• ## Wavelet

千次阅读 2005-11-04 17:56:00
1.【请教】基本概念不清 Copy to clipboard Posted by: evansPosted on: 2005-09-01 16:53小波母函数、小波函数和尺度函数什么关系？小波母函数经过平移与尺度伸缩得到的函数与这个有关吗？ ---------------------...
1.【请教】基本概念不清  Copy to clipboard Posted by: evansPosted on: 2005-09-01 16:53小波母函数、小波函数和尺度函数什么关系？小波母函数经过平移与尺度伸缩得到的函数与这个有关吗？  --------------------------------------------------------------------------------2.Re:【请教】基本概念不清 [Re: evans] Copy to clipboard Posted by: azurepsPosted on: 2005-09-01 19:50个人理解：小波母函数是一个函数形式，将此函数进行平移，伸缩得到一组小波基，用小波分析的方法去分解某信号，就是将原始信号展开到小波基上去。尺度函数也是小波函数的某一性质，并不是所有的小波函数都存在尺度函数。我感觉你说的小波母函数和小波函数是一会事，其实是小波基（或叫小波子函数）是小波母函数经过平移与尺度伸缩得到的。不知道我说的对否，还望各位高人指教。  --------------------------------------------------------------------------------3.Re:【请教】基本概念不清 [Re: evans] Copy to clipboard Posted by: evansPosted on: 2005-09-01 20:21小波母函数和小波函数是一个，但是尺度函数就不清楚了，小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，那尺度函数的作用是什么呢？  --------------------------------------------------------------------------------4.Re:【请教】基本概念不清 [Re: evans] Copy to clipboard Posted by: yangrufeiPosted on: 2005-09-02 00:14你这么联系看看：尺度函数——低通滤波器小波函数——高通滤波器  --------------------------------------------------------------------------------5.Re:【请教】基本概念不清 [Re: evans] Copy to clipboard Posted by: lemonishPosted on: 2005-11-01 20:33同意楼上所说的：）再就我理解的来说，换个角度来说，对一个要处理函数x（t），对它进行小波离散变换时，随着尺度因子a^j的增大，在频段上由高频不断向低频覆盖，但是在处理过程中，尺度不可能无限的覆盖到零频，所以由尺度函数来将其零频覆盖住。所以尺度函数是由一个低通的平滑函数一系列的整数移位组成，用来对x（t）作平滑逼近，也就是处理低频问题，小波函数处理高频问题。  --------------------------------------------------------------------------------6.Re:【请教】基本概念不清 [Re: evans] Copy to clipboard Posted by: SHNJPosted on: 2005-11-01 22:54也基本同意楼上的  --------------------------------------------------------------------------------7.Re:【请教】基本概念不清 [Re: evans] Copy to clipboard Posted by: gjsdgjsdPosted on: 2005-11-02 11:19小波母函数，就是没有经过任何平移和尺度变换的小波函数，任何满足容许性条件的函数都可以成为小波母函数。而小波函数是小波母函数的膨胀和平移。小波函数在不同尺度和平移情况下都具有正交性，而尺度函数只是在同一尺度下才具有正交性。小波函数和尺度函数是密不可分的因为：w0+v0=v1。小波函数空间w0，正是尺度函数所构成的空间v1减去v0，所构成的补空间。而且也说明w0，v0空间的任意函数可以被v1空间的尺度函数所表达，这就是双尺度方程。还应该注意的是，当我们用有限的小波基逼近信号的时候，尺度函数是必不可少的。因为小波逼近的只是交流分量，而尺度函数逼近的是直流分量。而当小波基趋于无穷，尺度函数就再也不需要了，这正是我们书本上看到的公式。但实际上变成中是做不到的，所以尺度函数是必需的。这点在我的《小波情结》里早已经阐述。
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• Wavelet
source: Wavelet Methods for Time Series Analysis

