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  • 若矩阵A可逆A的行列式不等于0

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  • 矩阵A的行列式不等于0,则A可逆

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  • 文章目录一、前言二、矩阵行变换得到上三角阵接着用同样的方法,想办法继续消去第三行中第二列的元素,使其为0,也就是继续对第三行先乘以第二行第二列a11∗a22−a21∗a12a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}a11​∗...

    一、前言

      最近一边复习Docker,一边就继续复习和学习线性代数。当然我也想将D3D12系列教程要继续下去,而目前这个系列的教程要继续深入下去,就必须进入以Shader为核心的主题,此时我发现数学其实将成为真正的核心,因为在Shader的编程中基本都是向量、矩阵、颜色等等的计算与变换了。思前想后,干脆先换个话题,将3D数学好好的做一系列教程出来,作为深入Shader编程教程的前置教程。接着我又发现如果只是讲解纯粹的3D数学,并且只是浅尝辄止的类似一般的3D数学的教程的话,要彻底驾驭Shader编程也还是远远不够,这甚至需要深入掌握诸如微积分、线性代数、傅里叶变换、频谱、随机数生成等等系列的数学知识才有可能彻底掌握Shader的编程。其中尤其是线性代数更是核心中的核心。

      基于这样的认知,干脆我就大规模的复习和学习起数学来,并且先以线性代数作为突破口。这篇教程其实是作为一个热身教程推出来,或者也还算不上教程,严格来讲只是一篇学习笔记而已。

      OK,下面就言归正传,开始看一下为什么说判断一个矩阵是否可逆,通过计算它的行列式是否为0就可以了。当然计算行列式的方法以及计算矩阵的逆矩阵的方法也有很多,证明二者同时成立的关系也有很多,其中主要的就是通过计算代数余子式,以及伴随矩阵的方法。通过这个计算过程,对矩阵的伴随矩阵乘以一个矩阵行列式的倒数就得到了矩阵的逆矩阵,这个方法仅仅是在理论上推导出了一个计算逆矩阵的方法,同时也证明了只有矩阵行列式不为0时才可能取其倒数最终计算矩阵的逆矩阵,也就是当矩阵的行列式不为0时,矩阵的逆才存在。实际的计算中,其实没法利用这个方法,一来计算量太大,光计算一个矩阵的行列式值就已经很耗时了,二来这个方法要计算大量的代数余子式,并且其过程很不直观,一般也是很不容易理解的。当然这也是很多线性代数教科书上的标准内容,但我认为以这样的基础来理解矩阵行列式不为0即可求逆的原理来说,是非常困难的。

      在我复习《线性代数及其应用》这本经典教程的过程中,我发现书中给了一个比较直观的说明,也比较容易理解。当然书中并没有基于此给出复杂的证明,只是一个简单的说明,同时也是用了比较小规模的3X3形式的矩阵来做了例证说明而已,并且其过程及其简化,对于喜欢刨根问底的我来说,此时就是自己动手把书上略去的演算过程全部推导一遍。这篇博客就把整个过程详实的推导,记录并分享给大家。这里要提醒各位的是这个不是严格意义上的数学证明,只是一个以一般的3X3矩阵作为例子的演算推导过程,但是它对于我们理解为什么矩阵行列式不为0可求逆的原因有了一个不同角度的认识。

    二、矩阵行变换得到上三角阵

      对于一个一般的3X3矩阵:
    [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33
      做行变换,以便得到上三角阵,首先对上述矩阵的第二行和第三行乘以一个合适的因子 a 11 a_{11} a11之后再减去各自对应的倍数后,可以使第二行和第三行的第一列元素变为0,其中第二行乘以 a 21 a_{21} a21,第三行乘以 a 31 a_{31} a31,过程如下:
    ⇒ [ a 11 a 12 a 13 a 11 ∗ a 21 a 11 ∗ a 22 a 11 ∗ a 23 a 11 ∗ a 31 a 11 ∗ a 32 a 11 ∗ a 33 ] − [ 0 0 0 a 21 ∗ a 11 a 21 ∗ a 12 a 21 ∗ a 13 a 31 ∗ a 11 a 31 ∗ a 12 a 31 ∗ a 13 ] ⇒ [ a 11 a 12 a 13 0 a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 0 a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 a 11 ∗ a 33 − a 31 ∗ a 13 ] \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{11} * a_{21} & a_{11} * a_{22} & a_{11} * a_{23} \\ a_{11} * a_{31} & a_{11} * a_{32} & a_{11} * a_{33} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a_{21} * a_{11} & a_{21} * a_{12} & a_{21} * a_{13} \\ a_{31} * a_{11} & a_{31} * a_{12} & a_{31} * a_{13} \end{bmatrix} \\[2ex] \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12} & a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13} \\ 0 & a_{11} * a_{32} - a_{31} * a_{12} & a_{11} * a_{33} - a_{31} * a_{13} \end{bmatrix} a11a11a21a11a31a12a11a22a11a32a13a11a23a11a330a21a11a31a110a21a12a31a120a21a13a31a13a1100a12a11a22a21a12a11a32a31a12a13a11a23a21a13a11a33a31a13

