值。后三条分别为样本及样本均值。
正常来说，抽样取出来的样本均值的期望就是总体期望，但是每一次得到的样本均值其实是最优点。当我们在X1和X3中选一个点P使(X1-P)^2+(X3-P)^2最小，毫无疑问就是平均值。因此每一次抽样的时候得到的都是最优点，以至于得到的样本方差的期望小于总体方差。
那1/(n-1)是怎么来的，假设我们不知道样本方差和我们希望估算出的总体方差之间的关系，我们希望样本方差的期望等于总体方差，也就是：
因为x的平均数是由x求出的，所以x平均数的期望必然等于x的期望，所以式中和的平方项消去。所以原式变为：
因为 
所以
至此通过一步一步的推导我们可以看出一个问题：无偏估计还是会存在误差，只是通过在中心极限定理下会趋于最终值。所以在取样时保证最小样本量对整体估计的准确性才是最有帮助的。

本博文源于《商务统计》,主要研究两个总体方差比的区间估计的计算，如何更好的套用公式。
实验起源及引例
现有两套A、B卷子，由一群20名同学去做测试，观察A、B卷的难易程度。每个同学测得两份成绩，即A成绩、B成绩。然后两个成绩之差，作为一个记录，根据两者之差描述总体方差比的区间估计。
实验须知

如果两个样本的方差之比接近于1，说明两个总体方差很接近。
反之说明两个方差偏差过大，总体值有差异

如何理解方差之比跟卡方分布与F分布挂上钩的
卡方分布是在单总体方差估计的时候引出来的，目标就是对单总体方差进行更好的描述统计。

统计|如何建立单总体方差的置信区间

由卡方分布就会定义出F分布的由来


两个总体方差比的区间估计公式


σ1，2就是我们要求取的总体方差比
S1,S2就是样本方差
n1,n2就是样本的容量

其中F分布的下分位数，需要借助这个公式进行计算：


例子：工厂加工零件


粉色的字体第一个i=1,2，第二个字体是0.90。梳理能获得的常量，转化公式的参数：

S1,S2的值
置信水平0.90
n1,n2也告诉你了，代入公式






学习总结
通过两个总体方差比的区间估计的学习会发现，我们的区间估计是不断站在前人经验的成果之上的，我们先知道单总体方差的区间估计的卡方分布，然后捣鼓出F分布，根据F分布的一些性质，算出总体方差比的区间估计。而公式的掌握是非常有必要的。

总体方差与样本方差：
样本方差与总体方差计算差别在于分母是样本数n-1。很多的解释关于自由度：自由度，这里暂集中理清楚总体方差和总体样本的关系，先不扯自由度。
关于样本方差的推导，如果我们认为方差样本形如总体样本：
因为
所以（1）式中第二项和第三项减去后
原式
然后第一项在中心极限中就是总体方差的无偏估计，而第二项当等于0时，全式就是总体方差了。但是很可惜，因为这个平方导致这个数的期望大于0。这意味着，如果能够事先预知总体样本，然后代入公式后，就不用再除以1/(n+1)而是1/n了。
所以我们知道现在为什么是有偏估计了，如果还不理解，我们可以通过图来理解理解。
现在有总体包含X1,X2,X3，第一条坐标系是指总体样本以及总体均值。后三条分别为样本及样本均值。
正常来说，抽样取出来的样本均值的期望就是总体期望，但是每一次得到的样本均值其实是最优点。当我们在X1和X3中选一个点P使(X1-P)^2+(X3-P)^2最小，毫无疑问就是平均值。因此每一次抽样的时候得到的都是最优点，以至于得到的样本方差的期望小于总体方差。
那1/(n-1)是怎么来的，假设我们不知道样本方差和我们希望估算出的总体方差之间的关系，我们希望样本方差的期望等于总体方差，也就是：
因为x的平均数是由x求出的，所以x平均数的期望必然等于x的期望，所以式中和的平方项消去。所以原式变为：
因为 
所以
至此通过一步一步的推导我们可以看出一个问题：无偏估计还是会存在误差，只是通过在中心极限定理下会趋于最终值。所以在取样时保证最小样本量对整体估计的准确性才是最有帮助的。