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  • 总体方差和样本方差

    千次阅读 2020-01-03 08:57:01
    在统计描述中,方差用来计算每一个变量*...总体方差计算公式:σ2=∑(X−μ)2N\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N}σ2=N∑(X−μ)2​公式中σ2\sigma^2σ2为总体方差,XXX为变量,μ\muμ为总体均值,NNN为总体例数。 ...

    在统计描述中,方差用来计算每一个变量*(观察值)与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零,离均差平方和受样本含量的影响,统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。总体方差计算公式: σ 2 = ∑ ( X − μ ) 2 N \sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N} σ2=N(Xμ)2公式中 σ 2 \sigma^2 σ2为总体方差, X X X为变量, μ \mu μ为总体均值, N N N为总体例数。

    在实际工作中,总体均数难以得到时,应用样本统计量代替总体参数,经校正后,样本方差计算公式: S 2 = ∑ ( X − X ‾ ) 2 ( n − 1 ) S^2=\frac{\sum(X-\overline{X})^2}{(n-1)} S2=(n1)(XX)2公式中 S 2 S^2 S2为样本方差, X X X为变量, X ‾ \overline{X} X为样本均值, n n n为样本例数。

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  • 样本方差与总体方差

    万次阅读 2019-10-24 11:13:07
    在理解样本方差和总体方差公式上有了疑惑,于是将公式拿出来推导一下。(总体和样本的概念想提一下,对于一个西瓜而言,包含的所有西瓜子就是一个总体;对半切开之后,其中的一瓣的所有西瓜子就是一个样本。) ...

    样本方差与总体方差

    对一个数据集的描述有很多方式,其中数据的集中趋势、离散程度、偏态与峰态都是可以客观的体现一个数据集的形态。

    在数据集的离散程度上,方差和标准差是实际应用较多的特征值。在理解样本方差和总体方差的公式上有了疑惑,于是将公式拿出来推导一下。(总体和样本的概念想提一下,对于一个西瓜而言,包含的所有西瓜子就是一个总体;对半切开之后,其中的一瓣的所有西瓜子就是一个样本。)

    总体方差公式:
    总体方差公式
    样本方差公式:

    在这里插入图片描述
    可见样本的方差公式分母为 n-1,而总体的方差公式分母为 N;分母的差异也源于分子中样本平均值(x ba)与总体平均值(mu)的差异。下面我们就来推导一下:
    在这里插入图片描述除非样本平均值与总体平均值相等,否则样本的方差值是小于总体的方差值。为了使我们只有样本的情况下得出无偏估计方差,将样本方差公式的分母修正为 n-1(样本的自由度),至于为什么这样修正,等我再需要了解的时候再补充。

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  • numpy自带一些函数接口,可以用来很方便的计算一组数据的均值(mean),方差(variance)和标准差(standard deviation)。均值(mean)>>> a = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9])>>> np.mean(a)5.0除了np.mean函数,...

    numpy自带一些函数接口,可以用来很方便的计算一组数据的均值(mean),方差(variance)和标准差(standard deviation)。

    均值(mean)

    >>> a = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9])

    >>> np.mean(a)

    5.0

    除了np.mean函数,还有np.average函数也可以用来计算mean,不一样的地方时,np.average函数可以带一个weights参数:

    >>> np.average(a)

    5.0

    >>> np.average(a, weights=(1,1,1,1,1,1,1,1,1))

    5.0

    >>> np.average(a, weights=(1,1,1,1,1,1,1,6,1))

    6.071428571428571

    mean函数有axis参数可以使用:

    >>> a

    array([[ 0, 1, 2, 3, 4],

    [ 5, 6, 7, 8, 9],

    [10, 11, 12, 13, 14],

    [15, 16, 17, 18, 19]])

    >>> a.shape

    (4, 5)

    >>> np.mean(a, axis=0)

    array([ 7.5, 8.5, 9.5, 10.5, 11.5])

    >>> np.mean(a, axis=0).shape

    (5,)

    >>> np.mean(a, axis=1)

    array([ 2., 7., 12., 17.])

    >>> np.mean(a, axis=1).shape

    (4,)

    >>> np.mean(a, axis=(0,1))

    9.5

    >>> np.mean(a)

    9.5

    方差(variance)

    >>> np.var(a)

    6.666666666666667

    >>> np.var(a, ddof=1)

    7.5

    np.var函数计算方差。注意ddof参数,默认情况下,np.var函数计算方差时,是除以n=len(a),此时ddof=0。我们都知道用样本方差来估计总体方差的计算公式是除以n-1,此时ddof=1。

    下面是自己算的方差,给使用np.var信心:

    >>> tss = 0

    >>> for i in range(len(a)):

    ... tss += (a[i]-np.mean(a))**2

    ...

    >>> tss

    60.0

    >>> tss/(len(a)-1)

    7.5

    >>> tss/(len(a))

    6.666666666666667

    标准差(standard deviation)

    >>> np.sqrt(np.var(a))

    2.581988897471611

    >>> np.sqrt(np.var(a))**2

    6.666666666666666

    >>>

    >>> np.sqrt(np.var(a, ddof=1))

    2.7386127875258306

    >>> np.sqrt(np.var(a, ddof=1))**2

    7.5

    函数np.sqrt用来开根号!