    接着用同样的方法,想办法继续消去第三行中第二列的元素,使其为0,也就是继续对第三行先乘以第二行第二列 a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12} a11a22a21a12之后再减去第三行乘以第三行第二列的元素 a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 a_{11} * a_{32} - a_{31} * a_{12} a11a32a31a12,过程如下:

    ⇒ [ a 11 a 12 a 13 0 ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ( a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 ) 0 ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 ) ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 33 − a 31 ∗ a 13 ) ] [ 0 0 0 0 0 0 0 ( a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ( a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 ) ] \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & (a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) & (a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13}) \\ 0 & (a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) * (a_{11} * a_{32} - a_{31} * a_{12}) & (a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) * (a_{11}* a_{33} - a_{31}* a_{13}) \end{bmatrix} \\[2ex] \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & (a_{11}* a_{32} - a_{31}* a_{12}) * (a_{11}* a_{22} - a_{21}* a_{12}) & (a_{11}* a_{32} - a_{31}* a_{12}) * (a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13}) \end{bmatrix} a1100a12(a11a22a21a12)(a11a22a21a12)(a11a32a31a12)a13(a11a23a21a13)(a11a22a21a12)(a11a33a31a13)00000(a11a32a31a12)(a11a22a21a12)00(a11a32a31a12)(a11a23a21a13)
    这样就得到了与原矩阵等价的如下的上三角阵:(注意上面我们进行的是行初等变换,所以两个矩阵等价)
    ⇒ [ a 11 a 12 a 13 0 ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ( a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 ) 0 0 ( ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 33 − a 31 ∗ a 13 ) ) − ( ( a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 ) ) ] \\ \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & (a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) & (a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13}) \\ 0 & 0 & ((a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) * (a_{11}* a_{33} - a_{31}* a_{13})) \\ & & - ( (a_{11}* a_{32} - a_{31}* a_{12}) * (a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13}) ) \end{bmatrix} a1100a12(a11a22a21a12)0a13(a11a23a21a13)((a11a22a21a12)(a11a33a31a13))((a11a32a31a12)(a11a23a21a13))
    其中矩阵主对角线上最后一个元素可以进一步做如下的展开计算:
    ⇒ ( ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 33 − a 31 ∗ a 13 ) ) − ( ( a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 ) ) ⇒ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 11 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 22 ∗ a 31 ∗ a 13 − a 21 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 33 + a 21 ∗ a 12 ∗ a 31 ∗ a 13 ) − ( a 11 ∗ a 32 ∗ a 11 ∗ a 23 − a 11 ∗ a 32 ∗ a 21 ∗ a 13 − a 31 