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  • 本短文介绍了总体、样本、总体方差、样本方差、抽样方差和标准误等概念以及它们之间的一些关系。因为一些外文材料的翻译不善以及老师课堂教学中的不重视,我身边仍有许多人将它们混淆。本短文的参考资料主要包括...

    本短文介绍了总体、样本、总体方差、样本方差、抽样方差和标准误等概念以及它们之间的一些关系。因为一些外文材料的翻译不善以及老师课堂教学中的不重视,我身边仍有许多人将它们混淆。

    本短文的参考资料主要包括Angrist和Pischke的《Mastering `metrics》以及Wooldridge的《Introductory Econometrics (Fifth edition)》。

    1 总体方差和样本方差

    总体和样本

    首先提一下“总体(population)”“样本(sample)”两个概念。总体包含我们研究的目标群体中所有的个体的数据,比如所有2008年的海归科学家的年龄;样本仅包含总体中一部分个体的数据,假设2008年的海归科学家总共10万人,我们费了大劲找到了1万人,这1万人的年龄就是刚才那个总体的一个样本。当然,总体和样本是相对的概念,如果某人研究时觉得1万个数据还是太多不好搞,从中随机抽了100个数据,这时候那1万个数据就成了总体了。

    虽说样本和总体是相对的概念,但在大多数情况下,我们都会谦虚地认为我们手里的数据只是一个样本,是通过对总体进行抽样而获得的,或者说我们的研究问题总是使得直接研究总体是不可行的。人们把关于总体的统计量叫做“总体XX(population xxx)”,把关于样本的统计量叫做“样本XX(sample xxx)”

    我们用Y来表示刚才提到的2008年的海归科学家的年龄这个随机变量(random variable)。注意,“随机变量”得名是因为它取的值们由随机试验产生,并不直接因为它自己是随机的,这里面有细微的差别。

    总体方差与样本方差

    这里我们区分两种方差,“总体方差(population variance)”

    “样本方差(sample variance)”
    。简单来说,总体方差
    就是对整个总体运用方差计算方法得到的结果:

    其中

    表示这个总体里面所有数据的平均值,即
    “总体均值(population mean)”。总体均值也叫 数学期望,后者记作E( Y)。 N表示总体里数据的个数。 N可以为正无穷,表示这个总体是无穷的。

    但对于一个具体的样本,它的样本方差

    该怎么算,取决于它的用途。因为总体方差在现实中很难获得,所以人们经常用样本方差来估计总体方差,比如在构建某些统计量的时候。这时候为了保证估计的无偏性(unbiasedness,以后详解),样本方差的计算公式就是:

    其中

    (读作
    Y bar)表示这个样本里所有数据的平均值,即 “样本均值(sample mean)”n表示 样本容量,也就是这个样本里数据的个数。注意分母并不是 n而是 n-1但是如果仅仅希望用它来展示这个样本内数据的离散程度,那么样本方差在这里就没必要除以n-1了,除以n就好了。

    方差的算术平方根叫做“标准差(standard deviation)”,“deviation”有“偏离”的意思,指的是对平均值的偏离。当然,标准差同样分为“总体标准差(population standard deviation)”

    “样本标准差(sample standard deviation)”

    在EXCEL里,方差和标准差都分别有总体版本和样本版本,其中样本版本的分母就是数据的个数减1,请根据需求谨慎使用。

    2f4b4396-3422-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    2 抽样方差和标准误

    被衍生出的随机变量—样本均值

    刚才提到,Y的样本均值(sample mean)被记为

    ,也就是在变量符号上加一个横线。因为每从
    Y的总体里进行一次随机抽样就能得到一个
    ,所以根据定义,
    自己也是一个随机变量了,它也拥有了总体、样本等等。这里可能有点抽象,它的总体是什么?是给定样本容量
    n,所有可能的样本的平均值的集合。

    的总体方差被称为
    “抽样方差(sampling variance)”,请注意与样本方差(sample variance)区分。
    的总体标准差被称为
    “标准误(standard error)”,也记作

    标准误是个很重要的统计量,它存在是因为我们认为自己手头的数据只是一个样本而非总体。所以在建立了数学模型并用手头的数据估计出变量系数后,通常我们会问自己一个问题:如果用很多不同的样本估计同样的系数,估计值的变化会有多大?能度量这个变化性的统计量就是标准误。

    如果标准误太大(这个“大”当然是相对于系数的取值而说的,同时和样本容量也有点关系),考虑到我们真正感兴趣的是总体的情况,那么刚才用这个样本估计出的系数就没有任何参考价值,这个系数就“不显著”。

    我们手上毕竟只有一个样本,它只有一个平均值,怎么计算

    的总体方差和总体标准差呢?下文将说明
    的计算方法,它们表示的其实是“潜在的”变化性。

    抽样方差和总体方差的关系

    显然,Y

    这两个随机变量的关系异常紧密,它们各自的总体方差,即
    Y的总体方差
    和抽样方差
    有着这样的关系:

    其中n

    对应的样本容量。推导过程已略去,但是请注意,推导的过程隐含了一个假设,即总体是无穷的(所以不要问如果样本容量和总体一样大怎么办)。在现实中人们更喜欢用两边的算术平方根,即:

    其中SE即为“Standard Error”的缩写,直译过来就是“标准误”。为什么叫做“误(error)”呢?可以简单地这样理解:标准误是

    的总体标准差,如果这个标准差越大,
    的分布就越离散,我们用它来估计
    Y的总体均值
    的时候可能的误差就越大。直观地看,当样本容量
    n逼近无穷大时,根据大数定律,
    会逼近
    Y的总体均值,那么标准误就应该趋近于0。显然,计算公式告诉我们结果的确是这样的。

    之前说过,总体标准差

    在现实中很难获得,于是我们会用
    来替代上式中的

    当然,这里的样本标准差

    是总体标准差
    的估计量,计算
    的时候分母是
    而不是根号下的

    3 小结

    1)人们把关于总体的统计量叫做“总体XX(population xxx)”,把关于样本的统计量叫做“样本XX(sample xxx)”

    2)为了使样本方差成为总体方差的无偏估计量,样本方差计算时的分母并不是样本容量n而是n-1。但如果单纯想研究样本里数据的离散程度,分母就不用减1了。

    3)因为每进行一次抽样就能得到一个样本均值

    ,所以
    同样是一个随机变量。这个新随机变量的总体方差叫做
    “抽样方差(sampling variance)”,这个新随机变量的总体标准差叫做 “标准误(standard error)”。现实中的抽样方差和标准误含义可能更丰富,但都与抽样(sampling)有关。
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  • python 计算均值、方差标准差 Numpy,Pandas

    万次阅读 多人点赞 2019-10-23 22:58:25
    Numpy 计算均值、方差标准差2. Pandas 计算均值、方差标准差 Python 中的 numpy 包 pandas 包都能够计算均值、方差等,本文总结一下它们的用法。 1. Numpy 计算均值、方差标准差 一般的均值可以用 numpy ...


    Python 中的 numpy 包 和 pandas 包都能够计算均值、方差等,本文总结一下它们的用法。

    1. Numpy 计算均值、方差、标准差

    一般的均值可以用 numpy 中的 mean 方法求得:

    >>> import numpy as np
    >>> a = [5, 6, 16, 9]
    >>> np.mean(a)
    9.0
    

    numpy 中的 average 方法不仅能求得简单平均数,也可以求出加权平均数。average 里面可以跟一个 weights 参数,里面是一个权数的数组,例如:

    >>> np.average(a)
    >>> 9.0
    >>> np.average(a, weights = [1, 2, 1, 1])
    >>> 8.4
    

    计算方差时,可以利用 numpy 中的 var 函数,默认是总体方差(计算时除以样本数 N),若需要得到样本方差(计算时除以 N - 1),需要跟参数 ddo f= 1,例如

    >>> import pnumpy as np
    >>> a = [5, 6, 16, 9]
    >>> np.var(a) # 计算总体方差
    18.5
    
    >>> np.var(a, ddof = 1) # 计算样本方差
    24.666666666666668
    
    >>> b = [[4, 5], [6, 7]]
    >>> b
    [[4, 5], [6, 7]]
    
    >>> np.var(b) # 计算矩阵所有元素的方差
    1.25
    
    >>> np.var(b, axis = 0) # 计算矩阵每一列的方差
    array([1., 1.])
    
    >>> np.var(b, axis = 1) # 计算矩阵每一行的方差
    array([0.25, 0.25])
    

    计算标准差时,可以利用 numpy 中的 std 函数,使用方法与 var 函数很像,默认是总体标准差,若需要得到样本标准差,需要跟参数 ddof =1,

    >>> import pnumpy as np
    >>> a = [5, 6, 16, 9]
    >>> np.std(a) # 计算总体标准差
    4.301162633521313
    
    >>> np.std(a, ddof = 1 ) # 计算样本标准差
    4.96655480858378
    
    >>> np.std(b) # 计算矩阵所有元素的标准差
    1.118033988749895
    
    >>> np.std(b, axis = 0) # 计算矩阵每一列的标准差
    array([1., 1.])
    