    除了np.sqrt外,还有一个专门的std函数,用来计算标准方差:

    >>> a

    array([[ 0, 1, 2, 3, 4],

    [ 5, 6, 7, 8, 9],

    [10, 11, 12, 13, 14],

    [15, 16, 17, 18, 19]])

    >>> np.std(a)

    5.766281297335398

    >>> np.sqrt(np.var(a))

    5.766281297335398

    >>> np.std(a, ddof=1)

    5.916079783099616

    >>> np.sqrt(np.var(a, ddof=1))

    5.916079783099616

    np.std

    -- EOF --

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  • 使用numpy可以做很多事情,在这篇文章中简单介绍一下如何使用numpy进行方差/标准方差/样本标准方差/协方差的计算。variance: 方差方差(Variance)是概率论中最基础的概念之一,它是由统计学天才罗纳德·费雪1918年...

    使用numpy可以做很多事情,在这篇文章中简单介绍一下如何使用numpy进行方差/标准方差/样本标准方差/协方差的计算。

    variance: 方差

    方差(Variance)是概率论中最基础的概念之一,它是由统计学天才罗纳德·费雪1918年最早所提出。用于衡量数据离散程度,因为它能体现变量与其数学期望(均值)之间的偏离程度。具有相同均值的数据,而标准差可能不同,而通过标准差的大小则能更好地反映出数据的偏离度。

    计算:一组数据1,2,3,4,其方差应该是多少?

    计算如下:

    均值=(1+2+3+4)/4=2.5

    方差=((1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 +(4-2.5)^2)/4 = (2.25+0.25+0.25+2.25)/4 = 1.25

    python的numpy库中使用var函数即可求解,代码&执行如下:

    liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-5.py

    #!/usr/local/bin/python

    import numpy as np

    arr = np.array([1,2,3,4])

    print("variance of [1,2,3,4]:", np.var(arr))

    liumiaocn:tmp liumiao$ python np-5.py

    ('variance of [1,2,3,4]:', 1.25)

    liumiaocn:tmp liumiao$

    standard deviation: 标准偏差

    标准偏差=方差的开放,所以:

    计算: 一组数据1,2,3,4,其标准偏差应该是多少?

    计算就很简单了,对其求出的方差1.25进行开方运算即可得到大约1.118

    可以使用numpy库中的std函数就可以非常简单的求解,代码&执行如下:

    liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-6.py

    #!/usr/local/bin/python

    import numpy as np

    arr = np.array([1,2,3,4])

    print("variance of [1,2,3,4]:", np.var(arr))

    print("sqrt of variance [1,2,3,4]:",np.sqrt(np.var(arr)))

    print("standard deviation: np.std()", np.std(arr))

    liumiaocn:tmp liumiao$ python np-6.py

    ('variance of [1,2,3,4]:', 1.25)

    ('sqrt of variance [1,2,3,4]:', 1.118033988749895)

    ('standard deviation: np.std()', 1.118033988749895)

    liumiaocn:tmp liumiao$

    sample standard deviation: 样本标准偏差

    标准偏差是对总体样本进行求解,如果有取样,则需要使用样本标准偏差,它也是一个求开方的运算,但是对象不是方差,方差使用是各个数据与数学均值的差的求和的均值,简单来说除的对象是N,样本偏差则是N-1。

    计算: 一组数据1,2,3,4,其样本标准偏差应该是多少?

    计算如下:

    均值=(1+2+3+4)/4=2.5

    样本标准偏差的方差=((1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 +(4-2.5)^2)/3 = (2.25+0.25+0.25+2.25)/4 = 5/3

    所以对5/3开方运算所得到的就是样本标准偏差为:1.29

    同样适用numpy的std函数就可以做到这点,只需要将其一个Optional的参数设定为1即可,代码&执行如下:

    liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-7.py

    #!/usr/local/bin/python

    import numpy as np

    arr = np.array([1,2,3,4])

    print("sample standard deviation: np.std()", np.std(arr, ddof=1))

    liumiaocn:tmp liumiao$ python np-7.py

    ('sample standard deviation: np.std()', 1.2909944487358056)

    liumiaocn:tmp liumiao$

    注意:matlab中的std实际指的是样本标准偏差,这点需要注意,如果你的代码从matlab上copy过来,请注意其实际的意义是标准偏差还是样本标准偏差

    Covariance:协方差

    协方差和方差较为接近,区别在于除数为N-1。

    计算: 一组数据1,2,3,4,其协方差应该是多少?

    计算如下:

    均值=(1+2+3+4)/4=2.5

    方差=((1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 +(4-2.5)^2)/(4-1) = (2.25+0.25+0.25+2.25)/3 = 1.66667

    使用numpy的cov函数即可简单求出,代码和执行结果如下:

    liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-8.py

    #!/usr/local/bin/python

    import numpy as np

    arr = np.array([1,2,3,4])

    print("Covariance: np.cov()", np.cov(arr))

    liumiaocn:tmp liumiao$ python np-8.py

    ('Covariance: np.cov()', array(1.66666667))

    liumiaocn:tmp liumiao$

    总结

    以上就是这篇文章的全部内容了,希望本文的内容对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值,谢谢大家对我们的支持。如果你想了解更多相关内容请查看下面相关链接

    本文标题: Python计算库numpy进行方差/标准方差/样本标准方差/协方差的计算

    本文地址: http://www.cppcns.com/jiaoben/python/248621.html

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总体方差的计算公式