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 23 + a 31 ∗ a 12 ∗ a 21 ∗ a 13 ) ⇒ a 11 ∗ a 22 ∗ a 11 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 22 ∗ a 31 ∗ a 13 − a 21 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 33 + a 21 ∗ a 12 ∗ a 31 ∗ a 13 − a 11 ∗ a 32 ∗ a 11 ∗ a 23 + a 11 ∗ a 32 ∗ a 21 ∗ a 13 + a 31 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 23 − a 31 ∗ a 12 ∗ a 21 ∗ a 13 ⇒ a 11 ∗ a 22 ∗ a 11 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 22 ∗ a 31 ∗ a 13 − a 21 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 32 ∗ a 11 ∗ a 23 + a 11 ∗ a 32 ∗ a 21 ∗ a 13 + a 31 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 23 ⇒ a 11 ∗ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 ) ⇒ a 11 ∗ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 ) \Rightarrow ((a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) * (a_{11}* a_{33} - a_{31}* a_{13})) \\- ( (a_{11}* a_{32} - a_{31}* a_{12}) * (a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13}) ) \\[2ex] \Rightarrow (a_{11} * a_{22} * a_{11} * a_{33} - a_{11} * a_{22} * a_{31}* a_{13} - a_{21} * a_{12} * a_{11} * a_{33} + a_{21} * a_{12} * a_{31}* a_{13} )\\ -(a_{11}* a_{32} * a_{11} * a_{23} - a_{11}* a_{32} * a_{21} * a_{13} - a_{31}* a_{12} * a_{11} * a_{23} + a_{31}* a_{12} * a_{21} * a_{13} ) \\[2ex] \Rightarrow a_{11} * a_{22} * a_{11} * a_{33} - a_{11} * a_{22} * a_{31}* a_{13} - a_{21} * a_{12} * a_{11} * a_{33} + a_{21} * a_{12} * a_{31}* a_{13} \\- a_{11}* a_{32} * a_{11} * a_{23} + a_{11}* a_{32} * a_{21} * a_{13} + a_{31}* a_{12} * a_{11} * a_{23} - a_{31}* a_{12} * a_{21} * a_{13} \\[2ex] \Rightarrow a_{11} * a_{22} * a_{11} * a_{33} - a_{11} * a_{22} * a_{31}* a_{13} - a_{21} * a_{12} * a_{11} * a_{33} \\- a_{11}* a_{32} * a_{11} * a_{23} + a_{11}* a_{32} * a_{21} * a_{13} + a_{31} * a_{12} * a_{11} * a_{23} \\[2ex] \Rightarrow a_{11} * (a_{11} * a_{22} * a_{33} - a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} \\- a_{11} * a_{23} * a_{32} + a_{13} * a_{21} * a_{32} + a_{12} * a_{23} * a_{31} ) \\[2ex] \Rightarrow a_{11} * (a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{13} * a_{21} * a_{32} + a_{12} * a_{23} * a_{31} \\- a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32} ) ((a11a22a21a12)(a11a33a31a13))((a11a32a31a12)(a11a23a21a13))(a11a22a11a33a11a22a31a13a21a12a11a33+a21a12a31a13)(a11a32a11a23a11a32a21a13a31a12a11a23+a31a12a21a13)a11a22a11a33a11a22a31a13a21a12a11a33+a21a12a31a13a11a32a11a23+a11a32a21a13+a31a12a11a23a31a12a21a13a11a22a11a33a11a22a31a13a21a12a11a33a11a32a11a23+a11a32a21a13+a31a12a11a23a11(a11a22a33a13a22a31a12a21a33a11a23a32+a13a21a32+a12a23a31)a11(a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a12a21a33a11a23a32)
    最后就可以发现,上述公式,其实就是 a 11 a_{11} a11乘以原矩阵的行列式:

    a 11 ∗ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 ) ⇒ a 11 ∗ d e t ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ a_{11} * (a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{13} * a_{21} * a_{32} + a_{12} * a_{23} * a_{31}- a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32} ) \\[2ex] \Rightarrow a_{11} * det \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} a11(a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a12a21a33a11a23a32)a11deta11a21a31a12a22a32a13a23a33

    根据上三角阵的性质,以及矩阵主元的性质,要使原矩阵可逆,那么等价的上三角阵中主对角线上的元素就不能为0,此时就有:

    { a 11 ≠ 0 ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ≠ 0 a 11 ∗ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 ) ≠ 0 \begin{cases} a_{11} \neq 0\\[2ex] (a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) \neq 0\\[2ex] a_{11} * (a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{13} * a_{21} * a_{32} + a_{12} * a_{23} * a_{31}\\ \qquad- a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32} ) \neq 0 \end{cases} a11=0(a11a22a21a12)=0a11(a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a12a21a33a11a23a32)=0
    根据以上条件,最终就有:
    ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 ) ≠ 0 ⇒ ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ ≠ 0 (a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{13} * a_{21} * a_{32} + a_{12} * a_{23} * a_{31} \\- a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32} ) \neq 0 \\[2ex] \Rightarrow \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \neq 0 (a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a12a21a33a11a23a32)=0a11a21a31a12a22a32a13a23a33=0
      这样就说明了矩阵可逆就要判定其行列式是否为0的原因,其实从推导过程中可以看出,矩阵行列式的值实质上是蕴含在了将原矩阵通过初等行变换变为上三角阵的过程中,只是过程中的式子有些复杂,对于高于3阶的一般矩阵来说,推导的过程就显得有些啰嗦庞杂了,这估计也是为什么一般的线性代数教科书上不已此为基础来证明矩阵可逆通过判定其行列式是否为0的定理的原因了。或者说,矩阵的初等行变换本身就蕴含了矩阵行列式的计算过程,最终主对角线上的最后一个元素中就包含了矩阵行列式因子,这个因子不为0才能保证该元素不为0,是最终保证矩阵等价上三角阵主对角元素不为0 的一个充分条件,而只是上三角阵主对角元素都不0时,上三角阵才可逆,从而原矩阵可逆。

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  • ②矩阵行列式:即由矩阵的全部元素构成的行列式; ③方阵的秩:等于方阵n个列向量所构成的向量组的秩;满秩即秩=n; ④向量组的秩:向量组的最大无关组所含向量的个数; ⑤向量组的最大无关组:若一个向量组中的部分...

    首先明确这三者是等价的。
    接下来我们得先明确概念的定义:
    ①方阵可逆:即方阵存在逆阵,使:AA^-1=E;
    ②矩阵行列式:即由矩阵的全部元素构成的行列式;
    ③方阵的秩:等于方阵n个列向量所构成的向量组的秩;满秩即秩=n;
    ④向量组的秩:向量组的最大无关组所含向量的个数;
    ⑤向量组的最大无关组:若一个向量组中的部分向量组α1,α2,…,αm满足:1)α1,α2,…,αm线性无关;2)向量组中任一向量都是α1,α2,…,αm的线性组合。则称α1,α2,…,αm是该向量组的最大无关组;
    ⑥向量组的线性相关性:设有n维向量组α1,α2,…,αm,如果存在不全为零的数k1,k2,…,km,使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0成立,则称向量组α1,α2,…,αm线性相关;如果上式仅当k1=k2=…=km=0时才成立,则称向量组α1,α2,…,αm线性组关。
    然后即是三者关系推导:
    1)由方阵可逆→方阵行列式≠0:
    ∵A可逆,即AA^-1=E
    ∴ |A||A^-1|=E
    ∴|A|≠0.
    2)方阵行列式≠0→方阵满秩
    方阵行列式≠0→上三角行列式≠0→上三角行列式对角线上的数不为0→n个列向量所构成的向量组线性无关→方阵满秩.
    3)方阵满秩→方阵行列式≠0
    方阵满秩→n个列向量所构成的向量组线性无关→上三角行列式对角线上的数不为0→上三角行列式≠0→方阵行列式≠0
    4)方阵行列式≠0→方阵可逆
    先定义伴随矩阵:
    在这里插入图片描述
    AA*=|A|E→A(A*/|A|)=E→A^-1=A*/|A|
    由以上四个推导便可证明方阵可逆,方阵行列式≠0,方阵满秩三者是等价的。
    参考文献
    线性代数/刘二根,谢霖铨主编. —南昌:江西高校出版社,2015.7(2016.7重印)
    图片引自https://pic1.zhimg.com/v2fb904f7b91615106f1fe3b992cc4c7d4_r.jpg