小波的本质

wavelets，中文翻译成小波，其实它就是 small waves 的意思，那什么是大波呢， 正弦信号就是 big waves
满足以下条件的实函数（记作，ψ(⋅)$\psi(\cdot)$）我们就称之为小波：
ψ(⋅)$\psi(\cdot)$ 的积分为零：
∫∞−∞ψ(u)du=0\int^\infty_{-\infty}  \psi(u)du = 0
ψ(⋅)$\psi(\cdot)$ 平方的积分为1：
∫∞−∞ψ2(u)du=1\int^\infty_{-\infty}  \psi^2(u)du = 1
那么为什么说满足以上条件就是 wavelet呢？
假设上面的二式成立，那么对于任何满足 0<ϵ<1$0<\epsilon<1$ 的 ϵ$\epsilon$ , 一定存在一个有限区间 [−T,T]$[-T, T]$  使得
∫T−Tψ2(u)du<1−ϵ\int^T_{-T} \psi^2(u)du < 1-\epsilon
当 ϵ$\epsilon$ 非常接近零的时候，ψ(⋅)$\psi(\cdot)$ 在 [−T,T]$[-T, T]$ 以外的区间上，几乎是为零的：因为它的非零的部分基本上已经局限在 [T,−T]$[T, -T]$ 这个区间上了。因为区间 [−T,T]$[-T, T]$ 的长度相较于整个实轴 (−∞,∞)$(-\infty, \infty)$ 来说是非常小，小到可以忽略的，所以可以非零的活动可以被认为是在很小的时间段里面。这就是 small 的原因。
同时对于式一来说，我们可以看出正的信号都会被负的信号 cancel掉，所以 ψ(⋅)$\psi(\cdot)$ 是一个 wave
式一和式二总体就能看出这是 small wave 的。

小波分析（Wavelet Analysis）

wavelets tell us about variations in local averages
先考虑一些基本的：
记 x(⋅)$x(\cdot)$ 为一个信号，t 为时间
那么在区间 [a,b]$[a, b]$ 上 x(⋅)$x(\cdot)$ 的均值为： 1b−a∫bax(u)du=α(a,b)$\frac1{b-a}\int^b_a x(u)du = \alpha (a,b)$
如果将 a,b$a, b$ 用 λ,t$\lambda, t$ 来表示的话，可以写成
A(λ,t)=α(t−λ2,t+λ2)=1λ∫t+λ2t−λ2x(u)duA(\lambda, t) = \alpha (t-\frac \lambda2, t+\frac \lambda2) = \frac1\lambda \int^{t+\frac \lambda2}_{t-\frac \lambda2} x(u)du
其中，λ=b−a$\lambda = b-a$ 称作 scale
t=(a+b)2$t = \frac{(a+b)}2$ 是时间段的中心
所以，A(λ,t)$A(\lambda, t)$ 是 x(⋅)$x(\cdot)$ 在 t 时刻处 λ$\lambda$ 尺度下的均值。
很显然，相较于均值本身，我们更关心不同尺度下均值的变化。所以这里我们就可以将小波与均值的变换联系起来。
我们可以将 A(λ,t)$A(\lambda, t)$ 的变化表示为：
D(1,t−12)=A(1,t)−A(1,t−1)=∫t+12t−12x(u)du−∫t−12t−32x(u)duD(1, t-\frac12) = A(1, t) - A(1, t-1) = \int^{t+\frac 12}_{t-\frac 12} x(u)du - \int^{t-\frac 12}_{t-\frac 32} x(u)du
或者：
D(1,t)=A(1,t+12)−A(1,t−12)=∫t+1tx(u)du−∫tt−1x(u)duD(1, t) = A(1, t+\frac12) - A(1, t-\frac12) = \int^{t+1}_{t} x(u)du - \int^{t}_{t-1} x(u)du
上面的scale都默认为1，如果换成一般的 scale λ$\lambda$ 的话，可得：
D(λ,t)=A(λ,t+λ2)−A(λ,t−λ2)=1λ∫t+λtx(u)du−1λ∫tt−λx(u)duD(\lambda, t) = A(\lambda, t+\frac \lambda2) - A(\lambda, t- \frac \lambda2) = \frac1\lambda\int^{t+\lambda}_{t} x(u)du - \frac1\lambda\int^{t}_{t-\lambda} x(u)du
一种典型的小波就是 Haar wavelet：
ψ(H)(u)={−12√,12√,0,−1<u≤00<u≤1others\psi^{(H)}(u) = \lbrace \begin{align*} -\frac1{\sqrt2}, & \; -1<u \le 0 \\
\frac1{\sqrt2},  &  \; 0<u \le 1  \\
0, &  \;  others
\end{align*}
我们可以用 Haar 小波 来提取时间 t 处单位 尺度的差值：
∫∞−∞ψH(u)x(u)du=WH(1,0)\int^\infty _{-\infty} \psi^H(u)x(u) du = W^H(1,0)
要提取其他 t 处的信息， 只需要平移 ψH(u)$\psi^H(u)$:
ψH1,t(u)=ψH(u−t)\psi^H_{1,t}(u) = \psi^H(u-t)
ψ(H)1,t(u)={−12√,12√,0,t−1<u≤tt<u≤t+1others\psi^{(H)}_{1,t}(u) = \lbrace \begin{align*} -\frac1{\sqrt2}, & \; t-1<u \le t \\
\frac1{\sqrt2},  &  \; t<u \le t+1  \\
0, &  \;  others
\end{align*}
要提取其他尺度 λ$\lambda$ 处的信息：
ψ(H)λ,t(u)=1λ√ψH(u−tλ)={−12√,12√,0,t−λ<u≤tt<u≤t+λothers\psi^{(H)}_{\lambda,t}(u) = \frac1{\sqrt \lambda} \psi^H(\frac{u-t}{\lambda}) = \lbrace \begin{align*} -\frac1{\sqrt2}, & \; t-\lambda<u \le t \\
\frac1{\sqrt2},  &  \; t<u \le t+\lambda  \\
0, &  \;  others
\end{align*}
不同 λ,t$\lambda, t$ 的集合，我们可以得到 x(⋅)$x(\cdot)$ 在不同尺度下的变化，这就是 x(⋅)$x(\cdot)$ 的 Haar continuous wavelet transform (CWT) ：
W(λ,t)=∫∞−∞ψλ,t(u)x(u)du,whereψλ,t(u)=1λ√ψ(u−tλ)W(\lambda, t) = \int^\infty_{-\infty} \psi_{\lambda,t}(u)x(u)du, where \; \psi_{\lambda, t}(u) = \frac1{\sqrt \lambda}\psi(\frac{u-t}\lambda)
事实上，W(λ,t)$W(\lambda, t)$ 和 x(t)$x(t)$ 是等价的，我们可以推算出：
∫∞−∞x2(t)dt=1Cψ∫∞0[∫∞−∞W2(λ,t)dt]dλλ2\int^{\infty}_{-\infty} x^2(t)dt = \frac1{C_{\psi}}\int^\infty_0 [\int^{\infty}_{-\infty} W^2(\lambda, t)dt]\frac{d\lambda}{\lambda^2}
等式左边 为 x(⋅)$x(\cdot)$ 的能量（energy）
等式右边是 能量密度( energy density) 在 λ,t$\lambda , t$ 上的积分