    >>> np.std(b, axis = 1) # 计算矩阵每一列的标准差
    array([0.5, 0.5])
    

    2. Pandas 计算均值、方差、标准差

    对于 pandas ,也可以用里面的 mean 函数可以求得所有行或所有列的平均数,例如:

    >>> import pandas as pd
    >>> df = pd.DataFrame(np.array([[85, 68, 90], [82, 63, 88], [84, 90, 78]]), columns=['统计学', '高数', '英语'], index=['张三', '李四', '王五'])
    >>> df
    统计学  高数  英语
    张三   85  68  90
    李四   82  63  88
    王五   84  90  78
    
    >>> df.mean() # 显示每一列的平均数
    
    统计学    83.666667
    高数     73.666667
    英语     85.333333
    dtype: float64
    
    >>> df.mean(axis = 1) # 显示每一行的平均数
    张三    81.000000
    李四    77.666667
    王五    84.000000
    dtype: float64
    

    若要得到某一行或某一列的平均值,则可以使用 iloc 选取改行或该列数据,后面跟 mean 函数就能得到,例如:

    >>> df
        统计学  高数  英语
    张三   85  68  90
    李四   82  63  88
    王五   84  90  78
    
    >>> df.iloc[0, :].mean()  # 得到第 1 行的平均值
    81.0
    
    >>> df.iloc[:, 2].mean() # 得到第 3 列的平均值
    85.33333333333333
    

    pandas 中的 var 函数可以得到样本方差(注意不是总体方差),std 函数可以得到样本标准差,若要得到某一行或某一列的方差,则也可用 iloc 选取某行或某列,后面再跟 var 函数或 std 函数即可,例如:

    >>> df.var() # 显示每一列的方差
    统计学      2.333333
    高数     206.333333
    英语      41.333333
    dtype: float64
    
    >>> df.var(axis = 1) # 显示每一行的方差
    张三    133.000000
    李四    170.333333
    王五     36.000000
    dtype: float64
    
    >>> df.std() # 显示每一列的标准差
    统计学     1.527525
    高数     14.364308
    英语      6.429101
    dtype: float64
    
    >>> df.std(axis = 1) # 显示每一行的标准差
    张三    11.532563
    李四    13.051181
    王五     6.000000
    dtype: float64
    
    >>> df.iloc[0, :].std() # 显示第 1 行的标准差
    11.532562594670797
    
    >>> df.iloc[:, 2].std() # 显示第 3 列的标准差
    6.429100507328636
    
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  • 在这里插入图片描述 /**方差计算 *****注意数据类型 *参数 data[] 数据 *使用注意 需要重定义...*计算标准差需要引用头文件math.h *宏定义说明 #define COUNT 5 //数据个数 #define METHOD 0 //METHOD = 0 总体方差

    在这里插入图片描述

    /**方差计算
    *****注意数据类型
    *参数   data[]   数据
    *使用注意 需要重定义数据类型
    typedef unsigned char  uint8;
    typedef unsigned int   uint16;
    *提示数组传递都是按地址传递 所以可以不需要返回值
    *计算标准差需要引用头文件math.h
    *宏定义说明
    #define COUNT  5    //数据个数
    #define METHOD 0    //METHOD = 0 总体方差
                        //METHOD = 1 样本方差
                        //METHOD = 2 总体标准差
                        //METHOD = 3 样本标准差
    **/
    #define COUNT  5    //数据个数
    #define METHOD 0    //METHOD = 0 总体方差
                        //METHOD = 1 样本方差
                        //METHOD = 2 总体标准差
                        //METHOD = 3 样本标准差
    float getVariance(int data[])
    {
        float ave = 0;//平均值
        float sum = 0;//和
        uint16 i;
    
        //遍历数组,求和
        for(i = 0; i < COUNT; i++)
        {
            sum += data[i];
        }
    
        //求平均值
        ave = sum / COUNT;
    
        //遍历求数组元素与平均值差值
        for(i = 0, sum = 0; i < COUNT; i++)
        {
            sum += (data[i] - ave)  * (data[i] - ave);
        }
    
        #if(METHOD == 0)
        //求总体方差,并且返回
        return sum / COUNT;
    
        #elif(METHOD == 1)
        //求样本方差,并且返回
        return sum / (COUNT - 1);
    
        #elif(METHOD == 2)
        //求样本方差,并且返回
        return sqrt(sum / COUNT);
    
        #elif(METHOD == 3)
        //求样本方差,并且返回
        return sqrt(sum / (COUNT - 1));
    
        #endif
    }
    
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  • 标准差和方差的区别

    千次阅读 2019-08-12 10:54:21
    标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质: 为非负数值,与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个...

    相同:

    标准差(StandardDeviation),在概率统计中最常使用作为统计分布程度(statisticaldispersion)上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质

    为非负数值,与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差,及一个子集合样品数的标准差之间,有所差别。

    简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。

    因此方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动就越小。

    标准差是反映一组数据离散程度最常用的一种量化形式,是表示精确度的重要指标。

     

    方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的,虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度,但是处理结果是不符合我们的直观思维的。 
    举个例子:一个班级里有60个学生,平均成绩是70分,标准差是9,方差是81,成绩服从正态分布,那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分,通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826,即约等于下图中的34.2%*2 

     

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总体标准差和方差