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    2018-12-19 13:14:02
    行列式为0,矩阵不可逆,否则矩阵可逆,所以行列式可用来检验矩阵的可逆性。这篇文章主要介绍行列式的10个性质。 性质1:单位矩阵的行列式为1 性质2:如果交换矩阵的两行,则行列式的符号要取反。从这个性质我们...
  • 文章目录: 1.<=> A的列(行)向量组线性... A可逆 (又非奇异) 7.<=> 任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示 8.<=> A可表示成初等矩阵的乘积 9.<=> A的等价标准形是单位矩阵 10.<.
  • 当 AAA 可逆的时候,其逆矩阵 A−1A^{-1}A−1 的行列式为 1/det(A)1 / det(A)1/det(A)。 行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组,但是我们很少这样做,因为消元会更快。 对于上述矩阵,如果行列式 ad−bcad...
  • n阶方阵A可逆 充分必要条件:<=> A非奇异(非奇异矩阵就是对应的行列式不等于等于0的方阵)<=> |A|≠0 <=> r(A) = n <=> A的特征值都不为0 <=> 齐次线性方程组AX=0 仅有零解 <...
  • 本节首先由矩阵行化简为三角阵时的过程中,矩阵可逆的条件引出了行列式的定义,从行列式的形式中寻找规律,引出了行列式的递归定义法。接着对行列式的计算方法进行进一步改进,引出余因子展开式的计算方法,用以适应...
  • 这是通过行列式和伴随矩阵求逆矩阵的方法,分别将求行列式、伴随矩阵的功能提取了出来, 逆矩阵 等于伴随矩阵/行列式。如果你想学习如何对矩阵求逆, 可以仔细阅读这篇文章,代码很好了解,很基础。 总程序在后面。 1...
  • 此外,还在论述过程中,顺便证明了行列式为0和矩阵可逆的关系定理。并讲解了一些围绕核心内容的推论,例如列变换定理,行列式和矩阵乘积的关系等。 行变换定理 计算某个方阵的行列式,可以转换为计算其过行变换的...
  • 线性代数导论18——行列式及其性质

    千次阅读 2013-10-31 16:24:11
    本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。... 第十八课时:行列式及其性质 determinants ...每个方阵都有与其相关的行列式值detA,或者|A|,一个行列式的值把尽可能的信息包含在里头。行列式非零等价于矩阵可逆,行
  • 方形矩阵的行列式

    千次阅读 2017-02-12 15:09:11
    行列式在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在 n 维欧几里得空间中,行列式描述的是一...
  • 已知n阶矩阵A行列式满足|A|=1,求|A^(-1)|(A^(-1)表示A的逆矩阵)=? 正确答案: C 你的答案: D (错误) 正无穷 0 1 -1 添加笔记 收藏 纠错 求解过程如图:
  • 行列式公式

    千次阅读 2019-05-06 22:14:49
    n*n矩阵A行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算。按第i行展开用 Cij = (-1)i+j det Aij 式给出的余因子写法可写成: det A = ai1Ci1 + ai2Ci2 +…+ainCin 按第j列的余因子展开式为: detA = a1jC1j + a2jC2j +...
  • 行列式及其应用

    千次阅读 2020-03-06 14:59:18
    行列式 注意   本文参照MITMITMIT公开课, 可以看成是笔记。 什么是行列式   一个矩阵通常包括很多信息, 比如是否可逆等等。而对于每一个方阵, 都有一个数能够表示关于矩阵的很多信息, 这个数就叫做行列式。...
  • 行列式与相似矩阵联系起来
  • 十八、行列式

    2019-09-23 10:11:05
    行列式就是一个数字而已。 1. 2x2矩阵的行列式 假设: 那么A逆为: ...但是,并不是所有的矩阵都有逆矩阵,对于矩阵A,当ad-bc...行列式不等于0,等价于矩阵A存在逆矩阵。行列式的重要作用就是判断矩阵是否存在逆...
  • 矩阵和行列式的总结

    千次阅读 2019-01-31 22:56:57
    行列式 n 阶行列式就是 n2n^{2}n2 个数按照某种规则做乘法和加法运算得到一个数 ...称为矩阵A对应的行列式,|A| 也常 被写作det A. determinant 矩阵的概念 1. 矩阵的定义 矩阵的转置 可逆矩阵 ...
  • 2.1 行列式与秩

    2019-01-07 22:35:45
    矩阵量 -行列式 从这节开始,按照数理统计里的统计量,我们也定义一个矩阵量的东西来衡量一个矩阵或者一个空间变换的特征,也就是一个**“度量”这种度量显然是不充分完备**的,因为只有一个数嘛,就如同期望 方差 ...
  • 比如行列式为0矩阵不可逆。 交换行或者列行列式变符号,这意味着交换矩阵它的行列式是1或者-1.因为交换矩阵可以把其他矩阵的行列交换。 行或者列乘个t,那么整个行列式的值需要乘个t。 行列式每行都有可加性 A−1=1...

空空如也

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a可逆则a的行列式