Wavelet Sum up

(http://www2.isye.gatech.edu/~brani/wp/kidsA.pdf)
- Computational complexity of the fast Fourier transformation is O(n⋅log2(n))$O(n \cdot log_2(n))$. For the fast wavelet,  it’s O(n)$O(n)$
- one can do data smoothing by thresholding the wavelet coefficients and then returning the thresholded code to the “time domain.”
展开全文 • A Wavelet Approach to W'ideband Spectrum Sensilng for Cognit'ive Rad'ios.pdf
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• ## Wavelet(小波变换)

千次阅读 2017-07-07 09:05:13
wavelet
From paper 0013:  Application of the cross wavelet transform and wavelet coherence to geophysical time series

phase angle statistics can be used to gain confidence in causal relationships
wavelet transforms expand time series into time frequency space and can therefore find localized intermittent periodicities.
小波变换两种类型：
- Continuous Wavelet Transform (CWT)
- Discrete Wavelet Transform(DWT)
区别：
DWT是数据的压缩表示，对于噪声的减少和书压缩很有用；
CWT则是对特征提取很有用

此处只涉及CWT

(1) The Continuous Wavelet Transform (CWT)

首先说说小波(wavelet)
小波是什么呢？小波首先是一个函数，该函数的均值为零，且既在时域又在频域存在。我们可以通过一个小波所在的时间（Δt<!--//--><![CDATA[//><!--
\Delta t
//--><!]]>）和所在的频率（Δω<!--//--><![CDATA[//><!--
\Delta \omega
//--><!]]>或者带宽 bandwidth）来表征一个小波。

根据海森堡不确定原理（Heisenberg uncertainty principle），我们不能同时确定时间和频率。

当然有很多种小波的定义方式，
Morlet 小波是这样定义的： ψ0(η)=π−1/4eiω0ηe−1/2η2<!--//--><![CDATA[//><!--
\psi_0(\eta)  = \pi^{-1/4}e^{i \omega_0 \eta} e^{-1/2 \eta^2}
//--><!]]>
其中ω0<!--//--><![CDATA[//><!--
\omega_0
//--><!]]> 是无量纲的频率，η<!--//--><![CDATA[//><!--
\eta
//--><!]]> 是无量纲的时间。
在处理特征提取的时候，Morlet wavelet（ω0=6<!--//--><![CDATA[//><!--
\omega_0 = 6
//--><!]]>）是一个不错的选择，因为它权衡了时间和频率。所以接下来的套路都是基于这个Morlet wavelet的。

