在统计描述中，方差用来计算每一个变量*（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。总体方差计算公式：$${\sigma }^2=\frac{\sum (X-\mu {)}^2}{N}$$公式中${\sigma }^2$为总体方差，$X$为变量，$\mu$为总体均值，$N$为总体例数。
 
在实际工作中，总体均数难以得到时，应用样本统计量代替总体参数，经校正后，样本方差计算公式：$$S^2=\frac{\sum (X-\overline{X}{)}^2}{(n-1)}$$公式中$S^2$为样本方差，$X$为变量，$\overline{X}$为样本均值，$n$为样本例数。

 
样本方差与总体方差

 
对一个数据集的描述有很多方式，其中数据的集中趋势、离散程度、偏态与峰态都是可以客观的体现一个数据集的形态。
 
在数据集的离散程度上，方差和标准差是实际应用较多的特征值。在理解样本方差和总体方差的公式上有了疑惑，于是将公式拿出来推导一下。（总体和样本的概念想提一下，对于一个西瓜而言，包含的所有西瓜子就是一个总体；对半切开之后，其中的一瓣的所有西瓜子就是一个样本。）
 
总体方差公式：
 
 样本方差公式：
 

 可见样本的方差公式分母为 n-1，而总体的方差公式分母为 N；分母的差异也源于分子中样本平均值（x ba）与总体平均值（mu）的差异。下面我们就来推导一下：
 除非样本平均值与总体平均值相等，否则样本的方差值是小于总体的方差值。为了使我们只有样本的情况下得出无偏估计方差，将样本方差公式的分母修正为 n-1（样本的自由度），至于为什么这样修正，等我再需要了解的时候再补充。

numpy自带一些函数接口，可以用来很方便的计算一组数据的均值（mean），方差（variance）和标准差（standard deviation）。
均值（mean）
>>> a = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9])
>>> np.mean(a)
5.0
除了np.mean函数，还有np.average函数也可以用来计算mean，不一样的地方时，np.average函数可以带一个weights参数：
>>> np.average(a)
5.0
>>> np.average(a, weights=(1,1,1,1,1,1,1,1,1))
5.0
>>> np.average(a, weights=(1,1,1,1,1,1,1,6,1))
6.071428571428571
mean函数有axis参数可以使用：
>>> a
array([[ 0, 1, 2, 3, 4],
[ 5, 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13, 14],
[15, 16, 17, 18, 19]])
>>> a.shape
(4, 5)
>>> np.mean(a, axis=0)
array([ 7.5, 8.5, 9.5, 10.5, 11.5])
>>> np.mean(a, axis=0).shape
(5,)
>>> np.mean(a, axis=1)
array([ 2., 7., 12., 17.])
>>> np.mean(a, axis=1).shape
(4,)
>>> np.mean(a, axis=(0,1))
9.5
>>> np.mean(a)
9.5
方差（variance）
>>> np.var(a)
6.666666666666667
>>> np.var(a, ddof=1)
7.5
np.var函数计算方差。注意ddof参数，默认情况下，np.var函数计算方差时，是除以n=len(a)，此时ddof=0。我们都知道用样本方差来估计总体方差的计算公式是除以n-1，此时ddof=1。
下面是自己算的方差，给使用np.var信心：
>>> tss = 0
>>> for i in range(len(a)):
... tss += (a[i]-np.mean(a))**2
...
>>> tss
60.0
>>> tss/(len(a)-1)
7.5
>>> tss/(len(a))
6.666666666666667
标准差（standard deviation）
>>> np.sqrt(np.var(a))
2.581988897471611
>>> np.sqrt(np.var(a))**2
6.666666666666666
>>>
>>> np.sqrt(np.var(a, ddof=1))
2.7386127875258306
>>> np.sqrt(np.var(a, ddof=1))**2
7.5
函数np.sqrt用来开根号！
除了np.sqrt外，还有一个专门的std函数，用来计算标准方差：
>>> a
array([[ 0, 1, 2, 3, 4],
[ 5, 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13, 14],
[15, 16, 17, 18, 19]])
>>> np.std(a)
5.766281297335398
>>> np.sqrt(np.var(a))
5.766281297335398
>>> np.std(a, ddof=1)
5.916079783099616
>>> np.sqrt(np.var(a, ddof=1))
5.916079783099616
np.std
-- EOF --