其实连续小波变换(CWT)的思想就是，将小波作为一个带通滤波器作用到时间序列上。小波通过变换它的尺度（scale）来在时间维度上拉伸（stretch）。
所以 η=s⋅t<!--//--><![CDATA[//><!--
\eta = s\cdot t
//--><!]]>，然后再标准化到单位能量上去。
对于Morlet wavelet（ω0=6<!--//--><![CDATA[//><!--
\omega_0 = 6
//--><!]]>），傅里叶时段（λwt<!--//--><![CDATA[//><!--
\lambda_{wt}
//--><!]]>）几乎就等于scale为(λwt=1.03s<!--//--><![CDATA[//><!--
\lambda_{wt}=1.03s
//--><!]]>)的时候。

一段有固定步长 δt<!--//--><![CDATA[//><!--
\delta_t
//--><!]]> 的时间序列（xn,n=1,…,N<!--//--><![CDATA[//><!--
x_n, n=1,\dots, N
//--><!]]>）的连续小波变换，定义为 xn<!--//--><![CDATA[//><!--
x_n
//--><!]]> 与scale和normalize之后的小波的卷积，如下 WXn(s)=δts−−√∑n′=1Nx′nψ0[(n′−n)δts]<!--//--><![CDATA[//><!--
W_n^X(s) = \sqrt{\frac{\delta_t}s}\sum_{n^\prime=1}^Nx_n^\prime \psi_0[(n^\prime - n)\frac{\delta_t}s]
//--><!]]>在实际操作中，将这个卷积在傅里叶空间下计算或快一点。
小波功率定义为: |WXn(s)|2<!--//--><![CDATA[//><!--
|W_n^X(s)|^2
//--><!]]>
而WXn(s)<!--//--><![CDATA[//><!--
{W_n^X(s)}
//--><!]]>的复数部分，可以看作是 local phase（相位）

注意CWT有边缘效应，因为小波不是完全在时域上的，有个不太准确的时间点（不确定原理）。因此在这里引入一个概念叫 Cone of Influence (COI) ，在这个Cone里，边缘效应就不能被忽略。

小波功率的统计显著性可以同一个null hypotheses比较，这个null hypotheses为，信号是由一个给定背景功率谱( Pk<!--//--><![CDATA[//><!--
P_k
//--><!]]> )的平稳过程产生的。很多时间序列具有明显的红色噪声特性，这个特性可以用一个一阶自回归模型（AR1）来模拟。

一个lag-1的自相关为 α 的自回归模型（an AR1 process with lag-1 autocorrelation α ）的傅里叶功率为： Pk=1−α2|1−αe−2iπk|2<!--//--><![CDATA[//><!--
P_k = \frac{1-\alpha^2}{|1-\alpha e^{-2i\pi k}|^2}
//--><!]]>
其中 k 为傅里叶频率指数

小波变换可以看成是将一系列的带通滤波器应用到时间序列上，小波尺度（wavelet scale）与滤波器（λwt<!--//--><![CDATA[//><!--
\lambda_{wt}
//--><!]]>）的特征时段（characteristic period）线性相关。
所以，对于一个具有功率谱 Pk<!--//--><![CDATA[//><!--
P_k
//--><!]]> 的平稳过程，在给定小波尺度下的方差，通过调用傅立叶卷积定理可知，就是 Pk<!--//--><![CDATA[//><!--
P_k
//--><!]]> 在相应波段的方差。
如果 Pk<!--//--><![CDATA[//><!--
P_k
//--><!]]> 是足够光滑的，那么我们可以将该方差用给定尺度下 k−1=λwt<!--//--><![CDATA[//><!--
k^{-1}=\lambda_{wt}
//--><!]]> 这样的转换来近似。
Torrence和Compo（1998）使用蒙特卡洛法表明这种近似对 AR1谱很适用。
他们还表明了，在给定功率谱（Pk<!--//--><![CDATA[//><!--
P_k
//--><!]]>）的过程中，小波功率的概率会大于P： D(|WXn(s)|2σ2X<p)=12Pkχ2v(p)<!--//--><![CDATA[//><!--
D(\frac{|W_n^X(s)|^2}{\sigma_X^2} < p) = \frac12P_k\chi_v^2(p)
//--><!]]>
其中 v is equal to 1 for real and 2 for complex wavelets.

(2) The cross wavelet transform

两个时间序列 xn<!--//--><![CDATA[//><!--
x_n
//--><!]]> 和 yn<!--//--><![CDATA[//><!--
y_n
//--><!]]> 的交叉小波变换定义为 WXY=WXWY∗<!--//--><![CDATA[//><!--
W^{XY} = W^XW^{Y*}
//--><!]]>，* 表示复共轭。
那么交叉小波变换的攻率为 |WXY|<!--//--><![CDATA[//><!--
|W^{XY}|
//--><!]]>。
复数参数 arg(WXY)<!--//--><![CDATA[//><!--
arg(W^{XY})
//--><!]]> 可以解释为 xn<!--//--><![CDATA[//><!--
x_n
//--><!]]> 和 yn<!--//--><![CDATA[//><!--
y_n
//--><!]]> 在频域的局部相对相位。

(3) Wavelet coherence

交叉小波变换能够找出具有相同的较高的功率的区域。小波相干性则是这种交叉变换在时频域的相关性。定义如下： R2n(s)=|S(s−1WXYn(s))|2S(s−1|WXn(s)|2)⋅S(s−1|WYn(s)|2)<!--//--><![CDATA[//><!--
R_n^2(s) = \frac{|S(s^{-1}W_n^{XY}(s))|^2}{S(s^{-1}|W_n^{X}(s)|^2)\cdot S(s^{-1}|W_n^{Y}(s)|^2)}
//--><!]]>
其中 S 是一个平滑算子（ smoothing operator）： S(W)=Sscale(Stime(Wn(s)))<!--//--><![CDATA[//><!--
S(W) = S_{scale}(S_{time}(W_n(s)))
//--><!]]>Sscale<!--//--><![CDATA[//><!--
S_{scale}
//--><!]]> 表示沿小波尺度轴平滑，Stime<!--//--><![CDATA[//><!--
S_{time}
//--><!]]> 表示沿时间轴平滑
展开全文 • matlab gui for wavelet matlab gui for wavelet matlab gui for wavelet matlab gui for wavelet matlab gui for wavelet
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The Daubechies wavelets, based on the work of Ingrid Daubechies, are a family of orthogonal wavelets defining a discrete wavelet transform and characterized by a maximal number of vanishing moments for some given support. With each wavelet type of this class, there is a scaling function (called the father wavelet) which generates an orthogonal multiresolution analysis.
Daubechies小波，基于Ingrid Daubechies的工作，是一组定义离散小波变换的正交小波，并且以给定支撑的最大消失矩数量为特征。对于此类的每个小波类型，都有一个尺度函数（称为父小波），它生成正交多分辨率分析。
In general the Daubechies wavelets are chosen to have the highest number A of vanishing moments, (this does not imply the best smoothness) for given support width 2A - 1. There are two naming schemes in use, DN using the length or number of taps, and dbA referring to the number of vanishing moments. So D4 and db2 are the same wavelet transform.
一般来说，对于给定的支持宽度2A-1，Daubechies小波被选择为具有最高数目的消失矩A（这并不意味着最佳平滑度）。在使用中有两种命名方案，DN使用抽头的长度或数量，dbA使用消失矩的数量。NTS。因此，D4和DB2是相同的小波变换。
Among the 2A−1 possible solutions of the algebraic equations for the moment and orthogonality conditions, the one is chosen whose scaling filter has extremal phase. The wavelet transform is also easy to put into practice using the fast wavelet transform. Daubechies wavelets are widely used in solving a broad range of problems, e.g. self-similarity properties of a signal or fractal problems, signal discontinuities, etc.
在矩和正交性条件下的代数方程的2A-1可能解中，选择具有极值相位的尺度滤波器。小波变换也易于应用于快速小波变换。Daubechies小波在解决信号自相似性、分形问题、信号不连续性等问题中得到了广泛的应用。
The Daubechies wavelets are not defined in terms of the resulting scaling and wavelet functions; in fact, they are not possible to write down in closed form. The graphs below are generated using the cascade algorithm, a numeric technique consisting of simply inverse-transforming [1 0 0 0 0 ... ] an appropriate number of times.
Daubechies小波不是根据得到的缩放和小波函数定义的; 事实上，它们不可能以封闭形式写下来。下面的图是使用级联算法生成的，这是一种由简单的逆变换[1 0 0 0.…适当的次数。

转载于:https://www.cnblogs.com/2008nmj/p/9578054.html
展开全文 • This paper introduces the wavelet network concept and realization process. The number of citation is above 1100.
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