使用numpy可以做很多事情，在这篇文章中简单介绍一下如何使用numpy进行方差/标准方差/样本标准方差/协方差的计算。
variance: 方差
方差（Variance）是概率论中最基础的概念之一，它是由统计学天才罗纳德·费雪1918年最早所提出。用于衡量数据离散程度，因为它能体现变量与其数学期望（均值）之间的偏离程度。具有相同均值的数据，而标准差可能不同，而通过标准差的大小则能更好地反映出数据的偏离度。
计算：一组数据1，2，3，4，其方差应该是多少？
计算如下：
均值=(1+2+3+4)/4=2.5
方差=((1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 +(4-2.5)^2)/4 = (2.25+0.25+0.25+2.25)/4 = 1.25
python的numpy库中使用var函数即可求解，代码&执行如下：
liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-5.py
#!/usr/local/bin/python
import numpy as np
arr = np.array([1,2,3,4])
print("variance of [1,2,3,4]:", np.var(arr))
liumiaocn:tmp liumiao$ python np-5.py
('variance of [1,2,3,4]:', 1.25)
liumiaocn:tmp liumiao$
standard deviation: 标准偏差
标准偏差=方差的开放，所以：
计算： 一组数据1，2，3，4，其标准偏差应该是多少？
计算就很简单了，对其求出的方差1.25进行开方运算即可得到大约1.118
可以使用numpy库中的std函数就可以非常简单的求解，代码&执行如下：
liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-6.py
#!/usr/local/bin/python
import numpy as np
arr = np.array([1,2,3,4])
print("variance of [1,2,3,4]:", np.var(arr))
print("sqrt of variance [1,2,3,4]:",np.sqrt(np.var(arr)))
print("standard deviation: np.std()", np.std(arr))
liumiaocn:tmp liumiao$ python np-6.py
('variance of [1,2,3,4]:', 1.25)
('sqrt of variance [1,2,3,4]:', 1.118033988749895)
('standard deviation: np.std()', 1.118033988749895)
liumiaocn:tmp liumiao$
sample standard deviation： 样本标准偏差
标准偏差是对总体样本进行求解，如果有取样，则需要使用样本标准偏差，它也是一个求开方的运算，但是对象不是方差，方差使用是各个数据与数学均值的差的求和的均值，简单来说除的对象是N，样本偏差则是N-1。
计算： 一组数据1，2，3，4，其样本标准偏差应该是多少？
计算如下：
均值=(1+2+3+4)/4=2.5
样本标准偏差的方差=((1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 +(4-2.5)^2)/3 = (2.25+0.25+0.25+2.25)/4 = 5/3
所以对5/3开方运算所得到的就是样本标准偏差为：1.29
同样适用numpy的std函数就可以做到这点，只需要将其一个Optional的参数设定为1即可，代码&执行如下：
liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-7.py
#!/usr/local/bin/python
import numpy as np
arr = np.array([1,2,3,4])
print("sample standard deviation: np.std()", np.std(arr, ddof=1))
liumiaocn:tmp liumiao$ python np-7.py
('sample standard deviation: np.std()', 1.2909944487358056)
liumiaocn:tmp liumiao$
注意：matlab中的std实际指的是样本标准偏差，这点需要注意，如果你的代码从matlab上copy过来，请注意其实际的意义是标准偏差还是样本标准偏差
Covariance：协方差
协方差和方差较为接近，区别在于除数为N-1。
计算： 一组数据1，2，3，4，其协方差应该是多少？
计算如下：
均值=(1+2+3+4)/4=2.5
方差=((1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 +(4-2.5)^2)/(4-1) = (2.25+0.25+0.25+2.25)/3 = 1.66667
使用numpy的cov函数即可简单求出，代码和执行结果如下：
liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-8.py
#!/usr/local/bin/python
import numpy as np
arr = np.array([1,2,3,4])
print("Covariance: np.cov()", np.cov(arr))
liumiaocn:tmp liumiao$ python np-8.py
('Covariance: np.cov()', array(1.66666667))
liumiaocn:tmp liumiao$
总结
以上就是这篇文章的全部内容了，希望本文的内容对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值，谢谢大家对我们的支持。如果你想了解更多相关内容请查看下面相关链接
本文标题: Python计算库numpy进行方差/标准方差/样本标准方差/协方差的计算
本文地址: http://www.cppcns.com/jiaoben/python/248621.html